ansys有限元理论

1、Company CUSTCUST 第一章第一章 绪论绪论 第二章第二章 平面问题的有限元法平面问题的有限元法 第三章第三章 空间问题和轴对称问题有限元法空间问题和轴对称问题有限元法 第四章第四章 等参数单元等参数单元主要内容：主要内容：CUST第一章第一章 绪论绪论 1 有限元简介 2 弹性力学基础知识 3.弹性力学的平面问题 CUST1.什么是有限单元法什么是有限单元法 ？(What ?)2.为什么要学有限元为什么要学有限元 ？(Why ?)3.怎样学习有限元怎样学习有限元 ？ (How ?)第一章第一章 有限元简介有限元简介CUST 有限元分析源于力学，是一种离散化的数值解法。有限元分析源

2、于力学，是一种离散化的数值解法。 已经学过的相关力学：已经学过的相关力学：理论力学、材料力学理论力学、材料力学有限元分析有限元分析 是利用数学近似的方法对真实物理系统是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。利用简单而又相互（几何和载荷工况）进行模拟。利用简单而又相互作用的元素，即单元，用有限数量的未知量去逼近作用的元素，即单元，用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。无限未知量的真实系统。1.什么是有限单元法？什么是有限单元法？一种数值计算方法一种数值计算方法数值模拟技术数值模拟技术用计算机来获得满足工程要用计算机来获得满足工程要求的数值解求的数值解CUST1.1有

3、限单元法的基本思想有限单元法的基本思想 1 1. 结构离散化：用假想的线或面将连续物体分割成由有限个单元组成的集合体，且单元之间仅在节点处连接，单元之间的作用仅由节点传递。构成一个单元集合体来代替原来的连续系统。在节点上引进等效载荷（或边界条件），代替实际作用于系统上的外载荷（或边界条件）。 CUST2. 单元分析： 对每个单元由分块近似的思想,按一定的规则(由力学关系或选择一个简单函数)建立求解未知量与节点相互作用(力)之间的关系(力位移、热量温度、电压电流等)。3.整体分析： 把所有单元的这种特性关系按一定的条件集合起来,引入边界条件,构成一组以节点变量(位移、温度、电压等)为未知量的代数

4、方程组,求解就得到有限个节点处的待求变量。CUST 所以,有限元法实质上是把具有无限个自由度的连续系统,理想化为只有有限个自由度的单元集合体,使问题转化为适合于数值求解的结构型问题。 CUST1.2有限元模型有限元模型有限元模型有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象是真实系统理想化的数学抽象。真实系统真实系统有限元模型有限元模型CUST1.3自由度（自由度（DOF）自由度用于描述一个物理场的响应特性结构结构 DOFs 结构结构 位移位移 热热 温度温度 电电 电位电位 流体流体 压力压力 磁磁 磁位磁位 问题问题 自由度自由度ROTZUYROTYUXROTXUZCUST1.4 节点和单元节点和

5、单元节点节点:空间中的坐标位置，具有一定空间中的坐标位置，具有一定自由度和自由度和存在相互存在相互物理作用物理作用。单元单元: 一组节点自由度间相互作用的一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵描述（称为刚度或系数数值、矩阵描述（称为刚度或系数矩阵矩阵)。单元有线、面或实体以及二。单元有线、面或实体以及二维或三维的单元等种类。维或三维的单元等种类。有限元模型由一些简单形状的单元组成，单有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。元之间通过节点连接，并承受一定载荷。载荷载荷载荷载荷CUST1.4节点和单元节点和单元单元之间的信息是通过单元之间的公共节点传递的。单元之间的

6、信息是通过单元之间的公共节点传递的。具有公共节点具有公共节点的单元的单元之间存之间存在信息传递在信息传递 .AB.AB.1 node2 nodes分离但节点重叠的单元分离但节点重叠的单元A和和B之间没有信息传递（之间没有信息传递（需进行节点合并处理）需进行节点合并处理）.CUST1.4 节点和单元节点和单元节点自由度是随连接该节点节点自由度是随连接该节点 单元类型单元类型 变化的。变化的。JIIJJKLKIPOMNKJIL三维杆单元三维杆单元 (铰接铰接) UX, UY, UZ二维或轴对称实体单元二维或轴对称实体单元UX, UY三维四边形壳单元三维四边形壳单元UX, UY, UZ, ROTX,

7、 ROTY, ROTZ三维实体热单元三维实体热单元TEMPJPOMNKJIL三维实体结构单元三维实体结构单元UX, UY, UZ三维梁单元三维梁单元UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZCUST1.5 有限单元法解题的分析步骤有限单元法解题的分析步骤- 结构离散化结构离散化- 整体分析整体分析离散化离散化单元拼装单元拼装单元分析单元分析CUST1.6 有限元的特点有限元的特点（1）理论基础简明，物理概念清晰。）理论基础简明，物理概念清晰。（2）计算方法通用，应用范围广。）计算方法通用，应用范围广。（3）可以处理任意复杂边界的结构。）可以处理任意复杂边界的结构。（4）计算格式规

8、范，易于程序化。）计算格式规范，易于程序化。CUST2.为什么要学有限元为什么要学有限元 ？ 有限元法的应用使设计水平发生了质的飞跃，在机有限元法的应用使设计水平发生了质的飞跃，在机械工程领域表现在以下几个方面：械工程领域表现在以下几个方面： 1、增加设计功能，减少设计成本；、增加设计功能，减少设计成本； 2、缩短设计和分析的循环周期；、缩短设计和分析的循环周期； 3、增加产品和工程的可靠性；、增加产品和工程的可靠性； 4、采用优化设计，降低材料的消耗或成本；、采用优化设计，降低材料的消耗或成本； 5、在产品制造或工程施工前预先发现潜在的问题；、在产品制造或工程施工前预先发现潜在的问题； 6、

9、模拟各种试验方案，减少试验时间和经费；、模拟各种试验方案，减少试验时间和经费； 7、进行机械事故分析，查找事故原因。、进行机械事故分析，查找事故原因。 CUST有限元的应用范围有限元的应用范围 结构力学（航空、航天、建筑、机械、大应变） 动力学分析（桥梁、固有频率、机械振动、大位移） 温度场（温度分布、传导、辐射、耦合） 流场（流体、空气） 医学工程（骨生物力学、血液血管、牙齿） CUSTl 汽车工业汽车工业汽车碰撞实验汽车碰撞实验 重力荷载下的底盘的应力分布：刹车制动时底盘的应力分布：CUST5万吨集装箱船船体整体结构强度有限元分析万吨集装箱船船体整体结构强度有限元分析l 船舶工程船舶工程C

10、UST 机械行业机械行业CUST3.怎样学习有限元怎样学习有限元 ？ 两条原则两条原则 一、掌握有限元的基本理论和概念，这是灵活一、掌握有限元的基本理论和概念，这是灵活使用有限元方法的基础。使用有限元方法的基础。二、掌握一种有限元分析软件（二、掌握一种有限元分析软件（ANSYS），），做工程实际课题，在实践中提高。做工程实际课题，在实践中提高。CUST 第一章第一章 绪论绪论 第二章第二章 平面问题的有限元法平面问题的有限元法 第三章第三章 空间问题和轴对称问题有限元法空间问题和轴对称问题有限元法 第四章第四章 等参数单元等参数单元主要内容：主要内容：CUST2 弹性力学基本知识弹性力学基本知

11、识2.1 弹性力学的基本假设弹性力学的基本假设（1）假设物体是连续的。）假设物体是连续的。（2）假设物体是均匀的。）假设物体是均匀的。（3）假设物体是各向同性的。）假设物体是各向同性的。（4）假设物体是完全弹性的。）假设物体是完全弹性的。（5）假设物体的位移和应变是微小的。）假设物体的位移和应变是微小的。满足前四个假定的物体，称为理想弹性体。如全部满足满足前四个假定的物体，称为理想弹性体。如全部满足这些假设，则称为理想弹性体的线性问题，简称为线弹这些假设，则称为理想弹性体的线性问题，简称为线弹性问题。性问题。CUST2.2 弹性力学的基本变量 1、外力：作用于物体的外力。、外力：作用于物体的外

12、力。 （1）体积力（简称体力）：分布在物体体积内的力。）体积力（简称体力）：分布在物体体积内的力。 如：重力、惯性力等如：重力、惯性力等 （2）表面力（简称面力）：分布在物体表面上的力。）表面力（简称面力）：分布在物体表面上的力。 如：流体压力、接触压力等。如：流体压力、接触压力等。 （3）集中力）集中力 TWVUWVUF称为载荷列阵称为载荷列阵CUST2、应力：、应力：弹性体内某一点作用于某截面单元面积上的弹性体内某一点作用于某截面单元面积上的 内力，它反映了内力在内力，它反映了内力在 截面上的分布密度。截面上的分布密度。CUST3、应变：、应变： 物体的形状改变为长度的改变和角度的改变。其

13、变形的大小物体的形状改变为长度的改变和角度的改变。其变形的大小可以用微元体棱边的长度和它们之间角度的变化来描述。可以用微元体棱边的长度和它们之间角度的变化来描述。正应变：线段的每单位长度的伸缩。正应变：线段的每单位长度的伸缩。剪应变：线段之间夹角的改变量称为剪应变。剪应变：线段之间夹角的改变量称为剪应变。xyzxyyzzxCUST zxyzxyzyx称作应变列阵称作应变列阵xxaxy CUST4、位移：在载荷作用下，物体内各点之间的距离改变、位移：在载荷作用下，物体内各点之间的距离改变 Twuwu物体内某一点的位移记为：物体内某一点的位移记为：（沿（沿x，y，z方向的方向的3个位移分量）个位移

14、分量）称为位移列阵或位移向量称为位移列阵或位移向量 CUST1.3 弹性力学的基本方程 1、几何方程、几何方程应变与位移关系应变与位移关系 zuxwywzxyuzwyxuzxyzxyzyx矩阵形式：矩阵形式：CUST2、物理方程、物理方程应力与应变关系应力与应变关系 根据广义胡律：根据广义胡律：3个弹性常数之间的关系：个弹性常数之间的关系： 为材料的剪切弹性模量： 材料的拉压弹性模量； 材料的泊松比。EGCUST令：令： )1 (221)1 (221)1 (221111)21)(1 ()1 (000000000000111称对ED叫做弹性矩阵，是常数矩阵，它完全取决于弹性常数叫做弹性矩阵，是常

15、数矩阵，它完全取决于弹性常数 。 D和E物理方程简记为：物理方程简记为： DCUST3. 平衡方程平衡方程000ZzyxYzyxXzyxzyzxzzyyxyzxyxx单位体积上的力在单位体积上的力在3个坐标轴方向上的投影用个坐标轴方向上的投影用X、Y、Z表示表示 CUST在物体的单位体积内，应力在虚应变上的虚应变能为：在物体的单位体积内，应力在虚应变上的虚应变能为：*xyzTxyzxyxyyzyzzxzx 整个物体的虚应变能为：整个物体的虚应变能为：即虚功方程即虚功方程4. 虚功方程虚功方程CUST3.弹性力学的平面问题 一般可以分为两类：一类是平面应力问题，另一类是平面应变问题。一般可以分为

16、两类：一类是平面应力问题，另一类是平面应变问题。 （一）平面应力问题（一）平面应力问题 （1）几何条件：结构是很薄的等厚度薄板。）几何条件：结构是很薄的等厚度薄板。 （2） 载荷条件：载荷平行于板平面且厚度方向均匀分布，而在两板上无外力载荷条件：载荷平行于板平面且厚度方向均匀分布，而在两板上无外力作用。作用。图图1-10 平面应力问题与非平面应力问题平面应力问题与非平面应力问题CUST图图1-11 平面应力问题实例平面应力问题实例工程中，受拉力作用的薄板、链条的平面链板、内燃机中的连杆以及齿宽工程中，受拉力作用的薄板、链条的平面链板、内燃机中的连杆以及齿宽较小的直齿圆柱齿轮的轮齿等均可看做平面

17、应力问题。较小的直齿圆柱齿轮的轮齿等均可看做平面应力问题。CUST（二）平面应变问题（二）平面应变问题 （1）几何条件：结构是长柱体，长度方向的尺寸大于横截面）几何条件：结构是长柱体，长度方向的尺寸大于横截面的尺寸。的尺寸。（2）载荷条件：作用于长柱体结构上的载荷平行于横截面且）载荷条件：作用于长柱体结构上的载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布，两端面不受力。沿纵向方向均匀分布，两端面不受力。，0w0zxyzz不为零的应变分量为不为零的应变分量为 、 、 ，它们仅仅是，它们仅仅是x、y两个两个坐标的函数。坐标的函数。 xyxyCUST（三）两种平面问题的比较：（三）两种平面问题的比较：CUST

18、CUST xyyxVUF应力分量：外力分量： xyyxvu应变分量：位移分量：（四）平面问题简化形式：（四）平面问题简化形式：xyuyxuxyyx00YxyXyxxyyyxx1、平衡微分方程：、平衡微分方程： 2、几何方程：、几何方程： CUSTxyyxxyyxE2112-1001称对（1）平面应力问题的物理方程：）平面应力问题的物理方程： （2）平面应变问题的物理方程）平面应变问题的物理方程xyyxxyyxE1221001112111称对不难发现，将平面应力问题物理方程中的弹性常数不难发现，将平面应力问题物理方程中的弹性常数E、 换成换成 、 ，就得到平面应变问题的物理方程，就得到平面应变问

19、题的物理方程 。3、平面问题的物理方程、平面问题的物理方程21E1CUST第二章第二章 平面问题的有限元法平面问题的有限元法CUST2.1 结构的离散化结构的离散化 实例：将一个受力的连续体离散化实例：将一个受力的连续体离散化 离散化离散化:把连续的结构看成由有限个单元组成的集合体。把连续的结构看成由有限个单元组成的集合体。 目的：建立有限元计算模型目的：建立有限元计算模型以三角形单元为例以三角形单元为例CUST2.2 单元分析单元分析 单元分析的主要任务是推导单元节点位移与单元节点单元分析的主要任务是推导单元节点位移与单元节点力之间的转换关系，实质上就是求出单元刚度矩阵。力之间的转换关系，实

20、质上就是求出单元刚度矩阵。 eeekF 单元分析的步骤单元分析的步骤 （实施过程）：（实施过程）：CUST Tmmjjiiuuue TmmjjiiVUVUVUFe三角形单元三角形单元3个节点位移向量：个节点位移向量： 三角形单元节点力向量：三角形单元节点力向量： 从离散化的结构中任取一个三角形单元从离散化的结构中任取一个三角形单元e单元单元首先对节点编码：首先对节点编码： 称为局部码称为局部码mji、2.2.1 位移函数的概念位移函数的概念1. 位移函数的概念位移函数的概念CUST 将单元中的位移分布假定是坐标的简单函数，称将单元中的位移分布假定是坐标的简单函数，称为位移函数。为位移函数。设单

21、元内任意一点的位移设单元内任意一点的位移 vufyxyxu654321（2-6）对于平面问题，任意一点的位移有两个位移分量对于平面问题，任意一点的位移有两个位移分量u、vCUSTmmjjiiyxyxyxA11121三角形单元的面积：三角形单元的面积： jmiijmim1xxxxxx2mjij（ y +y + y - y -y - y ）mjimjijmmjixxcyybyxyxajmiimjmijimax yx ybyycxxmimjimijmjiax yx ybyycxxCUST矩阵形式矩阵形式 ：只与单元节点坐标有关， 与节点位移无关。N=为形函数矩阵为形函数矩阵 CUST形函数具有以下性

22、质：形函数具有以下性质：1.形函数形函数 在节点在节点 处等于处等于1，在其他节点上的值等于，在其他节点上的值等于0；对于；对于 、 也有同样的性质，即：也有同样的性质，即： 2.在单元内任一点的各形函数之和等于在单元内任一点的各形函数之和等于1.3.形函数的值在形函数的值在0-1间变化。间变化。CUST2.位移函数收敛准则位移函数收敛准则 （1）必须包含反映单元的常量应变的一次项。）必须包含反映单元的常量应变的一次项。（2）必须包含反映单元的刚体位移的常数项。）必须包含反映单元的刚体位移的常数项。（3）在单元内要连续，在单元之间的边界上要协调。）在单元内要连续，在单元之间的边界上要协调。3.

23、 选择单元位移函数的一般原则选择单元位移函数的一般原则常应变三角形单元常应变三角形单元的位移函数满足解的位移函数满足解的收敛性条件的收敛性条件。当网格逐渐加密时，有限元的解答收敛于问题的正确解，即单元位移函数当网格逐渐加密时，有限元的解答收敛于问题的正确解，即单元位移函数应保证有限元解答的收敛性。应保证有限元解答的收敛性。（2）多项式具有坐标的对称性，这一性质称为几何各向同性。（）多项式具有坐标的对称性，这一性质称为几何各向同性。（x、y坐坐标能够互换）多项式一般按巴斯卡三角形来选择。标能够互换）多项式一般按巴斯卡三角形来选择。（3）多项式中的项数必须等于或稍大于单元边界上的外节点的自由度数。

24、）多项式中的项数必须等于或稍大于单元边界上的外节点的自由度数。通常是取项数与单元的外节点的自由度数相等。通常是取项数与单元的外节点的自由度数相等。 （项数）（项数）（1）要考虑到解的收敛性，即要考虑到完备性和协调性的要求。（阶次）要考虑到解的收敛性，即要考虑到完备性和协调性的要求。（阶次）CUST2.2.2 单元应变单元应变 xyyxxyyxvuvu几何方程：几何方程： mmjiimmjjiimjimjixyyxvuvuvubcbcbccccbbbAj00000021 mmjjiimjimjibcbcbccccbbbAB00000021 eBB称作应变矩阵，几何矩阵，是常数矩阵。称作应变矩阵，

25、几何矩阵，是常数矩阵。因此，三角形单元是常应变单元因此，三角形单元是常应变单元 。miiBBB0102iiiiibBcAc bCUST2.2.3 单元应力单元应力 物理方程物理方程 ： D eB单元应力单元应力 ：令：令： BDS S称为单元应力矩阵称为单元应力矩阵 由于三角形单元中的由于三角形单元中的D，B矩阵都是常数矩阵，所以矩阵都是常数矩阵，所以S矩矩阵也是常数矩阵。也就是说，三角形单元内的应力分量也是阵也是常数矩阵。也就是说，三角形单元内的应力分量也是常量。常量。 xeeyxyDDBS单元应力节点与节点位移之间的关系式单元应力节点与节点位移之间的关系式CUST, ,i j m平面应力问

26、题平面应力问题平面应力问题平面应力问题i2S2 11122iiiiiiibCEDBbCACbi11S2 11 211 211 222 1iiiiiiiCbEDBbCAbC, ,i j mCUST2.2.4 单元刚度矩阵单元刚度矩阵 虚功方程：虚功方程： mmmjmijmjjjiimijiiTkkkkkkkkktABDBek 单元刚度矩阵按节点写成分块形式：单元刚度矩阵按节点写成分块形式： tASBTCUST单元刚度矩阵单元刚度矩阵 有如下性质：有如下性质：每一个元素物理意义：每一个元素物理意义： 表示节点表示节点s产生单位位移时，在节产生单位位移时，在节点点r上所需施加的节点力的大小。上所需施

27、加的节点力的大小。是对称矩阵。是对称矩阵。每一行（或列）元素之和为零。是奇异矩阵，每一行（或列）元素之和为零。是奇异矩阵，（单元做平移时，单元无应变无应力）（单元做平移时，单元无应变无应力） 的元素决定于单元的形状、大小、方位和弹性的元素决定于单元的形状、大小、方位和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元的平行移动或转动而改常数，而与单元的位置无关，即不随单元的平行移动或转动而改变。变。 ek ekCUST2.3 整体分析整体分析 结构的整体分析就是将离散后的所有单元通过节点连接成原结结构的整体分析就是将离散后的所有单元通过节点连接成原结构体进行分析。构体进行分析。 FK总体刚度矩阵。总体刚

28、度矩阵。整个结构上节点位移列阵整个结构上节点位移列阵整个结构上节点力列阵整个结构上节点力列阵 K整体平衡方程（整体刚度方程）整体平衡方程（整体刚度方程） F分析过程：是将所有单元平衡方程组集在一起，形成总体平衡方程，分析过程：是将所有单元平衡方程组集在一起，形成总体平衡方程，引进边界条件后，求解整体节点位移向量。引进边界条件后，求解整体节点位移向量。CUST整体刚度矩阵有以下一些性质：整体刚度矩阵有以下一些性质： 1）整体刚度矩阵是对称矩阵。）整体刚度矩阵是对称矩阵。 2）带状性。整体刚度矩阵的主对角线上的元素总是正的。）带状性。整体刚度矩阵的主对角线上的元素总是正的。 3）整体刚度矩阵是一个

29、稀疏阵。（）整体刚度矩阵是一个稀疏阵。（0元素多）元素多） 4）整体刚度矩阵是一个奇异阵。）整体刚度矩阵是一个奇异阵。 CUST2.4 有限元法解题过程与算例有限元法解题过程与算例 有限元法的具体解题过程为：有限元法的具体解题过程为： 1）将结构进行离散化，包括单元划分、节点编号、单）将结构进行离散化，包括单元划分、节点编号、单元编号、节点坐标计算、位移约束条件的确定。元编号、节点坐标计算、位移约束条件的确定。 2）等效节点力的计算。）等效节点力的计算。 3）刚度矩阵的计算。）刚度矩阵的计算。 4）建立整体平衡方程，引入约束条件，求解节点位移。）建立整体平衡方程，引入约束条件，求解节点位移。

30、5）应力计算。）应力计算。 CUST2.5 边界条件的处理边界条件的处理 FK平衡方程：平衡方程：通常引进位移边界条件方法有两种：化通常引进位移边界条件方法有两种：化1置置0法和乘大数法。法和乘大数法。 列的其余元素都为零；行和而第为中的元素则令方向位移为在若已知节点1212112, 12ii，kK，uxiiii列的其余元素都为零；行和而第，为中的元素则令方向位移为在若已知节点iikKyiiii221,2,2-为节点总码编号为节点总码编号iCUST23212101210021232110210021212300211001023210212110021230212121212100230100

31、12121023210002121121230443221uuuu000000000100000000230001000010000000010000000010000100023000000001CUSTCUSTCUST2.6 矩形单元矩形单元 设有矩形单元设有矩形单元 ，其边长分别为，其边长分别为 和和 ，矩形的两边，矩形的两边分别与分别与 轴平行。取矩形的四个角点作为节点。轴平行。取矩形的四个角点作为节点。 a2b2ijmpyx 、单元节点位移向量为：单元节点位移向量为： TppmmjjiiuuuueCUSTbyax ，在局部坐标系中，四个节点坐标分别是即为（在局部坐标系中，四个节点坐标

32、分别是即为（-1，-1），（），（1，-1），（），（1，1），），（-1，1）。）。 1、位移函数 )(87654321avu双线性函数双线性函数)()()()()()()()(1141114111411141pmjiNNNN形函数形函数 pmjipmjiNNNNNNNNN00000000CUST2、单元应变xyuyxuxyyxvbuavaubabvaubvbua11111 eB)()()()(iiiiiiiibaabab11100141iB几何方程几何方程 pmjiBBBBB ），（pmjiCUST eeSBDD pmjiSSSSS 3、单元应力 四节点矩形单元不再是常应力单元。四节点矩形

33、单元不再是常应力单元。根据物理方程：根据物理方程：4、单元刚度矩阵 yxtBDkAddTBe写成分块形式：写成分块形式： pppmpjpimpmmmjmijpjmjjjiipimijiiekkkkkkkkkkkkkkkkkCUST5、整体平衡方程 将各单元的将各单元的 、 和和 都扩大到整个弹性体自由度都扩大到整个弹性体自由度的维数，再进行叠加，便可得到整个弹性体的平衡方程，的维数，再进行叠加，便可得到整个弹性体的平衡方程，它仍具有如下的形式它仍具有如下的形式 引入位移约束条件，解上述线性方程组可得节点位移，引入位移约束条件，解上述线性方程组可得节点位移，进而可求各单元应力。进而可求各单元应力

34、。 FK ek e eFCUST6、矩形单元与三角形单元的比较： 3 3、但矩形单元也存在明显的缺点：从单元的几何形状看，矩、但矩形单元也存在明显的缺点：从单元的几何形状看，矩形单元比三角形单元的适应性要差。一是不能适应斜线及曲线边形单元比三角形单元的适应性要差。一是不能适应斜线及曲线边界，二是不便于对不同部位采用大小相等的单元。界，二是不便于对不同部位采用大小相等的单元。 2 2、在弹性体中、在弹性体中, ,若用相同数目的节点时，矩形单元比三角形单若用相同数目的节点时，矩形单元比三角形单元能更好地反映应力急剧变化的情况，所以计算精度高。元能更好地反映应力急剧变化的情况，所以计算精度高。 1

35、1、矩形单元为双线性位移模式，所以单元的应力、应变分量、矩形单元为双线性位移模式，所以单元的应力、应变分量都不是常量。都不是常量。可以把矩形单元和三角形单元混合使用。可以把矩形单元和三角形单元混合使用。CUSTCUST图图11-25 结构变形图结构变形图 图图11-27 节点等效应力等值线图节点等效应力等值线图 CUST 第一章第一章 绪论绪论 第二章第二章 平面问题的有限元法平面问题的有限元法 第三章第三章 空间问题和轴对称问题有限元法空间问题和轴对称问题有限元法 第四章第四章 等参数单元等参数单元主要内容：主要内容：CUST截面为正方形的圆环截面为正方形的圆环第第3章章 空间问题和轴对称问

36、题的有限元法空间问题和轴对称问题的有限元法CUST当形状、载荷及边界条件不具备某种特殊性，不能简化为平面问当形状、载荷及边界条件不具备某种特殊性，不能简化为平面问题和轴对称问题处理时，则作为空间问题来分析。题和轴对称问题处理时，则作为空间问题来分析。空间问题的计算比较复杂：空间问题的计算比较复杂： （1）网格划分比较困难，需要占用较长的时间；）网格划分比较困难，需要占用较长的时间； （2）计算模型大，计算机存储空间和计算时间消耗大。）计算模型大，计算机存储空间和计算时间消耗大。 3.1 空间问题的特点空间问题的特点 常用的空间类型：四面体、常用的空间类型：四面体、五面体或六面体五面体或六面体C

37、UST3.2 采用四面体单元解一般空间问题采用四面体单元解一般空间问题3.2.1 结构离散化结构离散化 单元节点编码按右手法则单元节点编码按右手法则1.根据约束情况，在相应的节点处根据约束情况，在相应的节点处设置空间铰支座或连杆支座。设置空间铰支座或连杆支座。2.单元所受的外载荷，可以按虚功单元所受的外载荷，可以按虚功等效原则移置到节点上。等效原则移置到节点上。3.基本未知量仍然是节点位移。基本未知量仍然是节点位移。单元间通过节点相互作用，进行力的传递。单元间通过节点相互作用，进行力的传递。其分析思路和平面问题完全相似。其分析思路和平面问题完全相似。CUST3.2.2 3.2.2 单元位移函数

38、单元位移函数 pppmmmjjjiiiwvuwvuwvuwvue整个单元的节点位移列阵：整个单元的节点位移列阵：空间问题中，任一点位移具有三个位移分量：空间问题中，任一点位移具有三个位移分量： wvufCUSTppppmmmmjjjjiiiizyxuzyxuzyxuzyxu4321432143214321在单元内选取线性位移模式：在单元内选取线性位移模式：zyxwzyxvzyxu121110987654321121可求出可求出CUSTpmjipmjipmjipmjiNNNNNNNNNNNN000000000000000000000000 为形函数。为形函数矩阵为三阶单位阵式中的pmjiNNNN

39、NII,100010001用矩阵形式表示为：用矩阵形式表示为： epmjiININININeNwvufzdycxbaVNzdycxbaVNjjjjjiiiii6161），（mi），（pjCUST3.2.3 单元的应变与应力单元的应变与应力 利用几何方程，求该点的应变利用几何方程，求该点的应变 zuxwywzvxvyuzwyvxuzxyzxyzyx 应变单元因此，四面体单元是常是常数矩阵几何矩阵其中BbdcdbcdcbVBeBBBBeBiiiiiiiiiipmji00000000061CUST单元应力单元应力 ijmpeeeDBSSS SS由物理方程D D为弹性矩阵，完全取决于弹性模量为弹性矩阵

40、，完全取决于弹性模量E E和泊松比和泊松比111111(1)1 2000(1)(1 2 )2 11 200002 11 2000002 1ED应变为常量，四面体应变为常量，四面体单元应力也为常量，单元应力也为常量，即即4节点四面体单元节点四面体单元为常应力单元。为常应力单元。CUST vBDBdBDBekTvvTpppmpjpimpmmmjmijpjmjjjiipimijiikkkkkkkkkkkkkkkk个元素阶矩阵每个分块是1212333.2.4 单元刚度矩阵单元刚度矩阵 建立整体平衡方程建立整体平衡方程 列阵。指整个结构的节点位移指整体刚度矩阵；列阵；指整个结构的节点载荷KF KF CU

41、STCUSTCUST3.3 轴对称问题的有限元法轴对称问题的有限元法3.3.1 轴对称问题定义轴对称问题定义 结构的几何形状、承受的载荷以及约束条件都对结构的几何形状、承受的载荷以及约束条件都对称于某一固定轴。此时在载荷作用下，结构所产称于某一固定轴。此时在载荷作用下，结构所产生的位移、应变和应力也对称于该轴，这类问题生的位移、应变和应力也对称于该轴，这类问题称为轴对称问题。是空间问题的一种特殊情况。称为轴对称问题。是空间问题的一种特殊情况。一般采用圆柱坐标一般采用圆柱坐标 。由对称性可知，所有的。由对称性可知，所有的位移、应力、应变都将与位移、应力、应变都将与 无关，只是无关，只是r和和z的

42、函数。的函数。任一点的位移只有任一点的位移只有r、z两个方向的分量即两个方向的分量即 ， 方向的位移方向的位移v为为0。因此该问题转化为二维问题。因此该问题转化为二维问题。zOrwu、CUST3.3.2 基本变量和基本方程基本变量和基本方程1.基本变量基本变量CUSTzurwzwrururzzrrzrzrzrzzrzzrrEGEEE)1 (2111Drzzr12210000111011101112111ED2.基本方程：基本方程：几何方程：几何方程：物理方程：物理方程：用应变分量表示应力分量：用应变分量表示应力分量：CUST3.3.3 轴对称问题单元分析轴对称问题单元分析 单元是一些圆环。单元是一些圆环。 节点是圆周状（环状）的铰链，故也称为节圆节点是圆周状（环状）的铰链，故也称为节圆 。圆环单元实际上是圆环单元实际上是rz平面内形成网格的各多边形环绕对平面内形成网格的各多边形环绕对称轴称轴z回转一周而成的。回转一周而成的。计算轴对称问题时，只需取出一个截面进行网格划分及计算轴对称问题时，只需取出一个截面进行网格划分及分析，节点载荷理解为作用在单元节点所在的圆周上