电动 力学第二章

1、 序序1 静电场的标势及其微分方程静电场的标势及其微分方程2 唯一性定理唯一性定理3 拉普拉斯方程拉普拉斯方程 分离变量法分离变量法4 镜像法镜像法5 格林函数格林函数6 电多极矩电多极矩序：序： 静电现象是电磁学问题中一个重要的特殊现象，静电现象是电磁学问题中一个重要的特殊现象，它满足如下两个条件：它满足如下两个条件：本章本章研究的问题：研究的问题： 在给定的自由电荷分布及周围空间介质和导体分在给定的自由电荷分布及周围空间介质和导体分布的情况下，怎样确定静电场。布的情况下，怎样确定静电场。本章本章重点：重点： 静电势及其特性、分离变量法、镜象法静电势及其特性、分离变量法、镜象法本章难点：本章

2、难点：分离变量法（球坐标、柱坐标）、电多极子分离变量法（球坐标、柱坐标）、电多极子()00Jt物理量和1 静电场的标势及微分方程静电场的标势及微分方程1 静电场的标势静电场的标势把静电条件代入麦克斯韦方程得把静电条件代入麦克斯韦方程得: 静电条件下电磁体系静电条件下电磁体系 所满足的运动方程所满足的运动方程 分别满足两组方程，彼此没有联系，分别满足两组方程，彼此没有联系，静电场满足下述方程：静电场满足下述方程：静电场静电场也也可以用静电标势可以用静电标势 来描写，来描写， 满足泊松方程满足泊松方程： D0E0 B0HHBED、与、DE02 ( )E x 相距为相距为 的两点的电势差：的两点的电

3、势差：两点电势差：两点电势差：选取无穷远点为参考点：选取无穷远点为参考点：点电荷激发的电场强度：点电荷激发的电场强度：电荷连续分布：电荷连续分布：dEddddzzdyydxxdE21)()(21ppdEpppdEp)(rrQE304rrQrdrQp02044)(4)()(0dVrxx说明：说明： 的选择不唯一，相差一个常数的选择不唯一，相差一个常数,取决于电势零点选取取决于电势零点选取:电荷分布在有限区域电荷分布在有限区域, 通常选无穷远为电势参考点通常选无穷远为电势参考点;电荷分布在无限区域不能选无穷远点作参考点电荷分布在无限区域不能选无穷远点作参考点. 满足迭加原理满足迭加原理; 等势面：

4、电势处处相等的曲面等势面：电势处处相等的曲面电场强度电场强度 与等势面垂直，即与等势面垂直，即EnE均匀场电场线与等势面均匀场电场线与等势面+电偶极子的电场线与等势面电偶极子的电场线与等势面点电荷电场点电荷电场线与等势面线与等势面2 静电场的微分方程（泊松方程）静电场的微分方程（泊松方程）均匀各向同性线性介质中：均匀各向同性线性介质中：EDE2静电标势满足静电标势满足的泊松方程的泊松方程DEED,2E 拉普拉斯方程拉普拉斯方程 20无自由电荷分无自由电荷分布的布的均匀均匀介质介质:3 边值关系边值关系 静电场的边值关系静电场的边值关系在两介质界面上：在两介质界面上：电场满足：电场满足： 静电势

5、的边值关系静电势的边值关系)(0)(1212DDnEEn(1) 两介质分界面两介质分界面QP12QP12nSSS210QPQPdlESSnn1122nnEE1122nEn)(12DDnnnDD12EDnn112221静电势的静电势的边值关系边值关系(2) 导体的静电学问题导体的静电学问题 所谓导体即是能导电的介质，当它内部存在电场时就会所谓导体即是能导电的介质，当它内部存在电场时就会引起传导电流。引起传导电流。 在静电学的前提下，导体内的电场强度在静电学的前提下，导体内的电场强度 必须为零，否则必定引起电流。必须为零，否则必定引起电流。 导体内部不可能导体内部不可能 有电荷分布有电荷分布导体的

6、静电学问题便归结为求导体内外空间的电场和导体的静电学问题便归结为求导体内外空间的电场和导体表面上的电荷分布的问题。导体表面上的电荷分布的问题。若导体外的空间没有其他电荷存在：若导体外的空间没有其他电荷存在：由由 可得这个区域内可得这个区域内 的方程的方程 导体表面电场的导体表面电场的 切向分量为零切向分量为零 cJE0 ED0D02/)(0)(1212DDnEEnDnEn0导体的静电平衡条件：导体的静电平衡条件： (a) 导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面上；导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面上；(b) 导体内部电场为零；导体内部电场为零；(c) 导体表面上电场必沿法线方向，导体表面为

7、等势体。导体表面上电场必沿法线方向，导体表面为等势体。导体静电标势边界条件：导体静电标势边界条件：设导体表面所带电荷密度为设导体表面所带电荷密度为 , 外面的介质电容率外面的介质电容率：由导体的边界条件可得静电标势的边界条件：由导体的边界条件可得静电标势的边界条件： 常数；边界dSnQn或边界4 静电场能量静电场能量静电场能量静电场能量也也可以用电势可以用电势 来表述。来表述。 真空中的静电真空中的静电场场能量能量普遍普遍 静电静电情况：情况： 情况：情况： 有介质存在时的静电能量（均匀介质）有介质存在时的静电能量（均匀介质）普遍普遍 静电静电情况：情况： 情况：情况：202WE dV12Wd

8、VdVDEW2112WdVrxxVddVW)()(81()()E DDDDD 111()222WE DdVD dVdV 导出过程：导出过程：10SD dSrD dSr ()VSD dVD dSdVW21此式只适合于静电场的总能此式只适合于静电场的总能量情况量情况。能量不仅分布在电能量不仅分布在电荷区，而且存在于整个场中。荷区，而且存在于整个场中。r121rD2rdSggg)(讨论：讨论：静电能量有两种表达式：静电能量有两种表达式： （1 1） 或或 表示静电能量是以密度表示静电能量是以密度 的形式在空间连的形式在空间连续分布，场强大的地方能量也大续分布，场强大的地方能量也大 ；（2 2）表示能

9、量只与存在着电荷分布的空间有关，但它并不表示能量只与存在着电荷分布的空间有关，但它并不意味着意味着 是电场的能量密度。是电场的能量密度。两种表达式只有在求静电场的总能量时才等效，而当两种表达式只有在求静电场的总能量时才等效，而当讨论空间某一有限范围内的电磁能量时两者不再等效。讨论空间某一有限范围内的电磁能量时两者不再等效。22WE dVdVDEW21DEw21dVW212/例例1 求均匀电场求均匀电场 的电势的电势解解 均匀电场每一点强度均匀电场每一点强度 都相等，其电场线为平行都相等，其电场线为平行直线，选空间任一点为原点，并设该点上的电势直线，选空间任一点为原点，并设该点上的电势为为 ，则

10、任一点，则任一点 P 处的电势：处的电势：注意：均匀电场可以看作由注意：均匀电场可以看作由无穷大平行板电容器产生，无穷大平行板电容器产生，其电荷分布不在有限区域内，其电荷分布不在有限区域内，因此不能选因此不能选 。若选若选 ，则有：则有：0E0 xEdEdEpPP00000000)(0)(00 xE00ExyzPR0E例例2、例、例3：P42；P56解解 电偶极子：电偶极子： 两个相距为两个相距为 的同量异号的同量异号点电荷构成的系统点电荷构成的系统, 偶极矩偶极矩 Prrzxyl 2R-Q-QQ Q)(Rl例例2 2 电偶极子产生的电势电偶极子产生的电势l 2)11(4)(0rrQPP点电势

11、点电势：（无穷远为零点）（无穷远为零点）zeQlP2cos2222RllRr221 2 cos12 cos/(1)cos2llrRlRRRlRRcoslRr同理同理 2222cos2coscos211RllRlrrrrrr2330002 cos2cos()444Q lQlRp RPRRRxy平面为等势面（平面为等势面（Z = 0的平面）。的平面）。求求近似值：近似值：正负电荷在正负电荷在Z=0平面产生的势大小相等，符号相反。平面产生的势大小相等，符号相反。注意：考虑了束缚电荷，就不能再考虑介质注意：考虑了束缚电荷，就不能再考虑介质 ，若电偶极子放在均匀介质若电偶极子放在均匀介质中（无限大均匀介

12、质）：中（无限大均匀介质）：)(Rl 34RRP00pE而而用真空中的用真空中的。这是由这是由 决定的。决定的。QQp)1 (00022(1)(1)pPzzPQ l eQl eP303030304)1(1 444RRPRRPRRPRRPp均匀介质中点电荷产生的束缚电荷分布在自由点电均匀介质中点电荷产生的束缚电荷分布在自由点电荷附近，介质中电偶极子产生的势为自由偶极子与荷附近，介质中电偶极子产生的势为自由偶极子与束缚偶极子产生的势的迭加，设束缚偶极子产生的势的迭加，设 为为束缚电荷，束缚电荷，pQ推导推导: 设区域设区域V内给定自由电荷分布内给定自由电荷分布 ，在，在V边界边界S上给定（上给定（

13、i）电势）电势 或（或（ii）电势的）电势的法向导数法向导数 ，则，则V 内的电场唯一地确定。内的电场唯一地确定。( ) xs|sn|证明证明：设对同一个体系存在两个解 ： 构造如下的函数：取 的散度，并做体积积分： （1） 另：讨论的是同一个体系，必有： （2） 和E EED ED) )( ()(DDrZ)(rZVVdVDDdVrZ) )( ()(SSdDD) )( () )( ()(DDrZ) () (DD DD) () ()(DDEErZVVdVDDEEdVrZ) () ()()ggg Comparison (1) and (2) get：对同一体系，两个解的边界条件相同： 或由 可知，

14、电势 最多差一个任意常数。VdVDDEE) () (SSdDD) )( (SS SSDnDn 0) () (VdVDDEE0) () (VdVEEEE0 EEEDiscussions ：（1） 在介质静电学中， 之间的关系并不一定是线性的。一般来说， 的函数，这时，只要 的单值单调增值函数，定理仍成立。（2）对铁电介质来说，上述唯一性定理不成立，因为有电滞回线存在， 不再是单值的。（3）如果体系内含有导体，则只要把导体表面看成边界面，由导体的边界条件可以证明，上述唯一性定理仍成立。 ED和ED是ED是ED和有导体存在时的唯一性定理（有导体存在时的唯一性定理（P45， P60 ）：）：设区域V内

15、有一些导体，给定导体之外的电荷分布 ，给定各导体上的总电荷 ，以及V的 边界S上的 或 值，则V内的电场唯一地确定。即，存在唯一的解，它在导体以外满足泊松方程：在第i个导体上满足总电荷条件：和等势面条件： 以及在V的边界S上具有给定的 或 值。 iQn/2,/iSQdSniConstisi|ssn|唯一性定理的意义 更重要的是它具有十分重要的实用价值。无论更重要的是它具有十分重要的实用价值。无论采用什么方法得到解，只要该解满足泊松方程和采用什么方法得到解，只要该解满足泊松方程和给定边界条件，则该解就是唯一的正确解。因此给定边界条件，则该解就是唯一的正确解。因此对于许多具有对称性的问题，可以不必

16、用繁杂的对于许多具有对称性的问题，可以不必用繁杂的数学去求解泊松方程，而是数学去求解泊松方程，而是通过通过提出尝试解，提出尝试解，然然后验证是否后验证是否满足方程和边界条件满足方程和边界条件。满足。满足即为即为唯一唯一解，若不满足，可以加以修改解，若不满足，可以加以修改。 唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求解唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求解电场强度电场强度指明了方向。指明了方向。例：例：P46， P623 拉普拉斯方程拉普拉斯方程 分离变量法分离变量法(P47，P63) 当自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空间中当自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空间中没有其他自由电荷存在时没

17、有其他自由电荷存在时 ，泊松方程变为比较，泊松方程变为比较简单的拉普拉斯方程：简单的拉普拉斯方程： 直角坐标系：直角坐标系：柱坐标系：柱坐标系： 球坐标系：球坐标系：2 020222222zyx01122222zrrrrr0sin1sinsin112222222RRRRRR01 球球坐标中的分离变量法坐标中的分离变量法(P282(P282，348)348)用用 乘以上式两端：乘以上式两端：)()()(Rf2222222111sin0sinsinRRRRRR0sinsinsin2222222RfRfRfRRRfR20sin1sinsin112222RfRRf2222111sinsinsinfRf

18、RR 222sin1sinsin1RfRRf2102fRfRR222sin1sinsin用用 乘上式两端：乘上式两端：2sin2221sinsinsin22sinsinsinm0222m, 3, 2, 1, 0m缔合勒让德方程：缔合勒让德方程：在在 情况下有解，要求：情况下有解，要求： n为为0或正整数或正整数其解为缔合勒让德函数：其解为缔合勒让德函数：0222m0222XdtXdtiBtAXsincoscossinimemim 2sin用22sinsinsinm0sinsinsin122m01nnmn nmnmnmnmnddnP1coscoscos!21cos222方程方程在球坐标中的通解为

19、在球坐标中的通解为:112nnRfRRffnnRfRR121nnmnnmRbRaf0sin1sinsin112222222RRRRRR1,1,( , , )()(cos )cos()(cos )sinnmnmnmnnn mnmnmnmnnn mbRfa RPmRdc RPmR 讨论：讨论：(1) 球对称问题球对称问题： 与与 无关无关, 要求：要求： n=m=0(2) 轴对称问题轴对称问题： 与与 无关，要求无关，要求 m=0 勒让德勒让德 多项式多项式n=0:n=1:n=2:,Rcos,1nnnnnPRbRaRnnnnnnnnndxxdnddnP1!211coscos!21cos221cos

20、0Pcoscos1P1cos321cos22P, RRba00nmmnndPP122sincoscos0 0sincos212dPfnAnn00sincosnndP nnnPAfcos勒让德函数的性质：勒让德函数的性质：(1)正交性正交性:若若 m=0，则，则:(2) 任意函数的展开任意函数的展开:(3) 比较系数：比较系数：已知已知若若要求系数相等要求系数相等: nnnPAfcos nnnPBgcos gfnnnnnnPBPAcoscosnnBA 例1 一个内半径和外半径分别为R2 和 R3 的导体球壳带电荷Q，同心地包围着一个半径为 R1的导体 球（ R1 R2 ）。使这个导体球接地，求空

21、间各点的电势和这个导体球的感应电荷。解：球对称性，电势 不依赖于角度和,因此可以取通解式中的 项。设导体壳外和壳内的电势为: 边界条件：(1）因内导体球接地，有: (2）因整个导体球壳为等势体，故有:(3）球壳带总电荷Q, 得:0n)(31RRRba)(122RRRRdc0|121RRR32|12RRRR2302221RRRRQdRRdRR把边界条件代入电势式，得：联立求解, 得到：则电势的解：导体球上的感应电荷为：03214, 0, 0QdbRbRdcRdca11100001,4444QQQQdbcR 131211131RRRQRQ)(),11(4)( ,41210123011RRRRRQR

22、RQQ12201R RR dQR 例2 电容率为 的介质球置于均匀外电场 中，求电势。解：介质球在外电场中极化，在它表面上产生束缚电荷。这些束缚电荷激发的电场叠加到原外电场 上，得总电场 。束缚电荷分布和总电场互相制约，边界条件正确地反映这种制约关系。设球的半径为 ，球外为真空。介质球的存在使空间分为两均匀区域 球外区域和球内区域。两区域内部都没有自由电荷，因此电势 均满足拉普拉斯方程。设 代表球外区域的电势， 代表球内区域的电势。两区域的通解为： 均为待定常数0E0EE0R12)(cos)()(cos)(1211nnnnnnnnnnnnPRdRcPRbRananbncnd边界条件:（1）无穷

23、远处， , 由第一节例 1的结论得： 因而（2） 处， 应为有限值，则（3）介质球面上( ): 把这些条件代入通解：1001cos(cos )RE RE RP 10,0naEa ) 1( n0R20ndRR21021,001010(cos )(cos )(cos )nnnnnnnnbE R PPc R PR1010200(1)(cos )(cos )(cos )nnnnnnnnnbE PPnc RPR0EE0RR 比较 的系数得方程组：解此方程组有：比较其它 项的系数有：所以两区域的电势为： 球内 电场1PnP) 1( , 0ncbnn,2300001REb000123Ec0120100RcR

24、bRE1030102cRbE23000001cos2cosRREREcos230002RE00023EE物理意义：物理意义：由解可看出球内电场比原外场弱。这是由于介质球极由解可看出球内电场比原外场弱。这是由于介质球极化后在右半球面上产生正束缚电荷，在左半球面上产化后在右半球面上产生正束缚电荷，在左半球面上产生负束缚电荷，因而在球内束缚电荷激发的场与原外生负束缚电荷，因而在球内束缚电荷激发的场与原外场反向，使总电场减弱。在球内总电场作用下，介质场反向，使总电场减弱。在球内总电场作用下，介质的极化强度为的极化强度为:介质球的总电偶极矩为：介质球的总电偶极矩为：球外区域电势球外区域电势 的第二项就是

25、这个电偶极矩所产生的的第二项就是这个电偶极矩所产生的电势电势:00000032)(EEEPe内330000004432pR PR E 内1cos24123000030RRERRp例一半径为例一半径为 的的导体球置于一均匀外场中，求导体球置于一均匀外场中，求导体球置入后空间场的分布。导体球置入后空间场的分布。解解 导体球在达到静电平衡时应为一个等势体，假若导导体球在达到静电平衡时应为一个等势体，假若导体球与外界绝缘，则其总电荷应为一常数，放入场体球与外界绝缘，则其总电荷应为一常数，放入场中之后，虽然电荷重新分布，但总电荷不变中之后，虽然电荷重新分布，但总电荷不变.设导体的电势为设导体的电势为(未

26、知未知)，总电荷为，总电荷为(已知已知)。取取 方向为轴，这是一个绕轴旋转对称的问题。方向为轴，这是一个绕轴旋转对称的问题。球外空间没有电荷，电势满足拉普拉斯方程球外空间没有电荷，电势满足拉普拉斯方程:相应的边界条件为相应的边界条件为:但但 是已知的。是已知的。在在 的边界上的边界上: 0E0EXQ02)(未知X0:RR00R RdSdSQnr0cosE R xE00R通解为：通解为：根据问题的对称性，从根据问题的对称性，从通解中选几个特解作为通解中选几个特解作为试解可简化求解方法。试解可简化求解方法。 根据叠加原理，球外的根据叠加原理，球外的场应由三部分组成：场应由三部分组成：(1) 外场外

27、场 : 或或(2) 导体球放到均匀外场中感生的感应电荷的贡献导体球放到均匀外场中感生的感应电荷的贡献 ,相当相当于一个电偶极子，这相当于取通解中的于一个电偶极子，这相当于取通解中的 项项 ;(3) 导体球本身所带电荷的贡献导体球本身所带电荷的贡献, 由于导体球是等势体，由于导体球是等势体，故它的贡献相当于一个点电荷的势，这相当于是通解中故它的贡献相当于一个点电荷的势，这相当于是通解中的的 项项 )(cos)(1nnnnnnPRbRa0cosE R 00cosE R1b0b取试解为取试解为: 或或试解中的各项都是取自通解，试解满足拉普拉斯方程，试解中的各项都是取自通解，试解满足拉普拉斯方程，满足

28、无穷远边界条件。满足无穷远边界条件。利用剩下的球面上的边界条件来确定利用剩下的球面上的边界条件来确定 与与 : 当当 时，时， ，故，故比较比较 的系数得的系数得:解为解为: 又又: 故故:0102coscosbbE RRR 01002coscosbbE RRR0b1b0RRX00100200coscosRRbbE RXRR cos00bXR3100bE R300002coscosR XE RE RRR 00R RdSQn004QXR300020coscos4E RQE RRR 讨论讨论:(1) 若导体球不带电若导体球不带电, 则通解为则通解为(2) 导体上的电荷面密度导体上的电荷面密度:(3

29、) 若导体球接地若导体球接地, 这时这时 ，解为，解为 接地时空间场的分布，除偶极子场和均匀场之外，还有接地时空间场的分布，除偶极子场和均匀场之外，还有一个位于球心的点电荷的场。这个点电荷的大小表示从一个位于球心的点电荷的场。这个点电荷的大小表示从地流入导体球的负电荷的量，以保持导体球为零等势体，地流入导体球的负电荷的量，以保持导体球为零等势体，它由放入导体时该点的电势来确定。它由放入导体时该点的电势来确定。30002coscosE RE RR 0004QR00000000cos2cos3cosR REEEn 0X30002coscosE RE RR p21R0z例例4 4 均匀介质球均匀介质

30、球( (介电常数为介电常数为 ) )的的中心置一自由电偶极子中心置一自由电偶极子 , ,球外充球外充满另一种介质满另一种介质( (介电常数为介电常数为 ），），求空间各点电势和束缚电荷分布。求空间各点电势和束缚电荷分布。1fp2解解: (1) 与与 的边界为球面，故选的边界为球面，故选球坐标系，球坐标系，电荷分布在有限区，选电荷分布在有限区，选120R (2)设球内电势为设球内电势为 , ,球外电势为球外电势为 , ,球外无球外无自由电荷分布自由电荷分布, ,电势满足电势满足 。但球内有自由偶极子，不满足拉普但球内有自由偶极子，不满足拉普拉斯方程，但满足泊松方程。考虑偶极子使介质极化，拉斯方程

31、，但满足泊松方程。考虑偶极子使介质极化，极化电荷分布在偶极子附近和球面上。极化电荷分布在偶极子附近和球面上。自由偶极子和极化偶极子自由偶极子和极化偶极子在介质中产生的电势在介质中产生的电势: :12022033300444ffppRpRpRRRR1013104RRpf则则 球内电势球内电势1210满足满足202同理设同理设00 为简单令为简单令nnnnnnnnnnnnPRdRcPRbRa)(cos)()(cos)(1211考虑轴对称考虑轴对称：101202（3）确定常数）确定常数 10nb R0，有限有限nnnnfPRaRRp)(cos43110()RR0()RR R 200nC2311(co

32、s)4fnnnnpRdPRR 边值关系边值关系 00000022112121RRRRRRRR010(cos )(cos )nnnnnnnnda R PPR11030cos(cos)2fnnnpna RPR2232100cos(1)(cos )2fnnnnpdnPRR 1cos(cos )fffpRp Rp RP)(cosnP比较比较的系数，得的系数，得202101120/) 1(/1nnnnnnnRdnRanRdan3110211123330100/1222ffadRnppdaRRR 0nnad1211131120()2(2)fpddaR （4）电势解为）电势解为121033111201220

33、333111212()42(2)()342(2)4 (2)fffffpRpRRRRRpRpRpRRRRRR （5）球面上束缚（极化）电荷分布）球面上束缚（极化）电荷分布210()(0)PffnEE002102100()PnnR RR REERR012311203()cos2(2)fPpR 2 圆柱坐标中的分离变量法圆柱坐标中的分离变量法圆柱坐标中的拉普拉斯方程为：圆柱坐标中的拉普拉斯方程为：这里只讨论二维平面场情形，即这里只讨论二维平面场情形，即 与与 z 无关的情形，这无关的情形，这时的拉普拉斯方程变为：时的拉普拉斯方程变为：设解具有设解具有 的形式，代入式的形式，代入式(2.1)得：得：2

34、2222110rrrrrz222110rrrrr(2.1)(2.2)圆柱坐标中的求解过程圆柱坐标中的求解过程 f r g 2220gf rf rgrrrrr用用 乘上式，得：乘上式，得：要使上式对于所有的要使上式对于所有的r,值都成立，必须每项都等于一个值都成立，必须每项都等于一个常数。如果令第一项等于常数。如果令第一项等于 ，则得到：，则得到：如果我们研究的空间包含如果我们研究的空间包含从从 ，因为必须是单，因为必须是单值的即值的即 ，则，则 必须等于整数必须等于整数n，故：，故： 2rf r g 2210f rgrrf rrrg(2.3)2 2220d ggd sincosgAB022 s

35、incosgAnBn(2.4)现在用现在用 代替式代替式(2.3)中的第二项，得中的第二项，得:2n 20df rdrrn f rdrdr即：即： 22220d f rdf rrrn f rdrdr(2.5)欧拉方程欧拉方程其解为：其解为： nnf rCrDr(2.6)当当n=0时：时： 00lnf rCDr(2.7)场与场与 无关无关 圆柱坐标中，二维场的圆柱坐标中，二维场的 的通解为：的通解为：001lnsincossincosnnnnnnnCDrrAnBnrCnDn(2.8)例例5 在均匀外场在均匀外场 中有一半径为中有一半径为 、电荷线密度、电荷线密度为为 的无限长导体圆柱，柱轴与外场

36、垂直，求空间中的的无限长导体圆柱，柱轴与外场垂直，求空间中的电场分布。电场分布。解解 把空间分成柱内外两个区域，柱内区域的场为零，把空间分成柱内外两个区域，柱内区域的场为零，柱外区域的电势满足方程柱外区域的电势满足方程:边界条件边界条件:通解通解:根据物理图象的直观分析，直接挑选试解根据物理图象的直观分析，直接挑选试解:(1) 导体是带电的，试解中必存在导体是带电的，试解中必存在 项项; (2) 外场在试解中应当反映出来，故应有外场在试解中应当反映出来，故应有 项项 (3) 均匀外电场的作用使导电圆柱的侧面产生感应电荷，均匀外电场的作用使导电圆柱的侧面产生感应电荷，其效果相当于一个平面偶极子，

37、所以试解中还应包含一其效果相当于一个平面偶极子，所以试解中还应包含一项项xeEE0R02cos0E常数R0dSnRcos0Eln/cosln00BA 0)cos()(nBAnnnn0)sin()(nDCnnnn试解选为试解选为:根据边界条件，容易求得上述待定常数分别为根据边界条件，容易求得上述待定常数分别为: 的选取与势的的选取与势的 参考点选取有关参考点选取有关电势电势:柱外电场强度柱外电场强度: 说明说明: 在选取试解的时候，要注意试解中待定常数的数在选取试解的时候，要注意试解中待定常数的数目与问题的边界条件应一致。目与问题的边界条件应一致。ln00BA cos0Ecos1B000ln2A

38、002B201REB 0AeREEE)coscos12(22000200sin(sin)EE Re coscosln220000REEE例例6 试求避雷针尖端附近的场。试求避雷针尖端附近的场。P52解解 避雷针尖端是一个圆锥体。避雷针尖端是一个圆锥体。设圆锥的尖端在球坐标的原点，圆锥设圆锥的尖端在球坐标的原点，圆锥体的轴为坐标系的极轴，如图所示。体的轴为坐标系的极轴，如图所示。我们要讨论的是我们要讨论的是 的区域，的区域，并且在原点附近。并且在原点附近。拉普拉斯方程在拉普拉斯方程在 时的轴对称时的轴对称的有限的解的形式的有限的解的形式:0cos,1nnnnnPRbRaR0rcos,nnnPRa

39、R4 镜像法镜像法1 求解泊松方程的难度求解泊松方程的难度 若求解电场的区域内有自由电荷若求解电场的区域内有自由电荷, 必须求解泊松方必须求解泊松方程。一般静电问题可以通过求解泊松方程或拉普拉斯方程。一般静电问题可以通过求解泊松方程或拉普拉斯方程得到电场。但是，在许多情况下非常困难。例如，对程得到电场。但是，在许多情况下非常困难。例如，对于导体外存在点电荷的情况虽然可以采用叠加法求解，于导体外存在点电荷的情况虽然可以采用叠加法求解，但是求解比较困难。求解的困难主要是导体表面上的电但是求解比较困难。求解的困难主要是导体表面上的电荷一般是非均匀分布的，造成电场缺乏对称性。荷一般是非均匀分布的，造成

40、电场缺乏对称性。 如果设想如果设想, 导体面上的感应电荷对电场的影响能够用导体面上的感应电荷对电场的影响能够用导体内的某个或某几个假想电荷来代替导体内的某个或某几个假想电荷来代替, 并且不破坏给并且不破坏给定的电荷分布与边界条件定的电荷分布与边界条件, 则问题可得到解决则问题可得到解决.2 镜像法镜像法 镜像法镜像法 用假想点电荷来等效地代替用假想点电荷来等效地代替导体边界面上的面电荷分布，导体边界面上的面电荷分布，然后用空间点电荷和等效点电荷迭加给出空间电势分布然后用空间点电荷和等效点电荷迭加给出空间电势分布QQ 基本思路基本思路 将静电问题中边界对场的影响用边界外部虚设的像电将静电问题中边

41、界对场的影响用边界外部虚设的像电荷代替。像电荷放在边界的外部，它的存在并不改变所荷代替。像电荷放在边界的外部，它的存在并不改变所研究区域内电荷的分布，只要调整像电荷的位置和大小，研究区域内电荷的分布，只要调整像电荷的位置和大小，使它产生的场和原电荷分布所产生的场满足所给的边界使它产生的场和原电荷分布所产生的场满足所给的边界条件，则它们的电位叠加起来便得到我们所要求的电位条件，则它们的电位叠加起来便得到我们所要求的电位解解, 我们便找到了问题的解。我们便找到了问题的解。 唯一性定理唯一性定理以唯一性定理为依据，采用试探解，只要保证解满足泊以唯一性定理为依据，采用试探解，只要保证解满足泊松方程及边

42、界条件即是正确解。松方程及边界条件即是正确解。 适用情况：适用情况： a) 所求区域有少许几个点电荷，它产生的感应电荷一所求区域有少许几个点电荷，它产生的感应电荷一般可以用假想点电荷代替般可以用假想点电荷代替;b) 导体边界面形状比较规则，具有一定对称性导体边界面形状比较规则，具有一定对称性;c) 给定边界条件。给定边界条件。 注意注意：a）假想电荷不能改变原来电荷分布；）假想电荷不能改变原来电荷分布；b）不能改变原有边界条件；）不能改变原有边界条件；c）一旦用了假想（等效）电荷，不再考虑原来边界上）一旦用了假想（等效）电荷，不再考虑原来边界上的电荷分布。的电荷分布。例例1 接地无限大平面导体

43、板附近有一个点电荷接地无限大平面导体板附近有一个点电荷q ，求空，求空间电势分布。间电势分布。解解 如图示如图示, 在在无限大导体平无限大导体平面附近有一点面附近有一点电荷电荷q ，与平，与平面距离为面距离为z=h，导体平面是等导体平面是等位面，假设其位面，假设其电位为零，要电位为零，要求上半空间中求上半空间中的电场。的电场。qq0无限大导体平面附近点电荷的镜像法无限大导体平面附近点电荷的镜像法h3 应用举例应用举例112202222220114114qRRqxyzhxyzh 显然，假设导体平面不存在，而在显然，假设导体平面不存在，而在 z=0 平面下方与点电荷平面下方与点电荷 q 对称地放置

44、一个点电荷对称地放置一个点电荷 (- q )，则，则 z=0 平面的电位仍为零平面的电位仍为零电位面电位面, 这样这样, 我们便可用我们便可用 q 和其像电荷和其像电荷(-q)构成的系统来代构成的系统来代替原来的边值问题。上半空间内任意点替原来的边值问题。上半空间内任意点P的电位为：的电位为：原问题的平面导体上的感应电荷密度为：原问题的平面导体上的感应电荷密度为：镜像法也可用于点电荷与介质分界平面的场问题。镜像法也可用于点电荷与介质分界平面的场问题。 即为所给边值问题的解32002222zqhzxyh 例例 2 真空中有一半径为真空中有一半径为 的接地导体球，距球心为的接地导体球，距球心为 处

45、有一点电荷处有一点电荷 Q，求空间中各点的电势。，求空间中各点的电势。a)(0Ra r r球坐标系球坐标系PROZQQ解：因解：因导体导体球球接地接地故该故该球的电势为零。根据镜球的电势为零。根据镜象法原则象法原则假想电荷应在假想电荷应在球内球内。因空间只有。因空间只有两个两个点电荷点电荷，场，场应具有轴对应具有轴对称，故假想电荷应在轴称，故假想电荷应在轴线上，即极轴上线上，即极轴上。410rQrQ0R0R考虑球面上任一点考虑球面上任一点 P, 边界条件要求：边界条件要求：对球面上任一点，应有对球面上任一点，应有:选选 的位置使的位置使 则则:设设 距球心为距球心为 b , 则则:POQ0RQ

46、abrr0rQrQCosntQQrrQOPQPQOCosntaRrr0aRRb00aRb20QQaRQ0CosntQQrrCosntaRrr0rr球坐标系球坐标系PROZQQ球外任一点球外任一点 P 的电势为：的电势为： : Q 到到 P 的距离的距离; : Q 到到 P的距离，的距离， :由球心由球心 O 到到 P 点点 的距离，的距离， : OP 与与 OQ 的夹角的夹角。rr022220/142cos2cosR Q aQRaRaRbRbraQRrQ0041R410rQrQ讨论：讨论：(1) ，因此因此Q发出的电力线一部分会聚到导体发出的电力线一部分会聚到导体球面上，剩余的传到了无穷远。球

47、面上，剩余的传到了无穷远。(2) 球面感应电荷分布球面感应电荷分布 02200223/20004(2cos )R RaRQRR aRRa导体球接地后，感应电荷总量不为零，可认为导体球接地后，感应电荷总量不为零，可认为电荷电荷 移到地中去了。移到地中去了。aQRQQ0 QQ aQRdSQRR00(3) (3) 若导体不接地，可视为若导体不接地，可视为 分布分布在导体面上。不在导体面上。不接地接地导体已为等势体，导体已为等势体，加上加上 还要使导体为等势体，还要使导体为等势体， 必须必须均匀分布均匀分布在球面上。这时导体球上总电量在球面上。这时导体球上总电量（均匀分布球面上可使导体产生的电势等效于

48、在球心的（均匀分布球面上可使导体产生的电势等效于在球心的点电荷产生的电势，点电荷产生的电势， 可等效为球心处的镜像电荷）。可等效为球心处的镜像电荷）。Q 0 QQQ Q RQ014 (4) (4) 若导体球不接地，且带上自由电荷若导体球不接地，且带上自由电荷 ，导体，导体上总上总电荷为电荷为 ，此时要保持导体为等势体，此时要保持导体为等势体， 也应均匀分也应均匀分布在球面上，等效于在球心有电荷布在球面上，等效于在球心有电荷 ： 0Q0Q0QRQRQ000244 等效电荷一般是点电荷组或一个等效电荷一般是点电荷组或一个带电体系，而不一定就是一个点带电体系，而不一定就是一个点电荷电荷。Q 0Q(5

49、) 导体球不接地且带自由电荷导体球不接地且带自由电荷 时时, 所受所受到的作用到的作用力力可以看作可以看作 与与 及及位于球心处的等效电荷位于球心处的等效电荷 的作用力的作用力之和之和:0QQQQ 0Q)()2(414)()(42202320230220020020RaaRaRQaQQaQQQbaQQF 设设 ， ，第一项为排斥力，第二项为，第一项为排斥力，第二项为吸引力吸引力（与（与 无关，与无关，与 正负无关）。当正负无关）。当 时，时，F 0 ，即正电荷与带正电导体球在靠即正电荷与带正电导体球在靠得得很近时会出现相互吸引很近时会出现相互吸引00Q0Q0QQ0Ra 由此可见，即使由此可见，

50、即使 Q 与与 同号，只要同号，只要 Q 距球面足够近，距球面足够近，它就可能受到导体球的吸引力。这是由于感应作用，虽它就可能受到导体球的吸引力。这是由于感应作用，虽然整个导体的总电荷是正的，但在靠近然整个导体的总电荷是正的，但在靠近 Q 的球面部分的球面部分可能出现负电荷。可能出现负电荷。0Q例例3 有一点电荷有一点电荷 位于两个互相垂直的位于两个互相垂直的半无限大半无限大接地接地导体导体板板所围成的直角空间内，它到两个平面的距离所围成的直角空间内，它到两个平面的距离分分别别为为 a 和和 b，求空间的电势，求空间的电势分布分布。Q 假想电荷应在第假想电荷应在第 I 象限之外。象限之外。 要

51、保证互相垂直要保证互相垂直的两个接地导体板的两个接地导体板的电势同时为零，的电势同时为零，应当放几个电荷？应当放几个电荷？解：分析：解：分析：Q（-a, -b, 0）-Q（a, -b, 0）xyOQ（a, b, 0）-Q （-a, b, 0）讨论：讨论：(1) 若两平面夹角若两平面夹角S2S1Q0电势分布：电势分布：2222220222222114()()()()0110()()()()Qx ay bzx ay bzxyx ay bzx ay bz 放在放在 处处用用镜镜象法求解的条件是什么？象法求解的条件是什么？ 2Q)(0n12n象电荷数象电荷数(2) (2) 另外几种容易求解又常见的情况

52、：另外几种容易求解又常见的情况：12(1) 两绝缘介质面上，边值关系有：两绝缘介质面上，边值关系有： 该条件衔接该条件衔接 界面两边的电势界面两边的电势(2) 给出导体上的电势，导体面上的边界条件为：给出导体上的电势，导体面上的边界条件为： （给定常数）（给定常数）(3) 给出导体所带总电荷给出导体所带总电荷 Q ，在导体面上的边界条件，在导体面上的边界条件: 静电场唯一确定静电场唯一确定(4) 导体面上的另一边界条件导体面上的另一边界条件: 得出导体面上的得出导体面上的 自由电荷面密度自由电荷面密度(5) 其他边界条件其他边界条件: 无穷远处无穷远处, 圆柱面上等圆柱面上等21nn22110

53、总结总结: 边值关系和边界条件：边值关系和边界条件：ConstQdSnn5 5 格林函数方法格林函数方法 3 用格林函数求解一般的边值问题用格林函数求解一般的边值问题 1 点电荷密度的点电荷密度的函数表示函数表示 2 格林函数格林函数内容提要内容提要本节仅研究泊松方程解的格林函数方法。本节仅研究泊松方程解的格林函数方法。 它与点电荷它与点电荷解的边值相关，但可以解静电学的许多边值问题。解的边值相关，但可以解静电学的许多边值问题。设设 V 内电荷分布内电荷分布 已知，已知， 第一边值问题第一边值问题SSn 给定给定V 边界边界S上的各点电势上的各点电势 或给定边界或给定边界S上法向分量上法向分量

54、 第二边值问题第二边值问题求求 V 内各点电势值。内各点电势值。本节内容不作考试要求。但格林函数方法在求解静电本节内容不作考试要求。但格林函数方法在求解静电场的某些问题中非常有用，而且在理论物理的研究中场的某些问题中非常有用，而且在理论物理的研究中是很重要的工具。是很重要的工具。 处于处于 点上的单位点电荷的密度点上的单位点电荷的密度1 点电荷密度的 函数表示单位点电荷的泊松方程：单位点电荷的泊松方程：设电势为设电势为)()(xxx)(1)()(VxdVxxxdxVV)()()()(VxxfxdxxxfVx)()(xxQx一般 常用公式常用公式201( )()xxx 空间区域空间区域 V 上的

55、边界条件：上的边界条件：0SSn或常数考虑一个位于考虑一个位于 的点电荷的点电荷 q 所激发的电场所激发的电场:点电荷分布的特点是在点电荷所在处的电荷密度为无穷大点电荷分布的特点是在点电荷所在处的电荷密度为无穷大, 而在其它地方电荷密度为零而在其它地方电荷密度为零,电荷密度用电荷密度用函数表示函数表示:处于处于 处的单位电荷的电荷密度处的单位电荷的电荷密度:静电标势方程静电标势方程(泊松方程泊松方程) :若包含若包含 的某空间区域为的某空间区域为V, 在在V的边界上的边界上 的边界条件：的边界条件： 满足此边界条件的解称为泊松方程在满足此边界条件的解称为泊松方程在 区域区域 V 的第一类边值问

56、题上的格林函数的第一类边值问题上的格林函数2 格林函数格林函数) (xxq，0 xxxxdVqdVxxq) () ()(xxx21 ) (xx0S x x x),(xxG若在若在V 的边界上的边界上 满足满足的边界条件为：的边界条件为： 满足此边界条件的解称为泊松方程在满足此边界条件的解称为泊松方程在 区域区域V的第二类边值问题上的格林函数的第二类边值问题上的格林函数格林函数用格林函数用 表示表示, 格林函数所满足的方程格林函数所满足的方程: 相应的边界条件相应的边界条件: 4 格林公式和泊松方程的解格林公式和泊松方程的解设有一静电问题设有一静电问题, 在区域在区域 V 内给定电荷分布内给定电

57、荷分布, 在边界面在边界面上给定第一类边值上给定第一类边值 或第二类边值或第二类边值 , 求求V内的内的 , 满足的方程满足的方程: 利用格林定理建立泊松方程的解与格林函数之间的联系利用格林定理建立泊松方程的解与格林函数之间的联系 1SnS ) ,(xxG) (1) ,(2xxxxGSnGS10) ,(SxxGSSn2 或或t t 格林定理格林定理(格林公式格林公式)设区域设区域V内有两个函数内有两个函数 , 格林公式表示为格林公式表示为:t 格林公式和泊松方程的解格林公式和泊松方程的解令令: ， , 积分变量积分变量 , G 中的中的 , 互换互换: )()(xx，) ,(rrG22 ( ,

58、 )( )( )( , )( )( , ) ( , )( )G r rrrG r r dVrG r rG r rrdSnn 22dVdSnn r rr r),(),(xxGxxG格林函数的对称性格林函数的对称性 （偶函数）（偶函数）(1) 第一类静电边值问题第一类静电边值问题: 格林函数的边界条件格林函数的边界条件: 求得了格林函数求得了格林函数, 边界上边界上 值给定值给定, 区域内任一点区域内任一点 的的电势即可求出，第一类静电边值问题得解电势即可求出，第一类静电边值问题得解.0SG( )( )( , )( , )( )( )rrrG r rG r rrdVrdSn ( )( , ) (

59、)( )( , )rG r rr dVrG r r dSn 格林函数法的实质是通过格林公式把静电边值问题化到格林函数法的实质是通过格林公式把静电边值问题化到求解相应的格林函数问题。从表面上看，格林函数所满求解相应的格林函数问题。从表面上看，格林函数所满足的方程和边界条件比静电的方程和边界条件简单些。足的方程和边界条件比静电的方程和边界条件简单些。SGr22 ( , )( )( )( , )( )( , ) ( , )( )G r rrrG r r dVrG r rG r rrdSnn (2) 第二类静电边值问题第二类静电边值问题: 格林函数的边界条件格林函数的边界条件: 为在边界面上的平均值。

60、为在边界面上的平均值。 特殊问题特殊问题: 所考查的区域包含有无穷大的边界面所考查的区域包含有无穷大的边界面考查一导体外的空间电势问题，这时所考查的区域是球考查一导体外的空间电势问题，这时所考查的区域是球面和无穷大曲面间包围的区域，所以这时边界面上面和无穷大曲面间包围的区域，所以这时边界面上 SnGS122 ( , )( )( )( , )( )( , ) ( , )( )G r rrrG r r dVrG r rG r rrdSnn ( )( , ) ( )( , )( )SrG r rr dVG r rr dSn SS01SnGS0S) (), () (), ()(dSrnrrGdrrrG