第四章梁的内力1

1、5-1 5-1 工程实际中的弯曲问题工程实际中的弯曲问题5-2 5-2 梁的荷载和支座反力梁的荷载和支座反力5-3 5-3 梁的剪力、弯矩和剪力图、弯矩图梁的剪力、弯矩和剪力图、弯矩图 5-4 5-4 弯矩、剪力和载荷集度之间的关系弯矩、剪力和载荷集度之间的关系第第五五章章 梁的内力梁的内力5-1 5-1 工程实际中的弯曲问题工程实际中的弯曲问题FF弯曲特点：弯曲特点：杆件受到垂直杆件受到垂直于杆轴线方向的外力（或于杆轴线方向的外力（或在杆轴平面内的外力偶）在杆轴平面内的外力偶）作用时，杆的轴线由直作用时，杆的轴线由直线弯成曲线。线弯成曲线。qFFFF梁梁以弯曲为主要变形的杆件。以弯曲为主要变

2、形的杆件。工程上常见梁，其截面多有对称轴。如圆形矩形、工程上常见梁，其截面多有对称轴。如圆形矩形、T型、工字形型、工字形轴线轴线纵向对称面纵向对称面FqM弯曲后梁的轴线弯曲后梁的轴线（挠曲线）（挠曲线）对称轴对称轴平面弯曲特点：平面弯曲特点：外载荷垂直轴线且作用于纵向对称外载荷垂直轴线且作用于纵向对称面内。梁变形后的轴线成为纵向对称面内的曲线。面内。梁变形后的轴线成为纵向对称面内的曲线。1 1、约束简化、约束简化v固定铰支座固定铰支座 pin supportFAxFAyv活动铰支座活动铰支座 roller supportFAAAFAxFAyAFAA5-2 5-2 梁的荷载和支座反力梁的荷载和支

3、座反力v固定端固定端fixed supportFAxFAyMAA2、常见静定梁形式、常见静定梁形式v简支梁简支梁Simple beamv悬臂梁悬臂梁Cantilever beamv外伸梁外伸梁Beam with an overhang v组合梁组合梁Compound beam 5-3 5-3 梁的梁的剪力、弯矩和剪力图、弯矩图剪力、弯矩和剪力图、弯矩图一、一、剪力和弯矩剪力和弯矩Fablmmxv剪力和弯矩的确定剪力和弯矩的确定ABFAFB,Fy0 ,Mc0 lFaFB lFbFA FAFsMFsM截面法截面法设正法设正法lFbFFAs xlFbxFMA FBF,Fy0 lFbFFFBs ,Mc

4、0 xlFbxaFxlFMB v剪力和弯矩的剪力和弯矩的正负规定正负规定FSFSFSFSMMMMFs： 剪力对脱离体内任一点取矩，产生顺时针力剪力对脱离体内任一点取矩，产生顺时针力矩的为正，反之为负。矩的为正，反之为负。（左上、右下为正）（左上、右下为正）M：使脱离体下侧受拉、上侧受压为正，反之为使脱离体下侧受拉、上侧受压为正，反之为负。负。（左顺、右逆为正）（左顺、右逆为正）FFs 1FaM 1FFFFs232 FaM 2例题例题5-15-1：求图示梁指定截面的内力。求图示梁指定截面的内力。解：解： 由平衡条件得由平衡条件得Faaa3FaAB11223344FAFBFFA3 FFB2 FFs

5、1M13FFs2M23FFs3M3,Fy0 ,Mc0 ,Fy0 ,Mc0 FFFFs233 FaFaFaM 233,Fy0 ,Mc0 FF Mi截面一侧的外力矩，左顺、右截面一侧的外力矩，左顺、右逆为正，反之负。逆为正，反之负。 Fi截面一侧的外力，左上、右下为截面一侧的外力，左上、右下为正，反之负。正，反之负。 FFs24 FaM24 Faaa3FaAB11223344FAFB,Fy0 ,Mc0 Fs4M42F3FFs3M3FFFFs233 FaFaFaM 233,Fy0 ,Mc0 总结：总结：,FFis ,MMi 集中力偶作用截面两侧，弯矩发生突变，突变值集中力偶作用截面两侧，弯矩发生突变

6、，突变值的大小等于该截面集中力偶的大小。的大小等于该截面集中力偶的大小。集中力作用截面两侧，剪力发生突变，突变值的集中力作用截面两侧，剪力发生突变，突变值的大小等于该截面集中力的大小。大小等于该截面集中力的大小。FFs24 FaM24 Faaa3FaAB11223344FAFBFFs23 FaM 3FFs 1FaM 1FFs22 FaM 2复习：复习：求图示外伸梁中求图示外伸梁中1 11 1、2 22 2、3 33 3、4 44 4和和5 55 5各截面上的内力。各截面上的内力。3121234455kNFA13kNFB5m3m3m2kN6AmkNq2CBmkN 6二二、剪力方程和弯矩方程剪力方

7、程和弯矩方程 剪力图和弯矩剪力图和弯矩图图FqMx)x(FFss )x(MM 剪力方程剪力方程 弯矩方程弯矩方程 内力方程内力方程 通常情况下，梁横截面上的内力会随截面的位置而变化。通常情况下，梁横截面上的内力会随截面的位置而变化。内力方程：内力方程：反映梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置反映梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数式。变化的函数式。内力图：内力图：显示剪力和弯矩随截面位置的变化规律的图形，显示剪力和弯矩随截面位置的变化规律的图形，分别称为分别称为剪力图剪力图和和弯矩图弯矩图。控制面的概念：控制面的概念：外力规律发生变化的截面外力规律发生变化的截面集中集中力、集中力偶作用点

8、、分布载荷的起点和终点力、集中力偶作用点、分布载荷的起点和终点处处的横截面。的横截面。依据控制截面依据控制截面分段分段列出梁列出梁的剪力方程和弯矩方程之的剪力方程和弯矩方程之后，即可作内力图。后，即可作内力图。FqM画内力图要求：画内力图要求：受力图与剪力图、弯矩图对齐。受力图与剪力图、弯矩图对齐。正剪力画在横轴上侧，正弯矩画在正剪力画在横轴上侧，正弯矩画在横轴下侧横轴下侧。必须标明各个控制截面和极值点上的内力值。必须标明各个控制截面和极值点上的内力值。例题例题5-25-2：简支梁受力如图，试列出梁的剪力方程和弯简支梁受力如图，试列出梁的剪力方程和弯矩方程作梁的剪力图和弯矩图。矩方程作梁的剪力

9、图和弯矩图。解：解： 1 1、约束反力、约束反力lFbFA lFaFB BFabAlCFAFB2 2、列内力方程、列内力方程lFb)x(Fs xlFb)x(M )xl (lFa)x(M ACAC段：段： CBCB段：段： x ax 0 ax 0 lxa lxa x( )SFaF xl 3 3、定点、作内力图、定点、作内力图Fs图图M图图lFalFblFabBFabAlCFAFBlFb)x(Fs xlFb)x(M )xl (lFa)x(M ACAC段：段： CBCB段：段： ax 0 ax 0 lxa lxa ( )SFaF xl 思考：思考：a=ba=b时，内力图有时，内力图有什么特点呢？什么

10、特点呢？例题例题5-35-3：图示简支梁在：图示简支梁在C C点受矩为点受矩为MMe e 的集中力偶作用。试的集中力偶作用。试作梁的剪力图和弯矩图。作梁的剪力图和弯矩图。解解: : 1 1、求支反力、求支反力 lMFAe lMFBeAMe BablCFAFB2 2、列内力方程、列内力方程剪力方程：剪力方程： lxlMFxFA0eS弯矩方程：弯矩方程：AC段：段：CB段：段： xlMxMe xllMxMelxaax 0剪力方程：剪力方程： lxlMFxFA0eS3 3、定点、作内力图、定点、作内力图AMe BablCFslMe 思考：思考：a=ba=b时，内力图有时，内力图有什么特点呢？什么特点

11、呢？MlbMelaMe例例 图示简支梁受集度为图示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的剪力图的满布荷载作用。试作梁的剪力图 和弯矩图。和弯矩图。解：解：1 1、求支反力、求支反力2qlFFBA2 2、列剪力方程和弯矩方程、列剪力方程和弯矩方程 qxqlqxFxFA2S 2222qxqlxxqxxFxMAxFBFAFAM(x)FS(x)xAqBlAqql 2FS ql28l/2M 3 3、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图2max,SqlF82maxqlM 222qxqlxxM qxqlxF2SBlAq* 载荷对称、结构对称则剪力图反对称，弯矩图对称* 剪力为零的截面弯矩有极值。BqaaAC

12、qaa例题例题5-45-4：外伸梁受力如图所示，试列出梁的剪力方程外伸梁受力如图所示，试列出梁的剪力方程和弯矩方程，作出梁的剪力图和弯矩图。和弯矩方程，作出梁的剪力图和弯矩图。解：解：1 1、约束反力、约束反力25qaFB 2qaFC 2 2、列内力方程、列内力方程qa)x(Fs 111qax)x(M 2253)(22222qxqaxqaxMABAB段：段： CBCB段：段： x1 ax 10 ax 102225)(qxqaxFaxa32axa32x2FBFC3 3、定点、作内力图、定点、作内力图qa2qaBqaaACqaaFBFC23qa2qa82qaa/2025)(22qaqxdxxdMq

13、a)x(Fs 111qax)x(M 2253)(22222qxqaxqaxMABAB段：段： CBCB段：段： ax 10 ax 102225)(qxqaxFaxa32axa32解解：1、支反力2、写出内力方程),(2)(:1kNFxFACAYs1kN/m2kNABC D1m1m2mx1x3x2FAYFBY)( 2);( 20432121, 00212, 0kNFkNFFMFFYBYAYAYBBYAY 例例 画出梁的内力图。),.(2)(111mkNxxFxMAY, 0222)(:2AYsFxFCD,21)(:333xxFxFBCBYs),.(2) 1(2)(222mkNxxFxMAY,222

14、1)(2333333xxxxxFxMBY3、根据方程画内力图1kN/m2kNABC DFAYFBYxFs(x)x2kN2kN)20(22)()20(2)(:)21 (2)()21 (0)(:) 10(2)() 10(, 2)(:32333333222211111xxxxMxxxFBCxxMxxFCDxxxMxxFACsss，2kN.m2kN.mM(x)思考：思考：作图示梁的内力图，如果用内力方程作图，作图示梁的内力图，如果用内力方程作图，需要列多少个方程呢？需要列多少个方程呢？kN160ACDBEmkN40kN40mkN 80Fm1m2m4m2m15-45-4弯矩、剪力及载荷集度间的关系弯矩、

15、剪力及载荷集度间的关系一、一、弯矩、剪力及载荷集度间的微分关系弯矩、剪力及载荷集度间的微分关系0)()()(21)()(2xdMxMdxxqdxxFxMs0 yF0)()()()(xdFxFdxxqxFsss0 cMFs(x)Fs (x)+dFs(x)M(x)M(x)+dM(x)dxq(x)c取微段取微段dxdx研究，根据平衡条件研究，根据平衡条件)()(xqdxxdFs)()(xFdxxdMs)()(22xqdxxMdFq(x)Mxdx微分微分式中的正负号与坐标式中的正负号与坐标x x的方向及载荷集度的方向及载荷集度q q的方的方向有关向有关，通常规定载荷集度，通常规定载荷集度q(xq(x)

16、 )以向上为正。以向上为正。)()(xqdxxdFs)()(xFdxxdMs)()(22xqdxxMd几何意义几何意义 1 1、剪力图某点的切线斜率，等于相应截面处的载荷剪力图某点的切线斜率，等于相应截面处的载荷集度集度； 2 2、弯矩图某点的切线斜率，等于相应截面处的剪、弯矩图某点的切线斜率，等于相应截面处的剪力；力； 3 3、弯矩图的凹凸向取决于该段梁上的载荷集度、弯矩图的凹凸向取决于该段梁上的载荷集度q q的的方向。方向。二、二、弯矩、剪力及载荷集度间的积分关系弯矩、剪力及载荷集度间的积分关系qdxdFs sFdxdM BABAsqdxdF BAAsBsqdxFF BAsBAdxFdM

17、BAsABdxFMM载荷图面积载荷图面积剪力图面积剪力图面积作内力图方法：微分定形、积分定量作内力图方法：微分定形、积分定量FqMxdxAB集中力集中力偶作用偶作用截面截面集中力集中力作用截作用截面面剪力为零的截面剪力为零的截面可能的可能的最大弯最大弯矩截面矩截面弯矩图弯矩图特征特征 剪力图剪力图特征特征 载荷载荷情况情况 三三、利用微、利用微积积分关系作剪力图、弯矩图分关系作剪力图、弯矩图FCMCq0FsxMxq0q=0FsxFsxMxMxFFFss 左左右右左左右右ssFF MMM 左左右右FsxMxMx左左右右MM Fsxororor画内力图的步骤：画内力图的步骤：、根据平衡方程求约束反

18、力；、根据平衡方程求约束反力；、找出杆件的控制面，确定控制面上的内力；、找出杆件的控制面，确定控制面上的内力；、利用微分关系确定控制面间内力图的形状，、利用微分关系确定控制面间内力图的形状，作内力图。作内力图。例题例题5-55-5：简支梁受力如图所示，试画出梁的剪力图和简支梁受力如图所示，试画出梁的剪力图和弯矩图。弯矩图。10kN/m2m20kNm20kN1m1mABDC FA251.5m11.25 103025FD解：解：1 1、约束反力、约束反力kNFA15 kNFD25由平衡条件得由平衡条件得2 2、控制面上的内力、控制面上的内力 控制面如图所示控制面如图所示3 3、内力图、内力图xFs

19、/kNxM/kNm1555 0yF 0AM校核校核 0DM上斜上斜直线直线025上斜上斜直线直线2530凹的凹的曲线曲线100水平水平线线-25-25水平水平线线-5-5下斜下斜直线直线-515CD段段D左左C右右BC段段C左左B右右AB 段段B左左A右右弯矩弯矩（kNm）剪力剪力（kN）截面截面位置位置弯矩弯矩极值极值11.2510kN/m2m20kNm20kN1m1mABDC FAFD例题例题5-65-6：组合梁受力如图所示，试画出梁的剪力图和组合梁受力如图所示，试画出梁的剪力图和弯矩图。弯矩图。解：解：1 1、约束反力、约束反力qaFA23 取取BDBD为研究对象为研究对象qa/2BDCFCFB 0BMqaFC 取取ABAB为研究对象为研究对象 0yF2qaMRA 0AM 0yFFBqABF