高中数学《基本初等函数》错误解题分析

1、2.3?根本初等函数?错误解题分析、知识导学1、二次函数的概念、图像和性质。(1)注意解题中灵活运用二次函数的一般式2f(x) ax bx c (a 0)二次函数的顶点式f(x)a(xm)2n(a 0)和二次函数的坐标式f(x)a(xxj(xx2) (a 0)(2)解二次函数的问题(如单调性、最值、值域、二次三项式的恒正恒负、二次方程根的范围等)要充分 利用好两种方法：配方、图像，很多二次函数都用数形结合的思想去解。2 2 f(x) ax bx c (a 0)，当 b 4ac 0时图像与x轴有两个交点。M(xi,0)N(X2,0),|MN|=|x 1-X2F。|a| 二次函数在闭区间上必有最大

2、值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数的顶点处取得。2、指数函数y ax (a 0,a 1)和对数函数y loga x (a 0,a 1)的概念和性质。(1)有理指数幕的意义、幕的运算法那么：mna am nm、nmnna :(a ) a ；(ab)anbn (这时m,n是有理数)对数的概念及其运算性质、换底公式。lOga(MN) loga Mloga N;.MlogaNlogaM logaNlOgaM nnloga M ;log a n. Mloga nM ；.logcb logablogc a(2)指数函数的图像、单调性与特殊点。对数函数的图像、单调性与特殊点。 指数函数图像永远在 x轴

3、上方，当a > 1时，图像越接近y轴，底数a越大；当0<a<1时，图像越接近y 轴，底数a越小。 对数函数的符号常受到底数和真数的范围的制约，注意对底数a的讨论。 当a>1时，图像越接近x轴，底数a越大；当0<a<1时，图像越接近x轴，底数a越小。3、幕函数y x的概念、图像和性质。结合函数y=x,y=x2 ,y=x 3,y= y x 1,y x 2,y= x2的图像，了解它们的变化情况。 > 0时，图像都过0,0 、 1,1 点，在区间0, +8上是增函数；注意 > 1与0< v 1的图像与性质的区别。 v 0时，图像都过1,1 点，在区

4、间0, +8上是减函数；在第一象限内，图像向上无限接近y轴，向右无限接近x轴。 当x>1时，指数大的图像在上方。二、疑难知识导析1、 二次函数在区间上最值的求解要注意利用二次函数在该区间上的图像。二次函数的对称轴与区间的位置通常有三种情况：1定义域区间在对称轴的右侧；2 定义域区间在对称轴的左侧；3对称轴的位置在定义域区间内2、 幕的运算性质、对数的运算性质的运用，要注意公式正确使用。会用语言准确表达这些运算性质防止出现以下错误：1式子= a ,2loga M N loga M loga N；logaM N loga M loga N3、利用指数函数的性质解题，一定要注意底数的取值。4、

5、 函数y afx的研究方法一般是先研究fx的性质，再由a的情况讨论y afx的性质。5、对数函数yloga x (a 0,a 1)与指数函数y ax a 0,a1互为反函数，会将指数式与对数式相互转化。6、幕函数yx:的性质，要注意的取值变化对函数性质的影响。奇偶奇(1)当奇时，幕函数是奇函数；2 当时，幂函数是偶函数；3 奇当时，定义域偶不关于原点对称，幕函数为非奇非偶函数。三、经典例题导讲例 1 log18 9a,18b 5,求 log36 45【错解】 18b 5, .|og185 blog18 45log18 5 log18 9 b alog 36 45log18 36log18 4

6、logglogA a【错因】因对性质不熟而导致题目没解完。【正解】 18b5, log" b叽45=log!8 36logis5 logglogi8 4 logi8 9b alogi8 a92logi8第a例2分析方程f(x)2ax bx c 0 (a 0 )的两个根都大于 1的充要条件。【错解】由于方程f (x) ax2 bx c 0 ( a 0)对应的二次函数为2f (x) ax bx c的图像与x轴交点的横坐标都大于1即可。f(1) 0f (1) 0故需满足b，所以充要条件是b1 1 2a2a【错因】上述解法中，只考虑到二次函数与x轴交点坐标要大于 1，却无视了最根本的的前题条

7、件，应让二次函数图像与x轴有交点才行，即满足0,故上述解法得到的不是充要条件，而是必要不充分条件。f (1) 0【正解】充要条件是12a2b 4ac 0例3求函数y 36x 12 6x 5的单调区间。【错解】令 6x t，那么 y 36x 12 6x 5 = t212 t 5当t > 6,即x > 1时，y为关于t的增函数，当t w 6,即x w 1时，y为关于t的减函数函数y 36x 12 6x 5的单调递减区间是(，6，单调递增区间为6,)【错因】此题为复合函数，该解法未考虑中间变量的取值范围。【正解】令 6x t，那么 t 6x为增函数，y 36x 12 6x 5 = t2

8、12 t 5 = (t 6)2 41当t > 6,即x> 1时，y为关于t的增函数，当t W 6,即x W 1时，y为关于t的减函数函数y 36x 12 6x 5的单调递减区间是(，1，单调递增区间为1,)例4y loga(2 ax)在0,1上是x的减函数，贝y a的取值范围是 【错解】 y loga(2 ax)是由y log a u , u 2 ax复合而成，又a >0二u 2 ax在0 , 1上是x的减函数，由复合函数关系知y log a u应为增函数， a > 1【错因】解题中虽然考虑了对数函数与一次函数复合关系，却无视了数定义域的限制，单调区间应是定义域的某个子

9、区间，即函数应在0,1上有意义。【正解】 y loga(2 ax)是由y logau , u 2 ax复合而成，又a >0- u 2 ax在0 , 1上是x的减函数，由复合函数关系知y loga u应为增函数， a > 1又由于x在0 , 1上时y log a (2 ax)有意义，u 2 ax又是减函数， x = 1时，u 2 ax取最小值是umin2 a > 0即可， a v 2综上可知所求的取值范围是1v a v 2例 5函数 f (x) log a (3 ax)。(1) 当x 0,2时f (x)恒有意义，求实数 a的取值范围。(2) 是否存在这样的实数 a使得函数f(x

10、)在区间1 , 2上为减函数，并且最大值为 1,如果存在，试求 出a的值；如果不存在，请说明理由。【分析】函数f(x)为复合函数，且含参数，要结合对数函数的性质具体分析找到正确的解题思路，是否 存在性问题，分析时一般先假设存在后再证明。【解】(1 )由假设，3 ax > 0，对一切x 0,2恒成立，a 0,a 13显然，函数g(x)=3 ax在0 , 2上为减函数，从而 g(2) = 3 2a > 0得到a v -23 a的取值范围是(0, 1)u( 1,2 假设存在这样的实数 a，由题设知f(1)1，即f(1) loga(3 a) = 133 a = 此时 f (x) loga

11、(3 x)2 2当x 2时，f (x)没有意义，故这样的实数不存在。【点评】此题为探索性问题，应用函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题一般的处理方法是先 假设存在，结合条件进行推理和等价转化，假设推出矛盾，说明假设不成立。即不存在，反之没有矛盾,那么问题解决。例6函数f(x)= lgx x124a2 "- a a 1其中a为常数，假设当x( g, 1 时，f(x)有意义，求实数 a的取值范围。【分析】参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于a的不等式(组)非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把 a别离出来，重新认识 a与其它变元(x)的依存关系，利用新的函数

12、关系， 常可使原问题“柳暗花明。解： 2a>0,且 a2 a+仁(a丄)2+3>0,24x : 1+2 +4-a>0,当 x ( g , 1时,1 1 )(亍尹11y= 一 与y= 都是减函数，4x2xma)=1 1y= (rr)在(g , 1上是增函数，423 3a>,故a的取值范围是(，+ g)4 4【点评】开掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系、反客为主，主客换位，创设新的 函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现。此题主客换位后，利用1 1新建函数y=(飞-)的单调性转换为函数最值巧妙地求出了实数a的取值范围。此法也

13、叫主元法。421 1例7假设(a 1) 3(32a)3，试求a的取值范围。1解：幕函数 y x 3有两个单调区间，根据a 1和3 2a的正、负情况，有以下关系a10a10a10 -32a0 .32a0.32a0a13 2aa13 2a2 3解三个不等式组：得v a v，无解，a v 13 22 3 a的取值范围是(g,1)u( z ,-)3 21【点评】幕函数y x 3有两个单调区间，在此题中相当重要，不少学生可能在解题中误认为a13 2a，从而导致解题错误。例8 a>0 且1 ,f (loga x )=a2(x -)a1x(1)求 f(x)；判断f(x)的奇偶性与单调性；对于 f(x),当 x ( 1 , 1)时，有f( 1m ) +f (1 m2 ) < 0 ,求 m的集合 M。【分析】先用换元法求出f(x)的表达式；再利用有关函数的性质判断其奇偶性和单调性；然后利用以上结 论解第三问。解：(1)令 t=log ax(t R),那么xat, f (t)身(ata t), f (x)； (ax a x),(xR).a21a21(2) f( x)(a x ax) f(x),且x R, f(x)为奇函数当a 1 时，字0,a 1a