数学条件概率学习教案

1、数学条件数学条件(tiojin)概率概率第一页，共32页。若已知第一个人取到的是白球，则第二个人取到红球的概率(gil)是多少？已知事件A发生的条件(tiojin)下，事件B发生的概率称为在事件A发生的条件(tiojin)下事件B发生的条件(tiojin)概率，简称为B对A的条件(tiojin)概率，记作P(B|A)。若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到红球的概率(gil)又是多少？一、条件概率一、条件概率第1页/共31页第二页，共32页。例1.14 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意(rny)抽取两次，每次取一个，取后不放回。(1)已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率；

2、(2)求第二次取到红球的概率；(3)求两次均取到红球的概率。解 设A第一次取到红球,B第二次取到红球41)|() 1 (ABP522312)()2(25PBP10112)() 3(25PABP第2页/共31页第三页，共32页。S=ABA第一次取到红球,B第二次取到红球第3页/共31页第四页，共32页。显然，若事件A、B是古典概型的样本空间S中的两个(lin )事件，其中A含有nA个样本点，AB含有nAB个样本点，则AABnnABP)|(称为事件A发生的条件(tiojin)下事件B发生的条件(tiojin)概率定义定义 设设A、B是是S中的两个中的两个(lin )事件，事件，P(A)0，则，则

3、)()(APABPnnnnAAB)A(P)AB(P)AB(P第4页/共31页第五页，共32页。“条件条件(tiojin)(tiojin)概率概率”是是“概率概率”吗？吗？何时何时(h (h sh)P(A|B)=P(A)?sh)P(A|B)=P(A)?何时何时(h (h sh)P(A|B)P(A)?sh)P(A|B)P(A)?何时何时(h (h sh)P(A|B)P(A)?sh)P(A|B)0，则有乘法(chngf)公式P(AB)P(A)P(B|A)当P(AB)0时，上式还可推广到三个事件(shjin)的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB) 一般地，n个随机事件A1,A2,An

4、，且 P(A1A2An-1)0,有下列公式： P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 A2).P(An|A1An1)第11页/共31页第十二页，共32页。52104)(AP15293104)()()(ABPAPABP15494106)()()(ABPAPBAP3018293104)()()()(ABCPABPAPABCP返回(fnhu)第12页/共31页第十三页，共32页。例例1.19 1.19 盒中有盒中有3 3个红球，个红球，2 2个白球，每次从袋中任取一只，个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同观察其颜色后放回，并再放入一只与所取

5、之球颜色相同(xin tn)(xin tn)的球，若从盒中连续取球的球，若从盒中连续取球4 4次次, ,试求第试求第1 1、2 2次次取得白球、第取得白球、第3 3、4 4次取得红球的概率。次取得红球的概率。解 设Ai为第i次取球时取到白球，则)|()|()|()()(32142131214321AAAAPAAAPAAPAPAAAAP52)(1AP63)|(12AAP73)|(213AAAP84)|(3214AAAAP第13页/共31页第十四页，共32页。例1.18第14页/共31页第十五页，共32页。104)(AP例1.18乙抽到难签的概率乙抽到难签的概率(gil)，注意到，注意到)(BAA

6、BB)()()(BAPABPBP)()()()(ABPAPABPAP1049410693104丙抽到难签的概率丙抽到难签的概率(gil)，注意到，注意到CBACBABCAABCC)()()()()(CBAPCBAPBCAPABCPCP)()()()()()()()()()()()(BACPABPAPABCPABPAPBACPABPAPABCPABPAP1048495106839610483941068293104可将此类问题推广到一般情况。第15页/共31页第十六页，共32页。A1A2AnB事件组A1,A2,An组成(z chn)样本空间S的一个完备事件组第16页/共31页第十七页，共32页。

7、定理1.1 设试验E的样本空间为S，B为E的事件(shjin)。设事件(shjin)组A1,A2,An组成样本空间S的一个完备事件(shjin)组且设 P(Ak)0,(k=1,2,n),则 )A|B()A()A|B()A()A|B()A()A|B()A()B(22111kknkkkPPPPPPPPP此公式称为(chn wi)全概率公式。)AB(P)A(P)AB(P)A(PP(B)2,n:特例第17页/共31页第十八页，共32页。例1.20 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品(chnpn)，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为2、1、3，试求市

8、场上该品牌产品(chnpn)的次品率。)()|()()|()()|(332211APABPAPABPAPABP0225. 02103. 04101. 04102. 0)()()()(321BAPBAPBAPBP解 设B：买到一件次品(cpn)；A1：买到一件甲厂的产品；A2：买到一件乙厂的产品；A3：买到一件丙厂的产品。第18页/共31页第十九页，共32页。解解 设设A A表示表示(biosh)(biosh)事件事件“一批产品通过检验一批产品通过检验”，Bi(i=0,1,2,3,4)Bi(i=0,1,2,3,4)表表示示(biosh)“(biosh)“一批产品含有一批产品含有i i件次品件次品

9、”，则，则B0,B1, B2, B3, B4B0,B1, B2, B3, B4组成样本组成样本空间的一个划分，空间的一个划分， 1)(, 1 . 0)(00BAPBP900. 0)(, 2 . 0)(10100109911CCBAPBP809. 0)(, 4 . 0)(10100109822CCBAPBP727. 0)(, 2 . 0)(10100109733CCBAPBP652. 0)(, 1 . 0)(10100109644CCBAPBP返回(fnhu)第19页/共31页第二十页，共32页。)()()(40kkkBAPBPAP814. 0652. 01 . 0727. 02 . 0809.

10、 04 . 0900. 0.021 . 0例例1.211.21的结果提供给人们这样的信息，即若工厂生产的结果提供给人们这样的信息，即若工厂生产了了10001000批产品，则可以批产品，则可以(ky)(ky)通过检验，以合格品出通过检验，以合格品出产的约有产的约有814814批，而作为合格品出售的产品，每批中批，而作为合格品出售的产品，每批中仍可能含有仍可能含有i(i=0,1,2,3,4)i(i=0,1,2,3,4)件次品。因此，就顾客而件次品。因此，就顾客而言，希望所买的产品中含次品少的概率要大，即概率言，希望所买的产品中含次品少的概率要大，即概率P(Bi|A) (i=0,1,2,3,4)P(

11、Bi|A) (i=0,1,2,3,4)中最大的一个所对应中最大的一个所对应i i的越小的越小越好，这就是下面讨论的另一个重要公式。越好，这就是下面讨论的另一个重要公式。 第20页/共31页第二十一页，共32页。nkPPPPPniiikkk, 2 , 1)AB()A()AB()A()BA(1此式称为(chn wi)Bayes公式。 第21页/共31页第二十二页，共32页。123. 0814. 011 . 0)|()()|()()|(40000iiiBAPBPBAPBPABP类似可以计算顾客买到的一批合格品中，含次品数为1、2、3、4件的概率(gil)分别约为0.221、0.398、0.179、0

12、.080。第22页/共31页第二十三页，共32页。例例1.22 1.22 有甲乙两个袋子，甲袋中有有甲乙两个袋子，甲袋中有2 2个白球，个白球，1 1个红球，个红球，乙袋中有乙袋中有2 2个红球，个红球，1 1个白球。这个白球。这6 6个球手感上不可个球手感上不可(bk)(bk)区别。今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中区别。今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？任取一球，问此球是红球的概率？解 设A1从甲袋放入乙袋的是白球；A2从甲袋放入乙袋的是红球；B从乙袋中任取一球是红球。12731433221)|()()|()()(2211ABPAPABPA

13、PBP甲乙第23页/共31页第二十四页，共32页。思考(sko) 例1.22中，若已知取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？答答74127)()|()()()|(1111APABPBPBAPBAP第24页/共31页第二十五页，共32页。例例1.231.23设某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一产品，产量依次占全厂设某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一产品，产量依次占全厂的的45%45%，35%35%，20%20%。且各车间的次品率依次为。且各车间的次品率依次为4%4%，2%2%，5%5%。现从待出。现从待出厂厂(ch chng)(ch chng)的产品中抽取的产品中抽取1 1个产品，问个

14、产品，问(1)(1)该产品是次品的概率，该产品是次品的概率，(2)(2)该产品是由哪个车间生产的可能性最大。该产品是由哪个车间生产的可能性最大。解 设A表示产品(chnpn)为次品的事件，B1,B2,B3分别表示产品(chnpn)是甲、乙、丙车间生产的事件，则P(B1)=45%，P(B2)=35%， P(B3)=20%，且P(A|B1)=4%， P(A|B2)=2%，P(A|B3)=5% (1)P(A)= P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3) =45%4%+35%2%+20%5%=0.035(2)514. 0035. 004. 045. 0)()()()

15、()()()()()(332211111BAPBPBAPBPBAPBPBAPBPABP200. 0035. 002. 035. 0)(2ABP286. 0035. 005. 020. 0)(3ABP第25页/共31页第二十六页，共32页。第26页/共31页第二十七页，共32页。95. 0)(,95. 0)(CAPCAP现对一大批人进行癌症普查，设被查的人确实患有癌症的概率是P(C)=0.005，试求当一个被检查者其检验结果为阳性时，那么(n me)他确实患癌症的条件概率是多少？即求P(C|A)。解005.0)(CP95. 0)(,95. 0)(CAPCAP)()()()()()()(CAPCP

16、CAPCPCAPCPACP087. 0)95. 01 (995. 095. 0005. 095. 0005. 0本例中P(C)=0.005就是先验概率，而P(C|A)=0.087为后验概率。可见(kjin)比先验概率提高了近16.4倍。虽然诊断的可靠性P(A|C)较高，但是确诊(即被检查诊断患有癌症者确实有癌症)的可能性很小，所以还必须提高诊断的准确率。 第27页/共31页第二十八页，共32页。例1.25数字通讯过程中，信源发射0、1两种状态信号，其中发0的概率为0.55，发1的概率为0.45。由于信道中存在干扰，在发0的时候，接收端分别(fnbi)以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1和“不清”。在发1的时候，接收端分别(fnbi)以概率0.85、0.05和0.1接收为1、0和“不清”。现接收端接收到一个“1”的信号。问发端发的是0的概率是多少?)A(P)AB(P)A(P)AB(P)A(P)AB(P 0.067解 设A-发射(fsh)端发射(fsh)0，B-接收端接收到一个“1”的