广东工业大学线性代数试卷A卷1

广东工业大学试卷用纸，共广东工业大学试卷用纸，共10页，第#页广东工业大学考试试卷（）课程名称：线性代数试卷满分100分名课程名称：线性代数试卷满分100分名姓题号-一一-二二三四五六七八九十总分评卷得分评卷签名复核得分复核签名考试时间：2009年6月15日（第18周星期一）填空题（每小题4分，共20分）1、(11、(11-1「仃-11、022、110丿11-10丿\丿,则X=2、0，其中A*为A的伴随矩阵，则（A*）-12、5丿3、设向量组=(1,4,3》,a=(—3、设向量组=(1,4,3》,a=(—1,k4》,a=(—2,3,1》23秩2'd3)=2'则k=4、设4阶方阵A的4个特征值为3，1，1，2,则|A|=5、Xx+x+x=0123已知齐次线性方程组彳X+Xx+x=0有非零解，则九满足123x+x+x=0v123选择题（每小题3分，共15分）1、排列671298435的逆序数为(A)16(B)17(C)18(D)192、设行列式2134510—3-11—853171，则2A+5A-A+3A=414243442、设行列式2134510—3-11—853171，则2A+5A-A+3A=414243443、（A）0设A、B是n阶方阵,(A)AB=BA4、(B)(C)—11下列等式正确的是.(D)—16(B)A2-B2=(A+B)(A一B)(C)A2=|A|2(D)(A+B)-1=A-1+B-1设a是非齐次方程组AX=b的一个解，a,a，…,a是AX=0的基础解系，则012r(A)a0,Har线性相关。(B)a09a1‘…,ar线性无关。(C)(D)01ra,a，…,a的线性组合是AX=0的解。01r5、n阶方阵A与对角阵相似的充要条件是（A）A是实对称阵;（B）A有n个互异特征值;（C）A的特征向量两两正交.（D）A有n个线性无关的特征向量;三、（10分）设IA1=，其中aa・・・a丰0•求A.12n(12(12-3-2、〔1201]012-3,C=012000120012<0001丿<0001丿四、（10分）设4阶方阵A，B，C满足方程（2E一C-1B）AT=C-1，试求矩阵A，其中(1+九)x+x+x=0123五、（10分）讨论九为何值时，方程组彳x+(1+五、（10分）讨论九为何值时，方程组彳123L123x+x+(1+九)L123（1）有唯一解？（2）无解？（3）有无穷多解？并在此时求出其通解。六、（10分）已知R3中的向量组a,a,a线性无关，向量组b二a—ka,b二a+a,123112223b+ka线性相关，求k值。331_2—20_七、（11分）设A=—21—2，求一个正交矩阵P，使P-1AP=PtAP为一个对角矩阵。0—20八、证明题（每小题7分，共14分）1、设a,a,a是n阶方阵A的3个特征向量，它们的特征值不相等，记卩二a+a+a，123123证明0不是A的特征向量。2、设A,B为n阶方阵，若AB=0，则r（A）+r（B）<n。广东工业大学试卷参考答案及评分标准（）课程名称：线性代数。考试时间：2009年6月15日（第18周星期一）、填空题（每小题4分，共20分）、IM1^32-31-31-34-31、IM1^32-31-31-34-31-306024

23k、2或者1(-114、3(211丿3、34、65、入=1选择题（每小题3分，共15分）12345CACBD三、（10分）计算行列式:解：D=na1—a00…001a0…001220—aa…0013300—a•…0014000…—aa1n—1n—1000…0—a1+an3按最后一列展开（由下往上）nn

a100…000—aa0…000220—aa…0003300—a•…0004000…—aa0n-2n-2000…00—an-1(1+a)(aa…a)12'a00…00—aa0…00122—aa0…000—aa…0022330—aa…0000—a•…00・・・33・・・・・・+…+・・・・・・4・・・・・・000…—aa000…—aan-1n-1n-1n-1000…0—an000…0—ann+HFaaa…a23n二(1+a)(aa…an12n-1)+aa…aa12n-3n-2n=(aa•…=(aa•…a12n10分ai=1i注：本题方法不唯一，根据学生的做题步骤酌情给分。四、(10分)解：由(2E-C-1B)At=C-1，r123r1234、0123而(2C-B)=0012<0001丿两边同时左乘C,得(2C-B)At=E，两边再同时左乘(2C-B)-1，得到At=(2C-B)-1(12341000「「12r3-2r401230100r2-3r401r4r——>0012001000、00010001Jf0或者对(2C-B,E)―作行的初等变换＞30100-4'20010-310001-2010001,,(2C-,(2C-B)-1)=Q,At)ri20010—32「[10001—220、r—2r23010001—21010001—21[3q~>0010001—2；12»0010001—2;00010001J:00010001丿ri0—211—20、1AT=001—2<0001丿ri000[—2100即A=[1—210101—21J五、(10分)解：五、(10分)解：1+九1|A|=11+九1111=(3+九)九21+九7分•8分10分当九鼻—3且九鼻0时，方程组有唯一解・5分〔1110]〔1110]当X=0时，增广矩阵为B=1113<r>0001b110J[0000丿R(A)丰R(B),方程组无解7分当九=-3时，增广矩阵为r—2ii0「r11—2—3]B=1—213r01—1—2R(A)=R(B)=2,、11—2—3丿、0000J方程组有无穷多解，解为x二c(1,1,1)t+(—1,—2,0)t，(c为任意常数)10分3)+九(a+ka)+(九+九)a3)+九(a+ka)+(九+九)a二0'2233尢b+尢b+尢b=尢(a-ka)+X(a+a11223311222:=(X+kX)a+(—Xk+X13112

由會2,a3线性无关,1X2X丿3y1X2X丿3yTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"13得<—Xk+X二012X+X二0123…7分10分因为b,b,b相关，所以X,…7分10分123123故系数行列式=0,得k=±1。2—20七、（11分）解：A=一21一20—20第一步求A第一步求A的特征值2—X—2|A-XE|=—21—X0—20—2=（4—X）X—1）X+2）=00—X得X=4,X=1,X=—2.123第二步由（A—XE）x二0,求出A的特征向量i对X=4,由（A—4E）x=0,得12x+2x=012<2x+3x+2x=0解之得基础解系PTOC\o"1-5"\h\z231x+4x=0V23对X=1,由（A—E）x=0,得2—x+2x=012<2x+2x=0解之得基础解系El—2丿l—2丿2x+x=0v23对X=—2，由（A+2E）x=0,得3—4x+2x=012<2x—3x+2x=0解之得基础解系g233x—2x=0V23第三步将特征向量正交化

由于g,g,g是属于A的3个不同特征值九，九,12312九的特征向量，故它们必两两正交.3第四步将特征向量单位化i=1,2,3.‘-2/3‘-2/3、n=2/3i■V3丿厂2/3、'1/3、n=213,n=32/3i-2，'3丿12/3‘(-221、作p=G,n,n)=-2i21233l-1-22丿'400'11分则P-1AP=11分f0-2八、证明题(每小题7分，共14分)1、证明：反证法假设AP=XPnAP=A(a+a+a)=Aa+Aa+Aa=Xa+Xa+Xa,TOC\o"1-5"\h\z123123112233又:Xp=Xa+九a+九a=Ap=Xa+九a+九a123112233从而：(X—X)a+(X—X)a+(X—X)a=0，4分*112233由于特征值各不相等，所以a,a,a线性无关，123所以的X-X=X-X=X-X=0nX=X=X=X，矛盾。7分1231232、证明：因为线性方程组Ax=0，当秩A=r时，基