(完整版)复变函数习题三参考答案

1、习题三3.1计算积分z2dz,其中C是:C(1)原点到2 i的直线段；(2)原点到2再到2 i的折线;(3)原点到i再沿水平到 2 i的折线。解：(1) C的参数方程为z t 2 i 2t 2ti 0 t 1dz 2 i dt于是z2dz t2 2 i 2 2 i dt - 2 11iC3(2) C C1 C2, C1 参数方程为 z t 0 t 2 ,C2参数方程为z 2 it 0 t 12121z2dzz2dzz2dzt2dt 2 it idt - 2 11iCC1C2003(3) C C1 C2, C1 参数方程为 z it 0 t 1 ,C2参数方程为z t i 0 t 2222122

2、21z dz z dz z dz it idt t i dt 2 11iCC1C20033.2 设C是z ei ,是从 至的一周，计算：(1) Re zdz; Im zdz; (3)zdzCCC解：z ei cos i sin , dz sin i cos d(1) Re z dz cos sin i cos d i ; C Im z dz sin sin i cos d ; C(3) zdz cos i sin sin i cos d 2 iC3.3 计算积分 ? z|zdz,其中C是由直线段1 x 1,y 0及上半单位圆周组成的正向闭x 1,y曲线。解：C C1c2, C1 表示为 z x

3、 iy ,C2 表示为 z x iy cos i sindz sin i cos d2 zzdz1Ciz| zdzC2z| zdzxxdx0 COsi sinsini cos d3.5沿下列指定曲线的正向计算积分dz2z的值:(1);(2) C: z(3)C:解:(4)C:(1)dzz2 13dzdz(2)dzz2 11dzC zCzVz0;(3)dzz2 11dz3 dzdzz2 11dz23dz3.6设区域D为右半平面，z为D内的圆周z1上的任意一点,用在D内的任意一条曲线C连接原点与z dz,证明： Re 2。0 124112径换为先沿实轴从证明：函数在右半平面解析，故从 0到z沿任意曲

4、线C的积分与路径无关，积分路01dx2 x再沿圆周到z点。. iie2i d e40 2cos z d所以Re 旦二-01243.8设C为正向椭圆，定义f z2 ,六d, z不在zC上，求解：z在C内部时,2六在=z处不解析,-2d z2z3.9计算下列积分:(1)sin2 zdz;(2)1 izezdz ;1(3)iz2dzi 1n z 1 dz1 z 1解：（1）sin2 zdzi 11 cos2z i2dz(2)zezdz(3)i lnzzesin 2zsin 2z3.10 设 fsin 2 iezdzie1.2 .iz dzz 1 dz?|23iiz1121n1n211 cIn 222

5、1n22323 2In 281n2.i8心dz,z2时，求解：z在z2内部时,=z处不解析,ezdz 2 ie3 ，2 z_iie3_ z2 ie3_z2 ie32 ie_i 3.32时，亘将处处解析,所以z3.11沿下列指定曲线的正向计算各积分:e3dz 02 z(1)cos z?5dze z r 1；-C z 1(2)12 -2 Z3-,C z 1 z 1dz, C: z(3)-sinz 7 小22dze zz 一2(5)(6)ze23, z a1,a为1的任何数;sinz . _ o. 9dze|z 2iC1C22;cosz ,dz ,其中 C1: z z2取正向，C2：z3取负向。解：

6、(1) cos z 在由 C : z r1围成的区域内解析,cosz 1zTdz2 icos 4!5.i12(2)函数f z一在由1C:zr 1围成的区域内无奇点，处处解析，所dz 1(3)函数 f z sinz 2 在由 C:|z3一围成的区域内无奇点，处处解析，所以2sin z , 2dz0；1时，fze-在由C : z 1围成的区域内无奇点, a处处解析，所以z?C 二dz0；1时,1围成的区域内有奇点ze?3, z adz2!(5)函数f zsin z在由t <sin z ,螭Fz9sin zz 3 dzC z 3iC:2i2围成的区域内有奇点z,sin ziz 3i3i一 sin3i 3isinh3;3(6)设 C2 : z3取正向,C1 C2cosz.3-d