蒋殿春高级微观经济学课后习题详解一般均衡

1、max x1 ln y1xi，yis.t. px1 y1 2p建立拉格朗日函数：Li xiL2 x2一阶必要条件分别为：L1 x111P 0Li yi i yi1 oL1 1pxi y12P再加上市场出清条件 x1 x2 4, y1px,py1,1 ；xi,yi3,1 ,X2、V21,1蒋殿春高级微观经济学 第8章一般均衡跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库,您可以在这里 查阅历年经济学考研真题， 经济学考研课后习题，经济学考研参考书 等内容,更有跨考考研 历年辅导的经济学学哥学姐的 经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的 财富，这或许能帮你少走弯路，

2、躲开一些陷阱。以下内容为跨考网独家整理，如您还需更多考研资料，可选择经济学一对一在线咨询进 行咨询。1 . 一个二人经济中有两种商品。个体 1开始有2单位x商品和2单位y商品；个体2 开始只有2单位x商品；两人的效用函数分别是：u1 x, y x In y , u2 x, y In x In y试求这个纯交换经济的瓦尔拉斯均衡价格和配置。解：先将商品y的价格规范为1,设商品x的价格为p。二人的效用最大化问题分别为:max x2 l n y2和x2，y22st px2 y2 2pln yi1 pxi yi 2p 2ln V2 2 px2 V2 2pL2； x2 1 x22 p 0以及 l2； y

3、2 1y22 02 0L22 Px2 y2 2p 0V2 2,瓦尔拉斯均衡价格和配置为：2 . 一个二人经济中有两种商品。 个体1开始有30单位x商品，个体2开始有20单位y 商品；两人的效用函数分别是：u1 x, y min x, y , u2 x, y min x, y12试求这个纯交换经济的瓦尔拉斯均衡价格和配置。解：个体1和2的效用函数表明x和y是互补品。将1和2的无差异曲线绘制成 Edgeworth 方框如图8-1所示。,由图8-1可知，在任何一图8-1瓦尔拉斯均衡要求预算线与无差异曲线在同一点上（相切）种非0的价格水平下，满足双方效用最大化的分配都不会导致市场出清（典型情况是x商品

4、的社会超额需求小于零， y商品的社会超额需求小于零），因此也不可能达到瓦尔拉斯均衡。在这个纯交换经济当中，瓦尔拉斯均衡点只能是Edgeworth方框的两个对角点 01或02,对应的均衡价格分别为 p2 0或仍0 ,即全部的产品无偿归某一个消费者所有。x,y 。消费者i的3 .在一个两种商品、两个消费者的经济中，假设社会的初始禀赋是马歇尔需求是 x p ，yi p,i 1,2。如果两个消费者都是非局部魇足的。（1）证明：对任何价格p px，py 0,px xi p x pyii（2）如果在价格p ?。下x商品市场出清，证明y商品市场也必然同时出清。证明：（1 ）设两消费者的初始禀赋分别为i 1,

5、2 ,则他们的预算约束为:xpxxpy Vipx i py1,2两式相加并整理得:由于(2)1）的结果,x xx1x212J V，代入可得:PyViPxV2Pyyi p y 0 i当价格 p ? 0下x商品市场出清，则有x2x，代入得:py y p y 0i由于y2 v ,因此y市场也必然同时出清。4 .考虑8.1.2节中定义的映射（8.7 ）: g： z SH 1ghqhmax 0,kh4Tlmax 0.kj zj j 1H(1)验证： z Z ,都有 ghh 1（2）验证gh z是z的连续函数。证明：（1）根据题意,HghI 1qhHmax 0, kh ZhHqhh 1Hmax 0,khz

6、hh 111max 0, kj Zj1Hmaxj 10,kjZjH由于 qhh 1Hghh 1Hmax 0,khAh 1H1 maxj 10, kj Zj(2)因为 limogh zlim -01qh maxH0,khZhqh maxH0,khZhgh z，所以 gh zmax 0,kjzjj 1max 0,kjzj1是z的连续函数。5 .假设经济中每个个体的间接效用函数都有拟线性形式：Vi p,m fi p mip是一个瓦尔拉斯均衡。证明：在 p附近总需求函数 Xh p是ph的单减函数。证明：由Roy等式，个体i对商品h的需求为：Vi p,mphfi pxih p Vi p, mimiph根

7、据间接效用函数的拟凸性质，有：Xh p2 fi p xh p2- 0phph iiph因此，在p附近总需求函数 Xh p是ph的单减函数。6 .在什么情况下契约线将完全落在Edgeworth方框的一条边上？此时是否每个帕累托配置都对应一个瓦尔拉斯均衡（适当调整初始禀赋）？你的回答是否与福利经济学第二基 本定理矛盾？解：当对于所有禀赋约束下可能的配置结果x ,消费者1的无差异曲线斜率都大于消费者2的无差异曲线斜率时，会出现角点解，即契约线将完全落在 Edgeworth方框的一条边上。 此时通过适当调整初始禀赋，每个帕累托配置也都对应着一个瓦尔拉斯均衡。这一点与福利经济学第二基本定理相符。7 .证

8、明：对于一个包含 m个消费者、n个厂商、H种商品的经济，通过适当调整个体i i 2,K m的初始效用水平 u ,任何一个帕累托有效配置xp,yp都可以通过求解问题（8.24 ）得到。证明：任取一个帕累托有效配置xp,yp ,指定u0 Ui xp i 2,K m ；记（8.24）的解x,y ，下面需要证明x xp , y yp。为证明x xp ,只需证明x xp o因为如果不是这样，那么在x：基础上更改其消费可改善个体1的福利，同时未损害其他个体的利益，这与帕累托有效矛盾。对任何厂商j ,任两种商品h和h , yp都必须满足（8.24）的一阶必要条件，U xmFj yjhUi xhFj yjh这

9、样，在xxp的前提下，就意味着 y yp 。8 .假设经济中各个体的效用函数是u x i 1, n ,定义社会福利函数nW x,kkiui xi 1其中x Xi, xn , kk1, kn ? 0是每个分量都大于零的常向量。给定经济中的初始禀赋不变，证明：（1） k? 0使得社会福利 W x,k达到最大，则它必然是一个帕累托有效配置；（2）如果x ? 0是一个帕累托有效配置，且每一个Ui是连续、单增的凹函数，则必然存在k ,使得函数 W x,k的最大值解就是x ;（提示：使用福利经济学第二基本定理）（3）上一小问中的k k1, kn有什么经济学解释？证明：（1）如果x不是帕累托有效配置，则存在

10、另一个不同的配置 父，以及某个消费者i ,使得 Ui ? j 不，且 Uj Xj Uj Xj 。 nn从而W ?kkiUi ?kUi x W x ,k与之相矛盾，所以它必然是一个帕累托1 1i 1有效配置。（2）因为x是帕累托有效配置，适当调整经济中的初始禀赋，可使x成为一个瓦尔拉斯均衡（福利经济学第二基本定理），令均衡价格为p ,则有以下均衡条件（效用最大化问题的一阶条件）成立:i,hUi x i Phxih再考虑福利函数 W x,k最大化问题:max ku xi iSt xhih h 1,K ki一阶必要条件是：存在 Uh h 1,K k ,使得：,U xi ki Uh i,hxh而且在效

11、用函数为连续凹函数的条件下，这也是充分条件。为消费者i对其令k V i i 1，K n ,则x满足上述最大化条件。（3）由于k 1/ i ,而i是的拉格朗日系数，根据约束条件，可知初始货币化禀赋m Pi的边际效用，1/Ki v P，m 。mi9.在一个包含两种商品、两个消费者的经济中，依照下面步骤，利用价格提供线来简单地构造瓦尔拉斯均衡（回忆第4章图4-7定义的价格提供曲线）：（1）证明，在Edgeworth方框中，两个个体的价格提供线都经过初始禀赋点，并且都处于两人过初始点处无差异曲线围成的透镜区域内；（2）证明：初始点与个体i价格提供线上任一点的连线，必然与个体i过这一点的无差异曲线相切；

12、（3）证明：如果两人的价格提供线在 Edgeworth方框内相交（除了初始点），这一交 点必然是瓦尔拉斯均衡；（4）结合（1）（3）,解释瓦尔拉斯均衡配置必然处于核中。证明：（1）由个体i效用最大化一阶条件，可得：1122cUi1 xi xii Ui 2 为 xii 0这就是个体i需求的价格提供线方程。 显然xi1, i2满足这一方程，故禀赋点在价格提供曲线上。另一方面，对任意价格p,消费者在交换后达到的无差异曲线不可能低于初始 所在的无差异曲线，故此时的消费束位于两条过初始禀赋点的无差异曲线所围成的透镜区域 中。（2）由（1）中的价格提供曲线方程，初始点与价格提供曲线上任一点x1,x2连线的

13、斜率为:22x iUi1kV19MRSKi iUi2而无差异曲线的斜率也等于 MRS,故二者相切。X ,x2 ,则由(2)中的征明(3)如果两人的价格提供曲线相交于禀赋点之外的一点结果，两人无差异曲线相切于x,x2 ,从而该点就是一个瓦尔拉斯均衡。(4)在价格p下，两个消费者都达到了他们的最大效用，而且均衡配置所带来的效用不会低于他们在初始禀赋下的效用，从而该配置不会被任何一个联盟所淘汰，所以瓦尔拉斯均衡配置必然位于核中。10 .假设经济中只存在两种商品：x和y ,有A和B两类消费者，每一类消费者都有相同的禀赋和偏好。如果个体的偏好是凸的，但不一定是严格凸的，同等待遇原则是否还成 立？当经济中

14、的人数增加时，非瓦尔拉斯均衡是否一定会被淘汰？解：如果个体偏好的凸性是非严格的，同一类消费者处于同一条无差异曲线上的不同点时，二者的交换不一定能改善福利。如图 8-2所示，(a)中只有在严格凸的假设下，才能肯 定a和a2连线的中点必定在更高的无差异曲线上。所以，可以肯定同类消费者在一个核配 置中会达到同样的效用水平，但无法肯定他们的消费束是一致的。(b)中如果严格凸性不满(a)同等待遇原则足，经济中人数增加时，非瓦尔拉斯均衡不一定会被淘汰。(b)淘汰非瓦尔拉斯均衡图8-211 .考虑一个由消费者A ,A2, Bi ,B2组成、有两种商品的经济。如果A和A2的消费束是一样的，而Bi和B2处于不同

15、的无差异曲线上。证明：这个配置必然会被某一联盟淘汰。证明：假设B处于较低的无差异曲线上，如图 8-3所示。图8-3A和A2的消费束是一样的，而 Bi和B2处于不同的无差异曲线上，假设 A和A同时消 费aa2中点a代表的消费束，Bi位于较高的无差异曲线 Ua,消费束为图中的 B, B2位于无 差异曲线Ua,消费束为图中的b o很显然，A、A2与B通过交换可以达到更好地消费束，所以这个配置将被同盟a,b2或A2,B2淘汰。12 .考虑一个两商品、人数相同的两群消费者构成的经济。A类消费者的初始禀赋是1,0 ,效用函数4 ax by； B类消费者的初始禀赋是0,1 ,效用函数Ub min cx,dy

16、。a,b,c,d 0。(1)求这个经济的竞争均衡(它是否是唯一的？)。(2)在两类消费者都只有一个人的情况下，求这个经济的核。(3)如果a b, c d。证明：只要每一群消费者的人数不小于2,那么所有核配置都是瓦尔拉斯均衡。解：根据题意，得到图8-4。图8-4(1)如图8-4 (a), 一开始双方处于 已点。当(相对)价格为 a/b,经济在E点达到均衡，但这不是唯一的均衡点，另一个可选的均衡点是OB,对应的相对价格为 0。(2)在两类消费者都只有一人的情况下，经济的核为(a)中虚线EOb所代表的点集。（3）在条件a b , c d下，Edgeworth方框变为（b）中所示图形。考虑 EOB线上除 两端点（Walras均衡）以外的任一点 F。一开始只有两个人 A和B1时，双方通过交换可达 到F点；当引入一个新的B2,初始点在E。A和民会同时发现二者间可通过交换增加自己 的福利：只需 A牺牲一点x商品，换回一些 y商品即可。极端情况下