第4章 数字电路基础知识

1、第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 4.1 数制和编码数制和编码 4.2 逻辑代数基础逻辑代数基础 4.3 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法 4.4 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 概述：概述：一、模拟信号和数字电路一、模拟信号和数字电路1 1、模拟信号是指在时间上和数值上都是连续变化、模拟信号是指在时间上和数值上都是连续变化的信号。的信号。2 2、数字信号是指在时间上和数值上都是断续变、数字信号是指在时间上和数值上都是断续变 化的离散信号。化的离散信号。二、数字电路的特点二、数字电路

2、的特点1 1、数字电路在稳态时，电子器件处于开关状态，、数字电路在稳态时，电子器件处于开关状态，即工作在即工作在饱和区饱和区和和截止区截止区, ,和二进制信号的要求和二进制信号的要求是对应的是对应的, ,分别用分别用0 0 和和1 1表示。表示。第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 2 2、数字电路信号的、数字电路信号的1 1和和0 0没有任何数量的含义，而没有任何数量的含义，而 只是状态的含义，所以电路在工作时要能可靠只是状态的含义，所以电路在工作时要能可靠 的区分开的区分开1 1和和0 0两种状态。两种状态。3 3、对已有电路分析其、对已有电路分析其逻辑功能逻辑功能，叫做，叫做逻辑

3、分析逻辑分析； 按逻辑功能要求设计电路，叫做按逻辑功能要求设计电路，叫做逻辑设计逻辑设计。4 4、数字电路工作状态主要是用、数字电路工作状态主要是用逻辑代数逻辑代数和和卡诺图卡诺图法法等进行分析化简。等进行分析化简。5 5、数字电路能够对数字信号、数字电路能够对数字信号1 1和和0 0进行各种逻辑运进行各种逻辑运算和算术运算。算和算术运算。第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 三、三、数字电路的分类和应用数字电路的分类和应用1、数字电路按组成的结构可分为、数字电路按组成的结构可分为分立元件电路分立元件电路和和集成电路集成电路两大类。集成电路按集成度分为小规模、两大类。集成电路按集成度分

4、为小规模、中规模、大规模和超大规模集成电路。中规模、大规模和超大规模集成电路。2、按电路所用器件的不同。数字电路又可分为、按电路所用器件的不同。数字电路又可分为双双极型极型和和单极型单极型电路。电路。3、根据电路逻辑功能的不同，数字电路又可分为、根据电路逻辑功能的不同，数字电路又可分为组合逻辑电路组合逻辑电路和和时序逻辑电路时序逻辑电路两大类。两大类。第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 4.1 4.1 数制和编码数制和编码 4.1.1 4.1.1 计数体制计数体制 常用的计数体制有十进制、二进制、八进制、常用的计数体制有十进制、二进制、八进制、十六进制等。十六进制等。1.十进制（十进

5、制（Decimal)l数字符号（系数）：0 0、1 1、2 2、3 3、4 4、5 5、6 6、7 7、8 8、9 9l计数规则：逢十进一l基数：1010l权：1010的幂 例1：(785)(785)D D=7=710102 2+8+810101 1+5+510100 0 第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 例2：(101.01)2 122 0211200211 22 (5.25)10各数位的权是的幂各数位的权是的幂只有只有0 0和和1 1两个数码，它的每一位都可以用电子元件两个数码，它的每一位都可以用电子元件来实现，运算规则简单，相应的电路也容易实现来实现，运算规则简单，相应的电路

6、也容易实现。2.2.二进制二进制(Binary)(Binary) 数字符号：0 0、1 1 计数规则：逢二进一 基数：2 2 权：2 2的幂第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 加法规则：加法规则：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10乘法规则：乘法规则：00=0， 01=0 ，10=0， 11=1运算运算规则规则3.3.八进制（八进制（OctalOctal） 数字符号：07 计数规则：逢八进一 基数：8 权：8的幂第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 4.4.十六进制十六进制( (Hexadecimal) )例4：(D8.A)16 13161 816010 161(

7、216.625)10各数位的权是各数位的权是8的幂的幂各数位的权是各数位的权是16的幂的幂例3：(207.04)8 282 0817800814 82 (135.0625)10 数字符号：09、A、B、C、D、E、F 计数规则：逢十六进一 基数：16 权：16的幂第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 4.1.2 4.1.2 数制转换数制转换 1.二进制、八进制、十六进制转换为十进制二进制、八进制、十六进制转换为十进制 例例5：将二进制数：将二进制数(1101)B转换成十进制数。转换成十进制数。 解：解：(1101)B=123+122+021+120=(13)D将将N进制数按权展开，即可

8、转换为十进制数。进制数按权展开，即可转换为十进制数。例例6：将八进制数：将八进制数(156)O转换成十进制数。转换成十进制数。 解：解：(156)O=182+581+680=(110)D例例7 将十六进制数将十六进制数(5D4)H转换成十进制数。转换成十进制数。 解：解：(5D4)H=5162+13161+4160=(1492)D第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 2.2.十进制转换为二进制十进制转换为二进制整数和小数分别转换 整数部分：除 2 取余法 小数部分：乘 2 取整法一直除到商为一直除到商为 0 为止为止(26)10= (11010)2例例8 8 将十进制数将十进制数 (2

9、6)10 转换成二进制数转换成二进制数 26 余数余数13 631 222220 读读数数顺顺序序010110.87521.750 121.500 12 1.000 1整数整数读读数数顺顺序序例例9 将（将（0.875）10转换为二进制数转换为二进制数（0.875）10=（0.111）2第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 例例10 将(139)D转换成八进制数。8 8 8 1391720312读读数数顺顺序序余数余数得：(139)D=(213)O 3.十进制转换为八进制、十六进制十进制转换为八进制、十六进制 除 8取余法第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 例例11 将(13

10、9)D转换成十六进制数。 16 1613980B8 读读数数顺顺序序余数余数得 (139)D=(8B)H除 16取余法第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 4. 二进制与八进制、十六进制之间的转换 （1）二进制与八进制之间的转换 三位二进制数对应一位八进制数。（101011100101）2 =（101，011，100，101）2=（5345）8（6574）8 =（110，101，111，100）2=（110101111100）2第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 （2）二进制与十六进制之间的转换（9A7E）16 =（1001 1010 0111 1110）2 =（100110

11、1001111110）2四位二进制数对应一位十六进制数。（10111010110）2 =（0101 1101 0110）2 =（5D6）16第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 表1 几种计数进制数的对照表十进制二进制八进制十六进制00000001000111200102230011334010044501015560110667011177810001089100111910101012A11101113B12110014C13110115D14111016E15111117F第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 4.1.3 4.1.3 编码编码 数字系统只能识别数字系统只能

12、识别0 0和和1 1，怎样才能表示更多的数码、，怎样才能表示更多的数码、符号、字母呢？用编码可以解决此问题。符号、字母呢？用编码可以解决此问题。编码：代码的编制过程。编码：代码的编制过程。代码：代码：用若干位用若干位二进制数码二进制数码来表示数字、文字符号来表示数字、文字符号以及其他不同的事物，称这种二进制码为代码以及其他不同的事物，称这种二进制码为代码。 BCD码：用一个四位二进制代码表示一位十进制数字的编码方法。 1. 二十进制编码（BCD码）第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 常常用用B BC CD D码码 十进制数 8421码 余3码 2421码 5421码 0 1 2 3

13、4 5 6 7 8 9 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 0000 0001 0010 0011 0100 1011 1100 1101 1110 1111 0000 0001 0010 0011 0100 1000 1001 1010 1011 1100 权 8421 2421 5421 表2第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 选取选取0000000010011001表示十进制数表示十进制数0 09 9。 按自然顺序的

14、二进制数表示所对应的十进制数字。按自然顺序的二进制数表示所对应的十进制数字。 有权码，从高位到低位的权依次为有权码，从高位到低位的权依次为8 8、4 4、2 2、1 1，故称为故称为84218421码。码。 1010101011111111等六种状态是不用的，称为禁用码。等六种状态是不用的，称为禁用码。（1）8421码8421码是最基本的和最常用的，必须熟记。码是最基本的和最常用的，必须熟记。第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 用用 BCD 码表示十进制数举例：码表示十进制数举例： (36)10 = (00110110) 8421 BCD (4.79)10 = (0100.01111

15、001)8421 BCD(50)10 = (01010000)8421 BCD 注意区别注意区别 BCD 码与数制：码与数制： (150)10 = (000101010000)8421 BCD = (10010110)2 = (226)8 = (96)16 第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 （2）5421码（3）余3码选取00000100和10001100这十种状态。01010111和11011111等六种状态为禁用码。是有权码，从高位到低位的权值依次为5、4、2、1。 选取00111100这十种状态。 与8421码相比，对应相同十进制数均要多3（0011），故称余3码。 第第4章

16、章 数字电路基础知识数字电路基础知识 （4）格雷码（又称循环码）：任意两个相邻的数所对应的代码之间只有一位不同，其余位都相同。循环码的这个特点，使它在代码的形成与传输时引起的误差比较小。第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 表3 四位循环码的编码表十进制数循环码十进制数循环码00000811001000191101200111011113001011111040110121010501111310116010114100170100151000第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 4.2 4.2 逻辑代数基础逻辑代数基础逻辑：一定的因果关系。逻辑代数是描述客观事物逻辑关系的数学

17、方法，是进行逻辑分析与综合的数学工具。英国数学家乔治布尔(George Boole)于1847年提出的， 又称为布尔代数。第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 4.2.1 基本概念基本概念 基本逻辑运算基本逻辑运算1、逻辑变量与逻辑函数、逻辑变量与逻辑函数 逻辑代数有其自身独立的规律和运算法则，不逻辑代数有其自身独立的规律和运算法则，不同于普通代数。同于普通代数。相同点：都用字母相同点：都用字母A A、B B、C C表示变量；表示变量；不同点：逻辑代数变量的取值范围仅为不同点：逻辑代数变量的取值范围仅为“0”0”和和“1”1”，且无大小、正负之分。，且无大小、正负之分。逻辑代数中的变量

18、称逻辑代数中的变量称为逻辑变量为逻辑变量。第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 逻辑代数中的逻辑代数中的 1 和和 0 不表示数不表示数量大小，仅表示两种相反的状态。量大小，仅表示两种相反的状态。注意注意例如：开关闭合为例如：开关闭合为 1 晶体管截止为晶体管截止为 1 电位高为电位高为 1 断开为断开为 0 导通为导通为 0 低为低为 0第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 2. 基本逻辑运算基本逻辑运算 基本逻辑函数基本逻辑函数 与逻辑与逻辑 或逻辑或逻辑 非逻辑非逻辑与运算与运算( (逻辑乘逻辑乘) ) 或或运算运算( (逻辑加逻辑加) ) 非运算非运算( (逻辑非逻辑非

19、) ) 第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 与逻辑的定义：仅当决定事件（与逻辑的定义：仅当决定事件（Y）发生的所）发生的所有条件（有条件（A，B，C，）均满足时，事件（）均满足时，事件（Y）才）才能发生。表达式为：能发生。表达式为： 串联开关电路 L=AB E A B Y 1 1）与逻辑（与运算）与逻辑（与运算）第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 EABYEABYEABYEABY两个开关必须同时接通，灯才亮。两个开关必须同时接通，灯才亮。A、B都断开，灯不亮都断开，灯不亮A断开、断开、B接通，灯不亮接通，灯不亮A接通、接通、B断开，灯不亮断开，灯不亮A、B都接通，灯亮都接通

20、，灯亮第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 这种把所有可能的条件组合及其对应这种把所有可能的条件组合及其对应结果一一列出来的表格叫做结果一一列出来的表格叫做真值表真值表。A BY0 00 11 01 10001开关 A 开关 B灯 Y断开 断开断开 闭合闭合 断开闭合 闭合灭灭灭亮功能表功能表真真值值表表设定逻辑变量并状态赋值：设定逻辑变量并状态赋值：逻辑变量：逻辑变量：A和和B，对应两个开关的状态；，对应两个开关的状态； 1闭合，闭合，0断开；断开；逻辑函数：逻辑函数：Y，对应灯的状态，对应灯的状态， 1灯亮，灯亮，0灯灭。灯灭。A A、B B全1，Y Y才为1。第第4章章 数字电路

21、基础知识数字电路基础知识 符号“”读作“与”（或读作“逻辑乘”）；在不致引起混淆的前提下，“”常被省略。实现与逻辑的电路称作与门，符号“&”表示与逻辑运算。 YAB&逻辑符号：逻辑符号：逻辑表达式逻辑表达式：A B第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 若开关数量增加，则逻辑变量增加。 A B CY0 0 000 0 100 1 000 1 101 0 001 0 101 1 001 1 11A A、B B、C C全1，Y Y才为1。YA B CABC第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 2 2）或逻辑（或运算）或逻辑（或运算）或逻辑的定义：当决定事件（Y）发生的各种条件（A，B

22、，C，)中，只要有一个或多个条件具备，事件（Y）就发生。表达式为：开关A，B并联控制灯泡Y：电路图L=ABEABY第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 A BY0 00 11 01 10111 AB1真值表真值表功能表功能表逻辑符号逻辑符号逻辑表达式逻辑表达式：符号“”读作“或”（或读作“逻辑加”）。A、B有1，Y就为1。第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 3 3）非逻辑（非运算）非逻辑（非运算）非逻辑指的是逻辑的否定。当决定事件（非逻辑指的是逻辑的否定。当决定事件（Y）发生的条件（发生的条件（A）满足时，事件不发生；条件不）满足时，事件不发生；条件不满足，事件反而发生。表达

23、式为满足，事件反而发生。表达式为：开关A控制灯泡Y：电路图EAYR第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 YA1EAYRA断开，灯亮断开，灯亮EAYRA接通，灯灭接通，灯灭真真值值表表功功能能表表逻辑符号逻辑符号逻辑表达式逻辑表达式：A与Y相反“ 。”表示非运算，符号中的表示非运算，符号中的“1”表示缓冲。表示缓冲。第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 3. 常用复合逻辑运算 在数字系统中，除应用与、或、非三种基本逻辑运算之外，还广泛应用与、或、非的不同组合，最常见的复合逻辑运算有与非、或非、与或非、异或和同或等。 1） 与非运算逻辑表达式： Y YABCABCA B CY0 0

24、 010 0 110 1 010 1 111 0 011 0 111 1 011 1 10与非逻辑符号： “有0必1，全1才0” 第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 2） 或非运算“或”和“非”的复合运算称为或非运算。 逻辑表达式： Y YA A+ +B B+ +C CA B CY0 0 010 0 100 1 000 1 101 0 001 0 101 1 001 1 10“有1必0，全0才1” 或非逻辑符号： 第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 3） 与或非运算“与”、“或”和“非”的复合运算称为与或非运算。 逻辑表达式： Y YABAB+ +CDCD或非逻辑符号： 第

25、第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 4） 异或运算指两个输入变量取值相同时输出为0，取值不相同时输出为1 1。 “相同为0，相异为1” 异或逻辑符号： 逻辑表达式： Y = AB = A B + A BY = AB = A B + A B式中符号式中符号“ ”表示异或运算。表示异或运算。 ABY000011101110第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 5） 同或运算指两个输入变量取值相同时输出为1，取值不相同时输出为0。 “相同为1，相异为0” 同或逻辑符号： ABY001010100111逻辑表达式： Y = AB = A B + A B = AB Y = AB = A

26、B + A B = AB 式中符号式中符号“ ”表示同或运算。表示同或运算。 第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 从同或与异或的真值表可知：从同或与异或的真值表可知：异或运算与同异或运算与同或运算互为反函数或运算互为反函数，即：，即： 第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 逻辑函数的相等：已知Y = F1 (A、B、C、D)W= F2 (A、B、C、D)问：问： Y = W的条件？的条件？仅当A、B、C、D的任一组取值所对应的的任一组取值所对应的Y和和W都都相同，具体表现为二者的真值表完全相同时， Y = W 。等号“”不表示两边数值相等，仅表示一种等价、等效的逻辑关系。因为

27、逻辑变量和逻辑函数的取值0和1是不能比较大小的，仅表示一种状态。结论：可用真值表验证逻辑函数是否相等。ABY000010100111ABW0010101001114.2.2 4.2.2 逻辑代数基本定理和规则逻辑代数基本定理和规则第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 1. 基本定律 （1）常量之间的关系 0 0 = 0 0 + 0 = 0 0 1 = 0 0 + 1 = 1 1 0 = 0 1 + 0 = 1 1 1 = 1 1 + 1 = 1 0 = 1 1 = 0 请特别注意请特别注意与普通代数与普通代数不同之处不同之处与或第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 （2）常量与

28、变量之间的关系普通代数结普通代数结果如何？果如何？（3）与普通代数相似的定理 交换律交换律AB = BAA + B = B + A结合律结合律A（BC）=（AB）CA +(B+C)=(A+B)+C分配律分配律A（B+C）=AB + ACA+(BC)=(A+B)(A+C)注注: A代表代表1和和0 与对或的分配与对或的分配或对与的分配或对与的分配第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 A B C左式左式=A+BC 右式右式=(A+B)(A+C)0 0 0 0 00 0 1 0 00 1 0 0 00 1 1 1 11 0 0 1 11 0 1 1 11 1 0 1 11 1 1 1 1证明

29、：A+(BC)=(A+B)(A+C)第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 （4）特殊的定理 De De morgen morgen定理定理第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 2. 常用公式 B B：互补：互补A A：公因子：公因子A A是是ABAB的因子的因子第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 A A的反函数的反函数是因子是因子与互补变量与互补变量A A相与的相与的B B、C C是第三项是第三项添加项添加项第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 需记忆利用真值表利用真值表 逻辑等式的逻辑等式的证明方法证明方法 利用基本公式和基本定律利用基本公式和基本定律总之：

30、总之：第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 (AB CABCABC 3. 重要规则重要规则（1 1）代入规则）代入规则 将等式两边出现的同一变量都以一个相同的将等式两边出现的同一变量都以一个相同的逻辑函数代之，则等式仍成立，这个规则称为逻辑函数代之，则等式仍成立，这个规则称为代代入规则入规则。A BA B 例如：例如：理论依据：任何一个逻辑函数也和任何一个逻辑变量一样，只有逻辑0和逻辑1两种取值。因此，可将逻辑函数作为一个逻辑变量对待。 推广:将 “B” 以（BC）代入利用代入规则可以扩大公式的应用范围。第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 （2 2）反演规则）反演规则对任何一

31、个逻辑表达式Y 作反演变换，可得Y 的反函数 Y 。这个规则叫做反演规则。 反演变换：“”“”“”“” “0” “1”“1” “0”，原变量反变量反变量原变量在使用反演规则时需要注意两点：在使用反演规则时需要注意两点：(1)必须遵守必须遵守“先括号、然后乘、先括号、然后乘、最后加最后加”的运算顺序，必要时可的运算顺序，必要时可加、减扩号加、减扩号(2) 不属于单个变量上的反号应保不属于单个变量上的反号应保留不变。留不变。第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 例：例：（1）1ZABABCCD（2）2ZAC DE 求函数求函数 和和 的反函数：的反函数：2z1Z解：解：按反演规则可直接写出

32、按反演规则可直接写出 和和 的反函数的反函数 和和 ，2z1Z1Z2Z（1）1() () ()ZA BA B CC D （2）2ZA B C D E 第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 对任何一个逻辑表达式Y 作对偶变换，可Y的对偶式Y。 （3 3）对偶规则）对偶规则 运用对偶规则时，同样应注意运算的优先顺序，必要时可加、减扩号。 ) 1)()0(CABAYCABAY对偶变换：“”“”“”“”“0” “1”“1” “0”第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 可以证明，若两个逻辑式相等，则它们的对偶式可以证明，若两个逻辑式相等，则它们的对偶式也相等，这就是对偶规则。也相等，这就

33、是对偶规则。对偶规则的对偶规则的应用应用： 运用对偶规则可以使人们要证明的公式大大减少。运用对偶规则可以使人们要证明的公式大大减少。假如要求证假如要求证Z1和和Z2是否相等，则只需证明其对偶式是否相等，则只需证明其对偶式Z1、Z2 是否相等（即如已知是否相等（即如已知Z1 =Z2 ，那么，那么Z1和和Z2必然相等）。必然相等）。 例例:A（B+C）= AB+AC，求这一公式两边的对偶式，求这一公式两边的对偶式，则有分配律则有分配律A+BC =（A+B)(A+C)成立。成立。第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 4.3 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法 逻辑函数： 输入逻辑变量和输出

34、逻辑变量之间的函数关系称为逻辑函数，写作 Y = f (A、B、C、D) A、B、C、D为有限个输入逻辑变量； f 为有限次逻辑运算（与、或、非）的组合。表示逻辑函数的方法有五种：真值表、逻辑函数表达式、逻辑图、波形图和卡诺图。第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 真值表是将输入逻辑变量的所有可能取值与相应的输出变量函数值排列在一起而组成的表格。1个输入变量有0和1两种取值， n个输入变量就有2n个不同的取值组合。例：逻辑函数 Y=AB+BC+AC A B CY0 0 000 0 100 1 000 1 111 0 001 0 111 1 011 1 11三个输入变量，八种取值组合 4

35、.3.1 真值表ABBCAC第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 A B CY0 0 000 0 100 1 000 1 111 0 001 0 111 1 011 1 11真值表的特点： 唯一性; 按自然二进制递增顺序排列（既不易遗漏，也不会重复 ）。 n个输入变量就有2n个不同的取值组合。 第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 例：控制楼梯照明灯的电路。 两个单刀双掷开关 A和 B分别装在楼上和楼下。无论在楼上还是在楼下都能单独控制开灯和关灯。设灯为L，L为1表示灯亮，L为0表示灯灭。对于开关A和B，用1表示开关向上扳，用0表示开关向下扳。第第4章章 数字电路基础知识数字电

36、路基础知识 4.3.2 4.3.2 逻辑函数表达式逻辑函数表达式 1. . 最小项最小项l 设有设有n n个逻辑变量，在由它们组成的乘积项（即个逻辑变量，在由它们组成的乘积项（即与项）中，每个变量以原变量或反变量形式出现，与项）中，每个变量以原变量或反变量形式出现，并且仅出现一次，这个乘积项就称为并且仅出现一次，这个乘积项就称为n n个变量的个变量的最小项。最小项。l n n个变量就有个变量就有2 2n n个最小项。个最小项。 为了表示方便，最小项常以代号的形式写为为了表示方便，最小项常以代号的形式写为 m mi i , , m m代表最小项，下标代表最小项，下标i i为最小项的编号。为最小项

37、的编号。第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 3 3 变量逻辑函数的最小项有变量逻辑函数的最小项有 2 23 3 = 8= 8 个个CBACBACBACBACBABCACBACBACAB第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 最小项的性质最小项的性质根据最小项的定义，不难证明最小项有如下性质根据最小项的定义，不难证明最小项有如下性质: : 对输入变量任何一组取值在所有最小项（对输入变量任何一组取值在所有最小项（ 2n个）中，必有一个而且仅有一个最小项的值为个）中，必有一个而且仅有一个最小项的值为1。 在输入变量的任何一组取值下，任意两个最在输入变量的任何一组取值下，任意两个最小项

38、的乘积为小项的乘积为0。全体最小项的和为全体最小项的和为1。第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 2. 逻辑表达式 在真值表中，如果用1表示原变量，用0表示反变量，将函数值为1的每一个取值组合写成一个乘积项，再将这些乘积项加起来得到的函数表达式，称为“与或”表达式。ABL001010100111L = A B + A BL = A B + A BA BA BA BA B第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 3与或标准型与或标准型 有了最小项的概念，就可以利用公式，有了最小项的概念，就可以利用公式，将任何一个逻辑式展成若干个最小项之和的形将任何一个逻辑式展成若干个最小项之和的形式

39、，这一形式称为与或标准型。例如：式，这一形式称为与或标准型。例如：F第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 4.3.3 4.3.3 逻辑图逻辑图 用逻辑符号表示逻辑函数的图形用逻辑符号表示逻辑函数的图形, 叫做逻辑电路叫做逻辑电路图图, 简称逻辑图。简称逻辑图。L = A B + A BL = A B + A B例如：第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 4.3.4 4.3.4 波形图波形图 能反映输入变量和输出变量随时间变化的图形能反映输入变量和输出变量随时间变化的图形就称为波形图，又叫时序图。就称为波形图，又叫时序图。例例1 1：已知函数的逻辑表达式已知函数的逻辑表达式 。要

40、求。要求: : 列出相应的真值表；已知输入波形，画出输出波列出相应的真值表；已知输入波形，画出输出波形；画出逻辑图。形；画出逻辑图。解：解：(1) 根据逻辑表达式，根据逻辑表达式， 画出逻辑图画出逻辑图4.3.1。 (2) 将将A, B, C的所有组合代入逻辑表达式中进行的所有组合代入逻辑表达式中进行计算，得到真值表计算，得到真值表4.3.1。 (3) 根据真值表，根据真值表， 画出输出波形画出输出波形4.3.2。 A第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 1&1ACYB图 4.3.1 例 1 的逻辑图第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 ABCY图图 4. 3.2 例例 1 的

41、波形图的波形图第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 A B C Y 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 表表 4.3.1 例例1的真值表的真值表第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 4.3.5 4.3.5 卡诺图（卡诺图（图形化的真值表）图形化的真值表） 1.1.卡诺图及其构成原则卡诺图及其构成原则 卡诺图是把卡诺图是把最小项最小项按照一定规则排列而构成的按照一定规则排列而构成的方框图。构成卡诺图的原则是：方框图。构成卡诺图的原则是： N变量的卡诺图有变量的卡诺图有2N个小方块（最小项）

42、；个小方块（最小项）； 最小项排列规则：几何相邻的必须逻辑相邻。最小项排列规则：几何相邻的必须逻辑相邻。 逻辑相邻：两个最小项，只有一个变量的形式逻辑相邻：两个最小项，只有一个变量的形式不同，其余的都相同。逻辑相邻的最小项可以合并。不同，其余的都相同。逻辑相邻的最小项可以合并。几何相邻：几何相邻：一是相邻一是相邻紧挨的；紧挨的；二是相对二是相对任一行或一列的两头；任一行或一列的两头；三是相重三是相重对折起来后位置相重。对折起来后位置相重。在五变量和六变量的卡诺图中，用相重来判断某些最小项的几何相邻性，其优点是十分突出的。第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 2.卡诺图的画法 二变量（A

43、、B）函数卡诺图的画法。ABAAABBBABABABAB01100m001m110m211m30AB01123100第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 三变量（A、B、C）函数卡诺图的画法。 3变量的卡诺图有23个小方块； 几何相邻的必须逻辑相邻：变量的取值按00、01、11、10的顺序排列 。相邻相邻0BCA00011110011324576第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 四变量卡诺图的画法相邻相邻不相邻正确认识卡诺图的“逻辑相邻”：上下相邻，左右相邻，并呈现“循环相邻”的特性，它类似于一个封闭的球面，如同展开了的世界地图一样。对角线上不相邻。CDAB00011110

44、000111100412815139111573261410第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 （1）从真值表画卡诺图例： 已知Y的真值表，画Y的卡诺图。Y的真值表 A B CY0 0 000 0 110 1 010 1 101 0 011 0 101 1 001 1 11第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 （2）从最小项表达式画卡诺图 例： 画函数Y(A、B、C、D)= m(0,3,5,7,9,12,15)的卡诺图。 第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 （3）从与或表达式画卡诺图1 111AB11例已知YABACDABCD，画卡诺图。最后将剩下的填01+1ACD

45、=1011ABCD=0111第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 （4）从一般表达式画卡诺图 先将表达式变换为与或表达式，则可画出卡诺图。 )15,14,13,12()(1mABCDDABCDCABDCABDDCCABABY)13, 9()(2mDCABDCBADCBBADCAY73mBCDAY第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 列出列出4.3.6 4.3.6 各种描述方法间的相互转换各种描述方法间的相互转换A B CY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100010111BCACBACABABCABCCABCBABCAY ABC01

46、00011110 1 11 1例：例：第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 CBA Y)( A B CY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100010111第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 BCACBABY &C1A1 1 1B&1 1 Y第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 CBCBBBAY BACBCBBBA &CB1A1 1 Y11&1 1 BAC例：例：第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 逻辑函数五种表示方法：真值表、逻辑表达式、逻辑图、波形图和卡诺图。这五种方法之间可以互相转换，真值表和卡诺图是逻辑函数

47、的最小项表示法，它们具有惟一性。而逻辑表达式和逻辑图都不是惟一的。使用这些方法时，应当根据具体情况选择最适合的一种方法表示所研究的逻辑函数。第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 4.4 4.4 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法 一一. .逻辑函数的最简表达式逻辑函数的最简表达式 一个逻辑函数确定以后，其真值表是唯一的，一个逻辑函数确定以后，其真值表是唯一的，但其函数式的表达形式却有多种。因为不管哪但其函数式的表达形式却有多种。因为不管哪种表达式，对同一个逻辑函数来说所表达的逻种表达式，对同一个逻辑函数来说所表达的逻辑功能是一致的，各种表达式是可以相互转换辑功能是一致的，各种表达式是

48、可以相互转换的。例如：的。例如：第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 CAABYCAABCABA )(CABA)()(CABA与与 -或表达式或表达式与非与非-与非表达式与非表达式(摩根定摩根定律律与或非表达式（利用反演与或非表达式（利用反演规则）规则）或与表达式或与表达式(将与或非用摩将与或非用摩根定律）根定律）或非或非表达式（将或与或非或非表达式（将或与用摩根定律）用摩根定律）最简与或式的定义：乘积项的个数最少，每个乘积项中相乘的变量个数也最少的与或表达式。其它最简式类似定义。第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 逻辑函数化简的方法：逻辑函数化简的方法： 公式法和卡诺图法。

49、公式法和卡诺图法。第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 4.4.2 公式化简法公式化简法 反复利用逻辑代数的基本公式、常用公式和运算规则进行化简，又称代数化简法。有并项法、吸收法、消去法有并项法、吸收法、消去法和配项法等和配项法等必须依赖于对公式和规则的熟练记忆和一定的经验、技巧。 第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 最常使用，特别需要熟练记忆！（1）代入规则在公式化简中大量应用！在公式化简中大量应用！需灵活掌需灵活掌握。握。（2）反演规则便于实现反函数。（3）对偶规则使公式的应用范围扩大一倍，使公式的记忆量减小一倍。 第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 例1. 化

50、简函数CBACBAY解： BACCBACBACBAY)(例2. 化简函数解： CBACBACBACBAY 1、并项法 运用AB+AB=A进行化简，将两项合并为一项，将两项合并为一项，并消去一个变量。并消去一个变量。AABBAY第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 2、吸收法 利用公式A+AB=A进行化简，消去多余项。 例3. 化简函数解： 例4. 化简函数解： )(FECDBABAYBAFECDBABAY)()(EFFEDABCDCDABYDCDABEFFEDABCDCDABY)(第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 例5. 化简函数解： 例6. 化简函数解： 3、消去法 利用

51、公式A+AB=AB进行化简，消去多余项。CBCAABYCABCABABCBAABCBCAABY)(FEFEABCDY)(FEABCDFEABCDFEFEABCDFEFEABCDY)()(第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 例7. 化简函数 4、配项法 在适当的项配上A+A=1进行化简。 BACBCBBAY解法1： CACBBABBCACBBABCACBACBACBACBBACCBACBAACBBABACBCBBAY)()()(第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 解法2： BACBCABACBBBCABACBCABCBACBACBABACBCBAACCBABACBCBBAY)

52、()()(问题：函数Y的结果不一样，哪一个解正确呢？ 答案都正确!最简结果的形式是一样的，都为三个与项，每个与项都为两个变量。表达式不唯一！第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 例8. 化简函数解： 5、添加项法 利用公式AB+AC+BC=ABAC，先添加一项BC，然后再利用BC进行化简，消去多余项。CACBBACABACBBACABACBCBBABACBCBBAYBACBCBBAY第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 下面举一个综合运用的例子。DEFGEFBACEFBDCAABDAADY解： EFBBDCADEFGEFBBDACEFCAABADEFGEFBACEFBDCAAB

53、DAADY)(第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 公式化简法评价：特点：目前尚无一套完整的方法，能否以最快的速度进行化简，与我们的经验和对公式掌握及运用的熟练程度有关。优点：变量个数不受限制。缺点：结果是否最简有时不易判断。 卡诺图法是与公式化简法优缺点正好互补的化简法。当变量个数超过4时，人工进行卡诺图化简较困难，但它是一套完整的方法，只要按照相应的方法就能以最快的速度得到最简结果。第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 例例9AB+AB=AB+AB求证：求证：证：证：AB+AB = AB AB=A + BA + BABABABAB即即同理同理ABABABAB第第4章章 数字

54、电路基础知识数字电路基础知识 Z = A + ABC(B + CD + E ) + BC= A + (A + BC)(B + CD + E ) + BC= (A + BC)(A + BC)(B + CD + E )= A + BC第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 ZBCBCABAB= BC(A + A) + BC + AB + AB(C + C )= ABC + ABC + BC + AB + ABC + ABC= ABC + ( ABC + AB ) + (BC + ABC) + ABC= AC(B + B) + AB + BC= AC + AB + BC第第4章章 数字电路基础

55、知识数字电路基础知识 4.4.3 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法 1. 1.化简的依据：化简的依据： 利用利用A+A+=1=1合并最小项，消去互非因子的过程。合并最小项，消去互非因子的过程。 2.2.最小项合并规律：最小项合并规律： 2 2n n个最小项合并可以消去个最小项合并可以消去n n个变量，合并结果个变量，合并结果为最小项中的公因子。为最小项中的公因子。利用卡诺图合并最小项有两种方法：利用卡诺图合并最小项有两种方法：圈圈0 0得到反函得到反函数，圈数，圈1 1得到原函数，通常采用圈得到原函数，通常采用圈1 1的方法。的方法。A第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识

56、两个最小项合并 m3m11BCD第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 四个最小项合并 第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 八个最小项合并第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 3.3.利用卡诺图化简逻辑函数利用卡诺图化简逻辑函数 A A基本步骤：基本步骤：画出相应变量的卡诺图画出相应变量的卡诺图; ;合并相邻最小项（画包围圈）；合并相邻最小项（画包围圈）；利用包围圈写出最简与或表达式；利用包围圈写出最简与或表达式；第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 B. 在画包围圈时必须注意：在画包围圈时必须注意： （1）必须按）必须按2、4、8、2N的规律来圈取值为的规律来

57、圈取值为1的相的相邻最小项；邻最小项；（2）包围圈越大越好；包围圈个数越少越好；）包围圈越大越好；包围圈个数越少越好；（3）同一个）同一个“1”方块可以被圈多次（方块可以被圈多次（A+A=A）；）；（4）每个包围圈要有新成分；）每个包围圈要有新成分；（5）画包围圈时，先圈大，后圈小；）画包围圈时，先圈大，后圈小；（6）不要遗漏任何）不要遗漏任何“1”方块。方块。第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 C从包围圈写最简与或表达式的方法： 将每个圈用一个与项表示圈内各最小项中互补的因子消去，相同的因子保留，相同取值为1用原变量，相同取值为0用反变量； 将各与项相或，便得到最简与或表达式。第第

58、4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 例例10:已知逻辑函数Y的真值表如表4.4.1所示，画出Y的卡诺图。 解解: 先画出A、B、C三变量的卡诺图，然后按每一小方块所代表的变量取值，将真值表相同变量取值时的对应函数值填入小方块中，即得函数Y的卡诺图，如图4.4.1所示。第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 表4.4.1 真值表 ABCY0000001101010111100010101100111101110010ABC0100111001 图4.4.1 例10的卡诺图 第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 例例11. 试画出函数试画出函数 Y(A，B，C，D)=m（0,1

59、,3,5,6,8,10,11,15）的）的卡诺图。卡诺图。 1110010100101011ABCD0100111000011110 图4.4.2 例11的卡诺图 第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 上面画的是函数上面画的是函数Y的卡诺图。若的卡诺图。若要画要画 的卡诺图，则要采取圈的卡诺图，则要采取圈“0”的的方法就可以得到原函数方法就可以得到原函数Y的反函数。的反函数。 常见最小项的合并方法：常见最小项的合并方法：Y注意注意：第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 11ABC0100111001(a)11ABC0100111001(b)11ABC0100111001(c)

60、2个最小项的合并个最小项的合并 2个最小项的合并个最小项的合并 11ABCD0100111000011110(e)11ABCD0100111000011110( f )11ABCD0100111000011110(d )第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 1111ABC0100111001(a)1111ABC0100111001(b)1111ABC0100111001(c) 4个最小项的合并个最小项的合并 第第4章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 4个最小项的合并个最小项的合并 1111ABCD0100111000011110(e)1111ABCD0100111000011110