哈密顿正则方程应用

1、分析约束分析约束, ,确定自由度确定自由度选好广义坐标选好广义坐标写出系统的写出系统的T,V,L 写出写出Attention:H=H(q,p,t).)3 , 2 , 1(qLqLH),(tqqpqLp广义动量),(tpqqq 正则方程解题步骤正则方程解题步骤代入正则方程求解代入正则方程求解哈密顿正则方程的应用哈密顿正则方程的应用例例1 1：双原子分子哈密顿量：双原子分子哈密顿量1m2mc1r2rr相对质心位矢相对质心位矢1r2r相位矢相位矢r02211rmrm21rrrrmmmr2121rmmmr2112双原子双原子分子运动分子运动质心运动质心运动相对质心运动相对质心运动),(zyx),(r相

2、对质心运动相对质心运动) 1 (1211frm )2(2122frm fffmm211212)2() 1 (frmmmm 21212121mmmm折合质量折合质量r相对质心运动相对质心运动fr 221rT相对质心相对质心运动动能运动动能)sin(21222222rrrT21222)(21mmmzyxmTc)(21222zyxmT)sin(21222222rrr0r)(rV)(rV)(0rV)(00rrrVr 2022)(210rrrVr简谐近似简谐近似r221)(rkrV0rrr)(21222zyxmVTL)sin(21222222rrr221rk)(21222zyxmVTL)sin(2122

3、2222rrr221rkxmxLpxymyLpyzmzLpzmpxxmpyympzz)(21222zyxmVTL)sin(21222222rrr221rkrrLpr2rLp22sinrLprpr 2rp22sinrpppprpzpypxLHrzyx)(21222zyxpppm)sin(21222ppI)(22rVpr2rI转动惯量转动惯量平动平动转动转动振动振动例例2 2一维谐振子一维谐振子解解:xxdtdxv221mvT 动能221xm2xk21V势能VTL222121kxxmkxxLxmxLxmxLdtd )()(xLdtdxL0kxxm xmkx demonstrationVTL2221

4、21kxxmxLpxxmmpxxqLqLHxLxLxpxkxxm222121xxxpmpkxmpm2221)(21mpkxx22122mpkxHx22122mppHxxxkxxHpx根据正则方程根据正则方程mpxx xmkx ABxy例例3 3一半径为一半径为r,r,质量为质量为m m的实心圆的实心圆柱体在一半径为柱体在一半径为R R的大圆柱体的大圆柱体内表面作纯滚动内表面作纯滚动, ,试用哈密顿试用哈密顿正则方程求其在平衡位置附近正则方程求其在平衡位置附近作微振动的周期作微振动的周期. .1o1oo分析分析ABABA)( rRrrR坐标数坐标数3约束数约束数2rrR oo1rR自由度自由度1

5、demonstration22)(43rRmVTLcos)(rRmg取取 为广义坐标为广义坐标Lp)(23rRm)(32rRmppLHprRmgrRmcos)()(4322cos)()(322rRmgrRmpHcos)()(322rRmgrRmpH根据正根据正则方程则方程pHHp sin)(rRmg2)(32rRmp 2)(32rRmp)(3sin2rRg)( 32rRg)( 32rRg例例4 4用哈密顿正则方程求自由质点在球坐标下加速用哈密顿正则方程求自由质点在球坐标下加速度的表达式度的表达式. .设其受力在设其受力在r,r, , , 三个方向的分量三个方向的分量分别为分别为F Fr, r,

6、 F F , , F F r解解:广义力广义力非保守系拉氏方程非保守系拉氏方程必先求动能必先求动能)sin(21222222rrrmTrmrTprmprr2mrTp2mrpsin2mrTp22sinmrpppprTHr)sin(21222222rprppmr根据正则方程根据正则方程rrQrHprQmrpmrp23232sinQHpQmrp322sincos)sin(21222222rprppmHrQHpQrrFQ rFQ FrQsinrmprrmpr rrQmrpmrpp23232sinrFmrmrmrmrrm23222322sin)sin()( mFarr222sin rrr同理可得同理可得

7、cos2sin2sin rrrmFacossin22 rrrmFa222sin rrrmFarr例例5 5质量为m的相同二质点用一长为 的轻杆连接初始时直立静止在光滑水平面上,以后任其倒下,试用正则方程求杆落地时的角速度.l分析分析坐标数坐标数3约束数约束数2自由度数自由度数1取如图所示取如图所示为广义坐标为广义坐标xy1m2m2122112212120)(xxxmxmlyxxxysin2lyccycos2lyc根据柯尼西定理根据柯尼西定理2221221ccIymT2221)2(2mllmIc)cos1 (41222mlTsinmglV )cos1 (41222mlVTLsinmglLpsin)cos1 (41222mglmlVTL)cos1 (2122ml)cos1 (222mlppLHsin)cos1 (41222mglmlpsin)cos1 (222mglmlpHsin)cos1 (222mglmlpH2222)cos1 (cossin2mlpHp cosmgl)cos1 (222mlppH)cos1 (222mlp 222)cos1 (sincos4mlp)cos1(