数学分析实数与数列极限 1-5PPT学习教案

1、数学分析实数与数列极限数学分析实数与数列极限 1-5 有有界界收收敛敛 收收敛敛有有界界 收收敛敛有有界界 ？第1页/共19页x1x2x3x1 nxnx一、一、 单调有界定理单调有界定理满足条件满足条件如果数列如果数列nx,121 nnxxxx递增递增,121 nnxxxx递减递减单调数列单调数列几何解释几何解释:AM定理定理1 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限.第2页/共19页 :分析分析,是递增的而且有上界是递增的而且有上界不妨设不妨设na用十进制数表示：用十进制数表示：将各项将各项na. ,.,.,.321333212232111rrrAaqqqAapppAa , 3 , 2 ,

2、 1,9 , 2 , 1 , 0, ,Z irqpAiiii,iA考察考察递增，递增，有界有界由于由于,na. 0并不随行的增加而改变并不随行的增加而改变，达到最大值达到最大值行行AN在在可知可知nA某一某一第3页/共19页 , 111，再考察第二列再考察第二列rqp行后行后是在第是在第设设01Nx,本列出现的最大的数本列出现的最大的数,1行行设出现在第设出现在第N易见易见.01NN ,. ,重复同样的过程重复同样的过程第五列第五列第四列第四列对第三列对第三列就会得到数就会得到数,432xxx和和相相应应的的正正整整数数.321 NNN.4321的极限的极限就是数列就是数列下证下证naxxxx

3、Aa 第4页/共19页 , 0 对对,10 . ,* mtsNm取取那么对那么对所有的所有的 ,mNn 位上位上的整数部分和前的整数部分和前 man的数码的数码 .是一样的是一样的与与a:因此因此.10| mnaa.lim 321xxxAann 即即第5页/共19页.)(333的极限存在的极限存在式式重根重根证明数列证明数列nxn 例例1 1证证,1nnxx 显然显然 ;是单调递增的是单调递增的nx, 331 x又又, 3 kx假定假定kkxx 3133 , 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx 第6页/共19页(舍去舍去),3(limlim21nnnnxx ,321nnxx ,3

4、1nnxx ,32AA 2131,2131 AA解得解得.2131lim nnx第7页/共19页例例2 2. ,!是是任任意意给给定定的的实实数数此此处处的的极极限限求求数数列列anan .N , !| :* nnaxnn令令解解,|时时则当则当an .1|1nnnxnaxx 0., 且有下界且有下界数列数列是从某一项开始递减的是从某一项开始递减的因此因此nx. lim 存在存在所以极限所以极限nnxx . 00 ,1| 1 xxnnaxxnn得到得到两边令两边令在在 , 为无穷小为无穷小所以所以nx.! 也也是是无无穷穷小小从从而而 nan第8页/共19页例例3 3. ,N ,1211*发散

5、发散求证求证设设nnanna 证明证明: :. , ,发散发散即得即得如能证其无界如能证其无界严格递增严格递增易见易见nnaa有有对对下证之下证之 , :*Nk kkka21121 161918151413121112 kk2121 16116181814141211第9页/共19页), 1 , 0( ,212121211 kkk个个. ,发散发散进而得进而得无界无界可见可见nnaa例例4 4. , 1 , ,1211*收敛收敛求证求证设设nnaNnna . , ,收敛收敛即得即得只须证有界只须证有界严格递增严格递增易见易见nnaa证明证明: : 由于由于 )12(1)2(1 15181714

6、131211112kkka第10页/共19页 )2(2884422111 kk11111)2(18141211 k112112121211 k .1222112111111 k. ., ,12从而从而也有上界也有上界可知可知递增递增而由而由是有上界的是有上界的的子列的子列表明表明nnnaaaan 第11页/共19页二、二、 闭区间套定理闭区间套定理2定理定理 ,N,* nbaInnn设设 321III并且并且.1 nnII如如果果这这一一列列区区间间的的长长度度 ),( 0| nabInnn.1含有唯一的一点含有唯一的一点那么交集那么交集 nnI即：即：，唯一唯一Rx 0位位于于所所有有闭闭区

7、区间间之之中中，使使0 x此时此时.limlim0 xbannnn 第12页/共19页或：任何闭区间套必有或：任何闭区间套必有唯一唯一公共点公共点. . :证明证明 ,由由区区间间的的包包含含关关系系可可知知左左端端点点组组成成的的 ,递增递增数列数列na.递减递减右端点组成的数列右端点组成的数列nb. , 11abbann有下界有下界有上界有上界并且并且:1知下面两个极限存在知下面两个极限存在由定理由定理.lim ,limbbaannnn . ),N( *banbann 可见可见由于由于第13页/共19页 | 0nnnIabab .的的唯唯一一性性易易知知a).N( * nbbaann因此有

8、不等式因此有不等式: 由此式可得由此式可得 . ,)( 0|banIn 可知可知由由 ,N*成立成立对对此时此时 nbaann).N(* nIan即即. : 1 nnIa由此得到由此得到第14页/共19页注意注意: :.不可去不可去闭闭, 3 , 2 , 1,1, 0 nnIn设区间设区间例如例如, 1321 nnIIIII),( 01| nnIn. 1 nnI但是交集但是交集第15页/共19页0, 0,2,1111 byaxyxyyxxnnnnnn例例5 5证明证明nnnnyxlimlim 证明证明: :11 nnyx首先：首先： nnnnnnnnxxxxyxxx, 021 nnnnnnnnyyyyyxyy, 02221第16页/共19页nnnnxyxy