高中数学-综合测试题-新人教A版必修5

1、必修5综合测试时间：120分钟总分值：150分一、选择题本大题共12小题，每题5分，共60分在每题给出的四个选项中，只有 一项为哪一项符合题目要求的1设a<b<0，那么以下不等式一定成立的是A. a2<ab<b2B. b2<ab<a2C. a2<b2<abD. ab<b2<a2答案 B2. 关于数列3,9，2187,，以下结论正确的选项是A. 此数列不是等差数列，也不是等比数列B. 此数列可能是等差数列，也可能是等比数列C. 此数列可能是等差数列，但不是等比数列D. 此数列不是等差数列，但可能是等比数列解析记 a1 = 3, 32 =

2、 9，an= 2 187，假设该数列为等差数列，那么公差d = 9-3 = 6,an= 3+ n 1 x 6= 2 187，二 n= 365. an可为等差数列.9假设an为等比数列，那么公比 q= 3 = 3.3n 17an= 3 3 = 2 187 = 3 , n = 7. an也可能为等比数列.答案 B3. 在 ABC中，假设 sin2A+ sin 2B= 2sin 2C,那么角 C 为A.钝角B.直角C.锐角D. 60°解析 由 sin 2A+ sin %= 2sin 七 得 a + b = 2c1即 a2+ b2 c2= c2>0, cosC>0.答案 Ca a

3、w b4.定义新运算a*b =52?例如1)ba>b,A.(8,+ )B.(8,1)C.(1 , +m )D.(8,1) U (1 ,2 2x <2 x 1,x >2x- 1,解析 2或解得x<1.x <1,2x1<1.答案 B5在以下函数中，最小值等于2的函数是()1A. y = x + -x1 nB. y = cosx+0<x<cosx22小x + 3c. y = ,2 a/x"T2D. y = e + 4e 2x 解析 A中当x<0时不成立，B C中y取不到2，因此 A B、C均错，D正确.y = e+ 4e x 2>

4、 2 ex 4ex 2 = 2,4当且仅当ex=r，即当ex= 2, x= ln2时，取等号.e答案 D6.不等式y< 3x+ b所表示的区域恰好使点3,4不在此区域内，而点4,4在此区域内，贝U b的范围是A. 8< b< 5B. b< 8 或 b> 5C. 8< b< 5D. b< 8 或 b> 5解析/4>3X3+ b,且 4<3X4+ b,. 8< b< 5.答案 C2nu n<4,n n< 2,7.实数m, n满足不等式组n< 3,rr 0,6mn= 0的两根之和的最大值和最小值分别是A.

5、 7, 4C. 4, 7解析两根之和z= 3m+ 2n,画出可行域，当2 时，Zmin = 4.&a, b, c成等比数列，a, x, b成等差数列,那么关于x的方程x2 (3 m 2n) x +)B. 8, 8D. 6, 6m= 1, n= 2 时，Zmax= 7 ；当 m= 0, n= a cb, y, c成等差数列，那么-+-的值x y答案 A1A.41B.2C. 2D. 1等于)解析 用特殊值法，令 a= b= c.答案 C9.制作一个面积为1 mf,形状为直角三角形的铁架框，有以下四种长度的铁管供选择,较经济的够用、又耗材最少是)A. 4.6 mB. 4.8 mC. 5 mD

6、. 5.2 m解析设三角形两直角边长为am, bm,那么 ab= 2,周长 C= a+ b+ a + b >2 ab+ 2ab=2 ：2 + 24.828m.答案 C>a1a2n +1 =10.设an是正数等差数列，bn是正数等比数列，且ai= bl, a2n + 1= b2n+ 1,那么A.an+ 1>bn + 1B.an+ 1 > bn+ 1C. an+ 1<bn + 1D. an+ 1 = bn+ 1解析=bn+ 1.a1+ a2n+1an+ 1 =答案 B11. 下表给出一个"直角三角形数阵：12,4' 8' 16满足每一列成等差

7、数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等, 记第i行第j列的数为aij i > j , i , j N*，那么a83等于1B.1D. 11A.11C.111238解析 第1列为4, 2 = 4, 4，所以第8行第1个数为4，又每一行都成等比数列且1 8 111公比为夕所以as3= 4x 2* 2=勺答案 C那么z = 2x+ y的最大值为y+ x K 0,12. 变量x, y满足约束条件 y 3x K 0,y x+1> 0,A. 4B. 2C. 1D. 4解析 先作出约束条件满足的平面区域，如下列图.由图可知，当直线 y + 2x= 0，经过点1,0时，z有最大值

8、，此时 z= 2X 1+ 0= 2.答案 B二、填空题本大题共4小题，每题5分共20分把答案填在题中横线上13. 在 ABC中, B= 45°, C= 60°, c= 1,那么最短边的边长等于 .解析 B= 45°, C= 60°,. A= 180° B C= 75最短边为b.由正弦定理，得csin B 1 x sin45sin C sin60 °14. 锐角 ABC中，假设B= 2A那么£的取值范围是 解析 ABC为锐角三角形，0<B= 2A<n2,n0<n A B<y,n n、 b-A*(6，Ra

9、sin B sin A答案(.2 15. 数列an满足ai= 3,an+1 2an= 0，数列bn的通项公式满足关系式 an bn= ( -1)n(n N)，贝y bn= .解析 T ai= 3, a+i = 2an,数列an为等比数列, 且公比q= 2. an = 321nnn 132又 an bn = ( 1) . bn = ( 1)an答案16. 当x (1,2)时，不等式x2+ mx+ 4<0恒成立，那么实数 m的取值范围是 .2 . .解析 令f(x) = x + m>+ 4，贝y f(x)的图象是开口向上的抛物线，要当x (1,2)时,解得m< 5.f 1= 1

10、+ m+ 4< 0,f(x)<0恒成立，只要f 2= 4 + 2m+ 4 < 0,答案m< 5三、解答题(本大题共6个小题，共70分.解容许写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)3 2217. (10 分)全集 U= R, A= x| + x + 1>0 , B= x|3x2 4x+ 1>0，求？u(AQ B).B=2A= x|3 x 4x 4<0=1 x| x<3,或 x>1 .2x| 3<x<2 ,An B= x| 2<x<3，或 1<x<2 ,332 1?u( An E) = x|xw 3，或 x

11、 w 1,或 x > 2.18. (12分)在厶ABC中，内角 A, B, C的对边分别为 a, b, c,且bsinA=. 3acosB(1)求角B的大小；假设 b= 3, sin C= 2sin A,求 a, c 的值.(1)由bsin A= . 3acos B及正弦定理asin A光,得sinB=3cosB,所以 tan B=3,n所以B= -3.a c由sin c=沏a及而=需乙得c=2a. 2 2 2 2 2由 b = 3 及余弦定理 b = a + c 2accosB,得 9 = a + c ac.所以 a= :3, c= 2 319. (12 分)函数 f(x) = ax

12、bx+ 1. 是否存在实数a, b使不等式f(x)>0的解集是x|3<x<4，假设存在，求实数 a, b 的值，假设不存在，请说明理由；(2)假设a为整数，b= a+ 2,且函数f (x)在(2, 1)上恰有一个零点，求 a的值.解 (1) T不等式ax2 bx+1>0的解集是x|3< x<4,方程ax2 bx+ 1 = 0的两根是3和4,1-=3X 4= 12,a17 b解得 a= 12，b=乜.-=3 + 4 = 7.a1c 而当a= 12>°时，不等式ax2 bx+1>0的解集不可能是x|3< x<4,故不存在实数 a

13、, b 使不等式f (x)>0的解集是x|3< x<4.2(2) v b= a+ 2, f (x) = ax (a+ 2)x + 1.2 2/ A = (a+ 2) 4a= a + 4>0,函数f (x) = ax bx + 1必有两个零点.又函数f (x)在(2, 1)上恰有一个零点， f( 2) f ( 1)<0 , (6a+ 5)(2 a+ 3)<0 ,3 5解得-<a<. v a z,. a= 1.2620. (12分)配制两种药剂，需要甲、乙两种原料.配A种药需要甲料3毫克，乙 料5毫克；配B种药需要甲料5毫克、乙料4毫克.今有甲料20

14、毫克，乙料25毫克，假设 A, B两种药至少各配一剂，问 A B两种药最多能各配几剂？x> 1,y> 1,解 设A B两种药分别能配x, y剂，x, y N,那么作出可行域，3x + 5yw 20,5x + 4y< 25,图中阴影局部的整点有 (1,1) , (1,2) , (1,3) , (2,1) , (2,2) , (3,1) , (3,2) , (4,1).VJ亠+5尸20 、-o <5x+4v=25ar所以，在保证 a B两种药至少各配一剂的条件下，A种药最多配4齐山B种药最多配3剂.、亠, 一 a+ bsin B21. (12 分)在厶 ABC中，=，且 c

15、os(A B) + cosC= 1 cos2C.a sin B- sin A试确定 ABC的形状;a+ c求的范围.sin Bsin B sin A，a+ b b22得=，即b2 a2= ab,a b a又 cos( A B) + cos C= 1 cos2 C,所以 cos( A B) cos( A+ B) = 2sin Csin A sin B= sin 2C,那么 ab= c2.2 2 2 2 2 2由知b a = c,即卩b = a + c .所以 ABC为直角三角形.a+ c(2)在厶 ABC中, a+ c>b，即->1.口 a+ ca2+ c2+ 2ac2 a2 + c22b2.“ a+ c*又厂='b2w ； /b2=b2 = '2,故的取值范围为 (1 ,'2.22. (12分)设佝是公差不为零的等差数列，S为其前n项和，满足a2+ a2= a4+ a5,S= 7.(1) 求数列an的通项公式及前n项和S;amam+1(2) 试求所有的正整数 m使得为数列an中的项.am+ 2解(1)由题意，设等差数列an的通项公式为an= a1+ ( n 1) d, (d0). 由 a2+ a2= a2 + a2，知 2a1 + 5d= 0.又因为S7= 7,所以a1 + 3d= 1.由可得ai = 5, d= 2.n ai + a“2所