教学随笔500是奇数501是偶数

1、-1-理論概率?中學數學教學如何受益於大學數學蕭文強？香港大學數學系黃毅英？香港中文大學課程與教飽鎖楔子這恐怕是常見的一堂概率課：老師著令每位學生擲毫10次，得出數百個數據後,1發覺得正面（head）的概率與1相去一段距離。老師說：這是因爲我們擲的次數21不夠多，再多擲一些，實驗結果就會很貼近訂。另一些老師用電腦模擬擲骰，啓動了Excel?程式擲骰100,000次。很可惜，得出 的結果亦與均勻分佈（uniform distribution）相去一段距離。老師也唯有說，擲的1次數再大一點，擲出各點的概率就會趨於1了。6這是真的嗎?本文其中一位作者在一篇文章1裏亦談到這個問題。其實該問題是由另一位

2、作者 收到的一封電郵所引發。內容是這樣的：今天我和我的碩士班同學討論功課的時候，談論到理論概率和實驗 概率的關係。他們認為理論概率是理論層面， 實驗概率是現實層面。 但當我們重覆做相關實驗無數次，我們得出的實驗概率的值便會趨 向理論概率的值。如當我們重覆做該實驗無限次時，實驗概率的值 便相等於理論概率的值了。但我記得你曾經解釋過，希望我沒有記錯吧？！上述的論述是 很錯誤的，因為縱使重覆做相關實驗無限次， 我們都不能把實驗概 率和理論視為相同。 我現在的問題是：1.我有沒有記錯你的的解釋呢?1蕭文強（2007）回到未來一一從大學講堂到中小學課室。基礎教育學報16卷1期，97-114。學學系-2-

3、2.如我真的沒有記錯，那我可如何解釋給他們明白，縱使做實驗無 限次，兩者其實並不相同呢？3.他們認為以一個中三程度的學生，如他真的這樣理解實驗概率和 理論概率的話，其實是可以接受的。這又是否真的可接受呢？要更深入探討這個問題，我們首先要了解何謂實驗概率？何謂理論概率？兩者之 間有何關係？實驗概率和理論概率顧名思義，實驗概率就是從大量實驗數據中總結出某個事件發生的可能性。譬如 說擲毫100次,有48次是正面，我們便說投擲該毫出現正面的實驗概率是0.48如果擲了1000次，有532次是正面，實驗概率便是0.532。由此可見，實驗概率 隨實驗次數多少會轉變，並沒有一個確定值。理論概率是按照己知的條件

4、，根據 合理的推論得出某個事件發生的可能性。譬如說，如果投擲一枚勻稱硬幣（fair coin），沒有理由相信出現正面或反面的機會不相同，因此投擲該毫出現正面的 理論概率是0.5。反過來說，如果硬幣並不勻稱，擲到正面的機會大於擲到反面 的機會，那麼投擲該毫出現正面的理論概率便不再是0.5,而是大於0.5了。至於它是什麼，以下我們再回去討論。實驗概率趨於理論概率?文章開首提到的說法：實驗次數愈多，實驗概率會趨向於理論概率，在不少教 科書都以各種形式出現。有些說實驗次數愈多，實驗概率便愈接近理論概率， 另一些說當實驗次數足夠多時，實驗概率 -理論概率。對於趨向於、接 近或呵這些用語的精確意思，不同的

5、作者或有不同的闡釋，但從字面上讀 去，這樣的說法是有問題的。我們只可以說，實驗次數愈多，實驗概率 愈大可能 接近理論概率。這種誤解，可能和課程文件有關。今天的中學數學課程以1985年中學數學科課程綱要為藍本。當時概率在初中和高中兩個階段分別出現。中四及中五單 元8.概率和統計之學習目的為加法和乘法定律（頁100）。而中三單元9.簡易概率的概念之學習目的為：（1）明白概率的意義及欣賞它的應用 價值；（2）了解理論概率及實驗概率的分別。有關（2）的教學建議為進行實 驗的目的在於驗算理論概率所求得的結果，而使學生同時了解到在現實生活中所 接觸到的概率如失事率，犯罪率等都是實驗概率。（頁77）。其中提

6、到以實驗去驗算理論概率，這個提法有待商榷。至於現行的課程文件，並沒有這個說法。1999年的中學課程綱要一一數學科只提出比-3-較實驗概率和理論概率。學與教資源套2 3則有列出教學建議。其 中第三學習階段概率的簡單概念單元中有比較實驗概率和理論概率一項， 提出學生可作出相同的試驗，討論，並比較試驗的結果，從而留意不同的試驗， 通常會得出不同的概率。除了使用實物的學習活動外，也可用電腦或計算機來模 擬大量的試驗，讓學生明白概率是相對頻數的趨向值。教師應指導學生明白，有 些日常生活的事件，例如交通意外率、犯罪率等，都是實驗概率(頁5)。其中提到概率是相對頻數的趨向值，這個提法也有待商榷。在1960年

7、代 新數學運動 引入實驗概率， 當時風行英國的SMP(The School Mathematics P rojec)課本便清楚提到實驗概率(exp erime ntal p robability)和預期概率(expected probability)。新數學時期最有代表性的本地中學教科書 應算是半群學社在1966年出版之新數學，書中用很豐富的隨機試驗開始，讓 學生以圖表方式紀錄實驗結果，例如擲毫若干次，由此引入實驗概率。書中也提 到很有意思的一點，指出只有用多次試驗的方法才可以發現一顆骰子是不是勻稱 的。綜觀新數學時期的幾本教科書，由實驗概率引入理論概率之進路是一致的， 由活生生的實驗出發不失

8、為有效引起動機之方式，當然這和當年強調動手和探索的潮流有關。無論如何，這個進路亦符合數學化(mathematisatio nj之歷程。現時有些教科書的進路改為先定義理論概率：概率=符合事件結響F(這其實已假設了各結果發生之可能性相等)，可能結果的總量然後討論實驗概率，容易導致文章開首述及的混亂。實驗概率和理論概率的關係有些人或者記得有條 大數定律 (Law of Large Numbers)， 是雅各布？伯努利 (Jacob Bernoulli,1654-1705)在十八世紀初提出來的，不就是說明理論概率可 以從大量實驗數據中求出來嗎？讓我們看看大數定律怎樣說。其實大數定 律共有兩條：弱大數定

9、律和強大數定律；和我們的討論有較密切關係的 是弱大數定律；強大數定律涉及的數學背景知識超越了中學的認知範疇， 這兒就不提了。弱大數定律是這樣說的:2教育署數學組(2002)。中一至中五數學科學與教資源套6:數據處理範疇(第三學習階段)。香港：作者。3黃毅英(2007)。數學化過程與數學理解。數學教育25期，2-18。-4-若X是一隨機變量，亠為X之平均值，X1,Xn為X之隨機抽樣，而X7=丄以1 +Xn），則對任意0,有n這一節用上不少基礎概率論的技術名詞，在一個入門的概率論大學課程必會讀 到。而且，該定理的證明亦不是特別困難，看透了，不外是把各項技術名詞的定 義弄清楚後借助一道以切比雪夫（P

10、. L. Chebyshev 1821-1894）命名的不等式寫 出結果吧。這條定律並沒有說當n愈大，樣本平均值Xn愈接近卩，只是說當n愈大，Xn偏 離卩的可能性愈接近零。也就是說，當n足夠大時，很少機會Xn偏離 4。用更普及的語言，大數定律告訴我們，在大量實驗中某事件發生的相對頻率（就 是實驗概率），通常是非常接近事件發生的理論概率。我們可以這樣理解，以擲 毫為例（假設得正反兩面的概率均等），擲毫這事件形成的隨機變量稱為X，X =0（正面）或X= 1（反面）。我們作出抽樣Xi,Xn，假如得出0110001010011110當n愈來愈大時，得出不同的Xn，如下表所示:n123456789101

11、11213141516Xn01100010100111100122223344456788Xn23456789101112131415 16 1在這特別的情況，Xn確是愈來愈接近丄，但不表示這是必然的（這就是與上述提及的誤解之最大分別）。確有可能出現特異的情況，例如4任何一本基礎概率論的大學課本都會詳細討論這些內容，例如Lars on, H. J. （1969/1974/1982）.st nd rdIn troducti on to p robability theory and statistical in fere nce （1 /2 / 3 editi on）. New York: Jo

12、h nWiley。如果讀者不要求知悉詳細技術內容，只求一個概括的了解，不妨看看一本數普讀物： 蕭文強、林建（1982）。概率萬花筒。香港：廣角鏡岀版社。重印（2007）:香港統計學會。lim P(Xn- A )=n_-5-11000000000000001111110 111111111只是出現這些情況的可能性是非常低。理論概率怎麼求?怎樣界定和尋求某個事件發生的理論概率呢？有一種想法，認為重覆實驗許多 次，該事件的相對頻率應該是頗穩定的，不如就把無限次實驗的相對頻率的極限 叫做該事件發生的(理論)概率。用數學語言說，設n次實驗中事件A發生M(n)次(M是n的函數)，則事件A發生的概率P(A)

13、等於limM。+ n大數定律 似乎為這種想法提供了一些理論註腳， 但想深一層又十分別扭！ 如 果根據 大數定律去 界定概率，定律的內容卻又涉及概率，豈不像是說在無 限次實驗中事件A發生的相對頻率與A的概率相差是某個任意量這個事件的概 率趨於零？既像拗口令，也不容易明白！這樣界定概率，還有幾點令人不安。一者，M (n)隨n而變，除了M (n)是n的非遞減函數以外，M( n)與n可沒有什麼關係，並無理據支持有極限。二n者，沒有可能實驗無限次，如此界定只是理想情況而已。三者(此乃切膚之痛！) 有不少事件並不能採用重覆實驗的方法去界定概率，例如明天下雨的概率是0.7，或者有八成機會陳九秒在今年奧運奪取

14、一百米金牌。數學家採用了另一個釜底抽薪的方法去界定概率，索性把概率看作是定義在 樣本空間(samplespace S的子集上的實數值函數P，滿足以下的公理：P1P2P3這兒所謂樣本空間就是某項實驗可能發生的所有結果的集合 ，它的子集便叫做事件(event)。例如投擲一顆骰子，S =1,2,345,6有六個結果，數字k代表k點。A =1,3,5代表擲到奇數點這個事件。注意上述的界定倒不明言如何設定那個函數P,只要求它滿足P1、P2、P3。P(S)=1；若A是S的子集，則0P (A) 1；若 AI,A2,.是S的兩兩不相交的子集，則P(AIUA25.) = P(AI) +P (A2)+.-6-靠著

15、這三條公理，加上知道某部份事件稱為基本事件的概率，我們便能 計算任何事件的概率了。就以S =123,4,5,6為例，如果骰子是勻稱的，合理的1假設是P(1) = P(2) =P(3) =P(4) = P(5) = P(6)=-，因此6P(1,3,5) = P(1) +P(3) +P(5) =3x1 =0.5，即是說，擲至U奇數點與擲至M禺6數點的機會是相同的。要是你擲骰100次，發現只有12次擲到奇數點，再擲100次，發現只有8次擲到奇數點，你便會懷疑那顆骰子是否勻稱了。概率公理化與建模過程從上一節公理化處理的角度看，實驗概率與理論概率是兩種不同的觀念，在某個 意義而言，它們沒有直接關係。但它

16、們卻有另一層面的微妙關連，讓我們在這一 節談談。不妨把公理化處理看成是一個建模過程(modeling procesS，即是把實際問題譯 成數學語言，建立一個數學模型。在這個過程中我們把實際情形理想化及簡化， 以便用適當的數學方法進行分析求解。由於我們把情形理想化及簡化，得到的答 案可能只是近似答案，是否合用還得回到實際觀測作檢驗，逐步調整模型去求更 好的答案4。大數定律是基於P1、P2、P3這些公理，運用邏輯推論得 來的結果，在實際觀測亦的確如是，印證了概率建模符合實際情理。理論概率是如何設定的呢？在一些情況，如投擲一枚勻稱硬幣，我們按常理設定1P(正面)=P(反面)=-。但在另一些情況，實驗

17、2可以是一種參考點。譬如一台機器會生產不合規格的產品，這牽涉到保險和賠償 等問題，我們必須評估生產不合規格產品的可能性，於是我們對這台機器進行大1量的測試。比方經過10萬次測試，得出生產不合規格產品的可能性是，10000這當然是實驗概率，不是理論概率；而且可能測試愈多，機器越磨損，生產不合 規格產品的機會愈大！不過，我們為了評估風險建立數學模型時，採取這個實驗 概率作為理論概率，亦合乎常理。一旦我們作了這個設定，其他風險評估等計算， 就可依循數學方式進行。我們有理由相信這台機器生產不合規格產品的理論概率 是客觀存在的，只是我們未必有足夠的資料和技術找出來吧。讓我們多看一個運用計算幫助我們增進理

18、解的例子。面對一堆電子元件，一半產4蕭文強(1978)。為甚麼要學習數學。香港：學生時代岀版社。第二版(1992):香港新一代文化協會。增訂本(1995)，台灣：九章岀版社。第四章。理論概率；既曰勻稱，按定義,78-7-自甲廠，另一半產自乙廠，從中抽取一件，問這一件產自甲廠的機會是多少；如1果單單知道這麼多，我們只能說機會是-。如果我們再知道這一件是壞件，而且2知道甲廠生產壞件的可能性是乙廠的三倍，你認為那機會是否仍然是丄呢？我們2多了資料，可以運用一道以貝斯（Thomas Bayes 1702-1761）命名的公式去計 算，得到的概率是-。貝斯公式用來計算某個事件的條件概率（conditio

19、nal4probability），是概率論的基本知識，讀者可以在課本找到（見腳註4）,這兒不贅，要點是這個答案是從概率模型中計算得來的。固然，我們可以再回到實驗觀3測，假如實驗結果並不接近-，我們便會懷疑那堆電子元件是不是真的一半產自41甲廠，另一半產自乙廠呢？如果從實驗觀測得來的答案幾乎就是丄，你能否再2用一次貝斯公式計算那堆電子元件有多少產自甲廠？有多少產自乙廠呢？ 從實驗數據企圖獲取某些參數用以建立更好的數學模型，或者從部份抽樣估計全 局情況，是概率論的重要應用。這種應用叫做統計推斷（statistical inference,踏 入一個很少在中學課程範圍內論及的課題，那可是另一篇文章的

20、題材了。中學數學與大學數學中小學數學只是制度上的分段，兩者是一個連續體，小學的數學經驗可以變成連 綿數學化的基礎。故此數學化並不是指把多些硬數學放進教學內容， 而是提出一條相當長的、由具體到抽象、由歸納到演繹之路。同理，中學與大學 亦是一個連續體。我們其中一位作者早已提出，不單是中學數學的學習延續到大 學數學，從大學數學的高觀點更往往能啓迪中小學數學的教學5。問題不僅在於技術性內容上，而是整個數學理念、概念系統和知識結構上。本文所討論的便是 其中活生生的一例，其他事例可謂不勝枚舉6。只要教學雙方不單滿足於做妥 數學題（應試）而要真正弄明白真相，大學數學知識往往能提供教學上之依據。 固然，我們不

21、是說應該由大學數學指導中小學數學教學，因爲我們仍要考慮學生 因素，如智性水平與動機等等問題。我們好像將數學建模、公理化、數學化混作一談，事實正恰恰如是。學 生學習往往依循著數學發展上的類似軌跡7,從具體到抽象、從直觀到正規（見Siu, M.K. (1981). School Algebra? Un iversity Algebra? Mathematics Bullet in, 2 , 5-6.其他例子如0.9是否等於1之類，可參考黃毅英(2006)。老師，用A簿還是用B簿？。 數學教育23期，27-36。Siu, F. K., & Siu, M. K. (1979). History of mathematics and its relati on to mathematical educati on.-8-腳註5）。1989年美國的學校數學課程與評核標準也提出這種數學建模 正正是一種數學化過程9。數學教育名家Hans Freude nthal0也說過數學化這 個觀念不是由他發明的，在數學界流傳已久，不過有時用抽象化、理想化不同的詞彙表達這個意思吧了（見腳註3）。由此可見這三個觀念的共通性，也 可見大學數學往往能對學校數學（不局限於某一個階段）的教學給出有用的啟示。一篇介紹數學