[数学]第四章随机变量的数字特征ppt课件

1、概率论与数理统计第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 通常是指与随机变量有关的，虽然不能完好地刻划随通常是指与随机变量有关的，虽然不能完好地刻划随机变量，但却能较为集中地反映随机变量某些方面的重机变量，但却能较为集中地反映随机变量某些方面的重要特征的一些数值。要特征的一些数值。4.1 随机变量的数学期望；随机变量的数学期望；4.2 随机变量的方差随机变量的方差 ；4.3 协方差和相关系数协方差和相关系数 ;本章内容：本章内容：4.4 矩与协方差矩阵矩与协方差矩阵 .数字特征数字特征概率论与数理统计4.1 4.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望1.1.离散型随机变量的数学期望

2、离散型随机变量的数学期望引例引例 有甲、乙两射手，他们的射击技术用下表给出有甲、乙两射手，他们的射击技术用下表给出问题：知随机变量的概率分布问题：知随机变量的概率分布, 如何计算其平均值？如何计算其平均值？ 解解 “射击程度普通用平均击中环数来反映。所以，射击程度普通用平均击中环数来反映。所以，只需对他们的平均击中环数进展比较即可。只需对他们的平均击中环数进展比较即可。概率论与数理统计 分析：假设甲射击分析：假设甲射击N次次, 设击中设击中8环环, 9环和环和10环的次数环的次数分别为分别为 次，那么甲在次，那么甲在N次射击中，平均每次次射击中，平均每次击中的环数为击中的环数为123 NNN、

3、 和1238910NNNN 3128910NNNNNN 1238910fff 由于概率是频率的稳定中心，以由于概率是频率的稳定中心，以 表示甲的平均击表示甲的平均击中环数中环数, 那么那么(E X甲）8 0.39 0.1 10 0.69.3E X 甲（）8 0.9 0.10 0.9.1,E X 乙（）故以为甲射手的程度较高。故以为甲射手的程度较高。由于由于E XE X乙甲（）（）,可以看出：平均值是以分布概率为权重的加权平均。可以看出：平均值是以分布概率为权重的加权平均。概率论与数理统计 定义定义 设离散型随机变量设离散型随机变量X的概率分布为的概率分布为PX = xk = pk ， k =1

4、,2,31kkkpx1kkkx p 1)(kkkpxXE假设级假设级数数，那么称级数，那么称级数和和为随机变量为随机变量 X 的数学期望或均值，的数学期望或均值， 记作记作EX随机变量随机变量 X 的数学期望完全是由它的概率分布确定的数学期望完全是由它的概率分布确定的，而不应受的，而不应受 X 的能够取值的陈列次序的影响，因的能够取值的陈列次序的影响，因此要求此要求1kkkx p 否那么，称随机变量的数学期望不存否那么，称随机变量的数学期望不存在在概率论与数理统计解解 易知易知 X 1 3 P 0.4 0.6 ()1 0.43 0.61.4E X 例1 设随机变量X的分布列为求求 ()E X

5、假设将此例视为甲、乙两队假设将此例视为甲、乙两队“竞赛，甲队赢的概率竞赛，甲队赢的概率为为0.6，输的概率为，输的概率为0.4，并且甲队每赢一次得，并且甲队每赢一次得3分，每输分，每输一次扣一次扣1分，那么分，那么 E(X) = 1.4 是指甲队平均每次可得是指甲队平均每次可得分分概率论与数理统计 例例2 按规定，某公交车每天按规定，某公交车每天8点至点至9点和点和9点至点至10点都恰有一辆点都恰有一辆到站，各车到站的时辰是随机的，且各车到站的时间是相互独立到站，各车到站的时辰是随机的，且各车到站的时间是相互独立的，其规律为的，其规律为到站时辰到站时辰 8:10/9:10 8:30/9:30

6、8:50/9:50 概率概率 0.2 0.4 0.4某乘客某乘客8:20到站，求他候车时间的数学期望到站，求他候车时间的数学期望 解解 设乘客的候车时间为设乘客的候车时间为X,假设该乘客假设该乘客8:20到车站到车站,而而8点到点到9点点的一趟车已于的一趟车已于8:10开走开走,第二趟车第二趟车9:10开开,那么他候车的时间为那么他候车的时间为50 min， 该乘客其他候车时间对应的概率可类似得到，于是候车时间该乘客其他候车时间对应的概率可类似得到，于是候车时间X的分布列为的分布列为 10 30 50 70 90 0.4 0.4 0.04 0.08 0.08XP对应的概率为事件对应的概率为事件

7、“第一趟车第一趟车8:10开走，且第二趟开走，且第二趟9:10开发生的开发生的概率概率, 即即500.2 0.20.04P X 概率论与数理统计解解 候车时间候车时间X的分布列的分布列为为 10 30 50 70 90 0.4 0.4 0.04 0.08 0.08XP从而该乘客候车时间的数学期望为从而该乘客候车时间的数学期望为()100.4300.4500.04700.08900.0830.8E X 例例2 按规定，某公交车每天按规定，某公交车每天8点至点至9点和点和9点至点至10点都恰有一辆点都恰有一辆到站，各车到站的时辰是随机的，且各车到站的时间是相互独立到站，各车到站的时辰是随机的，且各

8、车到站的时间是相互独立的，其规律为的，其规律为到站时辰到站时辰 8:10/9:10 8:30/9:30 8:50/9:50 概率概率 0.2 0.4 0.4某乘客某乘客8:20到站，求他候车时间的数学期望到站，求他候车时间的数学期望概率论与数理统计 求随机变量求随机变量X和和Y的数学的数学期望期望于是有于是有 解解 由由(X,Y)的结合分布律可得关于的结合分布律可得关于X、Y的边缘分布的边缘分布分别为分别为 例3 设二维离散型随机变量(X,Y)的结合概率分布表为 1 2 3 1 1/4 1/8 1/4 2 1/8 1/8 1/8 XY 1 2 5/8 3/8XP 1 2 3 3/8 1/4 3

9、/8YP5311()12888E X313( )1232848E Y 概率论与数理统计1111(),( )ii jji jijijE Xx pE Yy p11111( )()jjjijjijjjiijE Yy P Yyypy p, , ,1,2,iji jP Xx Yypi j11111()()iiiijiijiijijE Xx P Xxxpx p1 , 1,2,iijjP Xxpi 定理定理1 设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量(X,Y)的结合概率分布为的结合概率分布为那那么么 证明证明 关于关于X的边缘分布为的边缘分布为于是有于是有 同理可得同理可得 概率论与数理统计 定义 设延续型

10、随机变量X的概率密度为f(x)，假设积分dxxxfXE)()( )x fx dx 阐明：假设积分阐明：假设积分 不收敛不收敛 ，那么称随机，那么称随机变量变量X的数学期望不存在。的数学期望不存在。 dxxfx 收敛，那么称积分值收敛，那么称积分值 为为X的数学期望的数学期望或均值。记作或均值。记作E(X)，即，即( )xfx dx2. 延续型随机变量的数学期望延续型随机变量的数学期望概率论与数理统计21( ) , - (1)f xxx 试证试证X的数学期望不存在的数学期望不存在 例例4 设随机变量设随机变量X 服从柯西分布服从柯西分布,其密度函数为其密度函数为201ln(1)x21d(1)xx

11、x202d(1)xxx 证证 由于由于( )dx f xx( )dx f xx即即 不收敛，所以不收敛，所以X的数学期望不存在的数学期望不存在 概率论与数理统计22/(1500) ,01500( )(3000) /(1500) ,150030000,xxfxxx其 它求求X的数学期望的数学期望. 1500300022015003000 -()( )ddd15001500 xxE Xxfxxxxxx 例5 设在某一规定的时间内，一电气设备用于最大负荷的时间X单位：min是一个随机变量，概率密度函数为5 0 02 0 0 01 0 0 01 5 0 01500300032322015001500/

12、 3315001500 xxx解解 由知可得由知可得 概率论与数理统计例例6 设二维延续型随机变量的概率密度函数为设二维延续型随机变量的概率密度函数为2,01, 01( , )0,xyxyf x y其它解解 关于关于X、Y的边缘概率密度函数分别为的边缘概率密度函数分别为103( )( ,)d(2)d2Xfxf x yyxyyx求求EX，EY于是有于是有 103( )( , )d(2)d2Yfyf x yxxyxy(01)x(01)y123100335()()d24312xxE Xxxx123100335( )(- )d-24312yyE Yyyy概率论与数理统计 定理定理2 设二维延续型随机变

13、量设二维延续型随机变量(X,Y)的概率密度函数的概率密度函数为为 f (x, y), 那么有那么有 ()( , )d d ,E Xxf x yx y ( )( , )dXfxf x yy于是有于是有 ( )( , )d dE Yyf x yx y 证证 关于关于X、Y的边缘概率密度函数分别为的边缘概率密度函数分别为( )( ,)dYfyf x yx()( )d( , )d d( , )d dXE Xxfxxxf x yyxxf x yx y ( )( )d( , )d d( , )d dyE Yyfyyyf x yxyyf x yx y 概率论与数理统计3. 随机变量函数的数学期望1( ) (

14、)().kkkE YE g Xg xp假设级数假设级数 1()kkkg xp收敛，那么收敛，那么有有 定理定理3 设设X是随机变量，是随机变量，Y = g(X)是是X的延续函数，那么有的延续函数，那么有,1,2,kkP Xxpk(1) 假设假设 为离散型变量，其概率函数为为离散型变量，其概率函数为 X(2)假设假设X为延续型随机变量，其概率密度为为延续型随机变量，其概率密度为 f(x),假设积分假设积分 收敛收敛( )( )g xf x dxdxxfxgXgEYE)()()()(那么有那么有概率论与数理统计 (3) 假设假设(X,Y)为离散型随机向量，其结合概率分布为为离散型随机向量，其结合概

15、率分布为 P X=xi Y=yj = pij i,j =1,2,3,假设假设 那么那么Z=g (X,Y)的数学期望为的数学期望为ijjijipyxgYXgEZE),(),()(4) 设二维随机向量设二维随机向量X，Y为延续型随机变量，它的结合概为延续型随机变量，它的结合概率密度为率密度为f(x,y),假设假设 收敛收敛, 那么那么Z=g (X,Y)的数学期望为：的数学期望为： dxdyyxfyxgYXgEZE),(),(),()(11( ,)iiijijg x yp ( , )( , )d dg x y f x y x y 概率论与数理统计,0,1,2, ,kkn knP XkC p qkn解

16、 由于 分布律为分布律为 ( , )XB n p20(e )nkkn knkCpq所以所以 220( )(e)enXkkkn knkE YEC p q2( e)npq其中其中 1pq( )E Y求求2e,XY 例例7 设随机变量设随机变量 ，( , )XB n p概率论与数理统计1111222300001( -)()d d(-)d d6x yxyx yxxy xyyx y ,01, 01( , )0,xyxyf x y其它解解 例例8 设二维随机变量设二维随机变量 (X, Y) 的密度函数为的密度函数为 11001()d d3xy xyx y 2()E XY2( -) ( , )d dx yf

17、 x yx y 2(),().E XYE XY求求 ()( , )d dE XYxyf x yx y 概率论与数理统计212001()(1 3)d d4E XYxyxyx y 21(1 3),02, 01( , )40,xyxyf x y其它解 例例9 设二维随机变量设二维随机变量 的密度函数为的密度函数为 (, )X Y21220014d(1 3)d43xxyy212001( )(1 3)d d4E Yyxyx y 2120015d(13)d48x xyyy22(),( ),(),()E XE YE XYE XY求求 2120011()(1 3)d d44E Xxxyx y 21220015

18、d(13)d46xxyyy概率论与数理统计21(1 3),02, 01( , )40,xyxyf x y其它例例9 设二维随机变量设二维随机变量 的密度函数为 (, )X Y22(),( ),(),()E XE YE XYE XY求求 5()6E XY 解解 5( )8E Y 4()3E X 2122222001()()(1 3)d d4E XYxyxyx y 21213222000011d(1 3)dd(1 3)d44xxyyx xyyy3715概率论与数理统计 例10 设国际市场上每年对我国某种出口农产品的需求量X (单位：t )是随机变量，它服从1200，3000上的均匀分布假设售出这种

19、农产品1t，可赚2万元，但假设销售不出去，那么每吨需付仓库保管费1万元，问每年应预备多少吨产品才可得到最大利润?( )Yg X2 ,2(),yXyXyXXy解解 设每年预备该种商品设每年预备该种商品y t (12003000)y112003000( )18000 xf x，其它300012001(3)d2 d 1800yyxyxy x300012001( )( )d1800E Yg xx2 ,3,yXyXyXy得到平均利润为得到平均利润为那 么 利 润那 么 利 润为为概率论与数理统计()Yg X解解112003000( )18000 xf x，其它300012001(3)d2 d 1800y

20、yxyxy x213(y7200y2160000)180022 ,3,yXyXyXy利润为利润为300012001( )( )d1800E Yg xx得到平均利润为得到平均利润为( )E Y当当y= 2400时，时， 取到最大值，故取到最大值，故每年预备此种商品每年预备此种商品2400 t，可使平均，可使平均利润到达最大利润到达最大 例10 设国际市场上每年对我国某种出口农产品的需求量X (单位：t )是随机变量，它服从1200，3000上的均匀分布假设售出这种农产品1t，可赚2万元，但假设销售不出去，那么每吨需付仓库保管费1万元，问每年应预备多少吨产品才可得到最大利润?概率论与数理统计证证

21、可将可将C看成离散型随机变量，分布律为看成离散型随机变量，分布律为 PX=C=1，故由定，故由定义即得义即得E(C)=C.2 . 设设 C 为 常 数 ，为 常 数 ， X 为 随 机 变 量 ， 那 么 有为 随 机 变 量 ， 那 么 有E(CX)=CE(X)证证 设设X的密度函数为的密度函数为 ，那么，那么有有( )f x( )dCxf xx()( )dE CXCxfxx().CE X 3. 设 为恣意两个随机变量，都有 ()()( )E XYE XE Y,X Y1. 设设C为常数，那么有为常数，那么有E(C)=C 4. 数学期望的性质数学期望的性质概率论与数理统计 3. 设 X, Y

22、为恣意两个随机变量，都有 ()()( )E XYE XE Y证证 设二维随机变量设二维随机变量 (X, Y) 的密度函数为的密度函数为( ,),fx y()()( , )d dE XYxy f x yx y ( , )d dxf x yx y 边缘密度函数分别为边缘密度函数分别为()() ,XYfxfy和和 那那么么( )dXxfxx( ,)d dyfx yx y( )dYyfyy()( )E XE Y推行到恣意有限多个随机变量之和的情形，有推行到恣意有限多个随机变量之和的情形，有 1212()()()()nnE XXXE XE XE X112211222()()()()nnnE k Xk X

23、k Xk E Xk E Xk E X 4. 数学期望的性质数学期望的性质概率论与数理统计( )( )d dXYxyfx fyx y ( )d( )dXYxfxxyfyy4. 设设X, Y为相互独立的随机变量，那为相互独立的随机变量，那么有么有()()( )E XYE X E Y( , )( )( )XYf x yfx fy()( , )d dE XYxyf x yx y 证 由于X与Y相互独立，故其结合密度函数与边缘密度函数满足 推行到恣意有限多个相互独立的随机变量之积的情形，有推行到恣意有限多个相互独立的随机变量之积的情形，有 所以所以 1212()() ()()nnE X XXE X E

24、XE X() ( )E X E Y概率论与数理统计解解 设随机变量设随机变量 例例11 一民航机场的送客班车载有一民航机场的送客班车载有20位旅客，自机场开出，沿位旅客，自机场开出，沿途旅客有途旅客有10个车站可以下车如到达一个车站没有旅客下车班个车站可以下车如到达一个车站没有旅客下车班车就不停设每位旅客在各个车站下车是等能够的车就不停设每位旅客在各个车站下车是等能够的P0.9，且各旅客能否下车相互独立，以且各旅客能否下车相互独立，以X表示停车的次数，求表示停车的次数，求 E(X)1012XXXXi=1,2,10个车站无人下车第个车站有人下车第iiXi010.9, 0iX 由题意，任一旅客在第

25、由题意，任一旅客在第i个车站不下车的概率为个车站不下车的概率为 表示第表示第i站没有旅客下车，故站没有旅客下车，故20位旅客都不在第位旅客都不在第i站下车的概站下车的概率为，在第率为，在第i站有人下车的概率为，于是得的分布律如下：站有人下车的概率为，于是得的分布律如下： Xi 0 1 P 0.920 1-0.920概率论与数理统计 例例11 一民航机场的送客班车载有一民航机场的送客班车载有20位旅客，自机场开出，沿位旅客，自机场开出，沿途旅客有途旅客有10个车站可以下车如到达一个车站没有旅客下车班个车站可以下车如到达一个车站没有旅客下车班车就不停设每位旅客在各个车站下车是等能够的车就不停设每位

26、旅客在各个车站下车是等能够的P0.9， 且各旅客能否下车相互独立，以且各旅客能否下车相互独立，以X表示停车的次数，求表示停车的次数，求E(X) 解解 随机变量随机变量1012XXXX2020()0 0.91 (1 0.9 )iE X Xi 0 1 P 0.920 1-0.920=10.920 1210()()E XE XXX1210()()()E XE XE X2010 (1 0.9 )8.8这阐明班车平均停车约这阐明班车平均停车约9次次 概率论与数理统计1133111()(1-)d d4E Xxx yxyx y 331(1)1,1( , )40 x yxyxyf x y，其它解解 例例12

27、设二维随机变量设二维随机变量 的密度函数为的密度函数为 (, )X Y1133111(1-)d d4xyx yxyx y 1421122()d435xxx1531122041515xx()()( )E XYE X E Y实验证实验证 ，但，但X和和Y是不独立的是不独立的()( , )d dE XYxyf x yx y 1112 d04x x1133111( )(1-)d d4E Yyx yxyx y 1112 d04y y概率论与数理统计331(1)1,1( , )40 x yxyxyf x y，其它解解例例12 设二维随机变量设二维随机变量 的密度函数为的密度函数为 (, )X Y()()(

28、 )E XYE X E Y实验证实验证 ，但，但X和和Y是不独立的是不独立的()()( )0E XYE XE Y所以所以()()( )0E XYE X E YX的边缘密度函数的边缘密度函数1331( )( ,)d11(1-)d42Xfxfx yyx yxyy111()20Yyfy，其 它111( )20Xxfx，其 它同理可得同理可得Y的边缘密度函数为的边缘密度函数为 显然有显然有 ，故，故X和和Y是不独立的是不独立的( , )( )( )XYf x yfx fy概率论与数理统计1)(kkkpxXEdxxxfXE)()(1)()()(kkkpxgXgEYEdxxfxgXgEYE)()()()(

29、 dxdyyxfyxgYXgEZE),(),(),()(1.离散型2.延续型3.Y= g(X)4.Y=g(X, Y)小小 结结ijjijipyxgYXgEZE),(),()(概率论与数理统计 由第一节我们知道，随机变量的数学期望由第一节我们知道，随机变量的数学期望可以反映变量取值的平均程度，但仅用数学期可以反映变量取值的平均程度，但仅用数学期望描画一个变量的取值情况是远不够的。我们望描画一个变量的取值情况是远不够的。我们仍用类似于第一节中的例子来阐明。仍用类似于第一节中的例子来阐明。 假设甲乙两射手各发十枪，击中目的靶的假设甲乙两射手各发十枪，击中目的靶的环数分别为环数分别为4.2随机变量的方

30、差随机变量的方差概率论与数理统计 容易算得，二人击中环数的平均值都是容易算得，二人击中环数的平均值都是8.8环，现问，甲、乙二人哪一个程度发扬的环，现问，甲、乙二人哪一个程度发扬的更稳定？更稳定？甲甲 9 8 10 8 9 8 8 9 10 9乙乙 6 7 9 10 10 9 10 8 9 10 直观的了解，二选手中哪一个击中的环直观的了解，二选手中哪一个击中的环数偏离平均值越少，这个选手发扬的更稳定数偏离平均值越少，这个选手发扬的更稳定概率论与数理统计一些。为此我们利用二人每枪击中的环数距一些。为此我们利用二人每枪击中的环数距平均值的偏向的均值来比较。为了防止偏向平均值的偏向的均值来比较。为

31、了防止偏向 和的计算中出现正、负偏向相抵的情况，应和的计算中出现正、负偏向相抵的情况，应由偏向的绝对值之和求平均更适宜。由偏向的绝对值之和求平均更适宜。对于甲选手，偏向绝对值之和为：对于甲选手，偏向绝对值之和为：4 . 68 . 898 . 8108 . 888 . 89 8 .108 . 8108 . 898 . 878 . 86 概率论与数理统计 所以甲、乙二人平均每枪偏离平均值为所以甲、乙二人平均每枪偏离平均值为0.64 环和环和 1.08 环，因此可以说，甲选手程度环，因此可以说，甲选手程度发扬更稳定些。发扬更稳定些。 类似的，为了防止运算式中出现绝对值类似的，为了防止运算式中出现绝对

32、值符号。我们也可以采用偏向平方的平均值进符号。我们也可以采用偏向平方的平均值进展比较。展比较。概率论与数理统计定义定义(离差离差):设设X为随机变量为随机变量,EX存在存在,称称X-EX为离差为离差;显然：E(X-EX)=0.定义定义(方差方差):设设X为随机变量为随机变量,EX存在存在,且且E(X-EX)2存在存在,那么称那么称E(X-EX)2 为为X的方差的方差,记为记为:DX= E(X-EX)2特别,记 x=DX留意留意:方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度.结合随机变量函数的数学期望可得:(1)假设P(X=xn)=pn,n=1,2,.,那么DX=

33、 E(X-EX)2nn2np)EXx(2)假设X为延续型,Xf(x),那么 DX= E(X-EX)2dx)x( f)EXx(2 随机变量的方差随机变量的方差1122112212()()()() =()()0nnnnnE XEXxu pxu pxu px px px pu pppuu()() ( )( )( ) 0E XEXxu f x dxxf x dxuf x dxuu为X的规范差.概率论与数理统计NoImageNoImageNoImageNoImage假设假设X的取值比较分散，那么方差较的取值比较分散，那么方差较大大 .假设方差假设方差D(X)=0,那么那么r.v. X 以概率以概率1取常

34、数取常数值值 . 方差刻划了随机变量的取值对于其数学期方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度望的离散程度 .假设假设X的取值比较集中，那么方差较小；的取值比较集中，那么方差较小；D(X)=EX-E(X)2概率论与数理统计方差的性质方差的性质:(1)D(c)=0;(2)D(aX)=a2D(X)(3)D(X+b)=DX(4)DX=EX2-(EX)2证明:(2)D(aX)=EaX -E(aX)2=Ea(X-EX)2=a2E(X-EX)2 =a2D(X)(4)DX= E(X-EX)2 =EX2-2X(EX)+(EX)2=EX2-E2X(EX)+E(EX)2=EX2-2(EX)(EX)+(EX

35、)2=EX2-(EX)2EX2 = DX +(EX)2(常用于计算方差)(注:EX是常数)2(3) ()()()D XbEXbE Xb2E XbEXb2E XEXDX(1)D(c)=0;(2)D(aX)=a2D(X)(3)D(X+b)=DX(4)DX=EX2-(EX)2概率论与数理统计 从而从而 ,E XYE XE Y 22YXEYXEYXD 2222YEXEYXYXE 2222XEYEXYEXE 22YEYEXE 2222YEXEYEXE 2222YEYEXEXE YDXD 证明： 假设X与Y相互独立,那么知 (5)XY D XYD XD Y若 与 相互独立，则；概率论与数理统计性质性质 5

36、可以推行到多个相互独立的可以推行到多个相互独立的随机变量的情形。例如，当随机变量的情形。例如，当 相互相互独立时，成立独立时，成立 321XXX、 123123.D XXXD XD XD X 222123123.D aXbXcXa D Xb D Xc D X 概率论与数理统计 例例1 对服从对服从01分布的随机变量分布的随机变量 X ，分布列为，分布列为10XppPk 1求求 X 的方差。的方差。知知 而且而且 , pXE ,101222pppXE 那么那么 X 的方差为的方差为解解 22XEXEXD .12pppp 概率论与数理统计 由上节中的例由上节中的例14 知知 其中其中 服从同一服从

37、同一01分布：分布：,1 niiXXiX , 2 , 1,1,10nipXPpXPii 且且 相互独立。又由本节例相互独立。又由本节例 1 有有 于是可得：于是可得：nXXX,21 , 2 , 1,1nippXDi niiniiXDXDXD11解解例例2 设随机变量设随机变量 X 服从二项分布服从二项分布 ， 试求试求 .XD pnB, pnp 1概率论与数理统计例例 知随机变量知随机变量X服从二项分布，服从二项分布， 且且EX= 2.4, D(X)=1.44, 那么二项分布的那么二项分布的参参 数数n,p的值为的值为 n=4,p=0.6 n=6, p=0.4 n=8,p=0.3 n=24,p

38、=0.1例设例设X表示表示 10次独立反复射击命中次独立反复射击命中 目的的次数目的的次数,每每 次射中目的的概率为次射中目的的概率为0.4,那么那么X2 的数学期望的数学期望EX2=( ) 18.4概率论与数理统计 例例3 设随机变量设随机变量 X 服从参数为服从参数为 的泊松的泊松分布，求分布，求 .XD在本章第一节的例中我们曾经知道在本章第一节的例中我们曾经知道 ,22 XEXE从而从而 22XEXEXD 22解解概率论与数理统计 例例4 对服从对服从a，b区间上均匀分布的随机区间上均匀分布的随机变量变量X ，计算，计算 .XD知知 ，且，且 baXE 21 dxxfxXE 22 ,31

39、1222babadxabxba 解解从而从而 22XEXEXD .12141312222abbababa 概率论与数理统计几何分布几何分布而：而：所以：所以：概率论与数理统计f(x)x0小小EX= ，DX=2正态分布期望和方差正态分布期望和方差概率论与数理统计例例5 知知 求求 ,2 NX .XD由方差的定义可得由方差的定义可得 dxeXExXDx222221 解解 ,212222 dxexx 作代换作代换 那么那么, xt dtetXDt22222 .2222222 dtetett222)(2tedt 概率论与数理统计求求EX和和DX.,e)x(f1x2x12练习：练习： 设设X的密度的密度

40、 函数为函数为2 22 22 22 2) )( (x x1 12 2x xx x, ,2 2 解得解得:EX=1,DX=2=1/2概率论与数理统计练习练习:1.X,Y独立独立,DX=6,DY=3,那么那么D(2X-Y)=( ).2.XN(3,1),YN(2,4),X,Y独立独立,那么那么X-2Y+1( ).3.XP(2),YN(-2,4),X,Y独立独立,Z=X-Y,那么那么EZ=( ); 假设假设X,Y独立独立,那么那么EZ2=( ).解解:(1)D(2X-Y)=D(2X)+DY=4DX+DY=27(2)E(X-2Y+1)=EX-2EY+1=0,D(X-2Y+1)=DX+4DY=17所以所以

41、,X-2Y+1N(0,17)(3)EZ=EX-EY=4, EZ2=E(X2+Y2-2XY)=EX2+EY22EXEY=6+8+8=22或或EZ2=DZ+(EZ)2=6+16=2227N(0,17)4 22概率论与数理统计例例6.设设X其它02x1x21x0 x)x(f,求求EX,DX.解解:(1)EX=dx)x(xf2110dx)x2( xxdxx12)x31x(01x31323=1(2)E(X2)=dx)x(fx2212103dx)x2(xdxx=7/6所以所以, DX=EX2-(EX)2 =7/6-1=1/6概率论与数理统计练习：练习： 设设X是一随机变量，是一随机变量，E(X)=，D(X

42、)=2(,0常数常数)， 那么对恣意常数那么对恣意常数C，必有，必有 。)X(E)CX(E)4()X(E)CX(E)3()X(E)CX(E)2(C)X(E)CX(E)1(222222222解解:E(X-C)2=EX2-2CX+C2=EX2-E(2CX)+C2=EX2-2C E( X)+C2=(EX)2+DX -2C E( X)+C2=2+ 2-2C+C2= 2+(-C)2而而E(X-)2=E(X-EX)2=DX= 2所以所以,(4)正确正确.概率论与数理统计 例例7 设随机变量设随机变量 X 的期望的期望EX和方差和方差DX 都存在，那么称都存在，那么称 XDXEXX *为为 X 的规范化随机

43、变量，试求的规范化随机变量，试求 和和 XE XD XDXEXEXE* 留意到留意到 均为常数，再由期望均为常数，再由期望及方差的性质可得：及方差的性质可得： XDXE、解解概率论与数理统计 . 111 XDXDXEXDXDXDXEXDXD ; 01 XEXEXD 可见，规范化随机变量的期望是可见，规范化随机变量的期望是 0 ，方差，方差是是1 。因此，把随机变量规范化，可以使所讨。因此，把随机变量规范化，可以使所讨概率论与数理统计论的问题变得较简单，这种处置问题的方法在论的问题变得较简单，这种处置问题的方法在概率与数理统计中时有运用。例如，随机变量概率与数理统计中时有运用。例如，随机变量 X

44、 服从正态分布服从正态分布 把把 X 规范化规范化 那么那么 服从规范正态分布服从规范正态分布 ,于是要求于是要求 X 落入某一区间的概率，只需由规范正态分布落入某一区间的概率，只需由规范正态分布表查出表查出 落入相应区间的概率即可，这一作落入相应区间的概率即可，这一作法是我们早已熟知并已多少运用过的。法是我们早已熟知并已多少运用过的。 2, N, XX*X 1 ,0N X概率论与数理统计1. 设设他其,010,101,1)(xxxxxfX那么方差D(X)=( )。2.随机变量随机变量X只取只取-1,0,1三个值三个值,且相应概率比为且相应概率比为1:2:2,又又Y=X2,求求(1)EX, (

45、2)DX, (3)EY, (4)DY.课堂练习课堂练习3.概率论与数理统计0110(2) ()(1)(1)0E Xxx dxxx dx解：61)1 ()1 ()(1020122dxxxdxxxXE61)(XD概率论与数理统计练习册练习册 6某种产品外表上的疵点数服从泊松分布某种产品外表上的疵点数服从泊松分布,平均一个上平均一个上 有有0.8个疵点个疵点,假设规定疵点数不超越假设规定疵点数不超越1个为一等品个为一等品,价值价值 10元元;疵点数大于疵点数大于1个不多余个不多余4个为二等品个为二等品,价值价值8元元; 4个以上者为废品个以上者为废品,求产品为废品的概率以及产品的求产品为废品的概率以

46、及产品的 平均价值平均价值.解：设 X-疵点数, Y-产品价值.那么：EX=0.810, 18, 140, 4XYXX40.80(4)1(4)0.81!kkP XP Xek 140.80.8020.80.81089.61!kkkkEYeekk概率论与数理统计概率论与数理统计2在长为在长为 的线段上任取两点，求两点间的间隔的的线段上任取两点，求两点间的间隔的 数学期望和方差。数学期望和方差。a综合练习题综合练习题 三、计算题三、计算题 解：设所取两点分别为解：设所取两点分别为X,Y.那么那么10 ( )0ax aXf x 其 它10 ( )0ay aYf y 其 它又 X,Y相互独立，故210,

47、0( , )( ) ( )0XaYaf x yf x f ya其它概率论与数理统计 (,)( ,)( ,)E g X Yg x y f x y dxdy 由：，得 dxdy)y, x(f|yx|YX|Ea0a02dxdya1|yx|1S2dxdya1|yx|2S2dxdya1|yx|y=xXY0 x-y0 x-y0S1S2a0 x02dya1)yx(dx23a22|( , )E XYxyf x y dxdy 又：220 01|a axydxdya概率论与数理统计222001()6aaadxxydya22222() ( )6318D XYE XYE XYaaa概率论与数理统计1. 协方差与相关系

48、数的概念协方差与相关系数的概念2. 协方差的性质协方差的性质 3. 相关系数的性质相关系数的性质4.3 4.3 协方差与相关系数协方差与相关系数. 小结小结4. 矩的概念矩的概念概率论与数理统计(1) 问题的提出问题的提出 那那么么相相互互独独立立和和若若随随机机变变量量,YX).()()(YDXDYXD 不相互独立不相互独立和和若随机变量若随机变量YX?)( YXD22)()()(YXEYXEYXD ).()(2)()(YEYXEXEYDXD 协方差协方差1. 协方差与相关系数的概念协方差与相关系数的概念概率论与数理统计).()(),ov(C),Cov(.)()(YEYXEXEYXYXYXY

49、EYXEXE 即即记为记为的协方差的协方差与与为随机变量为随机变量称称(2) 定义定义.)0)(, 0)()()(),Cov(的的相相关关系系数数与与为为随随机机变变量量称称YXYDXDYDXDYXXY ),(2)()()(YXCovYDXDYXD 于是有于是有概率论与数理统计)()(),Cov(YEYXEXEYX )()(YEYEXEXE . 0 相互独立相互独立和和若随机变量若随机变量YX)3(),(2)()()(YXCovYDXDYXD ).()(YDXD 相互独立相互独立和和若随机变量若随机变量YX)2(3) 阐明阐明 .,)1(个个无无量量纲纲的的量量它它是是一一协协方方差差的的相相

50、关关系系数数又又称称为为标标准准和和YX概率论与数理统计(4) 协方差的计算公式协方差的计算公式);()()(),Cov(YEXEXYEYX 证明证明)()(),Cov()1(YEYXEXEYX )()()()(YEXEYXEXYEXYE ).()()(YEXEXYE )()()()(2)(YEXEYEXEXYE 概率论与数理统计);(),Cov();,Cov(),Cov()1(XDXXXYYX ;, , ),Cov(),Cov()2(为为常常数数baYXabbYaX ).,Cov(),Cov(),Cov()3(2121YXYXYXX 2. 协方差的性质协方差的性质 概率论与数理统计例例1 1

51、 设随即变量设随即变量(X,Y)(X,Y)具有概率密度具有概率密度其中区域其中区域 G G 由曲线由曲线 与与 围成围成. .求求 ，,G,x,y,yxf其他0)(3),(2xy 2yx ).(,),(YXDYXCovXY xyGO2yx 2xy ,20/93)(102 xxxdydxXE解解：,20/93)(102 xxydydxYE, 4/13)(102 xxxydydxXYE概率论与数理统计,35/93)(10222 xxdydxyYE,2800/153)20/9(35/92 ,2800/153)()( XDYD22)()()(XEXEXD ,0475. 0400/19)()()(),C

52、ov( YEXEXYEYX,87. 0)()(),Cov( YDXDYXXY)(YXD .2043. 0),(Cov2)()( YXYDXD,35/93)(10222 xxdydxxXExyGO2yx 2xy 概率论与数理统计(1) 问题的提出问题的提出?,衡量衡量接近的程度又应如何来接近的程度又应如何来最接近最接近可使可使应如何选择应如何选择问问YbaXba )(2bXaYEe 设设.的的好好坏坏程程度度近近似似表表达达可可用用来来衡衡量量则则YbXae .,的的近近似似程程度度越越好好与与表表示示的的值值越越小小当当YbXae .,达到最小达到最小使使的值的值确定确定eba3. 相关系数的

53、性质相关系数的性质概率论与数理统计).(2)(2)(2)()(2222YaEXabEXYbEaXEbYE 得得并并令令它它们们等等于于零零求求偏偏导导数数分分别别关关于于将将,bae . 0)(2)(2)(2, 0)(2)(222XaEXYEXbEbeYEXbEaae解得解得,)(),Cov(0XDYXb .)(),Cov()()(0XDYXXEYEa )(2bXaYEe 概率论与数理统计得得中中代代入入将将,)(,200bXaYEeba )(min2,bXaYEeba ).()1(2YDXY (2) 相关系数的意义相关系数的意义.,系较紧密系较紧密的线性关系联的线性关系联表明表明较小较小较大

54、时较大时当当YXeXY.,0.,线线性性相相关关的的程程度度最最差差时时当当线线性性相相关关的的程程度度较较差差较较小小时时当当YXYXXYXY .,0不相关不相关YXXY和和称称时时当当定义定义 )(200XbaYE 概率论与数理统计. 1)1 XY. 1,:1)2 bXaYPbaXY使使存在常数存在常数的充要条件是的充要条件是证明证明)(min)12,bXaYEeba )()1(2YDXY 0 012 XY. 1 XY(3) (3) 相关系数的性质相关系数的性质概率论与数理统计. 1,1)2 bXaYPbaXY使使存在常数存在常数的充要条件是的充要条件是1, XY事事实实上上20000200)()( )(0XbaYEXbaYDXbaYE , 0)(00 XbaYD. 0)(00 XbaYE由方差性质知由方差性质知. 100 XbaYP或或0)(200 XbaYE, 10)(00 XbaYP概率论与数理统计使使若若存存在在常常数数反反之之 ba ,1 XbaYP. 0)(2 XbaYE)(min2,bXaYEba )(200XbaYE )()1(2YDXY . 1 XY,