高中数学不等式知识点

1、不等式知识点归纳：一、不等式的概念与性质1、实数的大小顺序与运算性质之间的关系：a b a b 0 a b a b 0 a b a b 02、不等式的性质:1abb aa bb a反对称性2ab, bca c；，ab, b ca c 传递性3aba cbc，故ab ca c b 移项法那么推论:ab,cdac b d同向不等式相加4ab, c0acbc， ab,c 0ac bc推论1：a b0,cd0 acbd推论2：a b0n abn推论3：a b0n an b不等式的性质是解、证不等式的根底，对于这些性质，关键是正确理解和熟 练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强

2、。3、常用的根本不等式和重要的不等式1aR,a20, a 0当且仅当a 0,取“2a,bR,那么 a2 b22ab3a,bR，那么 a b2 ab4a；b2a2b2两个正数的均值不等式：al . ab 三个正数的均值不等是：a b C 3 abc3n个正数的均值不等式： 彳一a2an n a-ia2 ann6 四种均值的关系：两个正数a、b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、 均方根之间的关系是aba b a2 b22 2小结：在不等式的性质中，要特别注意下面 4点：1 、不等式的传递性：假设ab,bc,那么ac,这是放缩法的依据，在运用传递性时，要注意不等式的方向，否那么易产生这样的错误：

3、为证明ac,选择中间量b,在证出ab,cb,后，就误认为能得到ac。2 、同向不等式可相加但不能相减，即由 ab,cd，可以得出a+cb+d, 但不能得acb do3 、不等式两边同时乘以一个数或式时，只有该数或式保证为正，才能得到同向的不等式，否那么不能保证所乘之数或式为正，那么不等式两边同时乘以该数或 式后不能确定不等式的方向；不等式两边同偶次乘方时，也要特别注意不等式的 两边必须是正。不等式的应用范围十分广泛，在数学中，诸如集合问题，方程(组)的解的讨 论，函数单调性的研究，函数定义域确实定，三角、数列、复数、立体几何、解 析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多

4、问题， 最终都可归结为不等式的求解或证明。二、不等式的证明方法1比拟法：作差比拟：A B 0 AB 作差比拟的步骤： 作差：对要比拟大小的两个数或式作差。 变形：对差进行因式分解或配方成几个数或式的完全平方和。 判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。注意：假设两个正数作差比拟有困难，可以通过它们的平方差来比拟大小。2综合法：由因导果由的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不 等式，直到推导出前面的不等式。常用的根本不等式有均值不等式；假设a a ma,b, m 0， a b，贝U; 假设 a,b R，那么 |a | |b|a b|a| | b |;b b mnnn 柯西不等式(

5、aibi)2( a2)( bi2)i 1i 1i 13分析法：执果索因根本步骤：要证只需证，只需证 “分析法证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件。 “分析法证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以 利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法进行表达。4反证法：正难那么反直接证明难，就用反证。5放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的放缩法的方法有： 添加或舍去一些项，如：Ja2 1 |a ； vn(n 1) n ； 将分子或分母放大或缩小 利用根本不等式，如：Iog3lg5 (lg 3 lg5)2 lg J5 Ig . 16 Ig 4 ；.n(n 1)n

6、(n1)2利用常用结论：I、k1. k1、k1. kn111 1k2k(k 1)k1 k川、111k2k2 1(k1)(k 1)12“k ；1 1 11 程度大k 1k2k(k 1) k丄(11 )；程度小2 k 1 k 16换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为 简，常用的换元有三角换元和代数换元。女口：x22ya2，可设xa cos ,yasin ;x22 y1，可设xr cos , yr sin (0 r 1);2 x2 a2yb21，可设xa cos , ybsin ；2与a2yb21，可设xa sec ,yb tan ；7构造法:通过构造函数、方程、数列、向

7、量或不等式来证明不等式;证明不等式的方法灵活多样，但比拟法、综合法、分析法和数学归纳法 仍是 证明不等式的最根本方法。要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当 的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特 点。数学归纳法法证明不等式将在数学归纳法中专门研究。 例 1 a，b R,且 a+b=1。 求证：a 22 b 2 225。证法一：比拟法aaR2a22证法二:(1a)222922522a22a 2(a2当且仅当a2)2 0i-时，取等号。分析法2 B252a2b24(ab)8 25b 1 a2 以 、225,1、2 ca (1a)4 8(a )02 2因为显

8、然成立，所以原不等式成立。点评：分析法是根本的数学方法，使用时，要保证“后一步是“前一步的 充分条件。证法三：综合法由上分析法逆推获证略。证法四：反证法假设(a 2)2 (b 2)225a2 b24( a b) 825由 a+b=1，得 b1 a1所以(a 1)20，2这与 a -0矛盾2所以a 22b 2 2证法五：放缩法t于是有oaI左边=2252b2 2a (1 a)12252IT二右边。a2 b22口2点评：根据欲证不等式左边是平方和及a+b=1这个特点，选用根本不等式证法六：均值换元法12所以可设左边=(22 1 2 t 1 2) (2 t 2)当且仅当252t=0时，等号成立。2t

9、2 25竺二右边2 2点评：形如a+b=1结构式的条件，一般可以采用均值换元 证法七：利用一元二次方程根的判别式法2 2设 y=(a+2) +(b+2)，13,由 a+b=1,有 y (a 2)2(3 a)2 2a2 2a所以 2a2 2a 13因为a R，所以4 4 2 (13 y)0，即25y 7。25 孑。例 2 a,b, c0，求证：bcaac abb cbab)2(a b c) b c利用均值不等式，我们可以得到证：匹匹2C,同样地, a bc ac2(-aaba bc丄)9。y证:11(1 )(1 -) (1xy7(1x2 yx y a,b,c 0,a，求3a 1 3b 1-3c

10、1的最大值。解：由题可得.3a 11 2当且仅当3a 112即a -时等式成立。3同理，可得.2. 3a、3c 1)3(a b c) 9 g故而可知其最大值为6.例5x y z1，求证x2证：令x2 y2 z21 |(3 3例6n是正整数,求证:1：13i23133Jn33证：当n 2时，有1n32(n 1), n1 2(1(、n , n 1) n于是1：i3133112(11) 2( 11)2( 12)2( .23)2(. n 1 n1 1)3 2 3.n小结：1、掌握好不等式的证明，不等式的证明内容甚广，证明不但用到不等式的 性质，不等式证明的技能、技巧，还要注意到横向结合内容的方方面面。

11、如与数 列的结合，与“二次曲线的结合，与“三角函数的结合，与“一元二次方程， 一元二次不等式、二次函数这“三个二次间的互相联系、互相渗透和互相制 约，这些也是近年命题的重点。2、 在不等式证明中还要注意数学方法，如比拟法包括比差和比商、分析 法、综合法、反证法、数学归纳法等，还要注意一些数学技巧，如数形结合、放缩、分类讨论等。3、比拟法是证明不等式最常用最根本的方法当欲证的不等式两端是多项式 或分式时，常用差值比拟法 当欲证的不等式两端是乘积的形式或幕指不等式时 常用商值比拟法，即欲证a b,(a 0,b 0)可证-1b4、根本思想、根本方法：用分析法和综合法证明不等式常要用等价转化的数学思想

12、的换元的根本 方法。用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程，这是解决 数学问题的一种重要的数学思想方法。“分析法证明不等式就是“执果索因，从所证的不等式出发，不断利 用充分条件或者充要条件替换前面的不等式， 直至找到显然成立的不等式，书写 方法习惯上用“来表达 分析法是数学解题的两个重要策略原那么的具体运用，两个重要策略原那么是：正难那么反原那么：假设从正面考虑问题比拟难入手时，那么可考虑从相反方向去 探索解决问题的方法，即我们常说的逆向思维，由结论向条件追溯。简单化原那么：寻求解题思路与途径，常把较复杂的问题转化为较简单的问题， 在证明较复杂的不等式时，可以考虑将这个不等式不

13、断地进行变换转化，得到一个较易证明的不等式。但凡“至少、“唯一或含有否认词的命题适宜用反证法。换元法主要指三角代换法多用于条件不等式的证明，此法假设运用恰 当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化成简单的三角问题。含有两上字母的不等式，假设可化成一边为零，而另一边是关于某字母的 二次式时，这时可考虑判别式法，并注意根的取值范围和题目的限制条件。有些不等式假设恰当地运用放缩法可以很快得证，放缩时要看准目标，做 到有的放矢，注意放缩适度。三、解不等式1、解不等式问题的分类(1) 解一元一次不等式(2) 解一元二次不等式(3) 可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式 解一元高次不等式； 解

14、分式不等式； 解无理不等式； 解指数不等式； 解对数不等式； 解带绝对值的不等式； 解不等式组2、解不等式时应特别注意以下几点：(1)正确应用不等式的根本性质正确应用幕函数、指数函数和对数函数的增、减性(3)注意代数式中未知数的取值范围3、不等式的同解性(1)f(x) g(x) 0与f(x) 0 或 g(x) 0 或f(x) v 0g(x) v 0同解.(2)f(x) g(x) v 0与f(x) 0 或 g(x) v 0 口f(x) v 0同解.g(x) 0f(x) 0 或 g(x) 0 g爲同解.(g(x)丰 0)、f(x)- g(x)(5) |f(x)|(6) |f(x)| f(x)f(x

15、) 0 或g(x)v 0 或v g(x)与g(x) v f(x) g(x)与 g(x)或 f(x) v g(x)( f(x) g(x)2f(x) v 0 同解.g(x) 0v g(x)(g(x)丰 0)同解.(g(x) 0)其中 g(x) 0) ； g(x) v 0 同解f(x) 0(7)f(x) g(x)与 f(x) 0 或同解.g(x)v 0g(x) 0f(x) v g(x) 2(8) f(x) v g(x)与 f(x) 0 同解.(9) 当 a 1 时，af(x) ag(x)与 f(x) g(x)同解, 当 0 v a v 1 时，af(x) ag(x)与 f(x) v g(x)同解.(

16、10) 当 a 1 时，logaf(x) log ag(x)与：同解.f(x) 0f(x) v g(x)当0 v av 1 时,logaf(x) logag(x)与 f(x) 0 同解.g(x) 04、零点分段法：高次不等式与分式不等式的简洁解法步骤：形式： 巴勺 0 移项，通分(不轻易去 分母)Q(x) 首项系数符号0标准式，假设系数含参数时，须判断或讨论系数的 符号，化负为正 判断或比拟根的大小小结：1、带等号的分式不等式求解时，要注意分母不等于0,二次函数 y ax2 bx c的值恒大于0的条件是a 0且 0 ；假设恒大于或等于0,那么 a 0且 0。假设二次项系数中含参数且未指明该函。

17、 是二次函数时，必须考 虑二次项系数为0这一特殊情形。2、忽略对定义域的考虑以及变形过程的不等价，是解无理不等式的常见错误， 因此要强化对转化的依据的思考。3、数形结合起来考虑，可以简化解题过程，特别是填空、选择题，还可利用 图形验证，解题的结果。4、解指数、对数不等式的过程中常用到换元法。底数是参数时，须不重不漏地分类讨论。化同底是解不等式的前提 取对数也是解指数、对数不等式的常用 方法之一，在取对数过程中，特别要注意必须考虑变量的取值范围。当所取对数的底数是字母时，随时要把“不等号是否变向这一问题斟酌再三。5、解含参数的不等式时，必须要注意参数的取值范围，并在此范围内对参数进行分类讨论。分

18、类的标准要通过理解题意例如能根据题意挖掘出题目的隐含 条件，根据方法例如利用单调性解题时，抓住使单调性发生变化的参数值，按照解答的需要例如进行不等式变形时必须具备的变形条件等方面来决定，要求做到不重复、不遗漏。四、含绝对值的不等式1、 解绝对值不等式的根本思想：解绝对值不等式的根本思想是去绝对值，常采用 的方法是讨论符号和平方。2、注意利用三角不等式证明含有绝对值的问题|a| |b| |a+b| |a|+|b|;|a| |b|a b| |a|+|b|;并指出等号条件。(2)|f(x)|g(x)f(x)g(x)或 f(x)0时，Ax+By+C0,那么点PXo，y。在直线的上方；Ax+Byo+Cv

19、0，那么 点PX。，y。在直线的下方。对于任意的二元一次不等式 Ax+By+C0或v 0，无论B为正值还是负值， 我们都可以把y项的系数变形为正数。当 B 0时，Ax+By+C0表示直线 Ax+By+C=0上方的区域；Ax+By+Cv 0表示直线Ax+By+C=0下方的区域。2线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解x，y叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做 可行域类似函数的定义域；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最 优解。生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：1根据题意，设出变量x、y;2找出线性约束条件；3确定线性目标函数z=fx，y；4画出可行域即各约束条件所示区域的公共区域；5利用线性目标函数作