三角换元高二

1、三角换元(一)三角换元是一种用三角函数中的角度e代替问题中的字母参数，然后利用三角函数之间的关系而达到解题目的的一种换元方法，此方法应用非常广泛，本文主要介绍利用三角恒等式sin2?0+cos2?0=1及其变形形式，来处理多元代数式的最值或取值范围问题.例1已知实数x,y满足x2-4y2=4,则|x|-|y|的最小值是分析题中代数式x2-4y2=4是平方差为常数的形式，可以考虑利用三角代换处理.解题中代数式可变形为(x)2-y2=1,令2x=,y=tan0,cos。其中ec0,n2),则一一22-sin0|x|-|y|二C0Te-tane=ws，表示点(0,2)与单位圆x2+y2=i,xc(0

2、,1上的点连线的斜率的相反数，如下图：分析联想到sin*2*9?28.,、sin(8+6),3因此，可计算得斜率的范围为（-8,-3,故题中所求其中siM=ei,cos8.1414因此，x+2y的取值范围为-红21,3.,6.必.33总结(1)常用于三角换元的三角恒等式有sin20+cos20=1,一院-tan2a=1,cos(2)利用三角恒等式，可将多元代数式的变元用0代替，进而使变元减少，然后再结合辅助角公式等方式求最值或范围即可.(3)三角换元是换元法的一种，换元后一定注意新变元的范围，也就是需要根据题意给出e的合理范围；练习1 .设x,y为实数，若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最

3、大值是2 .已知非零实数x,y恒满足3x2+4xyw/(x2+y2),则实数入的最小值为3 .已知实数x,y满足x2+y2-xy=2,则x2+y2+xy的取值范围为答案2.4；例函数f(x)=Vx3+V12-3x的值域为()A.1,<23B仁C.1、3D.1,2分析考虑到(x-3)2+(4-x)2=1,可用三角换元对原题进行变形求解.解题中函数可变形为f(x)=x-3+12-3x由(x-3)2+(4-x)2=1,可令Vx-3=sin0,v4-x=cos?0,TT其中ec0,此时题中函数化为2f(0户sin0+73cos0,一一TT一一.一一.其中ec0,-,结合辅助角公式，得2-冗f(0

4、)=2sin(e+-),其中ec0,因此，f(e)的取值范围为1,2,故原函数的值域为1,2总结(1)当题中出现两个无理式相加减的形式，且其“平方和”或“平方差”为定值时，可根据三角恒等式进行换元；(2)三角换元是换元法的一种，换元后一定注意新变元的范围，也就是需要根据题意给出e的合理范围；练习1 .求函数y=<775+724-3x的值域.2 .设a,b>0且a+b=5,则VaTl+Jb+3的最大值为3 .若不等式x+y?&k，2x+y对任意正实数x,y成立，求k的最小值.答案1 .布,2石;2 .3石；3 .、6.2代数式的最小值为3.例2设x,y为实数，若x2-xy+y2=1,求x+2y的取值范围.+cos29=1,考虑将题中x2-xy+y2=1变形，然后用三角换元进行求解.解题中等式可化为/y、232/(x-_)+_y=1,24进行三角换元，令x=y+cos0,y=二s