算术平均数与几何平均数教学设计

1、算术平均数与几何平均数教学设计衡东县第一中学数学课题组刘玉华执笔教材分析与设计理念：教材中算术平均数与几何平均数一节既是不等式性质：A_ Bu A B 0的延续，又是不等式证明方法综合法的重要理论依据之一.更是处理有关函数最值问题这一高考热点的一种常用方法学好这部分内容，对整个高中数学的学习都有重要意义在以往的教学 实践中发现：一方面学生容易忽视均值不等式成立的条件，导致解题过程不严谨，甚至得出错 误的结论；另一方面均值不等式在处理不等关系时，方法灵活，技巧性强，是高考考查学生分析问题、解决问题能力的重要内容之一教参中只安排两课时，时间紧，也是教师教不透，学生学不好的主要原因因此我认为这节内容

2、有必要安排三课时：第一课时，让学生了解均值不 等式及其成立的条件，学会初步应用第二课时，在灵活应用上下功夫，在学生常出错处动脑 筋，让学生切实掌握好均值不等式的应用第三课时，解决日常生活实际应用题中均值不等式 的建模问题下面是我对前两课时的教学设计.第一课时教学目的与要求：理解,掌握两个重要不等式及各自成立的条件 ，能正确，熟练地运用两个重要不等式解题.教学重点：理解、掌握两个重要不等式及各自成立的条件.教学难点：运用两个重要不等式解题及对解题过程的反思、确认 .教学方法：自学、启发、引导、精讲、练习.教学多媒体选择：投影仪.教学过程:一. 让学生阅读教材巳Po例2.（培养学生阅读教材的能力）

3、二. 让学生口叙两个重要不等式.（教师板书，培养学生看书、总结反思的好习惯） 如果a,bR,那么a2+b2 X2ab.（当且仅当a = b时取=”号） 定理:如果a,b是正数，那么 八不（当且仅当a=b时取=”号）三. 提问： 两个不等式对a,b的要求是否相同？为什么？3 22 一 -3 -2就不成立生：不同,前者只要求a,bR ,后者要求a,bR .若a=-3,b=-2，前一个不等式2 2（-3） +（-2 ） A2（-3 -2 ）成立，而后一个不等式了. 括号中 当且仅当a=b时取=”号”这句话怎样理解？ 生:当 a=b时，两个不等式中的=”号成立;反之=”号成立时,则a二b.即a二b是两

4、个不等式中=”号成立的充要条件.四.针对练习:（投影仪显示）1.求证：I 2.a2 b2(a,b R).2求证:,a2 b2, b2 c2c2 a2 一2 a b c (a,b R). 已知a,b,c为三角形ABC的三边,2求证:3 ab be ca j a b ci；虫4 ab be ca .515 已知x 2求函数4-2的最小值.并求此时X的值.若xq,该函数有最小值吗？有最大值吗？并求出相应的x值.导析:由第一个重要不等式易证得此不等式成立.这个不等式也可作为证明其他不等式的根据.它还可变形为 a2 b2 一丄2 a b .2由上一题的结果不难证得此不等式成立，通过此题的练习可培养学生的

5、观察 3 ab be ca 乞 a b c能力，分析能力.a b b c2/c a ab+2 c2a b 2 bc2 caba空b 2 e222(a -b)弋b -cc ga0 -22/. 3 ab be ca j. i a b c2a b c 也 ab be c a二 a2 b2 c2 2 abbe ca2 2 2二(a b a ca ( a b b c ) b (a c b()二 a( b c _ a ba c_) b (c a b) c0T a,b,c为三角形ABC的三边. b e- a O,a c-b 0, a b-c O2 abc 4 ab be ca题中不等式获证.4x - 50y

6、 = 4x -214x -5= (4x-5)-34x5-一 5)4x-53=5.当且仅当牯之即-I时等号成立.若八4，4x。5 - 4x ： 0y = 4x _2= (4x-5)-34x 515 -4x当且仅当5-4x=即x=1时等号成立.2.下列说法是否正确？为什么？（投影仪显示）1 lg x 的最小值是2.igx sin2x2的最小值是4.sin x x E R4； x2 +?的最小值是2诉.x导析:不正确.因为ig x不一定为正数.1当 lg x 0 时，ig X 2ig x1 1当 lg x ： 0 时，lg x(_lgx) _-2 .ig x-lg x24I 24 不正确.sin x

7、 2, sin x2= 4sin x 、 sin xc4c当且仅当sin x即sin x=2时上式中等号成立.sin x但sin2x 1.0,11,不可能取2,所以上式等号不能成立.sin2 x的最小值不是 4.sin x令 u =si n2x“0,11易证y =U -在0,1 1上单调递减.Imin =5 .u 不正确.因为x2-=x2 1-33x213（三个正数的均值不等式还没讲x xx Yxx布置学生课后看阅读教材.）当且仅当X2 = 2即x=1时等号成立.显然3 ： 23 4x因为 33 =27,（23 4）3 =32,27 ： 32错误思路：x2 - -2.2xx2当且仅当X2二-即

8、X =32时等号成立.X错因:不等式x2 - _ 2,2x成立，但不能根据x2 - _ 2 2x来求x2 -的最小值,xxx因为2 2x不是一个常数.通过此题的练习、讨论、讲评，让学生明白运用均值不等式求函数最值是要满足三个 条件：一要正；二可定（即求和的最小值时，积凑常数；求积的最大值时，和凑常数）；三能等（即均值不等式中的等号能成立，特别是几次运用均值不等式时，等号能成立的 条件应不相矛盾.）.五.作业：1. 习题6.2第3,4,5题.2. 阅读教材第24-25页了解n个正数的算术平均数与几何平均数的关系.第二课时教学目的与要求：能灵活运用均值不等式解题.教学重点：已知条件的运用，对题意的

9、理解.教学难点：已知条件的运用，发散思维能力的培养.教学方法:练习点拨.教学多媒体选择：投影仪.教学过程：一.复习提问：运用均值不等式求函数的最值时，应注意哪几点？二例题：19例1.已知x 0, y 0且一 =1,求x y的最小值.x y引导学生观察已知条件，注意”的妙用，得出.解法一 ：x y二x y (-9X 10 _6 10 =16x yx y当且仅当y=9x时取”二”号.x y.当且仅当x=4, y=12时,上式等号成立.- X y min =16解法二：要求x y的最小值，由已知y可用x表示.x y可转化为只含x的式子.1 ggx由已知一=1得y =二x yx _1X y =x 仝(

10、X 一1)垫1x -1X 1=x1旦 10_2. (x1) 916X1X1g当且仅当x- 即x=4,y=12时等号成立.x1X min 才6.基于求和的最小值，积凑常数的思路.又有下面的1 g解法三：由已知条件-=1变形得x-1 y-9=9,又由已知得X 1,y9,所以x y3“-1、-9）兰以-1）*-9）. 当且仅当2 2x-1=y-9=3.即 x=4, y=12 时等号成立，所以 x y min =16.通过上面的三种解法（此题还有其他解法）让学生领会对题目已知条件进行观察思考的重要性，从而有意识地识地培养学生的观察思考能力和发散思维能力.再让学生分析下面的解法错在何处：（投影仪显示）

11、x 0, y 0 且1 9 =1.x y2 xy =12. xwx yD- X Ymin 七.点评：x y - 2, xy当且仅当x = y时等号成立.1 9_2 9当且仅当丄=9时等号成立.x y xyx y它们不能同时取等号，所以x y不能取到12这个值.再看下面一题的解法错在何处，应怎样改正？（投影仪显示） 设实数x, y, m, n满足x2 y3,m2 n2 =1，求mx ny的最大值.2 2 2 2解：mx ny _m - n y- （m2 n2 x2 y2） = 22 2 2 mx ny的最大值是2.受到上面一题的启发，学生不难发现：上式中等号成立的充要条件是m=x, n=y=T=m2 n2=x2，y2=3矛盾.肯定上面的解法是错误的.应怎样改正 呢？从解决矛盾入手,只要令m=x,n=丄y= 1 = m2+ n2,x2+y2=3于是得到下面的正V3V3确解法：mx + ny = 3(m 于心訓2为-（n2 %牛（m亍）-3mx ny的最大值为 G.通过这样的纠错练习，可以培养学生的思辨能力，提高思维品质.课堂练习：1