2015年浙江省高考数学试卷(理科)及答案

1、2015年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）5分，共40分2015年普通高等学校招1. (5分)已知集合P=(x|x2-2x>0,Q=x|1<x<2,则(?rP)AQ=(1,2A.0,1)B.(0,2C.(1,2)D.2. （5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积是（侧视图主视图俯视图A.8cm3B.12cm3C.ncni'D.1。JJJ3. （5分）已知an是等差数列，公差d不为零，前n项和是S,若a3,a4,a8成等比数列，则（）A.ad>0,dS4>0B.ad<

2、;0,d&<0C.ad>0,d&<0D.ad<0,d&>04. (5分)命题？nCN*,f(n)N*且f(n)&n”的否定形式是()A.?nCN*,f(n)?N*且f(n)>nB.?nCN*,f(n)?N*或f(n)>nC.?n0N*,f(n0)?N*且f(n°)>n°D.?noCN*,f(n0)?N*或f(n°)>n05. (5分)如图，设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与4ACF的面积之比是

3、()A.|BF|-1|AF|-1B.|bf|2-1IAPI2-1|BF|+1|AF|+1D.|则X|AF|6.(5分)设A,B是有限集，定义：d(A,B)=card(AUB)card(AAB),其中card(A)表示有限集A中的元素个数(命题：对任意有限集A,B,"於B'是"d(A,B)>0”的充分必要条件;命题：对任意有限集A,B,C,d(A,C)<d(A,B)+d(B,C)A.命题和命题都成立B.命题和命题都不成立C.命题成立，命题不成立D.命题不成立，命题成立7. (5分)存在函数f(x)满足，对任意xR都有()A.f(sin2x)=sinxB.f

4、(sin2x)=x2+xC.f(x2+1)=|x+11D.f(x2+2x)=|x+118. (5分)如图，已知ABC,D是AB的中点，沿直线CD将4ACD折成AA'CD所成二面角A'-CD-B的平面角为a,则()0A./A'DBaB./A'DBaC./A'CBaD./A'CBa二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.29. (6分)双曲线券-y2=1的焦距是一，渐近线方程是.10. (6分)已知函数f(x)=工，贝Uf(f(-3)=,f(x)的最小值是.11. (6分)函数f(x)=sin2x+sinxcos廿1的最

5、小正周期是，单调递减区间是12. （4分）若a=log43,则2a+2a=.13. （4分）如图，三棱锥ABCD中，AB=AC=BD=CD=3AD=BC=2点M,N分别是AD,BC的中点，则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是.C14. （4分）若实数x,y满足x2+y2<1,贝U|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是.15. （6分）已知是空间单位向量，,若空间向量E满足TG1二2,&二"，且对于任意x,yCR,|Tb'（x巳i+yej|>|b-（k口巳i+第口叼）|二1（x。，y。>R）,则xo=,yo=,IM二三、解答题：本大题共5小题，

6、共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. （14分）在4ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A二,4b2a2蒋c2.（1）求tanC的值;（2）若ABC的面积为3,求b的值.17. （15分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，/BAC=90,AB=AC=2A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点.（1）证明：ADL平面A1BC;（2）求二面角A1-BD-Bi的平面角的余弦值.18. (15分)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,bCR),记M(a,b)是|f(x)|在区间-1,1上的最大值.(1)证明：当|a|>2时，M(

7、a,b)>2；(2)当a,b满足M(a,b)02时，求|a|十|b|的最大值.19.(15分)已知椭圆上两个不同的点A,B关于直线y=mx+对称.(1)求实数m的取值范围;(2)求4AOB面积的最大值(O为坐标原点).20.(15分)已知数列an满足a=且an+1=an-an2(nCN*)(1)证明：1<-&2(nN*);an+l(2)设数列an2的前n项和为Sn,证明.1v(nN*).2(nf2)n2(nfl)2015年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1

8、.（5分）（2015?浙江）已知集合P=x|x（5分）（2015?浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体-2x>0,Q=x|1<x<2,贝U（?rPno=（）A.0,1）B.（0,2C.（1,2）D.1,2【分析】求出P中不等式的解集确定出P,求出P补集与Q的交集即可.【解答】解：由P中不等式变形得：x（x-2）>0,解得：x<0或x>2,即P=（s,0U2,+8）,?rP=（0,2）,-Q=（1,2,.（?rP）nQ=（1,2）,的体积是（主视图侧视图俯视图A.8cm3B.12cm3C.32D.'l,J故选：C.【分析】判断几何体

9、的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可.【解答】解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形高为2的正四棱锥,所求几何体的体积为:X2X2X2耍箫故选：C.3. (5分)(2015?浙江)已知a是等差数列，公差d不为零，前n项和是若a3,a4,as成等比数列，则()A.aid>0,dS4>0B.aid<0,dS<0C.aid>0,dS<0D.aid<0,d&>0【分析】由a3,a4,as成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断aid和d&的符号.【解答】解：设等差数列an的首项为ai,则a3=

10、ai+2d,a4=ai+3d,as=ai+7d,由a3,a4,as成等比数列,得(、+3d)?二(/+2d)(力+7d)，整理得：30击-5.dw0,d=-4K3(ldS4=-(4a-故选：B.323M-11<0.4. (5分)(20i5?折江)命题？nCN*,f(n)N*且f(n)&n”的否定形式是()A.?nCN*,f(n)?N*且f(n)>nB.?nCN*,f(n)?N*或f(n)>nC.?noCN*,f(n0)?N*且f(n°)>n°D.?noCN*,f(n0)?N*或f(n°)>nO【分析】根据全称命题的否定是特称命

11、题即可得到结论.【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为：？noCN*,f(nO)?N*或f(n°)>n0,故选：D.5. (5分)(20i5?浙江)如图，设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与4ACF的面积之比是()A.|BF|-1lAFl-1B.|即|2-1lAFl2-1C.lBFl+1D.|即|lAFpfl%-的关系进行求解SAACFACAN前-10C故选：A【分析】根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为即可.【解答】解：如图所示，抛物线的准线DE的方程为x=-1,过A,B分别作AE

12、，DE于E,交y轴于N,BD，DE于D,交y轴于M,由抛物线的定义知BF=BDAF=AE则|BM|=|BD|T=|BF-1,|AN|=|AE-1=|AF|-1,SaecfBCBHfBF-L6. (5分)(2015?浙江)设A,B是有限集，定义：d(A,B)=card(AUB)card(APB),其中card(A)表示有限集A中的元素个数()命题：对任意有限集A,B,"於B'是"d(A,B)>0”的充分必要条件;命题：对任意有限集A,B,C,d(A,C)<d(A,B)+d(B,C)A.命题和命题都成立B.命题和命题都不成立C.命题成立，命题不成立D.命题不

13、成立，命题成立【分析】命题根据充要条件分充分性和必要性判断即可，借助新定义，根据集合的运算，判断即可.【解答】解：命题：对任意有限集A,B,若“於B',则AUBwAHB,则card(AUB)>card(AHB),故“d(A,B)>0”成立，若d(A,B)>0"，则card(AUB)>card(AHB),则AUBAAB,故AwB成立，故命题成立，命题，d(A,B)=card(AUB)-card(APB),d(B,C)=card(BUC)-card(BAC),d(A,B)+d(B,C)=card(AUB)-card(AHB)+card(BUC)-card(

14、BAC)=card(AUB)+card(BUC)-card(AHB)+card(BAC)>card(AUC)-card(AHC)=d(A,C),故命题成立，故选：A7. (5分)(2015?浙江)存在函数f(x)满足，对任意xR都有()A.f(sin2x)=sinxB.f(sin2x)=x2+xC.f(x2+1)=|x+11D.f(x2+2x)=|x+11【分析】利用x取特殊值，通过函数的定义判断正误即可.【解答】解：A.取x=0,贝Usin2x=0,f(0)=0;取x=-,贝Usin2x=0,f(0)=1;,f(0)=0,和1,不符合函数的定义；不存在函数f(x),对任意xeR者B有f

15、(sin2x)=sinx；B.取x=0,则f(0)=0;取x=兀，则f(0)="+九；-f(0)有两个值，不符合函数的定义；该选项错误；C.取x=1,贝Uf(2)=2,取x=-1,贝Uf(2)=0;这样f(2)有两个值，不符合函数的定义；该选项错误；D.令x+1=t,则f(x2+2x)=|x+1|,化为f(t2-1)=|t|;令t21=x,贝Ut=±Vx+l；即存在函数f（x）=7x+b对任意xR,都有f（x2+2x）=|x+11;该选项正确.故选：D.8. （5分）（20157W江）如图，已知ABCD是AB的中点，沿直线CDAACD折成CD所成二面角AcCD-B的平面角为

16、%则（）A./A'DBaB./A'DBaC./A'CBaD./A'CBa【分析】解：画出图形，分AC=BCACwBC两种情况讨论即可.【解答】解：当AC=BCM,/A'DB予当AC*BC时，如图，点A'投影在AE上，a士AQE连结AA',易得/ADAcZAOA,/A'DB/AOE即/A'DBa综上所述，/ADBa,、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.2L9. (6分)(2015?折江)双曲线"-y2=1的焦距是渐近线方程是y=【分析】确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程.

17、【解答】解：双曲线得-2=1中，a=/2,b=1,c=71,焦距是2c=2内,渐近线方程是y=±返x.2故答案为：2Vs；y=±返x.2八、3,工>110. (6分)(2015?浙江)已知函数f(x)=k，贝Uf(f(-3)式J+l),=0,f(X)的最小值是空2二.【分析】根据已知函数可先求f(-3)=1,然后代入可求f(f(-3);由于x>1时，f(x)=/-3,当x<1时，f(x)=lg(x2+1),分别求出每段函数的取值范围，即可求解【解答】解：f(x)=工,x<l,f(-3)=lg10=1,则f(f(-3)=f(1)=0,当x>1时，

18、f(x)个4-3>2料-3,即最小值M一3,当x<1时，x2+1>1,f(x)=lg(x2+1)>0最小值0,故f(x)的最小值是|；2我一3.故答案为：0；|2泥-3.11. (6分)(2015例江)函数f(x)=sin2x+sinxcos)+1的最小正周期是冗，单调递减区间是k：+,k(kCZ).0占【分析】由三角函数公式化简可得f(x)更2sin(2X-2L)也，易得最小正周242期，解不等式2kJw2x-2，02kq上可得函数的单调递减区间.242【解答】解：化简可得f(x)=sin2x+sinxcosxh1(1-cos2x)工sin2x+122=Y_sin(2

19、x-)+-,242.原函数的最小正周期为T=九，2由2k+<2x-<2kt+-W#kTi+-<x<kj+-J-,24288.函数的单调递减区间为k屋匹，卜在耳(kZ)38故答案为：兀；k：+更三，k/?(kZ)8S12. (4分)(2015?浙江)若a=log43,则2a+2a=3【分析】直接把a代入2a+2-a,然后利用对数的运算性质得答案.【解答】解：:a=lo印3,可知4a=3,即2a=.-；,所以2a+2a=Jl卡空2.故答案为：.13. (4分)(2015砌江)如图，三棱锥ABCD中，AB=AC=BD=CD=3AD=BC=2点M,N分别是AD,BC的中点，则异

20、面直线AN,CM所成的角的余弦值是二一C【分析】连2ND,取ND的中点为：E,连结ME说明异面直线AN,CM所成的角就是/EMC通过解三角形，求解即可.【解答】解：连结ND,取ND的中点为：E,连结ME,则ME/AN,异面直线AN,CM所成的角就是/EMC,.AN=2ME=/2=EN,MC=2/2,又ENLNC,.EC=en2+nc2=/3,cos/EMC埋I2+S-32义也乂2加故答案为：I.14. （4分）（2015?折江）若实数x,y满足x2+y2<1,贝U|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是3.【分析】根据所给x,y的范围，可得|6-x-3y|=6-x-3y,再讨论直线2

21、x+y-2=0将圆x2+y2=1分成两部分，分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值.【解答】解：由x2+y2<1,可得6-x-3y>0,即|6x3y|=6x-3y,如图直线2x+y-2=0将圆x2+y2=1分成两部分，在直线的上方(含直线)，即有2x+y210,gP|2x+y-2|=2x+y-2,止匕时|2x+y2|+|6x3y|=(2x+y2)+(6x3y)=x2y+4,利用线性规划可得在A(-,4)处取得最小值3;在直线的下方(含直线),即有2x+y-2&0,gP|2x+y-2|=-(2x+y-2),止匕时|2x+y2|+|6x3y|=(2x+y2)+(6

22、-x-3y)=8-3x-4y,利用线性规划可得在A(i，；)处取得最小值3.综上可得，当x=言55,y号时，|2x+y2|+|6x3y|的最小值为3.515. （6分）（2015?浙江）已知同，良是空间单位向量，若空间向量R满足=2,b-e22，且对于任意x,yCR,|Tb（算巳+y巳？）|）|b（工巳+y口曰？）|二1（x。，y0CR）,贝Xo=1,y0=+日(y2)2+t2,由题意可得当x=X0=1,y=yo=2时，(x+1?4)2+j-(y2)2+t2取最小值1,由模长公式可得|b|【解答】解：.7?%=|%|巳？|cos<%？%>=cos<司?司<e!?en&g

23、t;=rr，不妨设=（匕，0），e2=1150,。），卜=mm,n5口，则由题意可知=m+n=2,Ii22L，l二，二巳广(1,0,。)，由已知可解b=(左，,t),可得1b(xe12=(x+n)上WZa解得m=-,y=4=x2+xy+y2-4x-5y+t2+7=(x+_'2+t2由题意当x=x0=1,y=y0=2时，(x+YJ)2普(y-2)2+t2取最小值1,此时t2=1,故答案为：1;2;2亚三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. （14分）（2015?折江）在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=",b

24、2a2c2.42（1）求tanC的值;（2）若ABC的面积为3,求b的值.【分析】（1）由余弦定理可得：/二丁+/-2Ac口号，已知b2-a24c2.可得争，a哼"口利用余弦定理可得cosC.可得sinC=i口$c，即可得出tanC旦色.cosC由办麻4M乎cX平eX平=3,可得c,即可得出b.atk,22445【解答】解：（1）人毛，由余弦定理可得：a二b之+c±-2be口号，b2-a2=V2bc-c2,又b2-a2c2.,IVSbc-c2=-c?.-h/2bc.可得二次任七,2224.加2-春啸J,即a旦瞿2K412ab2CC（0,九）,sinC=1,-二：5.tanC

25、±1二2.cosC（2）丁S应遍节人一77><-T-cXCX二3,解得c=2：.bJb2£=3.417. (15分)(20157W江)如图，在三棱柱ABC-A1B1G中，/BAC=90,AB=AC=2AiA=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点.(1)证明：AD，平面ABC;(2)求二面角A1-BD-Bi的平面角的余弦值.【分析】(1)以BC中点O为坐标原点，以OROA、OA1所在直线分别为x、V、z轴建系，通过。6?0A；=A5?EC=0及线面垂直的判定定理即得结论;(2)所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值

26、的绝对值的相反数，计算即可.【解答】(1)证明：如图，以BC中点O为坐标原点，以OROA、OA1所在直线分别为x、v、z轴建系.则BC<2AC=2/2,A1oJaaJ-&o2=,易知A1(0,0,V14),B(h/2,0,0),C(-阪,0,0),A(0,也,0),D(0,-6，k/H),B1(、&V2,4)，布=(0,-6，0),BD=(-6,-m，V14),可=(-阮,0,0),正=(-272,0,0),西二(0,0,V14),?Oa=0,-A1DXOA1,又.?1=0,AD,BC,又.OA1nBC=O.A1D，平面A1BC;(2)解：设平面ABD的法向量为i=(x,

27、y,z),，行km'BD=O二一-V2K-V2y+Vi4z=0取z=1,得益=（布,0,1）,设平面BiBD的法向量为|力二(x,y,z),由,必二得L盘厂比什岛"。Ln-BD=OIV2x=C取z=1,得，=(0,r，1),cos<R,|n>=-1南商WTW石又该二面角为钝角,18. (15分)(2015砌江)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,bCR),记M(a,b)是|f(x)|在区间-1,1上的最大值.(1)证明：当|a|>2时，M(a,b)>2；(2)当a,b满足M(a,b)&2时，求|a|十|b|的最大值.【分析】(1)明确二次函数

28、的对称轴，区间的端点值，由a的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变形所求得到证明；(2)讨论a=b=0以及分析M(a,b)02得到-3&a+b01且-3&b-a01,进一步求出|a|+|b|的求值.【解答】解：(1)由已知可得f(1)=1+a+b,f(T)=1-a+b,对称轴为x=4,因为|a|2,所以-包<-1或-31,所以函数f(x)在-1,1上单调，所以M(a,b)=maX|f(1),|f(一1)|=max|1+a+b|,|1-a+b|,所以M(a,b)>(|1+a+b|+|1-a+b|)>-1-|(1+a+b)-(1-a+b)|2a|=|a|

29、>2;(2)当a=b=0时，|a|+|b|=0又|a|+|b|>0,所以0为最小值,符合题意;又对任意x-1,1.有-20x2+ax+b02,14b一日工得至U-3&a+b01且一3&b-a01,-2<<2,q易知(|a|+|b|)max=max|a-b|,|a+b|=3,在b=-1,a=2时符合题意，所以|a|+|b|的最大值为3.19. (15分)(2015?折江)已知椭圆?斗产二上两个不同的点a,B关于直线y=mx=对称.(1)求实数m的取值范围；(2)求4AOB面积的最大值(。为坐标原点).【分析】（1）由题意，可设直线AB的方程为x=-my+n,代入椭圆方程可得（m2+2）y2-2mny+n2-2=0,设A（x1，y1），B（x2,y2）.可得>0,设线段AB的中点P（xo,y。），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P,代入直线y=mx，可得七二一堂之代入4>0即可解出.加（2）直线AB与x轴交点横坐标为n,可得OAB=i-|n|力-2|,再利用均值不等式即可得出.【解答】解：(1)由题意，可设直线AB的方程为x=-my+n,代入椭圆方程,2一ccc勺+y2=i，可得(m2+2)y2-2mny+n2-2=0,设A(xi,yi),B(X2,y2).由题意