第3章 离散傅立叶变换(DFT)的性质

1、 )()()()(2211kXnxDFTkXnxDFT )()()()(2121kbXkaXnbxnaxDFT 一、线性一、线性1.两序列都是两序列都是N点时点时 如果如果则有则有N点点DFT为：为：)(1nx)(2nx2. 和和 的长度的长度N1和和N2不等时，不等时， 选择选择 为变换长度为变换长度,短者进行短者进行补零达到补零达到N点。点。 21,maxNNN 这里包括三这里包括三步步：(1) 先将先将x(n)进行周期延拓进行周期延拓(2)再进行移位再进行移位(3)最后取主值序列：最后取主值序列： nRmnxnxNNm )( Nnxnx )( Nmnxmnx )( nRmnxnxNNm

2、)(二二、序列的序列的循环循环移位移位1.定义定义一个有限长序列一个有限长序列x(n)的圆周移位定义为的圆周移位定义为)(nxNnxnx)()( n0N-1n0周期延拓周期延拓 Nnxnx2)2( n0左移左移2 )()2(nRnxNN n0取主值取主值N-1循环移位/Page1.htm2. 时域循环时域循环(圆周圆周)移位定理移位定理 设设x(n)是长度为是长度为M（MN）的有限长序列，）的有限长序列，y(n)为为x(n)的循的循环移位，即环移位，即 )()()(nRmnxnyNN 2( ) ( )( )( )jkmkmNNY kDFT y nWX keX k则结论：有限长序列的结论：有限长

3、序列的圆周移位圆周移位导致导致频谱线性相移频谱线性相移，而，而对频谱幅度无影响。对频谱幅度无影响。 3. 频域循环移位定理频域循环移位定理( ) ( )( )nlNy nIDFT Y kW x n则( ) ( ),01X kDFT x nkN如果 证明方法同时域循环移位定理。证明方法同时域循环移位定理。( )()( )NNY kXklRky(n)n8136.53nx(n)h(m)mh(n)nmx(m)h(-m)h(-m)h(1-m)h(2-m)h(3-m)h(-4-m)h(4-m)101212( )( )()( )()lmmy nx m x nmx m x nm三、循环卷积定理三、循环卷积定理

4、 循环卷积过程：循环卷积过程： 1 1）补零）补零( (当两序列不等长时当两序列不等长时) ) 2 2）周期延拓）周期延拓 3 3）翻褶）翻褶 4 4）取主值序列）取主值序列 5 5）循环移位）循环移位 6 6）相乘相加）相乘相加228( )( )NNx mxm 以延拓2()Nxm 翻转01nN 对各点求和。2()( )NNxmRn取主值2()( )NNxnmRn 右移n1120( )( )()()( )NNNmx nIDFT X kx m xnmRn则1.序列的循环卷积序列的循环卷积1120( )( )()()( )NNNmx nIDFT X kx m xnmRn则y(n)n11136.51

5、0例：求下面两序列的例：求下面两序列的6点圆周点圆周(循环循环)卷积。卷积。)20(1)()()(251 nnnxnRnx102nx2(n)1321 1）补零）补零 补到补到6 6点点53 45102 3nx1(n)14102mx2(m)1323 45132132132102m3 45)(2mx6 7 8 9 10 11-1-2-3-4-5-62)2)周期延拓周期延拓 N=6N=6102m3 41325)(2mx 6 7 8 9 10 11-1-2-3-4-5-61321323 3）翻褶）翻褶102m3 41325)(2mx 6 7 8 9 10 11-1-2-3-4-5-61321324 4

6、）取主值序列）取主值序列102 3mx1(m)14 5102m1323 45)()(62mRmx 102m1323 45)()1(62mRmx y(0)=1*1+3*1=4y(1)=2*1+1*1=3y(2)=3*1+2*1+1*1=6y(3)=3*1+2*1+1*1=6y(4)=3*1+2*1+1*1=6y(5)=3*1+2*1=55 5）循环移位）循环移位6 6）相乘相加）相乘相加102 3mx1(m)14 51524 ( )(5)( )( )( )x nn R nx nR n例：已知序列，求两个序列的6点循环卷积和。解：解：Y(n)=8 10 12 14 10 62.时域卷积定理时域卷积

7、定理 设设x1(n)和和x2(n)均为长度为均为长度为N的有限长序列，且的有限长序列，且有：有： 和和 )()(11kXnxDFT )()(22kXnxDFT )()()(21kXkXkY 则：则： )()(kYIDFTny 如果如果： N)(2nx )()(11021nxnRmnxmxNNmNN)(1nx )()(21012nxnRmnxmxNNmN 补补L-N1个零个零x(n)L点点DFT补补L-N2个零个零h(n)L点点DFTL点点IDFTy(n)= x(n) h(n)nDFT法法L例：求下面两序列的线性卷积和例：求下面两序列的线性卷积和5点、点、6点、点、7点、点、 8点点圆周卷积圆周

8、卷积。)20(1)()()(251 nnnxnRnx(1) 线性卷积线性卷积 L= N1+ N2-1=73.循环循环卷积卷积与与线性卷积线性卷积的关系的关系结果：结果：1 3 6 6 6 5 3(2) 5点圆周卷积点圆周卷积结果：结果：7 8 9 6(3) 6点圆周卷积点圆周卷积结果：结果：4 3 6 6 6 5(4) 7点圆周卷积点圆周卷积结果：结果：1 3 6 6 6 5 3(5) 8点圆周卷积点圆周卷积结果：结果：1 3 6 6 6 5 3 0)()()()(2121nxnxnxLnx 1,21 NNL四、四、 复共轭序列的复共轭序列的DFTDFT*( ) ( )()()0)(01DFT

9、 xX kDFnXT x nX NXNkkN，设则且 *DFT xNnXk同理有 序列的序列的Fourier变换的对称性质中提到变换的对称性质中提到：( )( )( )eox nx nx n*1( )() ( )()2eex nxnx nxn*1( )() ( )()2oox nxnx nxn 其中：其中：任意序列可表示成任意序列可表示成 和和 之和之和:( )ex n( )ox n1、引：、引： 五、共轭对称性五、共轭对称性 对称性质总结对称性质总结n 序列序列 FT( )()jx nX e( )Re ( )()jrex nx nXe( )Im ( )()jiojx njx nXe( )Re

10、()()jjeRx nX eXe( )Im()()jjoIx njX ejXe( )()jx nX e( )Re ( )()jrex nx nXe( )Im ( )()jiojx njx nXe( )Re()()jjeRx nX eXe( )Im()()jjoIx njX ejXe2.有限长序列的共轭对称分量与共轭反对称分量有限长序列的共轭对称分量与共轭反对称分量*( )()01( )()epepopopxnxNnnNxnxNn )()()(nxnxnxopep ()(),01222epepNNNxnxnn共轭对称与共轭反对称序列示意图共轭对称与共轭反对称序列示意图 当当N为偶数（例为偶数（例

11、N=8）时，）时， 将定义中的将定义中的 n 换成换成 得得2Nn共轭对称共轭对称共轭反对称共轭反对称()(),01222opopNNNxnxnn*( )()epepxnxNn*( )()opopxnxNn ()()()epopx NnxNnxNn*()()()epopx NnxNnxNn*()(2)(epopx Nnxnxn*1( ) ( )()2epxnx nx Nn*1( ) ( )()2opxnx nx Nn)()()(nxnxnxopep ( )( )()2)epopx nxnxn如果Re( )X k( )RXk( )epxn 其中*1 ( )()2x nx Nn( )opxn *1

12、 ( )()2x nx Nn( )epDFT xn( ) ( )( )( )epopDFTX kDFT x nDFT xnDFT xn由的线性性质，有( )( )RIXkjXk3.DFT的共轭对称的共轭对称(1)*1( ) ( )()2opDFT xnDFT x nx Nn同理有( )IjXk=jImX(K)( )( )()1)rix nx njx n如果*1( )()2X kXNk( )epXk( )Im ( )ijx njx n( )Re ( )rx nx n其中*1 ( )( )2x nx n*1 ( )( )2x nx n( )rDFT x n*1( ) ( )( )2iDFT jx

13、nDFT x nx n则有*1( )()2X kXNk( )opXk( ) ( )( ) ( )riDFTX kDFT x nDFT x njDFT x n由的线性性质，有( )( )epopXkXk*1( ) ( )()2epxnx nx Nn*1( ) ( )()2opxnx nx Nn(2)( )( ) ( ),3x nNX kDFT x n设是长度为 的，且（ ）实序列则*/211 /2(-1)(1) ,(-2)(2),NDFTNNNNaX NXX NX计算实序列的 点时，当偶数时，只需计算前面点，而奇数时，只需计算前面（） 点，其他点按（ ）式可求。如：可减少近一半运算量。*( )(

14、 )( )(- )( )( )()( )( )()( )( )()( )( )()aX kX kXN kbx nx NnX kX kX Nkcx nx NnX kX kX Nk 共轭对称，即如果，则实偶对称，即如果，则纯虚奇对称，即*( )( )( )(- )( )( )()( )( )()( )( )()( )( )()aX kX kXN kbx nx NnX kX kX Nkcx nx NnX kX kX Nk 共轭对称，即如果，则实偶对称，即如果，则纯虚奇对称，即*( )( )( )(- )( )( )()( )( )()( )( )()( )( )()aX kX kXN kbx nx

15、NnX kX kX Nkcx nx NnX kX kX Nk 共轭对称，即如果，则实偶对称，即如果，则纯虚奇对称，即( )( )x nX kRe ( )( )epx nXkIm ( )( )opjx nXk( )Re( )epxnX k( )Im( )opxnjX k总结：共轭对称性总结：共轭对称性11 ( )( )DFT x nX k22( )( )DFT x nXk解：利用两序列构成一个复序列12( )( )( )x nx njx n则12( )( )( )X kX kjXk例：设例：设x1(n)和和x2(n)都是都是N点的实数序列，试用一次点的实数序列，试用一次 N点点DFT运算来计算它

16、们各自的运算来计算它们各自的DFT:( )( )( )epopX kXkjXk*1( )()2X kXNk*1( )()2X kXNk)10()()()(10 NkWnxnxDFTkXNnnkN 308)(nnkWnx)70(432138288 kWWWkkk1043214321)0(080808 WWWXjWWWX)233()21(4321)1(382818 jWWWX224321)2(684828 jWWWX)233()21(4321)3(986838 243214321)4(1288848 WWWXjXX)233()21()3()5(* jXX22)2()6(* jXX)233()21(

17、)1()7(* 例：求序列：例：求序列：x(n) = (n)+2 (n-1)+ 3 (n-2)+4 (n-3) 的的8点点DFT。补补L-N1个零个零x(n)L点点DFT补补L-N2个零个零h(n)L点点DFTL点点IDFTy(n)= x(n) h(n)1、用、用DFT计算线性卷积计算线性卷积L 如果上述过程中的如果上述过程中的DFT和和IDFT均采用均采用FFT算法，算法，则会比直接在时域运算快则会比直接在时域运算快3倍。倍。)()()()(2121nxnxnxLnx 1,21 NNL对信号进行频谱分析，就是计算信号的傅立叶变换。对信号进行频谱分析，就是计算信号的傅立叶变换。频谱的分辨率：频

18、谱的分辨率：（1）变换区间的长度）变换区间的长度N（2）截取信号的长度。）截取信号的长度。2、用、用DFT进行频谱分析进行频谱分析)63. 0cos()48. 0sin()(nnnx 1、求以下序列的、求以下序列的N点点DFT1)( nx( )( )x nn1, 1 , 0, 1)()()(1010NknWnkXNnNnknN第三章第三章 习题习题（1）kNjknNjNnknNjNnknNeeeWkX 221021011. 1)( （2）（3）已知）已知 的的DFT为为X1(K),求求)()sin()cos()()(0010nRnwjnwnRenxNNnjw)(Im)()sin()(102nxnRnwnxN)()(Im)(1012kXnxjDFTnjxDFT)()(21)()(11102kNXkXjkjXkX)(Im)()sin()(702nxnRnwnxN的的DFT解：解：2、 已知已知 如图所示，为如图所示，为 ，试画出，试画出 ， ， ， 等各序列。等各序列。 1,1,3,2( )x n66()( )xnR n6( )x n55(3)( )x nR n6( )x n66()( )xnR n55(3)( )x