第二节笛沙格定理

1、第二节笛沙格定理第1页，共13页。2 2 笛沙格定理笛沙格定理第2页，共13页。 笛沙格定理笛沙格定理 若两个三点形对应顶点的连线若两个三点形对应顶点的连线共点，则对应边的交点共线共点，则对应边的交点共线。第3页，共13页。 我们只就空间的情形加以证明。我们只就空间的情形加以证明。 证：证： 设三点形设三点形ABC 与与ABC，对应顶点连线，对应顶点连线 AA，BB，CC交于一点交于一点O。 对应边对应边AB与与AB交于交于X， BC与与BC交于交于Y，CA与与CA 交于点交于点Z 。 再设平面再设平面与平面与平面交于交于l，则以，则以O为中心的透视为中心的透视 对应的不变点都在对应的不变点都

2、在l上，且上，且l上的点都是不变点。上的点都是不变点。 根据中心投影保持结合性不变，可知根据中心投影保持结合性不变，可知X，Y，Z均均 为不变点，所以它们都在为不变点，所以它们都在l 上，即上，即X、Y、Z共线。共线。第4页，共13页。 笛沙格逆定理笛沙格逆定理 若两三点形对应边的交点共线，若两三点形对应边的交点共线，则对应顶点的连线交于一点。则对应顶点的连线交于一点。第5页，共13页。三、笛沙格定理的应用三、笛沙格定理的应用 例例1 D、E、F分别是分别是ABC的边的边BC，CA，AB上的上的点，且点，且AD，BE，CF是三角形的高，记是三角形的高，记BC与与EF的交点为的交点为X，CA与与

3、FD的交点为的交点为Y，AB与与DE的交点为的交点为Z，证明：，证明：X、Y、Z三点共线。三点共线。 证明：考察三点形证明：考察三点形ABC与与DEF。因为因为AD、BE、CF是三角形是三角形ANBC的高，的高，所以所以AD、BE、CF共点（三角形共点（三角形ABC的垂心）。的垂心）。 于是根据笛沙格定理知于是根据笛沙格定理知BC与与EF的交点为的交点为X，CA与与FD的交点的交点为为Y，AB与与DE的交点为的交点为Z，三点共线。，三点共线。第6页，共13页。 例例2 直线直线AB与与CD交于交于U，直线，直线AC与与BD交于交于V，直，直线线UV分别交分别交AD，BC于于F，G，直线，直线B

4、F与与AC交于交于L。求证：三直线求证：三直线LG，CF，AU交于一点。交于一点。 证明：证明： 考察三点形考察三点形LFA和和GCU， 因为因为 LF与与GC交于交于B, FA与与CU交于交于D, AL与与UG交于交于V, 而而B、D、V三点共线，所以根据笛沙格逆定理三点共线，所以根据笛沙格逆定理 知三直线知三直线 LG、CF、AU共点。共点。第7页，共13页。 小小 结结 笛沙格定理是用来解决与两个三点形有关的三点共线笛沙格定理是用来解决与两个三点形有关的三点共线或三线共点问题的，因此当共点（线）问题中涉及到两个或三线共点问题的，因此当共点（线）问题中涉及到两个三点形时我们会想到选用笛沙格

5、（逆）定理。三点形时我们会想到选用笛沙格（逆）定理。 应用笛沙格定理解题的关键是如何选择三角形。利用应用笛沙格定理解题的关键是如何选择三角形。利用点由二直线唯一确定和直线由两点唯一确定的原则点由二直线唯一确定和直线由两点唯一确定的原则, 用例用例2中介绍的在由点组成的三点形或由直线组成的三线形的搭中介绍的在由点组成的三点形或由直线组成的三线形的搭配中筛选所需的三点（线）形是一个可供参考的方法。配中筛选所需的三点（线）形是一个可供参考的方法。 第8页，共13页。1. 通过排列找对应三角形。如本例通过排列找对应三角形。如本例AFCLGLGUFCLGLG第9页，共13页。2. 在寻找三角形时，问题中

6、已有的在寻找三角形时，问题中已有的点线优先考虑，其次才考虑辅助线等。点线优先考虑，其次才考虑辅助线等。3. 在定理使用过程中，三点共线与在定理使用过程中，三点共线与三线共点问题往往三线共点问题往往 可互相转化。可互相转化。4. 当共点共线问题涉及到三角形时当共点共线问题涉及到三角形时,往往会想到笛沙格定理。往往会想到笛沙格定理。第10页，共13页。第11页，共13页。 例例3 已知两条平行直线已知两条平行直线a与与b以及不在此二直线上的以及不在此二直线上的一点一点M，试用一条没有刻度的直尺过，试用一条没有刻度的直尺过M作一条平行于作一条平行于a的的直线。直线。 （1957，北京），北京） 作法

7、作法： 任作一条与任作一条与a、b都相交的直线都相交的直线c；过过M任作一直线任作一直线MX交交c于于X，交，交b 于于L；过过L任作一直线任作一直线LN交交a于于N，交，交c于于Z；连连MN交交c于于Y；过过Y任作一直线交任作一直线交a于于Q；连连QZ交交b于于P；连连PX交交YQ于于R；连连MR，则直线，则直线MR即为所求。即为所求。（证明略）（证明略）第12页，共13页。 例例 设四边形设四边形ABCD的对边的对边AB与与CD交于交于E，AD与与BC交于交于F，AC与与BD交于交于G，连，连EG分别交分别交AD、BC于于M、L，连，连FG分别交分别交AB、CD于于K、N，AC交交EF于于H。证明：。证明： （1）K、H、L三点共线；三点共线