微分几何第四版习题答案梅向明

1、第一章曲线论 §2向量函数5 .向信函数六/)具有固定方向的充要条件是(/) X ?(/)= 6.分析：一个向量函数(/) 一般可以写成*(/)二以/)£(/)的形式，其中员/)为单位向量函数, 式(/)为教员函数,那么固定方向的充要条件是£(/)具TT固定方向，即我/)为常向陆 (因为R/)的长度固定)。证 对于向量函数4/),设ZQ)为共单位向量，则:=吐/)边)，若凡/)具有固定方向, 则行(/)为常向量，那么尸(/) = %'(/) e ,所以乂尸=力乂(，xN)=6。反之，若7X尸=0，对4/)=入(/)(/)求微商得尸=入'e +A 浮

2、，于是乂尸=片 (?x目)=d,则有zo或？x，=6。当入(/)=0时，咒/)=6可与任意方向平行： 当 *。时，有？ x浮=0,而(2X, )2 =百丁_(济彦)2一，2,(因为？具有固定氏, e-eo),所以 = 6.即0为常向量.所以，穴,)具有固定方向。6 .向量函数；X/)平行于固定平面的充要条件是(了尸产')=0。分析：向呈:函数凡/)平行于固定平面的充要条件是存在个定向向星.巩/)使*/)方= 0 ,所以我们要寻求这个向量力及方弓尸，尸的美系。ill：若六/)平行于固定平面门，设力是平面n的个单位法向片，则为常向量，且穴/) n =0。两次求微商得户4=0 ,产)=0 ,

3、即向量九 尸，尸'岖直于同非零向量力, 因而共面，即(亍尸尸)=0 .反之.若(声尸')=0,则有广xl=6或6。若7x尸=6,由上题知K/) 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若7X7 * 6,则存在数量函数;1(/)、“(/),使尸； 2"夕r 令方=7 x升，则万H 6 »且7(/) ± - o对)=7 x户求微商并将式代入得'=令x 尸'二(*义尹)二" 是方x»=6 ,由上题知力1固定方向，而/(/)，即*(/) 平行于固定平面。§3曲线的概念1 .求圆柱螺纹.r=cos/,产sin/,二&

4、quot;在(1,0,0)的切线和法平面。解 令 8S/=1, sin/=0, '=0 得"0,(0)= -siii/, cos/, 1)1 =0.1,1).曲线在(0.1.1)的切线为土二1 = 21 =三，法平面为y + z = 0 »0112 .求三次曲线7 = 乙A/.”3在点4的切线和法平面。解 P(ro) = k，2/O,3，切线为匚处=匕学=匕¥， a 2%3c大法平面为 «r - 砥)+ 2/0。，-4/：) + 3* (= -。/：) = 0。3 .证明圆柱螺纹” a COS0,aSill0,，0(-8Y0Y+OC )的切线和z

5、轴作固定角。证明 r = -a sinO , a COS0 , b ，设切线与z轴夹角为。，则cos3r9.I b-=匚=L 为常数，故8为定角(其中/为z轴的单位向量)。I 用 V7T774.求悬链绞不=/ , cosh (-8Y/YS)从/=0起计算的弧h解 产=1 , siiih , I 户 | = ，1 + sinh 工 =cosh/ , s = cosh£M=sinh4 Jo “。9 .求曲线T3 =3"2 2"二/在平面片孑 与y二9a之间的弧长.解 曲线的向特农示为=工二,1,曲面与两平面产岩 与y = 9a的交点分别为 3a 2.rx=a与工=3a

6、 ,产=1,三, 一二, I尸| = 1 + =+ : =4+二，所求孤长为 / 2x2V "4 4 r”/ 2.r2HA/疝二 加。10 .将圆柱螺线二acos/, a sin/, b/化为自然参数表示。解 严= -asin /, a cos/, b), s - | 依=+ ' 7 ,所以/=_£,Jo十"coAc代入原方程行 7=acos.asin-j= . ,11 .求用极坐标方程。二0(8)给出的曲线的弧长友达式.解 由 r=p(0)cos0 , r=p(0)sin0 知 产= p'(。)cos。一 p(0)sin6 , p'(e)

7、sin。+ p(e)cosd ，I 尸 I = "/(£) +,(6),从先 到。的曲线的弧长是 s-f Jp2(O) + d(o)dO .§4空河曲线1 .求圆柱螺线.r=acos/, i，=asin/, ?:b/在任意点的密切平面的方程.解 尸= 一asin/, acos/, b,户'=-acos/, - a sin /, 0 所以曲线在任意点的密切平面的方程为.r-rzcos/ f- /sin / 二一bf一"sin /<7cos/ b = 0 , H|l (bsin /)x-(bcos/)y+az-abt=0 .17COSZ - Z

8、7SU1 /02 .求曲线7 = tsmr,tcosr,t/ 在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法 线、副法线。解 原点对应 t=0 ,尸(0尸 sin/+tcos/t cos/*tsin e'+t/=0.1.1，rM(0)= 2C0S/+ tcos/, COS/-tsin/,2 04t。',二2,0,2),解 产=-cos a sint> cos a cost, sina , zJ，=-cosa cost, - cos a sint . 0 ) 一,一i，- rxrti/ = ;sina sint，一 sina cost , cos a )|产x尸新曲线的方程为

9、= cosa cost + sina sint , cosa sint- sinacost , tsina +cosa 对于新曲线产rosa sint+ sina cost ， cos Ct cost+sina sint> sina = sin(a -t), cos (a -t), sinX ,P，= -cos(a -t), sin(a,其密切平面的方程是x- cos cos/ .j一 cosvsin / r-rsin asiii( - /)cos(/7 -/)sin =0-cos(i - r)sin(一 /)0即 sina sin(r- a) x - sina cos(t-a ) y

10、+ z - tsina - cos a = 0 .5.证明曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。证方法一，=设一曲线为一列面曲线,取球心为坐标原点，则曲线的向径（/）具有固定长,所以A 产=Q即曲线每,点的切线与其向往垂直,因此曲线C每一点的法平面通过这点的向彳3也 就通过其始点球心.u若一曲线的所仃法平面通过,定点,以此定点为坐标原点建立坐标系，则落户=0, */）具有固定K,而应的曲线是球面曲线.方法二：7 = "，）是球面曲线=存在定点衣（是球面中心的份矢）和常数R （是球面的半径）使 行一名）2 = Q 2任一彳）7 = 0，即任一石）尸=0（ ）而过曲线*=

11、5（/）上任 点的法平面方程为（万一万:二0 o可知法平面过球面中心。 （* ） 立 °所以，曲线是球而曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过定点。6 .证明过原点平行于圆柱螺线不二acos/, a sill / , b/的副法线的直线轨迹是傕面 / (丁 + V2 )=左?证 产= -a siii / , a cos/ , . 7M =-a cos/，- a sin / , 0 ) » 产 X 产二-。-,sin/48s/为副法线的方向向量，过原点平行上副法线的H线的方程是,消去参数 t 得/(./ + /)=左2。Asin/ -pcosr a7 .求以卜曲面的曲率和挠率

12、7= ocosh/.asinh/,/,8 2) r = (3/- / ),3勿2,。3/ + /)( 0)。解 尸一 osinh /,】cosh/ ,尸一 cosh/"sinh r.0,尸''一sinli acos1i/,0),IF c - u 1 n XI | 尸x 尸 |41a2 cosh /1rxr 二。一sinh Acosh/.-l). 所以小二-=-=二-|rf (Vlrzcosh/)3 2/7cosh2 /(尸，尸，尸'')1r °(齐x尸2/ cosh2 / 2/7cosh2 /(2)尸=3%1-r 2/1+ 产,尸=6

13、6;_”/,尸，=6。-1,01,产乂尸=18/2一_2/+1,k =rr18/72V2(/2 +1)尸 327/? 272(/2 +3H/ + 1)，尸尸)_ 18乂6/* 2_1(bx尸尸 一 18%，x 2(/ +1)2 - 3仪/ 4 1)?8.己知曲线cos'/,sin J/.cos2/,求基本向最G.反落 曲率和挠率；验证 伏宙内公式。分析 这里给出的曲线的方程为一般参数，一般地我们可以根据公式去求基本向求和曲率 挠率，我们也可以利用定义来求。解 产=-3cos，/sin 43sin2 rcos7.-2sin 2/ = sin /cos/-3cosa3sin 4-4,ds尸

14、 334=| (/) |= 5 siii /cos/,(设 sintcost。)， 则(？= -qcos/,；sin/,一1,二(id citq 二=dr ds- siii /, - cos /.0 5siii /cos/ 55一 ap (siii/.cosaO),向，/ = 25sin /cos/ 25sm /cos/-siii/-cosaO),由于亍与0方向相4反，所以 r =|y |=-25sm/cos/(3)显然以上所得布,弁 满足板歹二一垠，而P=cos/-sin/.0=-#cd + ry也满足伏臣内公式.?sin /cos/9 .证明如果曲线的所有切线都经过的定点，则此曲线是H线。

15、证 方法一：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为 = /(/1),则曲线在任意点的 切线方程是。一六/) = 4户(/),由条件切线都过坐标原点，所以*/) = 4尸Q),可见尸产， 所以R具TTI用定方向，故；:=(/)是直线。方法二：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为7 =入/),则曲线在任意点的切线 方程足。一"/)=儿尸(/),由条件切线都过坐标原点，所以(/) = 2产(/),十是产=义尸， 从而产x尸二6 ,所以由曲率的i|算公式知曲率k=0,所以曲线为直线。方法三：设定点为片，曲线的方程为尸=(e),则曲线在任意点的切线方程是 p-r(s) = Xa(s),由

16、条件切线都过定点乱 所以行一六$) = 2(5(S),两端求导得： -d(0 = 4灰®+A/,即("+1*($)+A葩=6 ,而d(s)，B(s)无关，所以浦+ 1 = 0, 可知 力工0,«$) = (),因此曲线是直线。10 .证明如果曲线的所有密切平面都经过一的定点，则此曲线是平面曲线.证 方法:取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为¥ = */),则曲线在任意点的 密切平面的方程是(0)(尸Q)x尸(/)一0,由条件一/(尸(/)x尸(/) = 0,即( /尸尸)=0,所以*平行于一固定平面，即；二网/)是平面曲线。方法一：取定点为坐标原点建

17、坐标系，曲线的方程设为=穴$),则曲线在任意点的密切 平面方程是(。一($)亍=0 ,由条件7($)g=0,两边微分并用伏雷内公式得 -t若穴$)A=o.乂由冗。了=o可知先。a = ；($).所以 二穴$)平行于固定方向，这时；:=穴£)表示直线.结论成立。否则:二0,从而知曲线是平面曲线。方法三：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为?=(/)，则曲线在任意点的密切 平面方程是(。一汽/) (产Q)X严(/) = 0,由条件一穴/) 行'(/)x产/) = 0 ,即(产?,) =0 ,所以尸，尸，尸共面，若尸尸，则=(7)是宜线，否则可设 r- = Ar+',/

18、.rM = Ar'+ pr",所以尸尸”.k'共面.所以r=0.从而知曲线是中面曲线11 .证明如果条曲线的所有法平面包含常向量有那么曲线是直线或平面曲线。证方法：根据已知丘石二0,若江是常向量，则k后|=0 ,这时曲线是直线。否则 在&? = ()两边微分得5-2=0,即kB?=().所以Bn=0, 乂因a3 = 0,所以7 2, 而为单位向量，所以可知亍为常向量.于是二折1二0,即二0,此曲线为平面曲线。方法一：曲线的方程设为尸一六/),由条件户0 0,两边微分得产 ？一0,尸“"一1（）,所以尸，尸，户，共面，所以（尸尸尸D =0o由挠率的汁并

19、公式可知r=0,故曲 线为平而曲线。当尸x尸'=。时是直线。|方法三：曲线的方程设为7=凡/）,由条件产己=（）,两边枳分得（夕是常数几因落3二是平面的方程，说明曲线；:=六/）在平而卜，即曲线是平面曲线.当产有固定方向时 为立缥12 .证明曲率为常数的空何曲线的曲率中心的轨迹仍是M率为常数的曲线证明 设曲线。：5="$）的曲率k为常数.其曲率中心的轨迹（？）的力.程为： 1 万=7（5）+ 0（$）,（。为曲线（C）的主法向导），对于曲线（ C）两边微分得 p, = a（j） + l（-X-d + ry） = f , （a, f , r分别为曲线（C）的单位切向员，副法向员

20、和 挠率），*方_9 ,1斡=与，p'xpH=p- «，曲线（T ）的曲率为代需为常数.13 .证明曲线x=l+3t+2/,y=2-2计5/2,z=1一-为平面曲线,并求出它所在的平面方程。证 rf=3+4L-2+10l,-2t, 尸=4. 10, -2, rMt= 0, 0. 0)（尸?曲线的挠率是T= = 0,所以曲线为平面曲纵 曲线所在平面是曲线在任点的密 （尸X尸尸切平面。对t 二 0 , 7 =（ 1.2 , 1 ,产二（3. - 2 , 0, ?,=（4. 10. -2,?',= 0 ,T-1r-2 二一10,0c所以曲线的密切平面,即曲线所在平面是 3-

21、20 =0 ，即2x+3k19z - 27410-2=0 .14 .设在两条曲线、r的点之间建立 对应关系，使它们在对应点的切线平行，证 明它们在对应点的主法线以及副法线电互勺平行。证 设曲线： r = r（s） 4T ：二:I1）点s与工-一对应，且对应点的切线平行，则 &（5） = 土八1）.两端对S求微商得应=土机史.即痴（$） = 土布它，（这也kW 0,若 dsdsk=|a|=o.则8无定义），所以耳声，即主法线平行,那么两曲线的副法线也平行。15 .设在两条曲线、的点之间建立了 对应关系，使它们在对应点的主法线平行, 证明它们在时应点的切线作固定角证设丘、万分别为曲线、的切

22、向量，分别为曲线、的主法向量，则由已知 ft(s) = ±p(s)，而2(丘 G)=丘 + a 丘 2- a + a - (J) 拉ds(isds了代代入土后,3 土 a 由更=o所以日后二常数,故两曲线的切线作固定向 ds16 .若曲线.的主法线是曲线厂的副法线，,的 曲率、挠率分别为K.T .求证k二47 K 2 + T 2，其中4为常数证设厂的向量我示为($) ,则可&示为万；：($) + 乂$) B($),的切向量 江/ p-A (-ka+r / )与。垂汽，即/5'B = 2=0,所以，为常数.设为4,则 =(I - Aok) a +A0 r y .再求微而

23、有 p" = -4- ( 1 -Aok)k + AoT/-Aor2. 。，B =( I Aok) k% 工 2 = 0 ,所以仃 k=% (一 + 凸。17 . Illi线=a(【.sim).a(lcosl).4acos( d那点的曲率华径最大，解 r1 = a l-cost,siiit,-2sin-.产'=alsinLcostzos! .| ?'|= 22 | sill -y |.r' X 产'=2-2sins - -2sm2 cos.4cos- = -la2 sin2 siii ,cos,1), 1rAv| r* x r'*|= la2 s

24、ill2 x/2 、 k= =5 ,火= 8|sin,| .2I 川3Q . .28 | sin 一|所以在H(2k+D7，k为於数处曲率华衿最大。18.已知仙线(Oe'，= %£)上一点”打)的如近一点 (与+皿)，求"% +")点 到>($0)点的密切平面、法平面、从切平面的即.禺(设点”$。)的曲率、挠率分别为Ko.r。八解 r(s0 + As) - r(s0) = r(jo)zlr +-r(j0)Aj-2 + r(jo) + eAj-3 = a0Ar+iK00Aj3 + -(-Xa0 +Xo + oroyo +e)A?.设£ = &

25、#163;田。+ 4B。+ %。，其 2o中 lun c = 0 o 则 r(j0 + Ar) r(sc) m3= Ay + -(-K：J+£I)Aj3d0+z(Kq +4)"瓦 +-(oro +%)"”6266上式中的 个系数的绝对值分别是点7(So+2)到六%)的法平面、从切平面、密切平面 的距离.§5 一般螺纹5.证明如果所有密切平面垂直十固定用级那么它是平面汽线.证法一：当曲筏的密切平而垂立于某固定立线时，曲戏的副法向帝7是常.向M.即7二6。 前线的挠率的绝对值等于为零，所以曲线为平面曲线。证法一：设方是固定宜线 向量，则产小=o .枳分行不芳

26、=，说明曲线在以方为法向 吊:的个平面上，因而为平面直线，证法三:设一是固定直线向量，则尸方=0，再微分得尸力=0，w=o .所以产、 尸、户',三向量共面.于是(尸尸尸')=0 由挠率的“9公式知r=0因此曲线为平面 曲线。7 .如果两曲线作对应点有公共的副法线,则它们是平面曲线.证设 曲线为I,： r 7(s) 则另曲线的表达式为:p = 7(j) + A(j) y(«?) . 7(s) 为曲线在点s的主法向员，也应为在对应点的副法线的方向向量，- 2r G与7正交，叩江,> =(),是2=o, a为常数，。'=也一入r。 p'kp- A T

27、 ft A r (-ka 4- r / )也。了 正交，即 Q" > =-2 r、0,而2=0 ,所以 有r = 0,曲线1'为平面曲线。同理曲线为平面曲线。8 .如果曲线> = «$）为般螺纹，a ,。为1.的步向状和主法向晶，R为的曲率 半径。证明：q=r日-JBm1也是般螺纹。证 因为1,为一般螺线，所以存企一#寄常向M3使a巧？成固定角.对于曲线.其切向 a AA&十痴-B二Ra与日火线.囚此也hHF零常向呈？成固定角、所以也为般螺 线.9 .证明曲线广=7"）为股螺纹的充要条件为比；）=0证 7=通, r = -K2a + K

28、p + KTy,r = -3xxa + (-x:3 + 八 一 kt2)P (2kt + Kf)y(77r) = Klirc += kkt -kt) = k- Ki=k5()> 其中 kH 0.曲线，=（力为 股螺线的充要条件为一为常数.即（一）0.也就是（1九万二0 o KK方法二：（7J77） = 0,即位，万万）= 0 ,曲线尸= K6）为般螺线，则存在常向早2 使 =常数，所以IN = 0, J=0,五石=0,所以名五,7共面,从而（巨/石）=0。反 之,ir （a,a7a ） =0,则平行于固定平面,设固定平面的法矢为石,则仃江 = （）,从而M 0二P （常数），所以；3 =

29、 "$）为 股螺纹.方法三：曲线> = *$）为般螺线 存在常向量2使Bin,即8/二0。8平行上 固定平面（以©为法向量的平面）u>t平行一固定平面U>SK）=O o方法四：“n"设/ =凡$）为一为螺线,存在常向量-使a2=常数,即；为=常数,连 续三次求微商得力？ = 037=0 ,汽？ = 0 ，所以%D） = 0, “u”因为（兀落力:0,所以方平行于固定平面，设固定平面的法矢为万（常向七）,则 7.n,而B X/工力，所以加线为一般螺线。10.证明条曲线的所有切线不可能同时都是另条曲线的切线。证 设曲线【与任对应点有公共的切纹，且的衣

30、送式为：=（$），则： O =7（s）+ %（$）a（s）a h。，其切向生为o,= a十2a +入kB应与a平行，所以k= （）,从而曲线为H浅。同理曲线为,.而II.是与用合的自战，所以作为非门线的两条 不同的曲线不可他有公共的切线。U.设任两条曲线、的点之间建立了 对应关系，使它们在对应点的切线平行,证明它 们在对应点的法线以及制法线也互相平行，且它们的挠率和曲率都成比例,因此如果I,为一 般螺线、则r也为-般螺线。证 谩曲线r = r（s） ：二二，（彳）点建立了一一对应,使它们对应点的切找平希却匿当选择参数可使厘=厘,网H对多求做商得利=反?.叩孕=丽与，这里 d$必右一匚->

31、0,斫以君口三口，即上法线平行,从而汽6 n网切，即柄曲线的副法线也平行.目 dsk = k .或占=渔.网&）=7两边时S求微商得-/（尸）=一南庵，于是r =T / 耳必d$dsr ds,K T M K门上 , pk i x.= n* = T <4K f T T11曲面的概念r1 .求正螺面r = ucosv ,u sin v, bv 的坐标曲线.r解 u-曲线为 r =ucosvo ,u sin vo ,bvo = 0,0, bvo +u cosvo, sin vo ,0,为 曲线的直母线；v-曲线为r =u0 cosv,u0 sinv,bv 为圆柱螺线.2 .证明双曲抛物

32、面r= a (u+v) , b (u-v) ,2uv的坐标曲线就是它的直母 线。r证 u-曲线为 r = a (u+v0) , b (u-v0) ,2uv0= av0, bv0,0+ ua,b,2v0表小过点 av0, bv0,0以a,b,2v。为方向向量的直线；rv-曲线为 r = a (u0+v) , b ( u 0 -v) ,2u°v = auO, bu 0,0 +va,-b,2u 0表 示过点(au0, bu。,0)以a,-b,2u。为方向向量的直线。r3 .求球面r = a cos sin , a cos sin , a sin 上任思点的切平面和法线方程。解 r = as

33、in cosa sin sin , a cos , r = a cos sina cos cos ,0y a cos sina sin sina cos cosz a sina cos 00x a cos cos任意点的切平面方程为a sin cosa cos sin即 xcos cos + ycos sin + zsin - a = 0 ；法线方程为x a cos coscoscosy a cos sincos sinz a sinsin24.求椭圆柱面xya2 y_ b21在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线,此曲面只有一个切平面2 y b21的参数方程为x = cos , y =

34、asin , z = t ,r a sin,b cos ,0rt 0,0,1。所以切平面方程为:x a cosa sin0y bsinb cos00 , 即 x bcos + y asin此方程与t无关，对于的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面35.证明曲面r u,v,a-的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常 uv数。3证ru IQ3,u v30,1,2。切平面方程为: uvuvOT Z3。3 a3a21与二坐标轴的父点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,03a-)。于是, uv四面体的体积为:V 13|

35、u|3|v| 四-?a3 是常数。6|uv| 2§ 2曲面的第一基本形式1.求双曲抛物面r= a (u+v) , b (u-v) ,2uv的第一基本形式 解ru a, b,2v, rv a, b,2u, E "2 a2b2 4v2,222222F ru rv a b 4uv,G rva b 4u ,I = (a2 b2 4v2)du2 2 (a2 b2 4uv)dudv (a2 b2 4u2)dv2。 r2 .求正螺面r = ucosv ,u sinv, bv 的弟一基本形式，并证明坐标曲线互相 垂直。解ru cos v,sin v,0, rv u sin v,u cosv

36、, b , E ru2 1, F ru rv 0,G rv2 u2 b2 , I =du2 (u2 b2)dv2, 丁 F = 0 , .坐标曲线互相垂直。3 .在第一基本形式为I =du 2 sinh2 udv2的曲面上，求方程为u = v的曲线的 弧长。解由条件ds2 du2 sinh2 udv2,沿曲线u = v有du=dv ,将其代入ds2得ds2 du2 sinh2 udv2 = cosh2 vdv2 , ds = coshvdv，在曲线 u = v上，从 v1 至U v2的弧长、rv2为 | coshvdv| |sinhv2 sinhv1 |。v14 .设曲面的第一基本形式为I =

37、 du2 (u2 a2)dv2,求它上面两条曲线u + v = 0 ,uw = 0的交角。分析 由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变 量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。解由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量E 1, Fv 0, G u2 a2,曲线u + v = 0与u -v = 0的交点为u = 0, v = 0,交点处的第一类基本量为E 1 , Fv 0 , G a2。曲线u + v = 0的方向为du = -dv , u - v = 0的方向为6 u= 6 v ,设两曲线的夹角为，则有2Edu u Gdv u1 acos = 'i。E

38、du2 Gdv2 . E u2 G v21a5 .求曲面z = axy上坐标曲线x = X0 ,y =y0的交角.r斛 曲面的向重表小为r =x,y,axy,坐标曲线x = x0的向重表小为rrr = Xo,y,axoy ,其切向重ry=0, 1, ax。；坐标曲线y =y0的向重表小为r =x ,yo ,axyo,其切向量屋=1, 0, ay。,设两曲线x = x。与y =y。的夹角为，则有cos2_ rx rya xo yo1rx |ry |1 a2x2 , 1 a2y26 .求u-曲线和v-曲线的正交轨线的方程.解 对于u-曲线dv = 0,设其正交轨线的方向为6 u: 6 v，则有Ed

39、u6 u + F(du6 v + dv6 u)+ G d V v = 0,将dv =0代入并消去du得u-曲线的正交轨线 的微分方程为E6 u + F6 v = 0 .同理可得v-曲线的正交轨线的微分方程为 F6u + G6 v = 0 .7 .在曲面上一点，含du ,dv的二次方程 Pdu2+ 2Q dudv + Rdv2=0,确定两个切方向(du : dv)和(6 u : 5 v),证明这两个方向垂直的充要条件是 ER-2FQ + GP=0.证明 因为du,dv不同时为零，假定dv0,则所给二次方程可写成为P(四)2 +dvdudu u du u R du u 2Q2Q + R=0设其根

40、,一, 贝U = , +一=又根据方向垂直的条件知E + F(+ )+ G = 0 dv v dv v将代入则得 ER - 2FQ + GP = 0 .8 .证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为Edu2 =Gdv2.证 用分别用八、d表示沿u曲线，v曲线及其二等分角线的微分符号，即沿u曲线6 u 0 , 6 v= 0 ,沿v曲线u= 0 ,v 0 ,沿二等分角轨线方向为du:dv，根据题设条件，又交角公式得(Edu v Fdv u)22 . 2E u ds(Fdu v Gdv v)2G v2ds2(Edu Fdv)2E(Fdu Gdv)2G展开并化简得 E(EG-F2) du2 =G(E

41、G-F2) dv2 ,而u=-avEG-F2>0,消去EG-F2得坐标曲线的二等分角线的微分方程为Edu2=Gdv2.9 .设曲面的第一基本形式为I = du2 (u2 a2)dv2,求曲面上三条曲线u = a v, v =1相交所成的三角形的面积。解三曲线在平面上的图形(如图)所示。曲线围城的三角形的面积是02S= . ua1a1a2du dv u2 a2du dvu0uaaa1a22u22=2 . u a du dv =2 (1) u a du0u0 aa3=(u2 a2 )2 u .u2 a2 a2 ln(u u2 a2) |0 3ao 22一=a ln(1 v12)。3r10 .

42、 求球面 r =a cos sin , a cos sin , a sin 的面积。解 r = a sin cos , a sin sin , a cos , r = a cos sin , a cos cos ,0E =r2 =a2 ,F=r r = 0 , G = r2 =a2 cos2.球面的面积为：2S = 2 d . a4 cos2 d 2 a2 2 cos d 2 a2 sin |24 a2.2022rr2.11 .证明螺面 r =ucosv,usinv,u+v口旋转曲面 r =tcos ,tsin 川t 1(t>1, 0< <2 )之间可建立等距映射=arctg

43、u + v , t= u2 1分析 根据等距对应的充分条件，要证以上两曲面可建立等距映射=arctgu + v , t= vu2 1 ,可在一个曲面譬如在旋转曲面上作一参数变换使两曲面在对应点有相同的参数，然后证明在新的参数下，两曲面具有相同的第一基本形式.证明 螺面的第一基本形式为I=2du2+2 dudv+(u2+1)dv2,旋转曲面的第一基t2本形式为1=(1力)dtt d，在旋转曲面上作一参数变换=arctgu + v ,t 1= yUl ,则其第一基本形式为：22 u 1、 u 7 2/ 2(1 )du (uu u 1u 1212=(21)du 2 du11)(-du1 udv)2_

44、22dudv (u222 一 2.1)dv =2du +2 dudv+(u +1)dv = I .所以螺面和旋转曲面之间可建立等距映射=arctgu + v , t = u2 1 .u1 u§ 3曲面的第二基本形式r1 . 计算悬链面r =coshucosv,coshusinv,u用一基本形式，弟二基本形式.解 ru =sinhucosv,sinhusinv,1rv=-coshusinv,coshucosv,0ruu =coshucosv,coshusinv,0uv =-sinhusinv,sinhucosv,0,2 2 一八 -2, 2rvv=-coshucosv,-coshusi

45、nv,0Eru = cosh u, F ru rv=0,G rv =cosh u.所以 I = cosh2 u du2+ cosh2udv2 .L=_ru_rv_.EG F 2 cosh ucosh u cosv, cosh u sin v, sinh u sin v,coshu.sinh2 11, M=0, N=coshusinh2=1 .所以 II = -du2 + dv22 .计算抛物面在原点的2x3 5xi24XiX2 2x；第一基本形式，第二基本形式.解曲面的向量表示为,也,如2硝，rxi(1,0,5Xi2x2(0,0) (1,0,0 ,rx20,1,2xi2x2)(0,0)0,1,

46、0,。0,0,5,rxix2(0,0,2) ,rx2x2(0,0,2), E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2 , N =2 ,.,2,2., 2, 八,2I=dx1dx2, II=5dx14dxdx22dX2.r3 .证明对于正螺面 r =ucosv,usinv,bv,-°°vu,voo处处有 EN-2FM+GL=0解ru cos v,sin v,0), rv u sin v,u cosv, b,(=0,0,0,2ruv =-uucosv,cosv,0, rvv =-ucosv,-usinv,0, E ru 1 , F ru rv 0一

47、222bG rv224.求出抛物面z -(ax2by2)在(0,0)点沿万向(dx:dy)的法曲率.解 rx 1,Q ax)(°,。)(1,0,0),ry0,1,by)(0,0)0,1,0,® 0,0, a), rXy 0,0,0) ryy 0,Qb ,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=bJ方向 dx:dy 的法曲率 kn 5.已知平面 到单位球面(S)的中心距离为d(0vd<1)求 与(S咬线的曲率与法 曲率.解 设平面 与(S)的交线为(C),则(C)的半彳空为v1 d2 ,即(C)的曲率为k二，又(C)B主法向量与球面的法向量的夹角的余弦等于V1 d2

48、 ,所以(C)1 d2的法曲率为knk .1 d2 = 1 .6.利用法曲率公式kn I，证明在球面上对于任何曲纹坐标第一、第二类基本u2 b2 , L= 0, M = , N = 0 所以有 EN - 2FM + GL= 0 .22adx bdydx2 dy2.u2 b2量成比例。证明 因为在球面上任一点处，沿任意方向的法截线为球面的大圆，其曲率为球面半径R的倒数1/R。即在球面上，对于任何曲纹坐标(u,v),沿任意方向du:dvIILdu22MdudvNdv2knT 2TT"2IEdu2FdudvGdv和看所呼MN 1N(-),即第一、第G R类基本量成比例。7 .求证在正螺面上

49、有一族渐近线是直线，另一族是螺旋线 r证明对于正螺面r =ucosv,usinv,bv,ru cos v,sin v,0, rv u sin v, u cos v, b , ruu=0,0,0, rvv=-ucosv,-usinv,0L=(ru，rv，ruu)=0, N=(ru,rv,rvv) =0所以u族曲线和v族曲线都是渐近线。而u族EG F2、EG F2曲线是直线，v族曲线是螺旋线。8 .求曲面z xy2的渐近线.解曲面的向量表示为 r x,y,xy2,rx 1,0, y2, ry 0,1,2xy,10,0,0),2,.422,.2 2rxy 0,0,2y, ryy 0,0,2x, E

50、葭 1 4y , F L ry2xy , Gry1 4x y .L 0,M2y N 2x 一2242241 4x y y 1 4x y y渐近线的微分方程为Ldx2 2Mdxdy Ndy2,即4ydxdy 2xdy2 0,一族为dy=0,即y c1,c1为常数.另一族为 2ydx=-xdy,即 lnx2y C2,或x2y c,c为常数.9 .证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线.证在每一条曲线(C)的主法线曲面上，沿(C用切平面是由(C)的切向量与(C)的主 法向量所确定的平面，与曲线(C)的密切平面重合，所以每一条曲线(C而它的主法线曲 面上是渐近线.方法二：任取曲线:r 1r(s),它

51、的主法线曲面为S: r r(s,t) 1r(s) t(s),/、，&/、r，/r r r r r r ,rrs (s) t"(s) t( ) (1 t ) t , t , s t t (1 t),EG F2在曲线上，t = 0 , rs rtr,曲面的单位法向量n 所以曲线 在它的主法线曲面上是渐近线.10 .证明在曲面z=f(x)+g(y止曲线族乂=常数，y=数构成共腕网.证 曲面的向量表示为r =x,y, f(x)+g(y),x帮数,y=数是两族坐标曲线。rrrrx 1,0, f , ry0,1,g .rxx0,0, f , rxy 0,0,0, 5 0,0, g ,r

52、r一 . r J r、，.因为Mrxyx y0,所以坐标曲线构成共腕网，即曲线族x=数，y=常数构,EG F2成共腕网。r11 .确止螺旋面r =ucosv,usinv ,bv上的曲率线.角单ucos v,sin v,0, rv u sin v, u cos v, b , ruu=0,0,0, r=-ucosv,-usinvQ2ruv =-sinv,cosv,0E几 1, Fru rv0 , Grvu2 b2 , L=0, M= b =,u2 b2N=0,曲率线的微分方程为：dv21dudv0b_u2 b2du2u2 b200，即 dvu21_ b2du ,积分得两族曲率线方程：v ln(u.

53、u2 b2)G 和v ln(vu2b2u)C2.12 .求双曲面z=axy上的曲率线.2222y ,F a x y,Ga2x2,L 0,Ma.1 a2x2,N=0 .22a ydy2221 a xdxdy222a x ya22221 ax a ydx2a2x=0 得(1 a2 y2)dx2(1a2x2 )dy2，积分得两族曲率线为 ln(ax .1 a2x2)ln(ay . 1 a2y2) c.13 .求曲面re(u v),b(u v),uv上的曲率线的方程.2,222,22,22abvabuv-abu解 E , F , G , L Q444abM= 22 ,N=0代入曲率线的微分方程得所求曲

54、率线的方程是 、,EG F(a2 b2 u2)dv2 (a2 b2 v2)du2,积分得：ln(u . a2 b2 u2) ln(va2 b2 v2) c .14 .给出曲面上一曲率线L,设L上每一点处的副法线和曲面在该点的法向量成 定角，求证L是一平面曲线.证法一：因L是曲率线，所以沿L有dn ndr ,又沿L有 n=常数,求微商得 n 一 n 0,而n/dn/dr与 正交，所以 n 0,即- n =0,则有 =0,或 n =0 .若=0,则L是平面曲线；若 n=0 , L又是曲面的渐近线，则沿L , n=0 , 这时dn=0, n为常向量，而当L是渐近线时， =n,所以 为常向量，L是一 平面曲线.证法二：若 n ,则因n dr 口 r ,所以n 口 ，所以dn II &,由伏雷r rr内公式知dn II ( r )而L是曲率线，所以沿L有dn I