大地测量学基础(第4章 地球椭球数学投影的基本理论+2011.04.18)

1、1 第四章第四章 地球椭球数学投影的基本理论地球椭球数学投影的基本理论2* 地球形状接近一个两极略扁的旋转椭球，为研究方地球形状接近一个两极略扁的旋转椭球，为研究方便，通常采用便，通常采用旋转椭球旋转椭球代表地球，作为描述地球表面代表地球，作为描述地球表面空间位置的基准，称其为空间位置的基准，称其为地球椭球地球椭球。S纬线NOWE赤道赤道赤道平面赤道平面起始子午面起始子午线G3用数学模型表示地球椭球，可以：用数学模型表示地球椭球，可以： 1 1）代表地球的数学表面；）代表地球的数学表面； 2 2）大地测量计算的基准面；）大地测量计算的基准面； 3 3）研究大地水准面的参考面；）研究大地水准面的

2、参考面； 4 4）地图投影的参考面。）地图投影的参考面。44.1地球椭球基本参数及其互相关系地球椭球基本参数及其互相关系 地球椭球是选择的旋转椭球地球椭球是选择的旋转椭球, ,旋转椭球的形状和大小旋转椭球的形状和大小常用子午椭圆的五个基本几何参数常用子午椭圆的五个基本几何参数( (或称元素或称元素):): 长半轴长半轴 短半轴短半轴 椭圆的扁率椭圆的扁率 椭圆的第一偏心率椭圆的第一偏心率 椭圆的第二偏心率椭圆的第二偏心率 通常用通常用a , aba abae22bbae22ee5 为简化书写，还常引入以下符号2222, tan , cosactBeBbBeVBeW2222cos1sin1221

3、,11,11,11,12222222222eeVWeWVeeeeeeecaeaceabeba222222222221( )1( )1sin(1)1(1 )bWeVVaaVeWWbWeBe VVeW 椭球基本参数及其互相关系椭球基本参数及其互相关系64.2 椭球面上常用坐标系及其关系椭球面上常用坐标系及其关系4.2.1 各种坐标系的建立各种坐标系的建立1、大地坐标系、大地坐标系大地经度大地经度B 大地纬度大地纬度L 大地高大地高H 72、空间直角坐标系空间直角坐标系 坐标原点坐标原点位于总地球椭球位于总地球椭球( (或参考椭球或参考椭球) )质心；质心；Z Z轴轴与地与地球平均自转轴相重合，亦即

4、指向某一时刻的平均北极点；球平均自转轴相重合，亦即指向某一时刻的平均北极点；X X轴轴指向平均自转轴与平均格林尼治天文台所决定的子午面指向平均自转轴与平均格林尼治天文台所决定的子午面与赤道面的交点与赤道面的交点G G；Y Y轴轴与此平面垂直，且指向东为正。与此平面垂直，且指向东为正。 地心空间直角系与参心空间直角坐标系之分。地心空间直角系与参心空间直角坐标系之分。 常用坐标系及其关关系常用坐标系及其关关系83、子午面直角坐标系子午面直角坐标系 设设P点的大地经度为点的大地经度为L，在过在过P点的子午面上，以点的子午面上，以子午圈椭圆中心为原点，建立子午圈椭圆中心为原点，建立x, y平面直角坐标

5、系。在平面直角坐标系。在该坐标系中，该坐标系中，P点的位置用点的位置用L, x, y表示。表示。 常用坐标系及其关系常用坐标系及其关系94、地心纬度坐标系及归化纬度坐标系、地心纬度坐标系及归化纬度坐标系 设椭球面上设椭球面上P点的大地经度点的大地经度L，在此子午面上以椭圆在此子午面上以椭圆中心中心O为原点建立为原点建立地心纬度坐标系地心纬度坐标系; 以椭球长半径以椭球长半径a为半为半径作辅助圆，延长径作辅助圆，延长与辅助圆相交与辅助圆相交点，则点，则OP与与x轴夹角称为轴夹角称为P点的点的归化纬度归化纬度u。 常用坐标系及其关系常用坐标系及其关系10常用坐标系及其关系常用坐标系及其关系5 5、

6、大地极坐标系、大地极坐标系 M是椭球面上一点，是椭球面上一点，MN是过是过M的子午线，的子午线，S为连接为连接MP的大地线长，的大地线长，A为大地线在为大地线在M点的方位角。点的方位角。 以以M为极点；为极点； MN为极轴；为极轴； P点极坐标为（点极坐标为（S, A)11常用坐标系及其关系常用坐标系及其关系4.2.2 坐标系之间的相互关系坐标系之间的相互关系 子午平面坐标系同大地坐标系的关系 22221(1)xy abyxabdxdy22222c(1) (2)bxxtgBeayyBexytan)1(2WBaBeBaxcossin1cos22ctgBBdxdy)90tan(012常用坐标系及其

7、关系常用坐标系及其关系 令令: pn=NVBbBeWaBeBeaysinsin)1 (sin1sin)1 (2222cosxNBWaNBeNysin)1 (2BPQysin)1 (2eNPQ2NeQn WBaBeBaxcossin1cos2213常用坐标系及其关系常用坐标系及其关系c o s, s in, XxLYxLZyl空间直角坐标同子午面直角坐标系的关系空间直角坐标同子午面直角坐标系的关系14常用坐标系及其关系常用坐标系及其关系 2coscoscossincossin(1) sinXxLNBLYxLNBLZyNeBBHeNLBHNLBHNZYXsin)1 (sincos)(coscos)

8、(2nH0l空间直角坐标系同大地坐标系空间直角坐标系同大地坐标系在椭球面上的点：在椭球面上的点：不在椭球面上的点：不在椭球面上的点：15常用坐标系及其关系常用坐标系及其关系2222arccosarcsinarctanYXXLYXYLXYL222sintanYXBNeZBNBYXHcos222(1)sinzHNeB l由空间直角坐标计算相应大地坐标由空间直角坐标计算相应大地坐标16 B、u、 之间的关系之间的关系 B和u之间的关系 2cos,sinsincos ,(1) sinxau ybuaabBxByeBWWVBWeusin1sin2BWucos1cosuVBsinsinuWBcoscos常

9、用坐标系及其关系常用坐标系及其关系17uexytan12xytanue tan1tan2Betan)1 (tan28.11)(9.5)(9.5)(maxmaxmaxBuuB uB常用坐标系及其关系常用坐标系及其关系n U、之间的关系之间的关系n 、之间的关系之间的关系n 大地纬度、地心纬度、归化纬度之间的差异很小，经大地纬度、地心纬度、归化纬度之间的差异很小，经过计算，当过计算，当B=45时时184.3 椭球面上的几种曲率半径椭球面上的几种曲率半径 过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面叫作 法截面法截面，法截面与椭球面的交线叫法截线法截线。 子午圈曲率半径dBdSM

10、19BdxdSsinBdBdxMsin1WBaxcos2cossinWdBdWBBWadBdxWBBedBBeddBdWcossinsin1222)1 (sin23eWBadBdx椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径2023(1)aeMW3VcM 椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径21 卯酉圈曲率半径(N) 卯酉圈卯酉圈: :过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面，过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合的圈称为卯酉圈。形成的闭合的圈称为卯酉圈。 麦尼尔定理麦尼尔定理: : 假设通过

11、曲面上一点引两条截弧，一为法截弧，假设通过曲面上一点引两条截弧，一为法截弧，一为斜截弧，且在该点上这两条截弧具有公共切线，一为斜截弧，且在该点上这两条截弧具有公共切线，这时斜截弧在该点处的曲率半径等于法截弧的曲率半这时斜截弧在该点处的曲率半径等于法截弧的曲率半径乘以两截弧平面夹角的余弦径乘以两截弧平面夹角的余弦。椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径22BNrcosWBarxcosWaN VcN BrBPONPncoscos椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径23 卯酉圈曲率半径的特点卯酉圈曲率半径的特点: : 卯酉圈曲率半径恰好等于法线介于椭球面和短轴卯酉圈曲率半径恰好等于法线介于椭球

12、面和短轴之间的长度，亦即卯酉圈的曲率中心位在椭球的旋转之间的长度，亦即卯酉圈的曲率中心位在椭球的旋转轴上。轴上。 椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径24主曲率半径的计算主曲率半径的计算 以上讨论的子午圈曲率半径以上讨论的子午圈曲率半径M M及卯酉圈曲率半径及卯酉圈曲率半径N N，是两个互相垂直的法截弧的曲率半径，这在微分几何中是两个互相垂直的法截弧的曲率半径，这在微分几何中统称为主曲率半径。统称为主曲率半径。 23222)sin1)(1 (BeeaM2122)sin1 (BeaNBmBmBmBmmM886644220sinsinsinsinBnBnBnBnnN886644220sinsi

13、nsinsin椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径256284262240222089674523)1 (memmemmemmemeam628426224022087654321nennennennenan椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径262322)cos1(BecM2122)cos1 (BecNBmBmBmBmmM886644220coscoscoscosBnBnBnBnnN886644220coscoscoscos椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径271011) (89674523)1 (/821062842622402220memmemmemmemmemeacm109

14、) (876543211/821062842622402220nennennennenneneacn28 任意法截弧的曲率半径任意法截弧的曲率半径 NAMARA22sincos1AMANMNRA22sincos21VMNABeNANRA2222coscos1cos1)coscos1 (4422AANRA椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径29 任意法截弧的曲率半径的变化规律: 不仅与点的纬度不仅与点的纬度B有关，而且还与过该点的法有关，而且还与过该点的法截弧的方位角截弧的方位角A有关。有关。 当时，变为计算子午圈曲率半径的，即当时，变为计算子午圈曲率半径的，即； 当当90时，为卯酉圈曲率半

15、径，即时，为卯酉圈曲率半径，即。主曲率半径。主曲率半径M及及N分别是分别是的极小值和极大值的极小值和极大值。 当当A由由090时，时，之值由之值由，当，当A由由90180时，时，值由值由N，可见，可见值的变化是以值的变化是以90为周期且与子午圈和卯酉圈对称的。为周期且与子午圈和卯酉圈对称的。 椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径30l 平均曲率半径平均曲率半径 椭球面上任意一点的平均曲率半径椭球面上任意一点的平均曲率半径 R R 等于该点子午等于该点子午圈曲率半径圈曲率半径M M和卯酉圈曲率半径和卯酉圈曲率半径N N的几何平均值。的几何平均值。 MNR 22221eWaVNVcWbR椭球面

16、上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径31 M，N，R的关系 MRNcMRN909090椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径32 对于克拉索夫斯基椭球椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径334.4 椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算 子午线弧长计算公式子午线弧长计算公式 MdBdx BMdBX0BmBmBmBmmM886644220sinsinsinsin34椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算BBBBBBBBBBBBBB8cos12816cos1614cos3272cos16712835sin6cos3214cos1632cos3215165sin4cos812cos2183sin2c

17、os2121sin8642BaBaBaBaaM8cos6cos4cos2cos86420BaBaBaBaBaX8sin86sin64sin42sin2864203512816323271638167321522128351653288866864486422864200mammammmammmmammbmmma椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径36 如果以如果以B B9090代入，则得子午椭圆在一个象限内的弧代入，则得子午椭圆在一个象限内的弧长约为长约为10 002 13710 002 137m m。旋转椭球的子午圈的整个弧长约旋转椭球的子午圈的整个弧长约为为40 008 549.995

18、40 008 549.995m m。即一象限子午线弧长约为即一象限子午线弧长约为10 10 000000kmkm，地球周长约为地球周长约为40 00040 000kmkm。 为求子午线上两个纬度为求子午线上两个纬度B及间的弧长，只需按及间的弧长，只需按(11.42)式分别算出相应的式分别算出相应的X及及X，而后取差：而后取差：，该，该即为所求的弧长。即为所求的弧长。 当弧长甚短当弧长甚短( (例如例如X40kmX40km，计算精度到计算精度到0.0010.001m)m)，可视可视子午弧为圆弧，而圆的半径为该圆弧上平均纬度点的子午弧为圆弧，而圆的半径为该圆弧上平均纬度点的子午圈的曲率半径子午圈的

19、曲率半径M M 椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算37 由子午弧长求大地纬度 迭代解法迭代解法: : 平行圈弧长公式 01/ aXBf01/)(aBFXBifififififififBaBaBaBaBF8sin86sin64sin42sin2)(8642cos1lblBNS椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算38椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算 子午线弧长和平行圈弧长变化的比较子午线弧长和平行圈弧长变化的比较394.5 大地线大地线 两点间的最短距离，在平面上是两点间的直线，在两点间的最短距离，在平面上是两点间的直线，在球面上是两点间的大圆弧，那么在椭球面上又是怎样的球面上是两点间的大圆

20、弧，那么在椭球面上又是怎样的一条线呢一条线呢? ? 它应是大地线。它应是大地线。 相对法截线相对法截线 2211sinsinBnQOnBnQOnbbaa222121sinsinBeNOnBeNOnba40 相对法截线相对法截线 大地线大地线41 相对法截线的特点相对法截线的特点: :当当A，B两点位于同一子午圈或同一平行圈上两点位于同一子午圈或同一平行圈上时，正反法截线则合二为一。时，正反法截线则合二为一。在通常情况下，正反法截线是不重合的。因此在通常情况下，正反法截线是不重合的。因此在椭球面上在椭球面上A，B，C三个点处所测得的角度三个点处所测得的角度(各点上正法截线之夹角各点上正法截线之夹

21、角)将不能构成闭合三角将不能构成闭合三角形。为了克服这个矛盾，在两点间另选一条单形。为了克服这个矛盾，在两点间另选一条单一的大地线代替相对法截线，从而得到由大地一的大地线代替相对法截线，从而得到由大地线构成的单一的三角形。线构成的单一的三角形。 大地线大地线42大地线大地线大地线的定义和性质大地线的定义和性质椭球面上两点间的最短程曲线叫椭球面上两点间的最短程曲线叫大地线大地线。43 大地线的性质大地线的性质: : 大地线是两点间惟一最短线，而且位于相对法大地线是两点间惟一最短线，而且位于相对法截线之间，并靠近正法截线，它与正法截线间截线之间，并靠近正法截线，它与正法截线间的夹角的夹角 在椭球面

22、上进行测量计算时，应当以两点间的在椭球面上进行测量计算时，应当以两点间的大地线为依据。在地面上测得的方向、距离等，大地线为依据。在地面上测得的方向、距离等，应当归算成相应大地线的方向、距离。应当归算成相应大地线的方向、距离。 长度差异可忽略长度差异可忽略, ,方向差异需改化。方向差异需改化。 31大地线大地线44 大地线的微分方程和克莱劳方程大地线的微分方程和克莱劳方程 大地线的微分方程大地线的微分方程45AdSMdBcosdSMAdBcosAdSBdLNsincosdSBNAdLcossin)sin(sinsindBBdLdABdLdAsinBdSNAdAtansincos(90)sinsi

23、n(90(90)dAdLBdB大地线的微分方程大地线的微分方程46dA PTr dl cossinsinrdlNBdlAdABdltgBdSPTNctgBNPTNctgB47dSMAdBcosBNBdBMAAdAcossincossincossinrNB MBdBdrCrAlnlnsinlnCAr sinBdSNAdAtansin大地线的微分方程大地线的微分方程大地线的克莱劳方程大地线的克莱劳方程 在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半径在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半径与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于常数。式中常数常数。式中常数C也叫大地

24、线常数也叫大地线常数 48 当大地线穿越赤道时当大地线穿越赤道时 当大地线达极小平行圈时当大地线达极小平行圈时 由克莱劳方程可以写出由克莱劳方程可以写出 0sin AaC 0090sinrrC2112sinsinAArrCABNsincosCAuasincos494.6 将地面观测值归算至椭球面将地面观测值归算至椭球面 观测的基准线不是各点相应的椭球面的法线，而观测的基准线不是各点相应的椭球面的法线，而是各点的垂线，各点的垂线与法线存在着垂线偏差。是各点的垂线，各点的垂线与法线存在着垂线偏差。 归算的两条基本要求：归算的两条基本要求： 以椭球面的法线为基准；以椭球面的法线为基准； 将地面观测元

25、素化为椭球面上大地线的相应元素将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素。 将地面观测的水平方向归算至椭球面将地面观测的水平方向归算至椭球面 将水平方向归算至椭球面上，包括垂线偏差改正、将水平方向归算至椭球面上，包括垂线偏差改正、标高差改正及截面差改正，习惯上称此三项改正为标高差改正及截面差改正，习惯上称此三项改正为三三差改正差改正。 50垂线偏差改正垂线偏差改正 以测站以测站A为中心作出单位为中心作出单位半径的辅助球半径的辅助球, ,u是垂线是垂线偏差，它在子午圈和卯酉偏差，它在子午圈和卯酉圈上的分量分别以圈上的分量分别以,表示，表示，M是地面观测目标是地面观测目标m在球面上的投影。在球面上

26、的投影。地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面51在在RR1 1RMRM中，由球面正弦定理得中，由球面正弦定理得：1110coscossinsinsinsin)90sin(ZqqZqqZuuuu很小，则有与即P52在球面在球面ZZZZ1 1M M中，根据正弦定理有：中，根据正弦定理有：1111111tan)cossincot)cossincossin)cossin()sincoscos(sinsin)sincoscos(sinsinsinsinsin)sin(sinsin mmmmummmmmmmAAZAAZqZAAAAAAZuqAAAAZuqZAAuq （则垂线偏差改正为：则垂线偏差改

27、正为：P53 标高差改正 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面 由于不在同一子午面或同一平行由于不在同一子午面或同一平行圈上的两点的法线是不共面的，当圈上的两点的法线是不共面的，当照准点高出椭球面某一高度时，照照准点高出椭球面某一高度时，照准面就不能通过照准点的法线与椭准面就不能通过照准点的法线与椭球面的交点，由此引起方向偏差球面的交点，由此引起方向偏差h.vHbbbBbAsbbbAhsin)180sin(2 中中在在 54212221212221222122221222220coscoscos2cos2sin2cos)sin(sincossinsincossinsinsincos)9

28、0sin(sinBBBBeBBBBBeBBBeBnBBeNBeNBnBnnvNNBnBeNBeNOnOnnnBnBnnBnBnnvnBnmaabababaaababbaabaababa）（则令中，由正弦定理有：在55ABMHeABeMHABMAsesAsbbAAABMAsevHbbBMAsevBBMAsBBbAhAbbAAbAbmAb2sincos22sincos2sincoscos1)180sin(180coscossincoscossincos2222222222002222222212 56 截面差改正截面差改正 2222111() cossin 212geSBAN 地面观测值归算至椭球

29、面地面观测值归算至椭球面57 将地面观测的长度归算至椭球面将地面观测的长度归算至椭球面 基线尺量距的归算基线尺量距的归算 将基线尺量取的长度加上测段倾斜改正后，将基线尺量取的长度加上测段倾斜改正后，可以认为它是基线平均高程面上的长度，以可以认为它是基线平均高程面上的长度，以表示，现要把它归算至参考椭球面上的大地线长表示，现要把它归算至参考椭球面上的大地线长度度S。 1. 1.垂线偏差对长度归算的影响垂线偏差对长度归算的影响 )(22122121HHuuhuuSu地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面582.高程对长度归算的影响高程对长度归算的影响 RHRHRSSmm10101RHSSm2

30、201RHRHSSmm2200RHSRHSSmmH)(21122110HHuuRHSSm地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面59电磁波测距的归算电磁波测距的归算 12212coscos1ABeNRA)( 2)()(cos2122221HRHRDHRHRAAAAAARSRS2sin21coscos2)(4)(2sin1221222HRHRHHDRSAAA地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面60)1)(1()(1arcsin221212AAAARHRHDHHRDRS232121224)1)(1 ()(1AAARDRHRHDHHDS232242AAmRDRHDDhDS2322241A

31、AmRDRHhDS)1)(1 ()(121212AARHRHDHHDd地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面61 大地测量主题解大地测量主题解算算4.7.1 大地主题解算的一般说明大地主题解算的一般说明 主题解算分为主题解算分为: : 短距离短距离(400(400kmkm) ) 中距离中距离(1000(1000km)km) 长距离长距离(1000(1000kmkm以上以上) ) 111 21 2222 1(,),(,),P B L S A P B L A12正 算 : 已 知 求11221 21 22 1(,),(,),P B L P B L S A A12反 算 : 已 知 ， 求62

32、1.以大地线在大地坐标系中的微分方程为基础，直以大地线在大地坐标系中的微分方程为基础，直接在地球椭球面上进行积分运算。接在地球椭球面上进行积分运算。 主要特点：解算精度与距离有关，距离越长，主要特点：解算精度与距离有关，距离越长，收敛越慢，因此只适用于较短的距离收敛越慢，因此只适用于较短的距离 典型解法：典型解法：高斯平均引数法高斯平均引数法 212121212121co ssinco stansinPPPPPPABBd SMALLd SNBBAAA d SNc o ss i nc o st a ns i nd BAd SMd LAd SNBd ABAd SN 大地测量主题解算大地测量主题解算

33、632.以白塞尔大地投影为基础以白塞尔大地投影为基础1)1)按椭球面上的已知值计算球面相应值，即实现椭球面按椭球面上的已知值计算球面相应值，即实现椭球面 向球面的过渡；向球面的过渡；2)2)在球面上解算大地问题；在球面上解算大地问题；3)3)按球面上得到的数值计算椭球面上的相应数值，即实按球面上得到的数值计算椭球面上的相应数值，即实现从圆球向椭球的过渡。现从圆球向椭球的过渡。典型解法：典型解法：白塞尔大地主题解算白塞尔大地主题解算 特点：特点：解算精度与距离长短无关，它既适用于短距离解算精度与距离长短无关，它既适用于短距离解算，也适用于长距离解算。可适应解算，也适用于长距离解算。可适应20 0

34、0020 000kmkm或更长的或更长的距离，这对于国际联测，精密导航，远程导弹发射等都距离，这对于国际联测，精密导航，远程导弹发射等都具有重要意义。具有重要意义。 大地测量主题解算大地测量主题解算644.7.2 勒让德级数式勒让德级数式 为了计算为了计算 的级数展开式，关键问题是推求的级数展开式，关键问题是推求各阶导数。各阶导数。22332111112323nnnd BSdBd BSd BSBBBSdSndSdSdS()()()()! 2221BB S LL S AA S( ),( ),( ) 1112000BB LL AA( ),( ),( ) 22332111112323nnnd LSd

35、Ld LSd LSLLLS dSndSdSdS()()()()! 22332111112318023nnnd ASdAd ASd ASAAASdSndSdSdS()()()()! B L A, 大地测量主题解算大地测量主题解算65 一阶导数：一阶导数：3coscossinsecsincostansintansindBAVAdSMcdLAVBBdSNBcdABVABAdSNc 二阶导数：二阶导数：242222234 190()()(cossin)()d BdB dBdB dAVtAA dSB dS dSA dS dSc 大地测量主题解算大地测量主题解算66 三阶导数三阶导数22222()()se

36、csincos(4 192)d LdL dBdL dAVtBAA dSB dS dSA dS dSc 2222221 24 194()()sin cos ()()d AdA dBdA dAVAAt dSB dS dSA dS dSc 352222 22222331 39312 2d BVAAttAt5 t dSccos sin()cos() 32322d LVtBAA dScsec sin cos 332222233213d LVBAA+ ttA dScsecsincos()sin 大地测量主题解算大地测量主题解算671cosuSA 1sinvSA 大地测量主题解算大地测量主题解算68 大地测

37、量主题解算大地测量主题解算69 大地测量主题解算大地测量主题解算70 4.7.3 高斯平均引数正算公式高斯平均引数正算公式 高斯平均引数正算公式推导高斯平均引数正算公式推导的基本思想：的基本思想： 首先把勒让德级数在首先把勒让德级数在 P P点展点展开改在大地线长度中点开改在大地线长度中点M M展开，以展开，以使级数公式项数减少，收敛快，使级数公式项数减少，收敛快，精度高；其次，考虑到求定中点精度高；其次，考虑到求定中点 M M 的复杂性，将的复杂性，将 M M 点用大地线两点用大地线两端点平均纬度及平均方位角相对端点平均纬度及平均方位角相对应的应的 m m 点来代替，并借助迭代计点来代替，并

38、借助迭代计算便可顺利地实现大地主题正解。算便可顺利地实现大地主题正解。 大地测量主题解算大地测量主题解算7121,22SSMP MP 223322311()()()(4200)22468MMdBSd B Sd B SBB dSdSdS223312311()()()(4201)22468MMMMdBSd BSd BSBB dSdSdS (1)建立级数展开式建立级数展开式: 33213()()(4202)24MMdBd BBBBSS dSdS 大地测量主题解算大地测量主题解算72mMmMBB AA, 3321324MMdLd LLLLSSdSdS()() 332112324MMdAd AAAASS

39、dSdS()() 2121121118022mmBBB AAA(),() 同理可得同理可得: MMmm BABA,(2) 大地测量主题解算大地测量主题解算73MmmMmMmmmdBfff BABBAAdSBA()(,)()()()() +22222288MmMmSd AAAdSSd A dS()() MMMmMmmMmdBf BAF BBB AAAdS()(,)(,) +MmmMmMmmmdBdBdBdSdSf BABBAAdSBA()()()(,)()()()() +22222288MmMmSd BBBdSSd B dS()() 大地测量主题解算大地测量主题解算74 大地测量主题解算大地测量

40、主题解算32mmmmmmmmAVVdBAAdSMcNcos()coscos 323mmmmmmmVdBAdSctABBN()(cos)()cos (3)由大地线微分方程依次求偏导数由大地线微分方程依次求偏导数:32mmmmmmVdBAVdScAAAN()(cos)()sin 75222222222388mMmmmmmmmmS VSd BBBtAtAdSN()(sincos) 22222221288MmmmmmmmSd ASAAAAt dSN()sincos() 222222223223333812mmMmm mmmmmmm22mmmmmmVVdBSSAA tAAS +dSNNV AAt +S

41、+5 8N()coscos(sincos)sincos()次 大地测量主题解算大地测量主题解算7623322222332222313924243155mMmmmmmmm22mmmmmmVSd BAAtt +dSN At +tS + ()cossin()cos() 次22222212222221232243195mmmmmmmmmmm mVSBBBSAAtNN At()cossin()cos() 次大地测量主题解算大地测量主题解算77 同理可得：同理可得：22222222124195mmmmmmmmmmSLSBAAtNN Atsecsinsincos() 次2222224222127924522

42、5m mmmmmmmmmmmSASA tAtNN Atsincos()sin() 次大地测量主题解算大地测量主题解算78 注意： 从公式可知，欲求，及，必先有及。但由于2和21未知，故精确值尚不知，为此须用逐次趋近的迭代方法进行公式的计算。 除此之外，此方法适合与200公里以下的大地问题解算，其计算经纬计算精度可达到0.0001”, 方位角计算精度可达到0.001”。21211111()222mBBBBBBBB1212m AAA21212112,180BBB LLL AAA794.7.4 高斯平均引数反算公式高斯平均引数反算公式 高斯平均引数反算公式可以依正算公式导出:上述两式的主式为:222

43、222222sinsincossin24cos(19)mmmmmmmmmm mSALSANBS tAN SAt2222222222222coscossin(232)243cos(14)mmmmmmmmmmmmm mNSABSASAtVN SAtt 2sincos,cosmmmmmmNLBSANB SAV80230 12 10 3AtLtBLtL 2301210323101230mmSArLrBLrLSAsBsBLsBsincos 3222201210333192424mmmmmmmm mmNNBNBrB rt rtcoscoscos,(), 2222222101230233233248mmmm

44、mmmmmmmNNBNs stt stVcos,(),() 2432012103221132212412mmm mmmm mmttB tB t tB tcos,cos(),cos() 81已知：求得：1474652.6470B 135 49 36.3300L 1244 12 13.6640A 44 797.2826S m248 04 09.6384B 23614 45.0004L 2122430.550A 53122111,18022mmAAA AAAsintancosmmmSAASAsinsinmmSASA824.7.5 白塞尔大地主题解算方法白塞尔大地主题解算方法 白塞尔法解算大地主题的基

45、本思想白塞尔法解算大地主题的基本思想: : 以辅助球面为基础以辅助球面为基础, ,将椭球面三角形转换为辅将椭球面三角形转换为辅助球面的相应三角形助球面的相应三角形, ,由三角形对应元素关系由三角形对应元素关系, ,将将椭球面上的大地元素按照白塞尔投影条件投影到椭球面上的大地元素按照白塞尔投影条件投影到辅助球面上，然后在球面上进行大地主题解算，辅助球面上，然后在球面上进行大地主题解算，最后再将球面上的计算结果换算到椭球面上。最后再将球面上的计算结果换算到椭球面上。 这种方法的关键问题是找出椭球面上的大地这种方法的关键问题是找出椭球面上的大地元素与球面上相应元素之间的关系式元素与球面上相应元素之间

46、的关系式, ,同时也要同时也要解决在球面上进行大地主题解算的方法。解决在球面上进行大地主题解算的方法。 12121212,BBAAL S 83 在球面上进行大地主题解算在球面上进行大地主题解算 球面上大地主题正算球面上大地主题正算: : 已知已知 求解求解 球面上大地主题反算球面上大地主题反算: : 已知已知 求解求解22 , 11 , 12 , 12 , 841、球面三角元素间的相互关系、球面三角元素间的相互关系12211121221212 a b c sinsinsincos( )sinsinsincos( )sincoscossinsincoscos( )sincossincoscoss

47、inc 12122111221112211 d e f g os()cossinsincoscoscos( )coscoscoscossinsincos()coscossinsincoscoscos()cossincossin 2111 h i( )sinsincoscossincos( ) 85 球面上大地主题正解112, 2已 知 求,2111sinsincoscossin cos( ) i1111sinsintan( ) ( )coscossinsincos af112111cossintan( ) ( )coscos cossinsin hg86 球面上大地主题反解方法球面上大地主题反

48、解方法 1212, 已 知， 求,121212sin costan( ) ( )coscoscossincosu bduuuu211212sin costan( ) ( )cossinsincoscosp acq111212sincostan( )sinsincoscoscospq p872 2 、椭球面和球面上坐标关系式、椭球面和球面上坐标关系式88 在椭球面上与单位球面上的大地线微分方程为在椭球面上与单位球面上的大地线微分方程为:AdBdSMAdLdSNBBdAAdSNcossincostansin dddddAdcossincostansin 423842394240dBBdS dMdd

49、LAdS dNBddABA dS dNdcos()coscossin()cossintansin()tansin 89白塞尔提出如下三个投影条件：白塞尔提出如下三个投影条件：1. 1.椭球面大地线投影到球面上为大圆弧椭球面大地线投影到球面上为大圆弧2.2.大地线和大圆弧上相应点的方位角相等；大地线和大圆弧上相应点的方位角相等；3.3.球面上任意一点纬度等于椭球面上相应点的归球面上任意一点纬度等于椭球面上相应点的归化纬度化纬度。 121212,Aa Aa2111111tan1tantan(1)tanueBuBu2222122tan1tantan(1)tanueBuBu90,?S L 2211dS

50、NNucaNeedBABVVtansintantansintan 2222222222222111111eVeBWue VueueVcoscoscoscos 423842394240dBBdS dMddLAdS dNBddABAdS dNdcos()coscossin()cossintansin()tansin 912122211PPLLLeudcos 221dLeudcos 21222211ppdSaeuSaeuddcoscos 1dLudSudNB dBVcossincossin 以上为白塞尔微分方程以上为白塞尔微分方程.92 3 、白塞尔微分方程的积分白塞尔微分方程的积分21221ppS

51、aeudcos 1019090uAcos()sin()sin 2221011uAcoscossin 21212220222201111ppppSaeAd =aeeAd(cossin)cossin 932201Sbkd(sin) kkkk246221 2246(1sin)1sinsinsin2816 24611222311248285153124616321632xxxxxxxxxsincossincoscossincoscoscoskeA2220cos 94 积分得到下式：积分得到下式：1111122222sin 2sin 2cos 2sin 2sin 2cos 2SABCSABC112222

52、22SABCBCsin(cos)sin(cos) 2462464635146 42 5 61 583 21 0 2 431 2 85 1 6kkkAbkkBbkkCbk()()() 95 适合于反算: 适合于正算: 迭代法: 1122sin 2(cos 2)sin 2(cos 2)SABCBC111112222SBCBCAsin(cos)sin ()(cos () 011122SBCAsin(cos) 初始值962122211QQLLLeudcos 212124624621246242128162816QQQQeeeLLLuuudeee uuud(coscoscos(coscos)cos 22

53、201uAcoscossin 09090AAucos()sin sin() AddNusincos 20udAdcossin 97 将三角函数幂级数用倍角函数代替，合并同类项，积分。截去4倍角项，其值小于0.0001秒。212464622006440281681616QQeeeeeLAAe + +Ad sin()()cossin()cossin 98 正算：正算： 反算：反算：2102122LLLAsin(sinsin) 02122LAsin(sinsin) 246466240046624003281616 16128323264eeeeeeAAeeeAA() ()cos()cos()cos(

54、)cos 994 白塞尔法大地主题正算步骤白塞尔法大地主题正算步骤 1.计算起点的归化纬度计算起点的归化纬度2.计算辅助函数值，解球面三角形可得计算辅助函数值，解球面三角形可得: :3. 3. 按公式计算相关系数按公式计算相关系数A,B,CA,B,C以及以及, 1111222221BLAAS B LAA,(),()22111WeBsin 21111 euBWsinsin 1111uBWcoscos 011111AuA tgtguAsincossinsec 100 4.计算球面长度计算球面长度 迭代法: 111112222SBCBCAsin(cos)sin ()(cos () 011122SBC

55、Asin(cos) 10101022222sin ()sinsincoscos 10101022222cos ()coscossinsin 101 5.计算经度差改正数计算经度差改正数 6.计算终点大地坐标及大地方位角计算终点大地坐标及大地方位角 010122LAsin(sin()sin) 2111uuuAsinsincoscoscossin 2222222222222222222222111111111euB uBWW ueBuu B Barctaneueusinsincoscostantansinsintancos-cos 102112111uAAarctanuAucossincoscos

56、cossinsin 1111AarctanuuAsinsincoscossinsincos 21LL 1035 白塞尔法大地主题反算步骤白塞尔法大地主题反算步骤 1. 1.辅助计算辅助计算112112BLBL AAS,21lLL 22111WeBsin 22221WeBsin 21111BueWsinsin 22221BueWsinsin 111BuWcoscos 222BuWcoscos 112auusinsin 212auucoscos 112buucossin 212buusincos 1042.用逐次趋近法同时计算起点大地方位角、球面长度及用逐次趋近法同时计算起点大地方位角、球面长度及

57、经差经差 ，第一次趋近时，取第一次趋近时，取。211212upAuuuuqsincostancossinsincoscos 2121ppu qbb Aarctanqsincoscos 11pAqAsincostancos 11pAqAsinsincos 12aacoscos arctansincos L L105 计算下式计算下式,重复上述计算过程重复上述计算过程2.3. 计算大地线长度计算大地线长度S 4. 计算反方位角计算反方位角21+ 111uAtantansec 011AuAsincossin 02122LAsin(sinsin) L 11222222SABCBCsin(cos)sin

58、(cos) 1212uAbbc o ss ina r c t a nc o s 106107108),(),(21BLFyBLFx4.8 地图数学投影变换的基本概念地图数学投影变换的基本概念 1、地图数学投影变换的意义和投影方程、地图数学投影变换的意义和投影方程 所谓地图数学投影，简略地说来就是将椭球面上元素所谓地图数学投影，简略地说来就是将椭球面上元素(包括坐标，方位和距离包括坐标，方位和距离)按一定的数学法则投影到平面按一定的数学法则投影到平面上，研究这个问题的专门学科叫地图投影学。上，研究这个问题的专门学科叫地图投影学。投影变换的基本概念投影变换的基本概念109 2 、地图投影的变形地图

59、投影的变形1.长度比 : 长度比长度比m就是投影面上一段无限小的微分线段就是投影面上一段无限小的微分线段ds，与椭球面上相应的微分线段与椭球面上相应的微分线段dS二者之比。二者之比。 不不同点上的长同点上的长度比不相同，而且同一点上不同方向的长度比也不相同度比不相同，而且同一点上不同方向的长度比也不相同 1212012p pPPmP Plim dsmdS 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1102.主方向和变形椭圆主方向和变形椭圆 投影后一点的长度比依方向不同而变化。其中最大及投影后一点的长度比依方向不同而变化。其中最大及最小长度比的方向，称为主方向。最小长度比的方向，称为主方向。 在椭球面

60、的任意点上，必定有一对相互垂直的方向，它在椭球面的任意点上，必定有一对相互垂直的方向，它在平面上的投影也必是相互垂直的。这两个方向就是长度比在平面上的投影也必是相互垂直的。这两个方向就是长度比的极值方向，也就是主方向。的极值方向，也就是主方向。 投影变换的基本概念投影变换的基本概念111 , a bxy122byax,12222byaxrrm1投影变换的基本概念投影变换的基本概念 以定点为中心，以长度比的数值为向径，构成以两个长以定点为中心，以长度比的数值为向径，构成以两个长度比的极值为长、短半轴的椭圆，称为变形椭圆。度比的极值为长、短半轴的椭圆，称为变形椭圆。112 3.投影变形 1 1）长