基本不等式1公开课实用教案

1、20022002年在北京举行的第年在北京举行的第2424届国际数学家大会届国际数学家大会(dhu)(dhu)会标会标天 才 在 于 勤 奋，努 力 才 能 成 功！第1页/共23页第一页，共24页。思考：这会标思考：这会标(hu bio)中含有怎样的几何图形？中含有怎样的几何图形？思考：你能否在这个图思考：你能否在这个图案中找出一些案中找出一些(yxi)相相等关系或不等关系？等关系或不等关系？天 才 在 于 勤 奋，努 力 才 能 成 功！第2页/共23页第二页，共24页。abab22+ +问问2 2：RtRtABF,RtABF,RtBCG,RtBCG,RtCDH,RtCDH,RtADEADE

2、是全等三是全等三角形，它们角形，它们(t men)(t men)的面积和是的面积和是S=S=问问1 1：在正方形：在正方形ABCDABCD中中, ,设设AF=a,BF=b,AF=a,BF=b,则正方形的面积则正方形的面积(min j)(min j)为为S=S=，问问3 3：S S与与SS有什么样的关系有什么样的关系(gun x)(gun x)？ 22ab2ab2222a + b 2aba + b 2ab从图形中易得，从图形中易得，s ss s, ,即即第3页/共23页第三页，共24页。问题(wnt)1：S, S有相等的情况吗？何时相等？ 图片说明：当直角三角形图片说明：当直角三角形变为等腰直角

3、三角形，即变为等腰直角三角形，即a=ba=b时，正方形时，正方形EFGHEFGH缩为一个点，缩为一个点，这时有这时有 22=2ababu形的角度形的角度(jiod)u数的角度数的角度 当当a=b时时a2+b22ab=(ab)2=0第4页/共23页第四页，共24页。结论结论(jiln)(jiln)：一般地，对于任意实数：一般地，对于任意实数a a、b b，我们有，我们有 当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立时，等号成立222aba b此不等式称为此不等式称为(chn wi)基本不基本不等式等式1问题问题2 2：当当 a,ba,b为任意实数时，为任意实数时， 成成 立吗？立吗？2 22 2a

4、a + +b b2 2a ab b, 02222baabba. 0b-aba0b-aba22时，当，时，当所以，当且仅当a=b时，等号成立第5页/共23页第五页，共24页。 a2+b22ab该结论成立的条件(tiojin)是什么 ？ 若a,bR，那么(n me)u形的角度形的角度(jiod)u数的角度数的角度 a2+b22ab=(ab)20a0,b0第6页/共23页第六页，共24页。 a2+b22ab公式中等号成立的条件是什么？是否(sh fu)仅仅当a=b时等号才成立？ 若a,bR，那么(n me)（当且仅当a=b时，取“=”号）u形的角度形的角度(jiod)u数的角度数的角度 当当a=b时

5、时a2+b22ab=(ab)2=0a=b第7页/共23页第七页，共24页。 若a,bR，那么(n me)a2+b22ab（当且仅当a=b时，取“=”号）公式两边具有何种运算(yn sun)结构？u数的角度数的角度(jiod):平方和不小于积的平方和不小于积的2倍倍 a2+b22ab第8页/共23页第八页，共24页。如果用 去替换a、b,前提是什么(shn me)？能得到什么(shn me)结论? 若a,bR，那么(n me)a2+b22ab（当且仅当a=b时，取“=”号）以下不等式是否(sh fu)成立？ a2+b22ab，a2+b22|ab|u换元法换元法,ab第9页/共23页第九页，共24

6、页。 类类 比比 联联 想想 推推 理理 论论 证证 （特别（特别(tbi)(tbi)的）如果的）如果 ,abab用用和和代代替替 、 可可得得abab2 2a0 ,b0 ,(,)002ababab 当且仅当当且仅当 a=b a=b 时时“”号成号成立立 此不等式称此不等式称基本不等式基本不等式2 222aba b也可写成也可写成第10页/共23页第十页，共24页。那么(n me)a2+b22 a b那么(n me)a + b 2 （当且仅当a=b时，取“=”号）若aR,bR若a0 b0ababab2 2aba b2第11页/共23页第十一页，共24页。aba b2算术平均数算术平均数几何平均

7、数几何平均数两个正数的算术两个正数的算术(sunsh)(sunsh)平均数不小于它们的平均数不小于它们的几何平均数几何平均数. .正数正数(zhngsh)(zhngsh)第12页/共23页第十二页，共24页。aboABPQ对基本不等式对基本不等式2的几何的几何(j h)意义意义作进一步探究作进一步探究:如图如图,AB,AB是圆是圆o o的直的直径径(zhjng)(zhjng)，Q Q是是ABAB上任一点，上任一点，AQ=a,BQ=b,AQ=a,BQ=b,过点过点Q Q作垂直于作垂直于ABAB的弦的弦PQPQ，连连AP,BP,AP,BP,则则PQ=_,PQ=_,半径半径PO=_PO=_ab2ba

8、 几何几何(j h)意义：圆的半径不小于圆内半意义：圆的半径不小于圆内半弦长弦长因为POPQ，所以aba b2第13页/共23页第十三页，共24页。例例1 1：用：用1616米长的篱笆围成一个菜园，可分别围成长方形，正方形，圆。问围成怎样的形米长的篱笆围成一个菜园，可分别围成长方形，正方形，圆。问围成怎样的形状会使得状会使得(sh de)(sh de)菜园的面积最大？这个最大的面积是多少？菜园的面积最大？这个最大的面积是多少？解：解：1 1）围成长方形时，设菜园）围成长方形时，设菜园(ciyun)(ciyun)的长为的长为6 6米，宽为米，宽为2 2米，米， 则面积则面积(min j)(min

9、 j)为为1212平方米。平方米。结论：结论：1 1）周长相等的情况下，圆的面积最大。周长相等的情况下，圆的面积最大。 2）围成正方形时，面积为16平方米3）围成圆时，面积是多少？由周长为16可求得半径为4 .20648S2 2）在周长相等的矩形中，正方形的面积最大。）在周长相等的矩形中，正方形的面积最大。第14页/共23页第十四页，共24页。求证：在周长相等的矩形求证：在周长相等的矩形(jxng)(jxng)中，正方形的面积最大。中，正方形的面积最大。证明(zhngmng)：若假设矩形的两边长为a、b，则面积为 相同的周长的条件(tiojin)下，对应的正方形的边长为面积为ab2ba22ba

10、abba2基本不等式2不等式的基本性质7abba22第15页/共23页第十五页，共24页。发现运算(yn sun)结构,应用不等式例2试求证如果将条件(tiojin)改为“x0,所以21212xxxx得：由基本不等式第16页/共23页第十六页，共24页。. 01, 00 xxxxx1xx12221xx21xx发现运算(yn sun)结构,应用不等式第17页/共23页第十七页，共24页。大于等于什么？、变式042aaa大于等于什么？、变式xx11发现运算(yn sun)结构,应用不等式021xxx021xxx或21xx第18页/共23页第十八页，共24页。发现运算结构(jigu),应用不等式 变式3.试判断 与 2 的大小(dxio)关系？ 若将条件“a0,b0”改为“ab0”结论如何？ 若将条件“a0,b0”改为“ab0，b0，那么 第21页/共23页第二十一页，共24页。第22页/共23页第二十二页，共24页。谢谢您的观看(gunkn)！第23页/共23页第二十三页，共24页。NoImage内容(nirng)总结2002年在北京举行的第24届国际数学家大会会标。思考：你能否在这个图案中找出一些相等关