第三章付里叶变换

1、第三章第三章傅里叶变换傅里叶变换本章的主要内容：1、周期信号的傅里叶级数分析、周期信号的傅里叶级数分析2、典型周期信号的傅里叶级数、典型周期信号的傅里叶级数3、傅里叶变换、傅里叶变换4、典型非周期信号的傅里叶变换、典型非周期信号的傅里叶变换5、冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换、冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换6、傅里叶变换的基本性质、傅里叶变换的基本性质7、卷积特性（卷积定理）、卷积特性（卷积定理）8、周期信号的傅里叶变换、周期信号的傅里叶变换9、抽样信号的傅里叶变换、抽样信号的傅里叶变换10、抽样定理、抽样定理第一节第一节引言引言傅里叶分析发展史从本章开始由时域分析转入从本章开始由时域分析转入频

2、频域分析。域分析。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的。生的。傅里叶分析的研究与应用经历了一百余年。傅里叶分析的研究与应用经历了一百余年。18221822年法国数学家傅里叶（年法国数学家傅里叶（J.Fourier,1768-1830J.Fourier,1768-1830）在研究）在研究热传导理论时发表了热传导理论时发表了“热的分析理论热的分析理论”著作，提出并证明了著作，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。论基础。泊松（泊松（Poiss

3、onPoisson）、高斯（）、高斯（GaussGauss）等人把这一成果应用到电）等人把这一成果应用到电学中去。学中去。伴随电机制造、交流电的产生与传输等实际问题的需要，三伴随电机制造、交流电的产生与传输等实际问题的需要，三角函数、指数函数以及傅里叶分析等数学工具已得到广泛的角函数、指数函数以及傅里叶分析等数学工具已得到广泛的应用。应用。直到直到1919世纪末，制造出电容器。世纪末，制造出电容器。2020世纪初，谐振电路、滤波世纪初，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列问题的解决为正弦函数与傅里叶分器、正弦振荡器等一系列问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的在通信系统中的应用开辟了广阔的前景。析

4、的在通信系统中的应用开辟了广阔的前景。从此，在通信与控制系统的理论研究和实际应用之中，从此，在通信与控制系统的理论研究和实际应用之中，采用采用频率域（频域）的分析方法比经典的时间域（时域）方法频率域（频域）的分析方法比经典的时间域（时域）方法有有许多突出的优点。许多突出的优点。当今，傅里叶分析方法已成为信号分析与系统设计不可缺少当今，傅里叶分析方法已成为信号分析与系统设计不可缺少的重要工具。的重要工具。2020世纪世纪7070年代，出现的各种二值正交函数（沃尔什函数），年代，出现的各种二值正交函数（沃尔什函数），它对通信、数字信号处理等技术领域的研究提供了多种途径它对通信、数字信号处理等技术领

5、域的研究提供了多种途径和手段。使人们认识到傅里叶分析不是信息科学与技术领域和手段。使人们认识到傅里叶分析不是信息科学与技术领域中唯一的变换域方法。中唯一的变换域方法。但傅里叶分析始终有着极其广泛的应用，它是研究其他变换但傅里叶分析始终有着极其广泛的应用，它是研究其他变换方法的基础。而且出现了方法的基础。而且出现了”快速傅里叶变换（快速傅里叶变换（FFTFFT）”它给傅它给傅里叶分析这一数学工具增添了新的生命力。里叶分析这一数学工具增添了新的生命力。傅里叶分析方法不仅应用于电力工程、通信和控制领域之中，傅里叶分析方法不仅应用于电力工程、通信和控制领域之中，而且在力学、光学、量子物理和各种线性系统

6、分析等许多有而且在力学、光学、量子物理和各种线性系统分析等许多有关数学、物理和工程技术领域中得到广泛的应用。关数学、物理和工程技术领域中得到广泛的应用。本章讨论的路线：本章讨论的路线：傅里叶级数正交函数傅里叶级数正交函数傅里叶变换，建立信号频谱的概念；傅里叶变换，建立信号频谱的概念；通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，掌握傅里叶通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，掌握傅里叶分析方法的应用。分析方法的应用。对于周期信号而言，进行频谱分析可用傅里叶级数或傅里叶对于周期信号而言，进行频谱分析可用傅里叶级数或傅里叶变换；傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种特殊表达形式。变换；傅里叶级数相当于傅

7、里叶变换的一种特殊表达形式。最后对研究周期信号与抽样信号的傅里叶变换，并介绍抽样最后对研究周期信号与抽样信号的傅里叶变换，并介绍抽样定理，抽样定理奠定了数字通信的理论基础。定理，抽样定理奠定了数字通信的理论基础。 第二节第二节周期周期信号的傅里信号的傅里叶级数分析叶级数分析一、三角函数形式的傅里叶级数三角函数形式的傅里叶级数 ）角频率为任意周期信号（周期设1112,Tf(t)T则其可展开为三角函数形式的傅里叶级数11;nn其中基波角频率为的分量次谐波角频率为的分量0111cos()sin()( )nnnaaf tttbnn1 1、一种三角函数形式的傅里叶级数、一种三角函数形式的傅里叶级数 01

8、1001001010111011cos()11( )( )2( )2( )1,2,in).s (tTTttTtnntTtf t dtf t dtTTf tdtTf tdtttTnaabnn直流分量：其中 余弦分量幅度：正弦分量幅度：为了积分方便，通常取积分区间为：为了积分方便，通常取积分区间为：220111TTT或三角函数集是一组完备函数集。三角函数集是一组完备函数集。110101cos( )( )s)in()nnnnnnf tf tddntctcn或展开为常用形式f(t)v2 2、另一种三角函数形式的傅里叶级数、另一种三角函数形式的傅里叶级数 20200,nnnnnnnnnnddaarctg

9、arctgcacabbab 其 中f(t)傅里叶级数存在的充分条件：周期信号须满“狄利克雷”(Dirichlet足)条件，即010( )tTtf t dt 间断点极值绝一周期内仅有限个；一周期内仅有限个；一周可期内对，积v3 3、傅里叶级数展开的充分条件、傅里叶级数展开的充分条件 通常所遇到的周期性信号都能满足此条件，因此，通常所遇到的周期性信号都能满足此条件，因此，以后除非特殊需要，一般不再考虑这一条件。以后除非特殊需要，一般不再考虑这一条件。v4 4、基波、谐波、基波、谐波 通常把频率为：通常把频率为：11112wfT称为基波。称为基波。频率为：频率为：1112222wfT称为二次谐波。称

10、为二次谐波。1113332wfT 频率为：频率为：称为三次谐波。称为三次谐波。 可见，直流分量的大小以及基波与各次谐波的可见，直流分量的大小以及基波与各次谐波的幅度、相位取决于周期信号的波形。幅度、相位取决于周期信号的波形。1nnc单边频谱图：信号的幅度谱1nn信号的相位谱其中各频率分量幅度称为“”；连各谱线顶点的曲线称为 “谱线包络线”。v5 5、幅度谱、相位谱、幅度谱、相位谱 0n1w13w1nww1w13w0cnc1c2c3c1nww0离散性谐波性具有、收敛性周期信号的主要特点：周期信号的主要特点：v二、指数形式的傅里叶级数二、指数形式的傅里叶级数 ）角频率为任意周期信号（周期设1112

11、,Tf(t)T则其可展开为指数形式的傅里叶级数11( )jtnnnFf te1 1、指数形式的傅里叶级数的形式、指数形式的傅里叶级数的形式 v2.指数形式的傅里叶级数中各个量之间的关系指数形式的傅里叶级数中各个量之间的关系 221n021122(nnnnnnnnnnnjFFaFjbabce当时，其中三角函数形式）)(21nnjnnjbaeFFn010110100()1( )tTtnnjtf tdtTnFnFFcae 记复函数：其中直流分量：幅频特性幅频特性nnncbanF2121)(221 相频特性相频特性 nnnabtg1 na是关于是关于1 n的偶函数，的偶函数，nb奇奇)(1 nF偶偶n

12、 奇奇v3.指数形式表示的信号频谱指数形式表示的信号频谱-复数频谱复数频谱11nnnnF双边频谱图：复函数幅度谱，复函数相位谱具有、（负频率的结离散果仅性谐波性收敛性是数学处理）Fn一般是复函数，所以称这种频谱为复数频谱。一般是复函数，所以称这种频谱为复数频谱。1w0cnF121c221c1nww01w1nw0n1nww1nw1w0cnF121c221c1nww01w1nw幅度谱与相位谱合并幅度谱与相位谱合并正、负频率相应项成对合并，才是实际频谱函数。正、负频率相应项成对合并，才是实际频谱函数。v4.周期信号的功率特性周期信号的功率特性时域和频域能量守恒定理时域和频域能量守恒定理f(t)P平均

13、功率时域与频域的能量守恒：任意周期信号的等于其傅各谐波分量里叶级数展有效值开式中的平方和周期信号的周期信号的平均功率平均功率P：在一个周期内求平方再求积分。：在一个周期内求平方再求积分。)(2tfP 12220)(21nnnbaannF2100)(121TttdttfT122021nncc帕塞瓦尔定理帕塞瓦尔定理周期复指数信号的频谱图的特点l引入了负频率变量，没有物理意义，只是数学推导；l Cn 是实函数，Fn 一般是复函数，l 当 Fn 是实函数时，可用Fn 的正 负表示0和相位， 幅度谱和相 位谱合一； 1110sincos)(nnntnbtnaatf = 110)cos(nnntncc

14、tjnnenFtf1)()(1 (1)周期信号周期信号f(t)的付里叶级数有两种形式的付里叶级数有两种形式三角形式三角形式指数形式指数形式收收敛敛性性 )(,1 nFn唯一性唯一性：)(tf的谱线唯一的谱线唯一l 指数形式：指数形式： )(1nF， n 双边频谱双边频谱l 三角形式：三角形式： nc， n单边频谱单边频谱)(1 nF= 021 ncn000acF l 指指数数形形式式的的幅幅度度谱谱为为偶偶函函数数)()(11 nFnF l 指数形式的指数形式的相位相位谱为谱为奇奇函数函数对对于于双双边边频频谱谱，负负频频率率)(1 n，只只有有数数学学意意义义，而而无无物物理理意意义义。为为

15、什什么么引引入入负负频频率率? f(t)是是实函数实函数，分解成虚指数，必须有共轭对，分解成虚指数，必须有共轭对tjne1 与与 tjne1 ，才能保证，才能保证 f(t)实函数性质不变。实函数性质不变。v1.函数的对称性函数的对称性三、函数的对称性与傅里叶系数的关系三、函数的对称性与傅里叶系数的关系 要将信号要将信号f(t)展开为傅里叶级数，如果展开为傅里叶级数，如果f(t)是是实函数，且它波形满足某种对称性，则在其傅里实函数，且它波形满足某种对称性，则在其傅里叶级数中有些项为叶级数中有些项为0，留下的各项系数的表示式也，留下的各项系数的表示式也比较简单。比较简单。波形对称性有两类：波形对称

16、性有两类：（1）对整周期对称。即偶函数和奇函数。）对整周期对称。即偶函数和奇函数。（2）对半周期对称。即奇谐函数、偶谐函数。）对半周期对称。即奇谐函数、偶谐函数。4种对称：偶函数 ：f (t )=f (-t)奇函数 ：f (t )= - f (-t)奇谐函数 ：半周期对称偶谐函数：任意周期函数有： 偶函数项偶函数项 奇函数项奇函数项)2()(1nTtftf)sincos()(11101tnbtnaatfnnn)2()(1nTtftf2.傅里叶级数的系数求解傅里叶级数的系数求解对称于坐标纵轴，对称于坐标纵轴， tftf 2010cos)(4TntdtntfTa 0 nb nnnnajbanFF2

17、121)(1 af(t) 为偶函数为偶函数0a不一定为不一定为0，付氏级数只有余弦分量，付氏级数只有余弦分量，)(1 nF是虚函数。是虚函数。 周期偶函数周期偶函数只含直流和只含直流和tnaatfnn110cos)(tnan1cos2nnnaFFtjnnenFtf1)()(1例如例如:周期三角函数是偶函数周期三角函数是偶函数.)5cos2513cos91(cos42)(1112tttEEtfEf(t)T1/2-T1/2tb. f(t)为奇函数为奇函数对称于坐标原点对称于坐标原点, tftf 0= )(1 220 TTdttfTa0cos)(2221 TTntdtntfTa 201010sin)

18、(4sin)(2TTntdtntfTtdtntfTb nnnnjbjbanFF 2121)(1 周期奇函数周期奇函数只含正弦项只含正弦项tnbtfnn11sin)(1011.sin).(4TndttntfTbFn为虚数为虚数2nnnbFFj 例如周期锯齿波是奇函数例如周期锯齿波是奇函数.)3sin312sin21(sin)(111tttEtfE/2-E/2T1/2-T1/2f(t)t0半周期对称半周期对称：)2()(1nTtftf奇谐函数奇谐函数偶谐函数偶谐函数 2Ttftf波形移动波形移动2T ，与原波形横轴对称，称为奇谐函数。，与原波形横轴对称，称为奇谐函数。f(t)的付氏级数偶次谐波为零

19、的付氏级数偶次谐波为零，即即n=2,4,6,时时,0 nnbacf(t)为奇谐函数为奇谐函数n=1,3,5,时时 201cos)(4TntdtntfTa 201sin)(4TntdtntfTb 2nnnjbaF 2TtftfT 21 原波形移动原波形移动2T 与原波形重合，称为偶谐函数。与原波形重合，称为偶谐函数。df(t)为偶谐函数为偶谐函数f(t)的付氏级数奇次谐波为零，只有偶次谐波分量的付氏级数奇次谐波为零，只有偶次谐波分量即即 n=1,3,5,时时,n=2,4,6,时时 201sin)(4TntdtntfTb 0 nnba 201cos)(4TntdtntfTa 例如对称方波：偶函数且

20、奇谐函数例如对称方波：偶函数且奇谐函数只有奇次谐波的余弦项。只有奇次谐波的余弦项。2sin2nnEan)5cos3cos(cos)(15113112ttttfEE/2-E/2T1/4-T1/4tv小节：傅里叶级数的系数求解小节：傅里叶级数的系数求解(1)偶函数信号偶函数信号1()F n其傅里叶级数三角展开式中 仅含和，其傅里叶级数指数展开式中 直为流项余弦项实函数。112014cos( )( )()0()nnTtanf tdtTf tfbt1)偶函数信号：,20nnnnnnacaFFt)(tfE021T21T例如：周期三角波信号例如：周期三角波信号是一偶函数)5cos(251)3cos(91)

21、cos(42)(1112twtwtwEEtf其傅里叶级数表达式为：其傅里叶级数表达式为：1()F n其傅里叶级数三角展开式中 仅含，其傅里叶级正弦项数指数展开式纯中 为虚函数。102011004( )()( sin()Tnnaf tftf tabtTtnd2)奇函数信号：，0010,290nnnnnncacbFFbj )3sin(31)2sin(21)sin()(111twtwtwEtf其傅里叶级数表达式为：其傅里叶级数表达式为：t)(tf2E021T21T例如：周期锯齿波信号例如：周期锯齿波信号是一奇函数2E（2）奇函数信号）奇函数信号其傅里叶级数三角展开式中仅含和基波奇次谐波1112011

22、201cos()sin4( )4()0)nnnTTnababnnnttf tdtTf tdtnT为偶，为奇，（3）奇谐函数信号（半波对称函数）奇谐函数信号（半波对称函数 ）002210,2nnnnnnnncacabFarctbagc 奇谐函数信号奇谐函数信号：若波形沿时间轴平移半个周期并相对于：若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转，此时波形并不发生变化，即满足：该轴上下反转，此时波形并不发生变化，即满足：00a )2()(1Ttftf例子例子例如：奇谐函数例如：奇谐函数t)(tf2E021T21T2Et)(tf2E021T21T2E)cos(1twt)(tf2E021T21T2E)s

23、in(1twt)(tf2E021T21T2E)2sin(1twv四、傅里叶有限级数与最小方均误差四、傅里叶有限级数与最小方均误差010221)( )1(nNNtTtEdtTtt方均误差：0111( )cos()sin()NnnNnnttaabStn有限项傅里叶级数：( )(f(t( )NNtStf t其中误为逼近的差函数）实际应用中，经常采用有限项级数来代替无限项级数。实际应用中，经常采用有限项级数来代替无限项级数。显然，有限项数是一种近似的方法，所选项数愈多，有显然，有限项数是一种近似的方法，所选项数愈多，有限项级数愈逼近原函数，其方均误差愈小。限项级数愈逼近原函数，其方均误差愈小。v例子例

24、子以下为对称方波，注意不同的项数，有限级数对以下为对称方波，注意不同的项数，有限级数对原函数的逼近情况，并计算由此引起的方均误差。原函数的逼近情况，并计算由此引起的方均误差。t)(tf2E041T41T2Et)(tf)cos(21twE041T41T2E只取基波分量一项)5cos(51)3cos(31)cos(2)(111twtwtwEtf解解：其傅里叶级数表达式为：其傅里叶级数表达式为：从上面例子看出：从上面例子看出：（1）n愈大，则愈逼近原信号愈大，则愈逼近原信号f(t)。(2) 当信号当信号f(t)是脉冲信号时，其高频分量主要影响脉冲的跳变沿；是脉冲信号时，其高频分量主要影响脉冲的跳变沿

25、；低频分量影响脉冲的顶部。低频分量影响脉冲的顶部。f(t)波形变化愈剧烈，所含的高频分量波形变化愈剧烈，所含的高频分量愈丰富；愈丰富；f(t)变化愈缓慢，所含的低频分量愈丰富。变化愈缓慢，所含的低频分量愈丰富。(3)当信号中任一频谱分量的幅度或相位发生相对变化时，输出波当信号中任一频谱分量的幅度或相位发生相对变化时，输出波形一般要发生失真。形一般要发生失真。t)(tf)cos(21twE041T41T2E取基波分量取基波分量和三次谐波和三次谐波分量分量)3cos(321twE取基波、三次谐取基波、三次谐波分量和五次谐波分量和五次谐波分量波分量t)(tf)cos(21twE041T41T2E12

26、cos()Ew t12cos(5)5Ew t当选取傅里叶有限级数的项数当选取傅里叶有限级数的项数N很大时，该峰起值趋于一个常很大时，该峰起值趋于一个常数，它大约等于总跳变值的数，它大约等于总跳变值的9%，并从不连续点开始以起伏振荡，并从不连续点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去。此现象称为吉布斯现象。的形式逐渐衰减下去。此现象称为吉布斯现象。v五、吉布斯（五、吉布斯（Gibbs）现象）现象105 .0t)(tf1n %99n3n v举例举例3.1：指数形式的傅里叶级数函数形式和将图示信号展开为三角f(t) -T -T/2 0 T/2 T t v解：解：0)(natf为奇函数02, 1220, 1

27、2)(tTtTTttTtf11)sin()(nntnbtf20111)sin()(4TndttntfTb201111)sin( 124TdttntTTbababavduuvudv分部积分法2011201111112)cos()cos(124TTndtTtntntTnTb1210111421cos()TtdntTnT , 2 , 1,2411nnTn20111111)sin(1214TntnnTTnb11)sin(2)(ntnntf11)90cos(12)(ntnntf常用形式次谐波分量的相位）（第次谐波分量的幅值）（第（直流分量）其中n90n200nnnnnabarctgnbcc112nnnF

28、Fbjjnntjnjeentf1)90(1)(ntnjen901112nnFn ，v举例举例3.2：求其平均功率画出信号的频谱图，并已知信号)45cos(21)3cos()4sin()3sin()sin(21)(ttttttf)435cos(21)24cos()3sin()3cos()2cos(21)(ttttttf解：)435cos(21)24cos()43cos(2)2cos(21)(tttttf常用形式;43,21;2, 1;4,2; 0, 0;2, 2; 155443322110cccccc即其幅度频谱图根据其常用展开式画出0nC234512其相位频谱图根据其常用展开式画出0n2345

29、443225. 22121212121252423222120ccccccP作业vP160v3-1，3-2，3-3，3-8第三节第三节典型周期信号的典型周期信号的傅里叶级数傅里叶级数v典型周期信号的傅里叶级数典型周期信号的傅里叶级数典型周期信号的频谱分析可利用：典型周期信号的频谱分析可利用：傅里叶级数傅里叶级数或傅里叶变换或傅里叶变换介绍的典型周期信号有如下：介绍的典型周期信号有如下：1、周期矩形脉冲信号、周期矩形脉冲信号2、周期锯齿脉冲信号、周期锯齿脉冲信号3、周期三角脉冲信号、周期三角脉冲信号4、周期半波余弦信号、周期半波余弦信号5、周期全波余弦信号、周期全波余弦信号(1)周期矩形脉冲信号

30、的频谱周期矩形脉冲信号的频谱)2(0)2()(ttEtf221.1. 三角形式的谱系数三角形式的谱系数0 nb, , 只只有有0a, ,na， 周期矩形脉冲信号的频谱周期矩形脉冲信号的频谱 一、频谱结构：一、频谱结构：f(t)是个偶函数是个偶函数 2.2. 指数形式的谱系数指数形式的谱系数 ntjnneFtf1)()(1 nF= = 221111)(1TTtjndtetfT22112211111 = tjntjnejnTEdtEeT 221111jnjneeTjnE2sin2111 nTnE22sin111 nnTE 211nSTEa3.3. 频谱特点频谱特点(1)(1) 包络线按包络线按)(

31、xSa形状变化形状变化x xSa1 2 30 抽样函数抽样函数xxxSasin)( ：0 x时，时，1sinxx211nSTEanF(2) (2) 频谱是离散的频谱是离散的 1 nF 是是1 n的的函函数数，只只在在1 的的整整数数倍倍有有值值（谐波性）（谐波性）(3) (3) 其最大值在其最大值在 n=0n=0 处，为处，为1TE (4)(4)第一个零点坐标第一个零点坐标使函数使函数0)( xSa，即，即2sin1 n=0=0 处，处，有有mnmn 2211m=1m=1 时对应第一个零点：时对应第一个零点： 21n(5)(5) )(1 nF是个复数，应有幅度与相位的含义是个复数，应有幅度与相

32、位的含义此例中此例中 nnjbanF 21)(1，其中，其中0 nb。 1 nF为为实实函函数数, , na可可正正可可负负, ,0 na，相相位位为为 0 00 na，相相位位为为 ，n 为为奇奇函函数数。n242422112T)(,1110TnSaTEFTEFn二二. .频谱随参数的变化频谱随参数的变化设设f(t)的脉冲高度的脉冲高度E E不变，脉冲宽度不变，当周期不变，脉冲宽度不变，当周期取不同的值时，具体看频谱如何变化。取不同的值时，具体看频谱如何变化。1.1. s201 ，sT411 ，112T 81 1 nF 55211nSEnSTEaa10)(1nF5E2谱谱线线在在1 整整数数

33、倍倍上上, , 01 n, , 8, , 16 n=0 n=0 时，幅值为时，幅值为5E 1 nF55nSEa 第第一一个个零零点点： 21n，即即 4021n，谱谱线线数数：5840401 n，即即第第5 5 次次谐谐波波为为0 0。 2.2. s201 ，sT211 , , 4211T 1 nF 1010211nSEnSTEaa1)(1nF10E0 41，频频线线在在01 n, , 4, , 8处处n=0n=0 时时, ,最大幅值为最大幅值为10E )400(105,105,21411内内谱谱线线数数幅幅值值 EEssT 1 nF1010nSEa 第一个零点：第一个零点： 402， 不变第

34、一个零点位置不变不变第一个零点位置不变但但 400内谱线数：内谱线数：10440 ，第，第 1010 次谐波为次谐波为 0 03 3. . s201 , ,sT1 , , 2211T 20201nSEnFa1)(1nF020E 21, ,频频谱谱线线在在01 n, , 2, , 4, ,处处第一个零点位置：第一个零点位置： 402 不变不变 , ,但但 400内，谱线数内，谱线数20240 第第 2020 次谐波为次谐波为 0 04.4. 总结总结10)(1nF5E21)(1nF10E01)(1nF020E可以看出：可以看出：周期矩形的频谱变化规律：v若T不变，在改变的情况v若不变，在改变T时

35、的情况 频谱分析表明v离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期越大，谱线越密。周期越大，谱线越密。v各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比，与周期成反比。正比，与周期成反比。v各谱线的幅度按各谱线的幅度按 包络线变化。过包络线变化。过零点为零点为v主要能量在第一过零点内。带宽主要能量在第一过零点内。带宽)(1TnSam22Bl 矩形脉冲的频谱再一次说明了周期信号频谱的特点：矩形脉冲的频谱再一次说明了周期信号频谱的特点：离散性，谐波性，收敛性离散性，谐波性，收敛性三三. .频带宽度频带宽度1.1. 问题提出问题提出由周期矩形脉冲信

36、号的频谱可以看出：由周期矩形脉冲信号的频谱可以看出：振幅相对减小。振幅相对减小。能量主要集中在第一个零点以内。能量主要集中在第一个零点以内。信号一般主要集中在低频段。信号一般主要集中在低频段。功率功率 21212121432 FFFF20.181E而总功率：而总功率：二者比值二者比值5 .905 ppn第一个零点集中了信号绝大部分能量（平均功率）。第一个零点集中了信号绝大部分能量（平均功率）。由频谱的收敛性可知，信号的功率集中在低频段。由频谱的收敛性可知，信号的功率集中在低频段。2.2. 定义：定义：在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围的在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围的信

37、号来表示，此频率范围称为信号来表示，此频率范围称为频带宽度频带宽度。为为频带宽度频带宽度。3.3. 系统的通频带系统的通频带 信号的带宽，才能不失真信号的带宽，才能不失真例：例：语音信号语音信号 频率大约为频率大约为 3003400Hz，音乐信号音乐信号5015,000Hz，扩大器与扬声器扩大器与扬声器 有效带宽约为有效带宽约为 1520,000Hz。(2)(2)周期锯齿脉冲信号的傅里叶级数求解周期锯齿脉冲信号的傅里叶级数求解周期锯齿脉冲信号，是周期锯齿脉冲信号，是奇奇函数。函数。t)(tf2E021T21T2E解：解：它是奇函数它是奇函数0na可求出傅里叶级数的系数可求出傅里叶级数的系数bn

38、,留给同学们做。留给同学们做。111111)sin(1) 1()3sin(31)2sin(21)sin()(nntnwnEtwtwtwEtf其傅里叶级数表达式为：其傅里叶级数表达式为：此信号的频谱只包含此信号的频谱只包含正弦分量正弦分量，谐波的幅度以，谐波的幅度以1/n的的规律收敛规律收敛。(3)(3)周期三角脉冲信号的傅里叶级数求解周期三角脉冲信号的傅里叶级数求解周期三角脉冲信号，是周期三角脉冲信号，是偶偶函数。函数。解：解：它是偶函数它是偶函数0nb可求出傅里叶级数的系数可求出傅里叶级数的系数a0,an,留给同学们做。留给同学们做。此信号的频谱此信号的频谱只包含直流、基波及奇次谐波分量只包

39、含直流、基波及奇次谐波分量，谐波的幅度，谐波的幅度以以1/n2的的规律收敛规律收敛。t)(tfE021T21T112221112)cos()2(sin142)5cos(251)3cos(91)cos(42)(ntnwnnEEtwtwtwEEtf其傅里叶级数表达式为：其傅里叶级数表达式为：(4)(4)周期半波余弦信号的傅里叶级数求解周期半波余弦信号的傅里叶级数求解周期半波余弦信号，是周期半波余弦信号，是偶偶函数。函数。解：解：它是偶函数它是偶函数0nb可求出傅里叶级数的系数可求出傅里叶级数的系数a0,an,留给同学们做。留给同学们做。此信号的频谱此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐波分量只包含直

40、流、基波及偶次谐波分量，谐波的幅度，谐波的幅度以以1/n2的的规律收敛规律收敛。111121112)cos()2cos() 1(12)4cos(154)2cos(34)cos(2)(TwtnwnnEEtwtwtwEEtfn其傅里叶级数表达式为：其傅里叶级数表达式为：t)(tfE021T21T1T1T(5)(5)周期全波余弦信号的傅里叶级数求解周期全波余弦信号的傅里叶级数求解周期全波余弦信号，是周期全波余弦信号，是偶偶函数。函数。解：令余弦信号为解：令余弦信号为00012)cos()(TwtwEtf此信号的频谱此信号的频谱只包含直流及偶次谐波分量只包含直流及偶次谐波分量，谐波的幅度以，谐波的幅度

41、以1/n2的的规律收敛规律收敛。1021111)2cos(141) 1(42)6cos(351)4cos(151)2cos(3142)(nntnwnEEtwtwtwEEtf其傅里叶级数表达式为：其傅里叶级数表达式为：t)(tfE021T21T1T1T则，全波余弦信号为：则，全波余弦信号为：)cos()()(01twEtftf作业vP160v3-4，3-6，3-7，v3-10，3-11(a)，3-12，第四节第四节傅里叶变换傅里叶变换频谱演变的定性观察频谱演变的定性观察)(1nF11)(nF)(1nF22112T1一、傅里叶变换（非周期信号）1.1.傅里叶变换引入傅里叶变换引入 10101111

42、111f(t),0,( ),1(T()()0ntTtjtjtnnnF nFF ndf tfntdtTee 设为任意非周期信号（周期）则其指数展开式由于周期信号的周期由于周期信号的周期T1，谱线的间隔，谱线的间隔w10，则，则离散谱变成连续谱离散谱变成连续谱。 由于由于周期信号的周期周期信号的周期T1，谱线的长度，谱线的长度F(nw1)趋于零，则其趋于零，则其频谱失频谱失去应有的意义。去应有的意义。 但从物理意义上讲，既然是一个信号，那么必然有能量，无论如何分但从物理意义上讲，既然是一个信号，那么必然有能量，无论如何分解，必须存在频谱分布。解，必须存在频谱分布。2.2.频谱密度的概念频谱密度的概

43、念 1101T1112limlim T()(defFFFnn：定义信号的频谱值频谱密度函数单位频带 对非周期信号不能采用周期信号的频谱对非周期信号不能采用周期信号的频谱定义方式。而必须引入一个新的量。定义方式。而必须引入一个新的量。频谱密度函数：在频谱密度函数：在T1，谱线的间隔，谱线的间隔w10时时 ,不趋于零，而趋近于有限值，且变成一个连续函不趋于零，而趋近于有限值，且变成一个连续函数，简称为频谱函数。数，简称为频谱函数。( )( )j tf tf tFdte 定义：傅里叶正变换F1( )( )12( )j tdf tFFe 定义：傅里叶逆变换F( )fdtt 傅里叶变换存在的充分条件：3

44、.3.傅里叶变换定义傅里叶变换定义wnw1dwnw12)()(11wFwnwF1nw由：得：)()(wFtfFT)()(tfwFIFT见上一页频谱密度见上一页频谱密度函数的定义函数的定义4.4.非周期信号的幅度频谱与相位频谱非周期信号的幅度频谱与相位频谱)()()(wjewFwF频谱函数频谱函数F(w)：一般是复函数：一般是复函数。)( wF：是：是F(w)的模，它代表信号中各频率分量的的模，它代表信号中各频率分量的相对相对大小。大小。)(w：是是F(w)的相位函数，它代表信号中各频率分量的的相位函数，它代表信号中各频率分量的相位关系相位关系。人们习惯上也把：人们习惯上也把：() Fww：为非

45、周期信号的幅度频谱；：为非周期信号的幅度频谱；() ww：为非周期信号的相位频谱。：为非周期信号的相位频谱。()( )( )( ) cossi( )( )njFFFje 指数转三角形式：cos()()(1( )()2122n)()sij tf ttFedtdjdFF5.5.傅里叶变换形式的三角形式傅里叶变换形式的三角形式( ) t连续性收敛性具有、（除）() () F 双边频谱图：密度幅度谱，相位谱6.6.傅里叶变换的特点傅里叶变换的特点非周期信号和周期信号一样，可以分解成许多不同频率的非周期信号和周期信号一样，可以分解成许多不同频率的正、余弦分量。正、余弦分量。由于非周期信号的周期趋于无限大

46、，基波趋于无限小，于由于非周期信号的周期趋于无限大，基波趋于无限小，于是它是它包含了从零到无限高的所有频率分量包含了从零到无限高的所有频率分量。由于周期趋于无限大，因此，对任一能量有限（功率无限）由于周期趋于无限大，因此，对任一能量有限（功率无限）的信号（如单脉冲信号），在各频率点的分量幅度趋于零。的信号（如单脉冲信号），在各频率点的分量幅度趋于零。非周期信号的频谱用非周期信号的频谱用频谱密度频谱密度来表示。来表示。看出：看出：周期信号其频谱为离散谱；（傅里叶级数）周期信号其频谱为离散谱；（傅里叶级数）非周期信号其频谱为连续谱；（傅里叶变换）非周期信号其频谱为连续谱；（傅里叶变换）周期信号与非

47、周期信号，傅里叶级数与傅里叶变换，离散周期信号与非周期信号，傅里叶级数与傅里叶变换，离散谱与连续谱，在一定条件下可以互相转化并统一起来。谱与连续谱，在一定条件下可以互相转化并统一起来。7.7.傅里叶变换的存在充分条件傅里叶变换的存在充分条件 傅里叶变换存在的充分条件是在无限傅里叶变换存在的充分条件是在无限内满足绝对可积条件：内满足绝对可积条件：dttf)( 借助奇异函数（如冲激函数）的概念，可使借助奇异函数（如冲激函数）的概念，可使许多许多不满足绝对可积条件的信号不满足绝对可积条件的信号，如周期信号、，如周期信号、阶跃信号、符号函数等阶跃信号、符号函数等存在傅里叶变换存在傅里叶变换。第五节第五

48、节典型非周期信号典型非周期信号的傅里叶变换的傅里叶变换典型非周期信号的傅里叶变换典型非周期信号的傅里叶变换 本节主要介绍以下几种典型的非周期信号的频谱。本节主要介绍以下几种典型的非周期信号的频谱。1、单边指数信号、单边指数信号2、双边指数信号、双边指数信号3、奇双边指数信号、奇双边指数信号4、矩形脉冲信号、矩形脉冲信号5、钟形脉冲信号、钟形脉冲信号6、符号函数、符号函数7、升余弦脉冲信号、升余弦脉冲信号一、单边指数信号的傅里叶变换一、单边指数信号的傅里叶变换 (1)( )(0)( )atu tf tae：单边指数（复函数）22()1()1),aFarctFaajg 其傅里叶变换为：其傅里叶变换

49、为：代入傅里叶变换定义公式中代入傅里叶变换定义公式中0()()00( )( )(0)11()jwtatjwtajw tajw tF wf t edtaeedtedteajwajw v解：解：单边指数信号的频谱如下：单边指数信号的频谱如下：0()0()( )(0)1()1jwtatjwtajw tF wf t edtaeedteajwajw 02w)()(awarctgw2( )(0()atufttae01t时域波形时域波形频域频谱频域频谱221( )Fa0a1wa21a3(2)( )(0)a tf tae偶双边：指数（正实函数）二、双边指数信号的傅里叶变换二、双边指数信号的傅里叶变换 2222

50、22( )( ),0(aFaaaF 其傅里叶变换为：其傅里叶变换为：F(w)为为正正实函数，所以相位为实函数，所以相位为0代入傅里叶变换定义公式中代入傅里叶变换定义公式中220)(0)(00211)(1)(1)0()()(waajwajwaejwaejwadteedteedteeadtetfwFtjwatjwajwtatjwtatjwttajwt解：解：双边指数信号的频谱如下：双边指数信号的频谱如下：频域频谱频域频谱( )(0)a tf tae01t时域波形时域波形222( )aFa0a2wa1a3相位等相位等0(3)( )(0),0,0f tatatattee ：奇双边指数2222()()2

51、(),022,02jaaFF（纯虚函数）三、奇双边指数信号的傅里叶变换三、奇双边指数信号的傅里叶变换 频域频谱频域频谱01t时域波形时域波形( )(0)00ataf tatetet，0a1wa222( )aFa02w0202)(www222(4)( )ftttE uu矩形脉冲：2( ),0,( )0,( )0)2( )E SaFFFE SaF（实函数）的门函数（脉宽为)(tg四、矩形脉冲信号的傅里叶变换四、矩形脉冲信号的傅里叶变换 F22j tEedt22 tjejEjeeEjj2.222 22sin E 2 SaE 2 SaEF 幅度频谱：幅度频谱：相位频谱：相位频谱： , 2 , 1 ,

52、022212212240 nnnnn 奇函数奇函数22( )E u tu tf t0tw()2SFEa0E22. 0EE13. 0( )2SFE a0w22112,2fBwfw时域有限时域有限的矩形脉冲信号，在的矩形脉冲信号，在频域频域上是上是无限分布无限分布。通常，认为信号占有频率范。通常，认为信号占有频率范围（频带）为围（频带）为2(5)( )ttEfe：钟形脉冲五、钟形脉冲信号的傅里叶变换五、钟形脉冲信号的傅里叶变换（高斯脉冲）（高斯脉冲） 2222( )( ),0EFFEee （正实函数）其傅里叶变换为：其傅里叶变换为：2( )tf tEe0tEeE22( )FEe w0E2eE因为钟

53、形脉冲信号是一因为钟形脉冲信号是一正正实函数，所以其实函数，所以其相位相位频为零。频为零。10(6)0sgn( )0010,0lim,0ttattttaateet，：符号函数，（纯虚函数）六、符号函数的傅里叶变换六、符号函数的傅里叶变换 (2(),02,02)()2FFj 其傅里叶变换为： 1,0( )sgn1,0tf ttt不满足绝对可积条件不满足绝对可积条件te te 处理方法：处理方法： 1F00tjttjteedteedt22112jjj 1220022limlimjFFj 2sgn tj 2F 12/2,0/2,00tg 2j 22je偶函数偶函数奇函数奇函数0w)(w22sgn(

54、) t0t110w)(wF0w)(w22 这种信号不满足绝对可积条这种信号不满足绝对可积条件，但它却存在傅里叶变换。件，但它却存在傅里叶变换。采用符号函数与双边指数衰减函采用符号函数与双边指数衰减函数相乘，求出奇双边指数的频谱，数相乘，求出奇双边指数的频谱，再取极限，从而求得符号函数的再取极限，从而求得符号函数的频谱。频谱。( )2F,02,02( ) （纯虚函数）七、升余弦脉冲信号的傅里叶变换七、升余弦脉冲信号的傅里叶变换 升余弦脉冲信号：升余弦脉冲信号：)0()cos(12)(ttEtf其傅里叶变换为：其傅里叶变换为：221)(1)sin()(wwSaEwwwEwF)cos(12)(tEt

55、f0tE2E222)(wFw02EE34 它的频谱是由三项构它的频谱是由三项构成的，他们都是矩形脉成的，他们都是矩形脉冲的频谱，只是有两项冲的频谱，只是有两项沿频率轴左、右平移了沿频率轴左、右平移了w代入傅里叶变换定义公式中代入傅里叶变换定义公式中)(2)(2)(442)cos(12)()(000wSaEwSaEwSaEdteeEdteeEdteEdtetEdtetfwFjwttjjwttjjwtjwtjwt解：解：221)(1)sin()(wwSaEwwwEwF化简得：作业vP164v3-15，3-16，3-17，3-18，3-19，3-20，3-21，3-22，3-23，3-24，3-25

56、，3-26，3-27，3-28，3-29，第六节第六节冲激函数和阶跃函冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换数的傅里叶变换（1）冲激函数的傅里叶正变换冲激函数的傅里叶正变换 f(t)= t(1(), 1)(0)FF（正实函数）一、冲激函数的傅里叶变换一、冲激函数的傅里叶变换 单位冲激函数的单位冲激函数的频谱等于常数频谱等于常数，即：在，即：在整个频率整个频率范范围内频谱是围内频谱是均匀分布均匀分布的。的。 在时域中变化异常剧烈的冲激函数包含幅度相等的在时域中变化异常剧烈的冲激函数包含幅度相等的所有频率分量。所有频率分量。 称此频谱为称此频谱为“均匀谱均匀谱”或或“白色谱白色谱”。0)(t) 1 (tw

57、01)(wF其傅里叶变换为：其傅里叶变换为：（2）冲激函数的傅里叶反变换）冲激函数的傅里叶反变换 其傅里叶变换为：其傅里叶变换为：直流信号直流信号 f(t)=Ef(t)=E (2)(,)20EFEF （正实函数）)()(wwF求求f(t)f(t)冲激函数的频谱等于常数。冲激函数的频谱等于常数。反过来，反过来，直流信号的频谱是冲激函数直流信号的频谱是冲激函数。w01)(w)(tf021t求解直流信号的傅里叶变换求解直流信号的傅里叶变换解：采用宽度为解：采用宽度为 的矩形脉冲的矩形脉冲 的极限而求得。22( )E u tu tf t0t( )2SFEa0w22w0)2(E)(w)(tf0Et当当

58、时，矩形脉冲成为直流信号时，矩形脉冲成为直流信号f(t)=E,其傅氏变换为：其傅氏变换为：若令)2(limwSaEwF)(limkwSakk而2k比较上两式可得到：)(2wEwF当E=1时，)(2wwF)(211)(wtFTFT二、冲激偶信号的傅里叶变换二、冲激偶信号的傅里叶变换 冲激偶函数冲激偶函数：)(tf)( t)( )(ttf01t1w0)(wFw0)(w22(,0( ),2,( )0)2FjF （纯虚函数）其傅里叶变换为：其傅里叶变换为：推导：推导：解：解： dwetIFTjwt21)(:两边求导：dwejwdttdjwt)(21)(得：jwdttdFT)(nFTnnjwdttd)(

59、)(推广：推广： nnnFTndwwdjt)()(2 222( ),10,0,02,021( )( )FjF （复函数）三、阶跃信号的傅里叶变换三、阶跃信号的傅里叶变换 阶跃函数：阶跃函数：阶跃函数阶跃函数u(t)不满足绝不满足绝对可积条件，但它仍对可积条件，但它仍存在傅里叶变换。存在傅里叶变换。2121)(tu)sgn(t ttusgn2121 21 jt1sgn21如可用如下方法计算如可用如下方法计算0t1 tu0t210t2121 tsgn210 0 0 F jtu1)( )()f tu t01t 222( )1F w0可见：可见：单位阶跃函数单位阶跃函数u(t)的频谱的频谱在在w=0点

60、点存在存在一个一个冲激函数，冲激函数，即：即：u(t)含有直流分量含有直流分量。此外：由于此外：由于u(t)不是纯直流信号不是纯直流信号，它在，它在t=0点有跳变，点有跳变，因此在频谱中还因此在频谱中还存在其他频率分量存在其他频率分量。第七节第七节傅里叶变换傅里叶变换的基本性质的基本性质v傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质傅里叶变换建立了时间函数傅里叶变换建立了时间函数f(t)与频谱函数与频谱函数F(w)之间的对之间的对应关系。其中，一个函数确定之后，另一函数随之被唯应关系。其中，一个函数确定之后，另一函数随之被唯一地确定。一地确定。1、对称性、对称性 2、线性（叠加性）、线性（叠加性）3、奇偶