第三章拉氏变换

1、1 第三章第三章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 3.1 3.1 引言引言 3.2 3.2 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 3.3 3.3 拉普拉斯变换的收敛域拉普拉斯变换的收敛域 3.4 3.4 常用函数的拉普拉斯变换常用函数的拉普拉斯变换 3.5 3.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 3.6 3.6 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质 小小 结结2 3.1 3.1 引言引言 傅立叶分析工具在研究信号和线性时不变系傅立叶分析工具在研究信号和线性时不变系统的很多问题时，是极为有用的。但傅立叶变统的很多问题时，是极为有用的。但傅立叶变换有不足之处。换有不足之处。1 1、要求信号、要求信号f(t)绝

2、对可积。而有些常用信绝对可积。而有些常用信号不满足该条件。号不满足该条件。2、有些重要函数如、有些重要函数如eat (a0) 的傅立叶变换的傅立叶变换不存在，无法用傅立叶分析方法处理。不存在，无法用傅立叶分析方法处理。而拉氏变换作为傅氏变换的推广，解决了上述不足。而拉氏变换作为傅氏变换的推广，解决了上述不足。3拉氏变换与傅氏变换的关系：拉氏变换与傅氏变换的关系：1、傅立叶变换是将时间函数、傅立叶变换是将时间函数f(t)分解为无穷分解为无穷多项多项虚指数信号虚指数信号ej t之和。之和。 deFtftj)(21)(2、拉普拉斯变换是将时间函数、拉普拉斯变换是将时间函数f(t)分解为无穷多项分解为

3、无穷多项复复指数信号指数信号est之和。其中之和。其中s= +j s称为复频率称为复频率 dsesFjtfts)(21)( 3、拉普拉斯变换是傅立叶变换的推广、拉普拉斯变换是傅立叶变换的推广 3.1 3.1 引言引言返回返回4 3.2 3.2 拉普拉斯变换拉普拉斯变换一、从傅立叶变换到拉普拉斯变换一、从傅立叶变换到拉普拉斯变换1 1、傅立叶变换定义、傅立叶变换定义当函数当函数f(t)满足狄里赫利条件时满足狄里赫利条件时 deFtftj)(21)( dtetfFtj )()(52 2、当函数不满足绝对可积条件时、当函数不满足绝对可积条件时0)(lim ttetf tetf )(F F)( bF

4、dteetftjt )( dtetftj)()( )1()()( dtetfsFstb一、从傅立叶变换到拉普拉斯变换一、从傅立叶变换到拉普拉斯变换te称为收敛因子称为收敛因子其中其中dtetfst)(令令s= +j 因为上式中因为上式中t为积分变量为积分变量,故积分结果必为故积分结果必为s的函数的函数将将f(t)乘以乘以衰减因子衰减因子e- t ( 为为 一实常数一实常数 ) ，恰当地选取，恰当地选取 的值的值 就有可以使就有可以使f(t)e- t 变得变得绝对可积绝对可积，即，即6令令s= +j ，,因因 为常数，所以为常数，所以d = 1/j ds，且当，且当时，时，s j 进行积分换元进

5、行积分换元用傅立叶反变换的定义方法求拉氏反变换用傅立叶反变换的定义方法求拉氏反变换 desFetftjbt)(21)( deesFtftjtb)(21)(两边同乘两边同乘e t)2()(21)( jjtsbdsesFjtf (1)式和式和(2)式为双边拉普拉斯变换对式为双边拉普拉斯变换对一、从傅立叶变换到拉普拉斯变换一、从傅立叶变换到拉普拉斯变换7二、拉普拉斯变换定义二、拉普拉斯变换定义1 1、双边拉普拉斯变换、双边拉普拉斯变换)2()(21)( jjtsbdsesFjtf )1()()( dtetfsFstbs称复频率，称复频率，Fb(s)称信号的复频谱称信号的复频谱82 2、单边拉普拉斯变

6、换、单边拉普拉斯变换f(t)为有始函数，即为有始函数，即t0,幅度发散幅度发散 0的任何值，都有的任何值，都有0)(lim ttetu 所以其收敛域为所以其收敛域为s平面的右半面平面的右半面3. 线性增长信号线性增长信号 tn0lim tntet 对于对于 0的任何值，都有的任何值，都有所以其收敛域为所以其收敛域为s平面的右半面平面的右半面 3.3 3.3 拉普拉斯变换的收敛域拉普拉斯变换的收敛域134. 指数函数指数函数0lim ttatee 3.3 3.3 拉普拉斯变换的收敛域拉普拉斯变换的收敛域返回返回te只有当只有当 时，才有时，才有所以其收敛域为所以其收敛域为s平面上平面上 的部分的

7、部分.14 3.4 3.4 常用函数的拉普拉斯变换常用函数的拉普拉斯变换设设f(t)为有始函数，只讨论单边拉氏变换为有始函数，只讨论单边拉氏变换1、单位阶跃信号、单位阶跃信号u(t)L L )(tu 0dtest|0sests1 即即stu1)(L L ate 0dteestatas 1即即L L ateas 12、指数函数、指数函数te153、 tn n为正整数为正整数 L L nt 0dtetstn 010|dtntseestnststn 01dtetsnstnL L nt1! nsn即即 stRLtL21)( 特特殊殊： 3.4 3.4 常用函数的拉普拉斯变换常用函数的拉普拉斯变换 1

8、ntLsn stL10 0.21tLsnsnsntLn 164、正弦函数、正弦函数)(21sintjtjeejt t sinL L则则 )(21tjtjeej LL)11(21 jsjsj 22 s 3.4 3.4 常用函数的拉普拉斯变换常用函数的拉普拉斯变换17即即 22sin stL L同理同理 22cos sstL L 3.4 3.4 常用函数的拉普拉斯变换常用函数的拉普拉斯变换185、冲激函数、冲激函数 (t) 1)()(0 dtettst L L 1)( t L L即即同理同理 0)(0stett L L 3.4 3.4 常用函数的拉普拉斯变换常用函数的拉普拉斯变换返回返回19 3.

9、5 3.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 利用拉氏变换进行系统分析时，常常需要从象函利用拉氏变换进行系统分析时，常常需要从象函数数F(s)求出原函数求出原函数f(t)。 一、部分分式法一、部分分式法01110111)()()(asasasabsbsbsbsDsNsFnnnnmmmm 其中，其中，ai ,bj均为实数，均为实数，m，n为正整数为正整数 部分分式法的实质部分分式法的实质：将：将F(s)展开为简单分式之和，展开为简单分式之和，再逐项求出其拉氏反变换。再逐项求出其拉氏反变换。20一、当一、当m m n n时时 设设N(s)比比D(s)高高r阶阶 将将F(s)化为化为s的多项式与真分式之

10、和的多项式与真分式之和 )()()(2210sBsAsgsgsggsFrr 则其拉氏反变换为：则其拉氏反变换为： )()()()()()(1)(10sBsAtgtgtgtfrrL 一、部分分式法一、部分分式法21二、二、F(s)F(s)为真分式的情况为真分式的情况1、D(s)=0 的根为单实根的根为单实根)()()()()()(21nnpspspsasNsDsNsF 将上式展开为将上式展开为 n个简单分式之和，即个简单分式之和，即 )()()()(1)(2211nniinpskpskpskpskasF niiinpska1)(1其中，其中，ki为待为待定系数定系数 一、部分分式法一、部分分式法

11、22 为了确定为了确定ki，在方程两端同时乘以因子，在方程两端同时乘以因子(s-pi) ，再令再令s=pi ，则，则ipsinisDsNpsak )()()(或用另一办法或用另一办法(由罗比塔法则由罗比塔法则)ipsnisDsNak )()( 一、部分分式法一、部分分式法23 确定了确定了ki 之后，求出各简单分式对应的之后，求出各简单分式对应的时间函数，迭加后即为时间函数，迭加后即为f(t)nitpinniiintuekapskatfi111)(11)(L 一、部分分式法一、部分分式法24例：已知例：已知231)(2 sssF求求f(t)解：解：)2)(1(23)(2 sssssD有两个互异

12、实根有两个互异实根将将F(s)展开为部分分式：展开为部分分式：21)(21 sksksF 一、部分分式法一、部分分式法2521)(21 sksksF1) 2)(1(1) 1()() 1(|111 ssssssFsk1) 2)(1(1) 2()() 2(|222 ssssssFsk2111)( sssF即即 一、部分分式法一、部分分式法所以：所以： )()(2tueetftt 26、D(s)=0 的根为重实根的情况的根为重实根的情况设设p1为为r重实根重实根)()()()()()(1)(11111211211) 1( 111nnrrrrrrnpskpskpskpskpskpskasF 式中：含有

13、单极点因子的部分分式系数求法与前述同式中：含有单极点因子的部分分式系数求法与前述同 一、部分分式法一、部分分式法271)()()(11psrnrsDsNpsak 1)()()(1)1(1psrnrsDsNpsdsdak 1)()()()!(1)()(1psririrnisDsNpsdsdirak 含有重极点因子的部分分式系数求法如下：含有重极点因子的部分分式系数求法如下： 一、部分分式法一、部分分式法28 nritpintprrrrniekaektktrktrkatf111122) 1( 1111)!2()!1(1)(1 一、部分分式法一、部分分式法29、D(s)=0 的根为共轭复根的情况的根

14、为共轭复根的情况因为因为D(s)的系数均为实数，所以有复的系数均为实数，所以有复根出现时，必为成对的共轭复根。根出现时，必为成对的共轭复根。 一、部分分式法一、部分分式法设设)( js 则则)()()()(1sDjsjssNsF 30)()()()(1sDjsjssNsF （）用上面所讲方法进行部分分式展开（）用上面所讲方法进行部分分式展开这种方法要进行复数运算，比较麻烦这种方法要进行复数运算，比较麻烦（）配方法（）配方法)()()()(122sDsMsbassF 一、部分分式法一、部分分式法31已知正弦函数已知正弦函数 22)()(sin stutetL L 22)()(cos sstute

15、tL L余弦：余弦：所以，可以把含有共轭复根的部分分式用配方所以，可以把含有共轭复根的部分分式用配方法写成如下形式：法写成如下形式：22)( s或或22)( ss 一、部分分式法一、部分分式法32例：例：52)(2ssssFjs21 极点为极点为222) 1(11)(sssF22222) 1(2212) 1(1sss)(2sin21)(2cos)(tutetutetftt 一、部分分式法一、部分分式法返回返回33 3.6 3.6 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质1、线性性质、线性性质若若 , )()(11sFtf L L )()(22sFtf L L则则 )()()()(22112

16、211sFasFatfatfa L L2、时间平移、时间平移若若 )()(sFtf L L则则 0)()()(00stesFttuttf L L34证明：证明： 00000)()()()(dtettuttfttuttfstL L 0)(0tstdtettf令令0tt 则则0ttdtd 0000)()()( deefttuttfstsL L)(0sFest 返回返回35例：周期函数例：周期函数f(t)，周期为，周期为T，若，若f1(t)表示从表示从t=0开始开始 的第一个周期的波形，且的第一个周期的波形，且f1(t)的拉氏变换为的拉氏变换为F1(s)， 求求f (t)的拉氏变换的拉氏变换解：解：

17、 )2()2()()()()(111TtuTtfTtuTtftftf且且 ,)()(11sFtf L L sTsTesFesFsFtf2111)()()()(L L)1)(21 sTsTeesFsTesF 11)(1 3.6 3.6 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质363、s域域平移平移若若 )()(sFtf L L则则 )()(00ssFetfts L L4、尺度变换、尺度变换若若 )()(sFtf L L则则 0)(1)( aasFaatfL L 3.6 3.6 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质375、时域微分、时域微分若若 )()(sFtf L L则则)0()()

18、( fssFdttdfL L)0()0()()(222 fsfsFsdttfdL L)0()0()0()()()1(21 nnnnnnffsfssFsdttfdL L 3.6 3.6 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质38 当当f(t)为有始函数时，为有始函数时，f(0-), f(0-), f(n-1)(0-)均均为为0，此时，此时)()(sFsdttfdnnn L L 3.6 3.6 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质396、时域积分、时域积分若若 )()(sFtf L L则则ssFdft)()(0 L LsdfssFdft 0)()()( L L 3.6 3.6 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质40 000)()(dtedfdfsttt L L证明：证明：分部积分：分部积分： 000)()(|dttfse