第2章力系的平衡

1、2022-5-141第第2 2章章 力系的平衡力系的平衡静力学静力学 核心内容核心内容 力系简化结果力系简化结果平衡条件（几何、解析）一般平衡条件（几何、解析）一般特殊特殊 各类平衡问题求解各类平衡问题求解 2022-5-142一、一般一、一般力系平衡条件与平衡方程力系平衡条件与平衡方程 2.1 2.1 一般力系的平衡原理一般力系的平衡原理 0000Rii,()FFMMF力系平衡且 称为一般力系平衡的几何条件称为一般力系平衡的几何条件 1. 1.一般力系的平衡条件一般力系的平衡条件几何上几何上, , 力矢多边形和力偶矩矢多边形同时封闭力矢多边形和力偶矩矢多边形同时封闭2022-5-143 思考

2、：思考：1 1）图示受力圆板平衡吗？）图示受力圆板平衡吗？DCBAFDCBA2 2）图示力系沿正方体棱边，）图示力系沿正方体棱边， 大小相等，平衡吗？若不平大小相等，平衡吗？若不平衡，试加一力使之平衡。衡，试加一力使之平衡。 FFFFFF2022-5-144 2.2.一般力系的平衡方程一般力系的平衡方程1) 1)基本形式基本形式2)2)其它形式其它形式 4 4矩式矩式 、 5 5矩式、矩式、6 6矩式及其补充条件矩式及其补充条件. . 000 xyzFFF000 xyzMMM由由 向直坐标轴投影向直坐标轴投影, ,得得00 0ii()FM F2022-5-145空间汇交力系的平衡方程空间汇交力

3、系的平衡方程, , 取汇交于取汇交于OO点点空间平行力系的平衡方程空间平行力系的平衡方程, , 让各力线平行于让各力线平行于z z轴轴000 xyzMMF000 xyzFFF空间力偶系空间力偶系0,0,0 xyzMMM1. 1. 空间特殊力系的平衡方程空间特殊力系的平衡方程2022-5-146平面一般力系的平衡方程平面一般力系的平衡方程 ( (置各力线于置各力线于xoy平面，则平面，则) )000ABCMMM三矩式三矩式( (A,B,C不共线）不共线）000 xABFMF二矩式二矩式(ABx)0 0 0 xyzFFM基本式基本式2. 2. 平面力系的平衡方程平面力系的平衡方程2022-5-14

4、7平面汇交力系平面汇交力系,取汇交点为坐标原点取汇交点为坐标原点0,0 xyFF平面平行力系平面平行力系,取取y轴平行于各力轴平行于各力0 ,0yzFM平面力偶系平面力偶系0iM2022-5-148（1 1）力系平衡时，对任意轴）力系平衡时，对任意轴x，有，有 （2 2）各类力系独立平衡方程数）各类力系独立平衡方程数 一般 平行 汇交 力偶 空间 6 3 3 3 可用于判断问题是否可解可用于判断问题是否可解3. 3. 平衡方程要点平衡方程要点=0 0 xxFM 一般 平行 汇交 力偶 空间 6 3 3 3 平面 3 2 2 1 2022-5-149思考：思考：下列问题是否可解？下列问题是否可解

5、？三杆平行三杆平行F 三杆汇交三杆汇交FM两杆平行两杆平行M4 4杆汇交杆汇交G4 4杆平行杆平行F2022-5-1410例例1 1 三根直杆三根直杆AD，BD，CD在点在点D处互相联结构成支架，处互相联结构成支架， ABC组成等边三角形，各杆和缆绳与地面的夹角均为组成等边三角形，各杆和缆绳与地面的夹角均为60o，W=500kN的载荷。求平衡时各杆的轴向压力。的载荷。求平衡时各杆的轴向压力。1 1、汇交力系、汇交力系 2022-5-1411研究对象：三根直杆研究对象：三根直杆+ +重物重物+ +缆绳缆绳受力分析：汇交力系受力分析：汇交力系,WFFFFPCBA500kNPFWkWkjFkjFkj

6、iFkjiFWFFFFPPCCBBAAoooooooooooooo60sin60cos60sin60cos60sin60cos60cos60sin60cos60sin60cos60cos60sin60cosoo0:00:cos6000:sin600 xBAyBACPzABCPFFFFFFFFFFFFFWkN 69kN 569CBAFFF2022-5-1412 例例2 2 起重机的稳定性问题起重机的稳定性问题, ,求求Gomin, xmax(p57例例2-2).2 2、平行力系、平行力系 2022-5-14131212,MMFdMM解：解： 由封闭的力偶矩三角形由封闭的力偶矩三角形,得得2ABM

7、Fd故2ABABMFdFFll3、力偶系、力偶系例例3 已知已知:盘径均为盘径均为d，AB=l，各力大小相同均为本，各力大小相同均为本F. 试确定轴试确定轴承承A，B的约束力的约束力(P60例例2-5)。位于垂直于位于垂直于MAB的平面内的平面内,即与即与x,或或y轴夹角为轴夹角为450,与与xy面垂直的平面内面垂直的平面内,指向由右手法则定指向由右手法则定.2022-5-1414解：解： 折杆的受折杆的受力如图力如图b。 例例4 4：试求图示折杆的固定端处约束力。试求图示折杆的固定端处约束力。 1m2m1m2m1KN1KN3KN2KN1KN1KN3KN2KNxMNxFQyFxMyMQzFzM

8、01 22 14kN m01 23 28kN m01 22 26kN mxyyzzM,MM,MM,M T2 5kNQF剪力01kN02kN01 3 4kNxNyQyzQzFFFFFF 由由4、一般力系、一般力系228610kN mM弯矩2022-5-1415思考：如何求各段内力函数？思考：如何求各段内力函数？ 分三段，三个坐标分三段，三个坐标 如：将如：将D处处2m，改为，改为x，则，则CD段段扭矩为常数，弯矩为线性函数扭矩为常数，弯矩为线性函数 1m2mDA1m2m1KN1KN3KN2KN2022-5-1416已知已知 q、l 试求图示简支梁，横截面内试求图示简支梁，横截面内力随轴线的变化规

9、律（内力函数）。力随轴线的变化规律（内力函数）。 解：解：约束力约束力 2AyByqlF= F=0 02yQqlFFqx (xl )qlBAxAyFByF在在x处作截面，研究左半段，受力如图处作截面，研究左半段，受力如图由 qx2qlQF2xM由 20 022cqlqMMxx(xl )5 5、变形体的内力计算、变形体的内力计算2022-5-1417qlBA210 28maxdMlxMqldx得，MQF21ql82ql2ql2l2022-5-1418例例6 如图如图a所示，等截面直梁受横向荷载所示，等截面直梁受横向荷载q(x) 作用，作用，试写出横截面上的内力的平衡微分方程。试写出横截面上的内力

10、的平衡微分方程。图a2022-5-1419解：解：取梁的微段取梁的微段dx, ,受力如图受力如图b, , 横截面上的横截面上的内力有内力有: : 剪力剪力FQ , ,弯矩弯矩 M, q(x)视为常量视为常量. .图 b由由 0yF ，得得( )( )d( )( )d0QQQFxFxFxq xx由由 0CM，得得d( )( )d( )( )d( )d02QxM xM xM xFxxq xx略去上式中的二阶微量略去上式中的二阶微量 d( )d2xq xx，得得 d( )d( )( ),( )ddQQFxM xq xFxxx第三个方程2022-5-1420例例7 试导出理想流体试导出理想流体( (无

11、粘性无粘性) )的静力平衡微分方的静力平衡微分方 程。设单位质量的体分布力为程。设单位质量的体分布力为f。由由 0yF ，得，得d d(d )d dd d d0ypp x zpyx zfx y zy10ypfy故解：解：在静止流体中取边长分别为在静止流体中取边长分别为dx,dy,dz的微小六面体的微小六面体, , 受体积力受体积力 及及6个侧面上的表面压力作用个侧面上的表面压力作用. . 考察左考察左右两侧面中点的压强大小如图所示，并视为整个侧面的右两侧面中点的压强大小如图所示，并视为整个侧面的平均压强。平均压强。 VFf2022-5-1421同理可得同理可得1010 xzpfxpfz故有故有

12、1()xyzpppfffxyzijkijk即1pf,xyzpppfffpxyz式中：f =ijkijk2022-5-1422一、静定与超静定概念一、静定与超静定概念 未知量个数未知量个数Nr独立方程数独立方程数Ne e 未知量个数未知量个数Nr独立方程数独立方程数Ne e 仅用静力平衡条件就能求解的问题仅用静力平衡条件就能求解的问题静定：静定：超静定：超静定： 只用静力平衡条件不能求解的问题只用静力平衡条件不能求解的问题超静定次数超静定次数=独立方程数独立方程数NNe e未知量个数未知量个数NNr r自由度数自由度数=独立方程数独立方程数NNe e未知量个数未知量个数NNr r2022-5-1

13、423FMFMNr=6 Ne e =6 =6静定结构静定结构Nr=7 Ne e =6 =6一次超静定结构一次超静定结构Nr=5 Ne e =6 =6一自由度机构一自由度机构FM2022-5-1424Nr=8 Ne e = =6二次超静定二次超静定( ) cFNr=8 Ne e = =6二次超静定二次超静定Nr=9 Ne e = =8一次超静定一次超静定思考：思考：试判断下列系统是否静定？试判断下列系统是否静定？BA( )a0f GCDACB( )bF2022-5-1425二二 物系平衡问题解法物系平衡问题解法 1. .物系平衡的两个特点：物系平衡的两个特点： 1) )整体、单体、整体、单体、

14、任意各部分物体都是平衡体任意各部分物体都是平衡体, , 均均可取为分离体可取为分离体, , 存在取必要分离体及先后顺序存在取必要分离体及先后顺序问题。问题。 2) )约束力都是未知的约束力都是未知的, , 但并非需求的但并非需求的, , 需求力只需求力只是全部未知力的一小部分是全部未知力的一小部分, , 存在列写必要平衡存在列写必要平衡方程问题方程问题. .2022-5-14262. .一般步骤：一般步骤： 1) ) 凡取整体考虑能求出部分需求量的优先取整凡取整体考虑能求出部分需求量的优先取整体体, , 否则取单体或部分物体否则取单体或部分物体. . 3) ) 巧取矩心、投影轴、尽量避免联立方

15、程巧取矩心、投影轴、尽量避免联立方程. .常选常选未知力的交点为矩心以及与多个未知力相垂直未知力的交点为矩心以及与多个未知力相垂直的投影轴的投影轴. . 2) ) 凡所取凡所取单体或部分物体单体或部分物体考虑能求出部分需求考虑能求出部分需求量的优先取该量的优先取该单体或部分物体单体或部分物体. . 物系平衡的例2022-5-14272.2.3 3 考虑摩擦时的物体平衡考虑摩擦时的物体平衡2022-5-1428摩擦分类：摩擦分类：滑动摩擦滑动摩擦滚动摩擦滚动摩擦干摩擦干摩擦粘性摩擦粘性摩擦一、滑动摩擦一、滑动摩擦2022-5-1429SFF1. 1. 静摩擦力定义与特征：静摩擦力定义与特征： 静

16、摩擦力的定义静摩擦力的定义 两相互接触的物体，有相对滑动趋势时，在其两相互接触的物体，有相对滑动趋势时，在其接触面产生阻止物体运动的力叫接触面产生阻止物体运动的力叫 静滑动摩擦力静滑动摩擦力。2022-5-1430静摩擦力特征静摩擦力特征1. 是约束力，随主动力的改变而改变是约束力，随主动力的改变而改变2. 存在一个极限值存在一个极限值maxSFF2022-5-1431（f 动摩擦系数）动摩擦系数）dNFfF（fS 静滑动摩擦系数静滑动摩擦系数）maxSNFf F2. 2. 库仑摩擦定律库仑摩擦定律2022-5-1432 滑动摩擦力滑动摩擦力是一种切向约束反力，方向总是是一种切向约束反力，方向

17、总是 与物体运动趋势方向相反。与物体运动趋势方向相反。a a. . 当有滑动趋势时当有滑动趋势时 FSfSFN b b. . 当滑动即将发生时当滑动即将发生时 Fmax=fSFN c c. . 当滑动已经发生时当滑动已经发生时 Fd=f FN (一般一般: f fS )2022-5-1433maxNNNtgsmsFf FfFF 摩擦角的定义：当摩擦力达到最大值时其全反力摩擦角的定义：当摩擦力达到最大值时其全反力 与法线的夹角称为摩擦角。与法线的夹角称为摩擦角。 3. 3. 摩擦角与自锁摩擦角与自锁2022-5-14342022-5-1435摩擦系数的测定：摩擦系数的测定：OA绕绕O 轴转动使物

18、块刚开始下轴转动使物块刚开始下滑时测出滑时测出角，角，tgtg =fs , (, (即为即为该两种材料间的静该两种材料间的静摩摩擦系数擦系数) )。maxNNNtgsmsFf FfFF2022-5-1436自锁的概念与条件：自锁的概念与条件：m 2022-5-14372022-5-14382022-5-14392022-5-14402022-5-14412022-5-1442为何值时自锁？求已知,) 1sfPFPFo90多大时，矿石不上滑？鄂氏破障机，咬入角)2M22022-5-1443maxsNFf F 1) 1)三个要点三个要点: : (1) (1) 在静摩擦状态在静摩擦状态, ,摩擦力的

19、方向可以假设摩擦力的方向可以假设, ,大小由大小由 平衡方程定平衡方程定. . 在临界摩擦状态在临界摩擦状态, ,摩擦力的方向不能假设，要根摩擦力的方向不能假设，要根据物体运动趋势来判断据物体运动趋势来判断, ,大小由方程大小由方程 . . (2) (2) 平衡有个范围平衡有个范围, ,解也有一个范围解也有一个范围, ,须用不等式表须用不等式表达达. . (3) (3) 解题方法：解题方法：解析法解析法 几何法几何法4.4.考虑滑动摩擦的平衡问考虑滑动摩擦的平衡问题题2022-5-1444SsNFf F(1)(1)物体肯定能平衡物体肯定能平衡, ,摩擦力按静摩擦状态处理摩擦力按静摩擦状态处理. .(2)(2)物体处于临界摩擦状态，摩擦力按临界状态处理物体处于临界摩擦状态，摩擦力按临界状态处理. . (3)(3)物体能否平衡不能预先确定物体能否平衡