概率论与数理统计教程课后习题答案(魏宗舒第二版)

1、5第一章事件与概率1-1与比卜夕随他就叁田将左丁间及表小、列事冲田科本点票1M牛产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品.(2)T口袋中有2个白球3个黑球、4个红球，从中任取一球(1)得白球，得红球.解记曾哈格品分别为瓦均，正3记不合格为次则口口正1，£j)<£p正J”，(IEl，EKE.，次%位，正乂正卜！£*),/(!£了正(征汝),征正山在产正泗,M'低匕乂正,次)证次A=浏征*次)低.-ft)记2个白球分别为叼，叱,3个罢球分别为"2%工个红球分别为工Z'匕则吗，瓦，%,4,12九%叼巧，2L2在数学卷的

2、学生中任选一名学生，令事粘表示被选学生是男主，事件B表示被选空生是三年级学生，事件诔示该生是W动队(I)叙述里丽的意义“在什么条件下据C=C航?什么时踪系式CS是正确的？(4)什么时候%=8成立？解事件乂型表示该是三年级男生.也不是运动员，工肥"等价于。匚加，耘运动员都有是三隼般男生。当全系运动员龌三辆学生叱当全系女生都在三年或并且三年迈学生都是女生0才，L3一个工人生产户个零件以事件4表示他生产的塞个零件是合格品。金。).用4表示下列事件：没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品;仅仅只有一个零件是不合格品至少有两个零臃不合稠.。C14 解（1） -1，於卬眄取Um原

3、事件即，至少有两个零件是合格品，可表示为:岁；L4证明下列各式：Q)用2月=&uW,RcE-BrA(3)(_4ljF)qC=Q(g)(月门用八U=XG(乂2司cC=(Ar1。、2(EcO伊印证明(1)-(4)显然，和的证在分别类似于课文第1。一12页(1,5式和U.6)式的证法.1.5在分别写有2、£6、八8、1U12.L3的文花卡片*仟黑两张，业卡片卜的函今*字组戌一3教.文所得分散为既为分数的概基解样本点总数为4,双乙所得分数为既约分数必须分工分母或为-11>13巾的两个，或为2、LIB.12中的一个和八1八13中的一T组3,所以事件从“所得分教为既约分数”包含禺+

4、2月*«=以支E个样本点.于是尸区=2:28714.L6有五条线段，归度分斗为h又5、1生从这五转催*任取三标求触三条线段能构成T三角形的概三解样本点总数为口o所取三条线段都成T三角叱些条线段必须是3、5、喙、八娥多或5、工94抑瘴件"所取三条线最能构成一个三龟形”包含3个样本点，于是=而.1斤一>力段用13个字用凡凡人口反凡|九私乱也"作组字湍戏.如果字母的各种排列是随机的(等可能的)，间“恰组成,'MATHEMMICIAN”一词的概率为多大？31212121 4810000阂,所以jrxA、解显然样本点总数为13二事件月“恰好组成"MZ

5、HEMAnClAI产包含3!22!2!个洋本点。所以不'合一而1.8在中国象模的根建上任意地放上一只红车”及一只黑“丰”,求它们正好可以相互吃掉的概率。M任玷固定红“车,的位看.黑“车”可处于9乂10-1=89个不同位置.当它处于和红“车”同行或同列的9+8=17个位置之一时正好相互"吃掉"。故所末概率为P(X)=89L9一幢10层楼的搂虎巾的一架电梯.在底层登上7位乘客°电梯在每一层都停.杂客从第二层起离开电梯,假设每位束苕在哪一层离开电梯是第可能的.求没有两位及两位以上乘客在同一G离开的概率，解等也不包可在除底层外的，层中任意一层离开电悌，现有7位乘客

6、，所以择本点总数为9,韦件人:没有两位及两位以上距客在同一层高开”相当干“从9层中任取了层.各有一位乘齐高开电梯内所以包含H个样本点.干是“”一歹.1.10某我市共有1000。辆自行车,其牌印编号从uocm到10000问事件“偶然送到一辆自行车.其牌庠号呜中有数字“的概率为多大？P0用用J表示“牌照号科中有蚊子8”,显然一9P(/T)三1三1产(4)=1_iooco1.11 任取一个正布求下列事件的概率；(D该数的平方的粒数字是i，求数为&次方的末位蚣字是13该数的立方的身后两垃数亍都是LM(1)答案为W.2当该数的末位数是1、3、7、9之一时，其四次方的末位姒是1,所以答案为历(3)

7、一个正整数的立方的最后两位数字决定干诙数的最后两位数字.所工样本空间包含I。，个样本点用事件表示“该喊的立方的最后两位数字都是I”,剜该数的最后一位数字必乡天是】设展后年二位数字为。，则该数的立方的病后两位数手为1和3。的个位数，要使3。的个位数是1,必须。=7,因此4所包含的样本点只打71这一点，于是1.12 一个人把6根苴掌理在手巾，仅露出它的头和昆，然后请另一个人把6个头两用相接，6个屋也荫两柜卷，求放开手以后眼草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到幼根草的情形。解6根芭的情形。取定一个头，它可以与其它的E个头之一用按，再取另一头，它又可以与其它未接过的3个之一相接，最后将剩下的两个

8、头相较，放前头而言有531种挎法，同样时层也有31种接法,所以样本点总数为Cl)：用/表示气根草恰好连成一个环”，这种迂接，对头而言仍有531种连接法,而对尾而言，任取一尾，它只能非未与它的头连接的另碾草的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它灼头连食的另2根草的尾连按，最后再将其余的尾1J接成环，故尾的走接法为420所以d包含的样本点数为»一)(4.:刍(531)(42),于是(53I)2152斤根草的情形和(1)类似得1.13 把”个完全相同的毋随机地放入万个豆子中(即球放入益于后，只能区别五十中旅的个嫩，不能区别是哪个球逃入某个自干，这时也称球是不可钳褴),如果每一种技法都是等可能

9、的，证明Q)某一个指定的SS子中恰好有4个球的概率为I力，Q.J3+-一1(2)恰好行个盒的概窣为I打J,NfSmSN-'(必+/-117-ZJ1-/-W+X一1、解略.1 ."衰公共汽车站后.分仲有一辆汽车到达，率容至I达汽车站的时刻是任善的，事一个乘客候车时间不超过3分和的概率.PCA)=解所求概率为5“一111.15 在442c中任取一点尸,证明必白尸与故川的面积之比大于丁的概率为尸。CZ/8一竺匚解前麻松.当月仅当点产苒入33,之内与u右U的而积之比大干X,因此所求概率为&T京C有面积_CD_K*15(7的面积一带一二工1.16 两虺沱船都要停先同一个泊位，它

10、们可能在昼夜的任怠时刻到达。设两船惇界泊位的叼间分别为i小时与两小01,求有一胆船停鸵泊位时必须等侍段时间的概率.解分别用入/表示第一、二股船到达泊位的时间，一融船到达泊位时必缴等待当且仅当°«人一少工2。丁一人"1。因此所求概率为242-i>233-x22a尸-22740121117在线段上任取三点勺f“3.求，(1)J位于门与小之间的概率。(2)43/孙,/丐能构成一个三角形的概率.PA)»-汽为=-L=1展3八)12L18在平面上回旬日隔为.的等距平行线，向平面任意地投掷一个三角形，该三角形的边长为a&，(均小于)，求三角形与平行线相

11、交的概率。解分别用4为/3表示三角形的一t顶点与平行线相合，一条边与平行线相合，两条边与平行线相交，显然砍4)二产(4)二°所求概国为F(4)0分别用44444,4表示边况瓦二边的皿如与平彳讲相交,则国幻.显然P(力。)己心+砥，尸(4)=H&)+/40,尸(4)-H4J+R4)，所以?总尸尸+3白)二白S+S(用例L12的结果)1.19 己知不可能事件的概率为零，现在向概率为零的事件是否一定为不可能事件？试举例说明之。解概率为零的事件不一定是不可能事件。物如向长度为1的线段内随机投点。则事件上“该点命口的中点”的概率等干零.但乂不是不可能事件.1.20 甲、乙两人从装有。个

12、白拜与个黑拜的Z1袋中轮流掠取一用，甲先取，乙后取，每次取后都有不敢圜，直到两人中有一人取到台球时停止“试描述这一随机观筮的概率空间，并求甲或乙先取到白球的慨式“平孙表示白，仁表示恁白，A去示黑黑白，黑】表示再：毒，则样本空间Q=5,生,尸(W);刍S)二白6-1 aa+4-1 a b 2.尸%)二810+5-11一(i-2),+5一("2)61ag+)g +6- i)a甲班1胜依概率为5(，)<其%)+?(Gj)+乙取胜的概率为？(6)卜?(匆)+产(")+1.21 设孚件4Z反工8的概率分别为P、夕及仁求与月功，砍幽，RW),网上约解由砥工u刃=砥q4气功一口/约

13、得PAB)=/力)+一9月，J3)=p+q-/P(幺3)=PA-AB)=P(J)-PAB)=r-q,P(AB)=r-pP(AB)=P(T51二0二1一厂1.22 设4、4为两个随机封，证我FGV引=1一产(不-F(石)+F(4石)；1-(3；)-软石)M?(4A)工户(4D均)4RA)+尸但),证明(1)次44)=?房港)=】一以工。石)，-仅耳)-尸(豆)4尸4苍)由(1)和产(不豆)二°得第不等式，由概率的聿调性和半可加性分别得第二、三个不等式“1.23 对于任意的随机事件为、3、C,证明,-R*C)-RB，MR冷证明/金)3凡工5u。)!=PA3)+F(AC)-P(AB?)&g

14、t;PAB)+P(AC)一PBC)1.24 在其城市中共发行三种报织：甲、乙、丙。在这个城市的居艮中.订甲报的百454,订乙报的有究%,订丙报的有30%,同时江年、乙两报的有1州司同订甲、丙俞报的有8九同时丁乙、由两相的有5%.同时订三讣投批的有薪.求下述百分比，(D只订日报的；(2)只订日、乙两强的；(3)只订一种报纸的,(4)正好订两种报纸的§(5)至少订一种报纸的:(6)不订任何报纸的。解事件举示订甲报，事件£表示订乙报，事件二表示订丙报。(1)FABC)=PA一A£uAC)二式肉-fABuAQ(2)P(ABC)=P(AB-ABC)=7>"o

15、(3)F(BAC)=产(£)一户(月8)49(8U)-P(/8C)=29P(CA8)=尸(C)一尸储C)十P(BC)-PABC20%PABCd.+CA3).PABC)4P(BAC)+P(CZ0=73%(4)F(ABCACBBCA)=尸(RE+P(ACB)+PBCA)=14%(5)产(力+方+6=9期（6）=1-F（A+3+C）=1-90%=10%L26某班有川个学生参加口试，考签共N张，每人批到的考签用后即放回，在考试结束后,间至少有一张考没有祓抽到的概率是多少？尸（11j44）解用凡表示“第,张考筌役有被抽到“，"12要求IRM，）=（爷J汽”（干J=。-总*,噌）（旬,

16、所以1.27从阶行列式的一般展升式中任取一项，问这项包含主对用线元素的概率是芳少？解人阶行列式的展开式中.任一改略去符号不计都可表示为°属'>仁.当且仅当12户的排列。】力冬）中存在比使,人时这一项包含三对角线元素.用包表示手件“排列中“=无"即第k个主对角线元素出现于展开式的某项中.则p<4）=6_JI<i<n=nI曾I所以户5）=2比）-唔一叫1.29已知一个家庭中有三个小孩，且其中一个是女孩，求至少有一男孩的概率（假设一个小孩是男孩或是女孩是等可能的）。解用瓦名分别表示男分和女孩°则样本空间为.C=（瓦瓦6）,（瓦B,G,9,

17、*,B）3.8.b）,（b,G（a,扈，b）3,。,G）8表示“rr男孩”，则其中样本点依年龄大小的性利措列为去示“TT女孩”FW)6786FCj4)"77i"7L3。设M件产品中有米杵是不合格品，从中任取两件，在所取产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件乜是不合格品的概率.（2在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。解（1）设力表示“所即产品中至少有一件是不合格品”.石表示“所取产品都是不合格品”，则(?)乳3）、 / -nJ（B# =第=能=日？设C表示“所或产品中至少有一件合格品”表示“所取产品中有一件合格品，一件不合格品”.则：m（M-&a

18、mp;p(n)=UA 1 )尸6=0=迪=上_尸©产（6Af+-lL31”个人用爱彩的方式皖谁得一张电影票，他们依次摸彩，求:已知前2T优,个人都没摸到，求第丈个人摸到的概率；第伏个人摸到的概率。解设4表示“第i个人摸到“，FL"”，P基&）=咨=总衣-1叶-211（2）?。标.丁72L）1.32 已知一个母鸡生立个蛋的概率为才！，而每一个蛋有砌科C成小鸡的概率为P,证明：T母理恰有1个下T弋（即小鸡）产的概率为Ho懈用&表示“母鸡生小个蛋”，£表示“母鸡恰有个下一代”，则»8乃e1优、2（8）=少（4）?幻=2=叫1-尸产jJkV/川2

19、依一玲！7一°(N*2=crr1.33 英射击小组共有20名射手，其中一级射手4人,二级射手&人，三级射手7人，四级射手一人，一、二、三、四级射手白白甬过选拔进入决寿的概率分别是0.9.0.7、0.5.0.2,未在一组内任选一名射手，该射手能通过选拔进入决毒的概率“4,工1024?3)=£?(4)F(8|4)解用4表示“任选一名对手为上级"，无"Ui4,8表示“任选一名射手能进A决骞"，贝II-xQ9+卷乂0.7+/x).5，gx).2-U.M51.34 在其工厂里有甲、乙、丙三台机器勺产娉丝4T,它们的产量各占25%,354.4附，并

20、在各自的产品里，不合格兄各占有5X,甥，2%。现在从产品中任取一只恰是不合格品，问此不合格品是机器甲、乙、丙生产的概率分别等于多少？塘用其袤示“任取一只产品是甲台机器生产”外表示“任取一只产品是乙台机器生产”内表示“任取一只产品虻丙台机器生产”8表示“任取一只产品怡是不合格品”O则由贝叶斯公式，raw.产出/汨书笠收小加广4m叫4)三WX成4)区团462只人)耳例4)吁平坦巨J石网4火切4)8定时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1.当有一台机床霭要修1.35 悬手的车床、钻庆、磨床、刨床的台教之比为9:3:2:1.它们在班时间诙台机床是车床的概率是多少？9321P(A)=p(A)=P(玛)

21、=一仪4)=一加则15,15,615,51I1231WIA)=-尸514)=二%8|4)=亍P(2?IA)=-尺4大幻尺BIA)'9气4I切=万工尺4火8|工力''由贝时叶斯公式得«L36有劭友自远方来访，他乘火车、轮册、汽车、飞机来的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4,如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到1£2的概率分别是a、？、无，而乘飞机不会迟到。结果他迟到了，试问他是乘火车未的概率是多少？解用4表示“明友乘火车来”，&表示“朋友乘轮船来”.4表示“明友乘汽车来”，&表示朋友乘飞机来2表示“朋友运到了“O；ai小HA)R8

22、IA)1卜(4»).=-则31.37证明：若三个事件工、3、C独立.则=£、03及都与C独立。证明仅饵u5)C)=F0S十产(EC)-产(456=F(AuB)P(C)PABC)=PJ)RB)RC)=KAB)PO:3)尸工一5)0=P(幺-AB)C)=P(AC-ABC),P(A一9)尸(C)1) 31式举例说明由尸尸(冷尸5)尸不能推出P(AB)三尸(尸5)_定成立，18解设GT%与gg),哂=瓦尸(他)=讶,尸(3)=/)="<*)=百勺,4.人卬则心"出"尸*琮4P(加)“()=P(A)P(S)尸(3)."尸尸但是1.39 发

23、为/个龙互独立的事件.(1)起个事件全不发生；(2) 个氧牛中至少发生一件“个事件中怡好发生一件且尸(4)=外C工片.求下列事件的概率:产。兀)二立.4展)=亩1-%)解(1)J1】72) )7口口34.N_尸UMi=S巩R）=EAlII。-Zr-1Jb-J-11>-l（3）7，M齐工.L的已猿或蒜f'E相互3但且互不相容，求皿*FHX乃伊（缶而'质3表示苞了中小的一个散）。斛一方&工号/F0）之L另一方面仪司只5）二/月司二口，即H用气句中至少有_个等千瓦所以E（口现尸即二"1. 41f人的血型为D/,力型的概率分别为也4M0.虻、0,1八0.03,现

24、在任意挑选五个人.求下列主件的概率（。两个人为口里,其它三个人分别为耳它三种血型.三个人为。型.两个人为工型j13）役有一人为月8.LI解（UM5个人任选2人为生.共有1切神门能.在其余3人中任选一人为刃型,壮有三粗可能，在余卜的2人中任选一人为&型，共有2x3x2xIIA62xQ4DxO11x0.3«0,0168种可能.另一A为功型.场址斯本概率为：【切>s0,463x0.40s叮。,1557比）（1-0u7）3m035871 .其谡寿场门高射炮,每一门击中目标的概率都是8&求同时寝射一发炮弹而击中飞机率是嘉少？又若有一架被机人俱领空.欧以9秒以上的概率击中它

25、.同至少害要多少门高射炮a筒用4表示“第句1高射炮制射一窸病遵而击中飞机炉，上二1£.B表示“击中飞机”则F玛止-L”、Q）尺424）1-软;iKl-OT2108#KAu+/*）f1-F0Kg）-：-Q,T>Q,P?>11&5,026x,也04取n=6,至少需要r门高科电，同时发射一发旭疆，可保证9洲的慨咂击中飞机.L锢做一系列独立的试验，每次试睡中成功的概率为产，求在成功川次之前已失败了用次的概率.解用W表刁在成功艘次之前已失败了网次”，占表示“在前¥"根_次状场中失政了明次，仃表示“第制4冽次试整成功，式式、=FS6=心理6（国+用一-&q

26、uot;I-p）mp则1胆1二45某数学家有血盆大黑.每盒都有片根火柴，每枕用火柴的他在曲莒巾旺取一盆并从中抽出一根。求他用完-曜片另一第:中过有，根火柴。工厂£川）的概率.解用4表示“甲盒中尚余i根火柴“，用力麦示.乙盒中尚余/根火柴、Q刀分别表示“第裔t次在甲盒取“，"第觊次在乙盒取4易C表示取了窃r次火柴，目弟站一次是从甲盒中取的，即在前"-1在甲盒巾取了闻T，其余在乙窟中取,所以由计称性知到4国口=网4邑0.所求概率为：._-r-iyr'FC耳稣口）=mw=i炀第二章离散型随机变量2. 1下列绐出的是不是京个跖IT空量的分市列勺230.1 C, 1

27、3)角翠3*2(1 )0 7 I O. 1-k O. 11所以石小星脸布L麦里的分布别-，乳基十机+ +乂匀.3_K,所以它不是随机笠量的分市列丑2. 2口口 T工相为自然漱，旦占eFX = O谀:随机变量1-白勺分布列为,所以它是随机受旱的分布列一J A 1 2 351一 15 '',求1）产Q =或 ¥ = 2）翦军<2）13）V刍，：<3）尸门二4M2）广匚d.Isfe岑N).1一1)-15155；?己Vv寺我亡一V>+?1-2)一：RIM4V/=F(4=D+>=2)=2以讣即二所产ii解2.42.3解设随机变小的分布列为3"&

28、quot;位八中.求°的金随机殳量。只取正登数27.且一动与"成反比，米的分布列。q(C(/”1c。*,»an6解根据题意知改其巾常数C待定9由于名羽-7一,所以=不,印4的分布列为C=2=B,"取正堡数。2. 5一个匚袋中装有陶个白琼、力一个黑球，不返回地连续从袋中取球，直到取出黑诗时停止,设此时取出了。个白蹲，米的分布列9解设“f=上”表示前工次取出白球，第11次取出黑工扎用花的分布列为，H"砥"：)SY'时如上=叽8'9)h1)Q-k)2.6 设某批电子管的合格品率为4.不合格品率为4.现在对该批电子雷进行测试.

29、设第4次为苜次洌到合格品.求力的分布歹人解叫&”©".s.2.7 一个口袋中在5个同样大小的球,编号为1、2、3、4、5,从中同时取出3只洋.以表示取出球的取大号码,求4的分布列°口，TFM =3,4,5.28批热一枚不均匀的硬币，出现正面的啷率为#(°尸5),设4为一直掷到正、反面都出现时所需要的次数，求4的分而列.解/4=©二夕22+尸"74，左=2,3,，苴中4=1-芦。29两名找球队员轮流投渡.白到某人灸土时为止.如果第一名队员投中的概率为0.4,第一名队员投中的撤率为66,求空名队员投诺次数的分布列。解设工刀表示第二

30、名队员的投篮次敌.则Pit-七)-06斤1。.4b%.4+0.6上0.41。6=076024,'无=12；产(乃=fc)=06Ao4妨】06.06人04比0,4=07d06,4fc=1,2,-2.10 设随机变量4朋从昔哇松分布且FG=D=%=2),求或=4)。产©二切=一g-，M3)k=0,l2,4/=/,33nFf=4)=e"=T-2解。由于2得4=2,%=°(不合要求)。所以413.2.11 设某商店中每月销售某种商品因数量服从参数为7的普哇松分布，问在月初迸货时应送多少件此种商品，才能保证当月不脱哨的概率为0.999.解设为该种商品当月策售数，/为

31、该种商品每月进货数，则沙X查音咤松分布的数值表，得1216,2.12 如果在时|耶(分钟)内，通过某交叉路口的汽车数量服从参数与成正比的昔哇松分布。已知在一分钟内没有汽车通过的概率为0.2,求在2分钟内有多二一辆汽车通过的概率。羿设4为时间£内通过交叉路口的汽车数,则P七=jt)=史0),后=0,12k£=1时，式"。=1=0.2,所以；l=n5；2=2吐兀=21n5,因而1) =1-产/=0)-产&=l)=(24-ln25)/25与083。2.13 一本500页的书共有500个错误，每/、错误等可能.出现在每一页上(每一页的印刷符号超过50汴)。试求指定

32、的一页上至少有三个尚吴的概率.二工解在指定的一页上出现某一个错误的概率""而，因而，至少出现三个错误的概率为2=呼=50Dx=1利用普哇松定也求近似值，取500,于是上式右靛等于=0.030301日与&2.14某厂产品的不合杼品率为0.05,现在要把产品装箱.若要以不小丁0.9%概率保证每箱巾至少有10。个合格品,那么每箱至少应装多少个产品？羿设每箱至少装做打个产品，其中有七个次永则要求乙使0.9升°：+加3上°9产109汇才查苦哇松分布数值表，得5。利用昔哇松分布定理求近似值，取4=(100+力乂。03叱于是二式相当干3制2.15设二线随机三量

33、&的联合分布列为：汽6.七刀.用"51-尸(4)0,0<p<l)A1M与flJ加好M)'u'吻=QI,/«=0,12,-求边际分布外解即3作()小鲁二8广六“ns=«=0,1,4引式?=w)=XF&=/力=阳)=-7-玄/。-夕广”Zo川仁加例-由“力fl?=必8SU/,4川a2.17在一批产品中一等品占阶,二等品占30%,三等品占2弊。从巾任取4件，设一、二、三等品的件数分别为:、人C,求C几G的联合分布列后各自的边际分布前。P(m=n,(=k)=-05M0.3,0.2z.,1t解加月!见，mm*=423,4m+?i+

34、上=4Rf=n)=彳 0.50.5i呵w = 0J2&4.p(i)=o.3”Q7i、，«=0W,4.P=fc)=PV2*0.8*，上=0,1,2以2.12兆梆二次均勺的傻币，以表示出现止面的次数，以。表示正面出现次数与反而出现次数之差的绝时喧，求代的联合分布到及边际分布列。2.21设随机变量q与？独立，且处二】)=尸("1)=>>0,解出7=1=*0)产伤=0)+F«=1)产伪=1)«-P)，+/F(,=0)=汽。=0)尸=1)十产0=0)P(7=1)=2p(1p)又 RG = D)=故=0) = ： _ N > 0,定义

35、9;1若为次偶数0若分办奇数，问，取什么值时。与独立？而砥=L,=D=我=L"D=叫由R红L7=D=Rf=砥；=D得PF-P5-±1)-22.22设障机变量4与？独立，且尸付=±1)-2,定义,二，证明<4?两两独立，但不相互独立.p(7=D=9g=DP(7=1)+尸q=-i)P(7=-D=：证明277=-1)=9值=1*8=-1)+产(4=一1)9(7=1)=3/至=!.<=D=1分=D=：_尸工一T)产厂.n因为4_I)依="=-1)=*"力=-1)="汽">'=_)式£=-14=1)

36、=产料=-|刃=-1)=：软"_)H？=1)R"T7=T)=FC5=】)=Z汽"7代7=7所以7,相互独立。同理“与？相互独立。但是P需=1历=1,7=1)+ag="S=DR7=1),因而7，助不相互独立。上e,户6+歹=无)=2,2二23“122.23设随机爻量4与？漱立，且只取值1、2、3、£5、6,证明，十？不肋人均多分(即不可能有11。)证明设汽1=的=%,也=七=九,尢=12.6。依十0=2)=用=2,3,72若11，则产("0=2)=0%=(产G+不=7)=。6+。2的+601=5产(4十=12)二,606=5(3)将式减

37、去式，得：（外一历必0,于是%5。同理/西。因此".心石，与（3）式矛盾。02. 24已知随机变量4的分布列为匕fi2R112 正P(r)= 2) = -P(7 = 2 + -) = -解分布列为4,32,27二石j + 2与7=8泻的分布列。产4=2+争=：八 j J(7=T)= J 产(7=0) = ：2(7 = 1)= J的分布列为4,2,4。（-2 -1 I3I 1 t I II2.25已知其散型随机变量的分布列为156弓正五产=0)= J 尸 07=1)解5.7130,尸=4)=1人求4的分布列.11302. 26设离散型随机变量曲歹的分布冽为L I3、 £SJ

38、.",fo nI 2总 Jj9月4与歹相互独立.求7= 6"的分布列。ro£ 2_1 1 ±16 24 4 24227该独立随机爽量”7分别服从二项分布.改上;八.与以为与？），求力士附分市列。解设为久重贝努里试将中事件）发生的次姒（在每次试垃中二=P）,?为小里贝努里试嘘中事件乂发生的次数（在姆次试股中P（A）=P）,而4与人相互独立，所以4,7为町垂贝努里试验中事件/发生的次数.因而2. 22设4与"为独立同分布的禽散型随机变与，其分布列为尸（4三找）=尸（7=）=；，八三12,求;十的分市列II另一1产S4=x）=ZH：£=S=

39、-A：）=X2rr7=hAJ2.29 设随机变量6具有分布；户("Qy123.4.5,求吟研及打口2。=1(14-2+3+4+5)=3+23+3?+42-hS3)=11筋,5,52(0+2)a-*，+4彩+4二2723。设陵机麦量C具有分市，的,看八1,2,二求解一"静嗡针口& = E2 - (jE)a = 2=2 砥，' 承（JJL.1JL-1=6引=(T)2. 31设高散型述机艾量：的分布列为t，注1=工斤_12上,21".间6是否有数学期里？VlC-1）|.r-=V-vl解一k2一3因为级数一加发散，所以没有教学期考2.32 用天平秤某种物品

40、的至旦（注码仅允许放在一个秤盒中）.物品的宏旦以相同的概率为1克、2克、10克.现有三组硅码;（甲祖）1,2,2,5,10（克）（乙组）1,2,3,4,10（克）（丙组）1,1,2,5,10（克）问哪一组硅码秤重叼历用的平均徒四效最少？常设么、的、4分别表示及甲组、乙组、丙组祛码秤重时所用的袪码数，则有极品圭量度1234567891011221223311111222331123122341于是破1=(1+142+2+1+2+2+3+3+1)=1.8E刍二。+1+1+1+2+2+2+3+3+1）=17（1+1+2+3+1-2+2+3+4+1）=2所以，用乙组硅屿秤重归所用的平均祛6骏攵最少2.

41、33 某个边长为50。米的正方形场如，用航空冽量法冽得边长的误差为，。米的概率是0.49,土1。米的概率各是。.16,土20米的概率各是0.08,±30米的概率各是0.05,求场地面积的数学期望。解设场地面积为S米一边长的浜差为4米，则$=9+50。）2且再=0优2=2（H?xCH6+20'x008+3CpxU.0=186所以房石R+SOO）?-EE+1000£+250000-250186冰?）2.34对三架仪器讲行检技，各仪器发生故障是独立的，且榭生分别为八、尸，外。试证发生故障的仪器效的数学八十八+尸工1常架仪器友生故障j=1.2.,0+v/wJsj8ccmK主

42、故障4为发生故獐的仪器数，则行,F©】）外.123,所以£4=e或+5刍+左右=2.37如果在15000件产品中有1。00件不合格品,从中仟话推取150件进行检吉，求吉得不合格品数的勃学期解谈，014则心的分布列为I正正人因而-1“协=运。设为查寻的不合格品数，则woA】1人立"汇防=10.所以 72. 38从数字0, 1,n中任取两个不同的数字,求这两个数字之差的绝对值的教学期望解设为所选两个奴字之差的绝对信L,则产«:幻二 ,一&：，,k = l,2,"ITJ2 =不于是分 5 + 1)博十12.39把数字12速任意在排成一列，如果

43、数字化恰好出现在第上个位置上，则称有一个匹配，求匹配数的数学期望。1数字上出现在第小位置上0数字坏在第小位置上则费的分布列为:£人=尸（4=1）=-,于是2. 40则 ，因而力，设匹配数为自,设4为取非负整数值的随机变量，证明:碇=£9（4之力）»-1必=22>尸（空切-优（优+1）.（2）1证明（1）由于*q存在，所以该级数绝对收敛。从而鳄=ixc=冷二火次?（”=）=百次产（"=乞py训a*=£="）（2）存在，所以级数”也绝对收敛，从而M=彭、彭-改的*）=&（"*（"6E&®

44、+1）-22£iPS-）一再回+1）-2冷-EKE&+1），】7=22>?（肄力）-缁（第+1）.2.4；在贝努里试验中，每次试验成功的概率为了，试验进行到成功与失败均出现时停止，求平均试验次数。解设成功与失败均出现时的试验次数为九则P（f>1）=1,R"=。1+广4=23（4=1一。）利用上题的结论，=反4之1）+二1+1上42从也个白球、修个黑身的袋中境遇.直至模到白建时停止如果11）摸殍是为返回的.慢球是返回的，试对这两种不同的摸球方式求；生出黑球版的数字班望.解%2*13对一批产品讲行椅聘，如果桧杳到第4”件俨未发现不合格品就认为这批产品合格，如

45、在茴未抽和第/件时已校百到不合格品即停止羿脸查，且认为这批产品不合格.设产品数量很大，可以认为每次检查到不合格品的概孳都是甲，向平均每枇导检直全少件T解%2.44流水作业统:生产出的碍个产品为不合格品的概率产，当生产出十个不含格品时即停工检修一次，求在两次检修之产品总戮的数学期学与方差.禹J=E2解埃第I个不白格出现后到第1个不合格品出现时的产品数为"r三】2上又在两次检惨之间产品总数为4则L因易独立同分布K焉=）=-一小y厂12,一修=:一河，由此得,X鼻=X%产1中，MJP,百一£1加以e=£用焉=口占=£二4二"）更*-1P,口步4Z变谊

46、随机变量4与不独立.且方差存在.则有门修协,口4以千/d不卜口jy（由此并可提。匕加兰上孙证明Q遣确=左43二点±5/»&7）'=且用才1百贵（耳甲丁丁啊:评（尸一（£身、耳甲尸=EDv-EDt=D-D¥（,E£刀+门倒f工甘西数华帖中先后按下列两种情讥任取两个数，i*上和%口）第一个教取后放回，再取第二个数m（G第一个数取后不放回就取第二个数，求在盯=妣口三上M沔的条件下4的分布列.扁年13乐。=* =。1.一，分1 O声7=>C2)2. 49在“次贝第里恢验中.士件4出现的4蛾军加广.今市TTO在怜上次;胃咽心中川出班

47、 拄用¥次试装中川下山题严匚口 £ k S小的乐怦下,刍8-=- 的分行列.户y =殳I 4； +刍=z>儿工+ 一4广（峭, - II '九十十蝶r -2. 50设随机空量光'-44；证日月一工第= m户<第=/Y； +毫=6KW +当=R帏互百更立.分汨“腕从专注/1/,工与-4口的背口圭松分布.徒5正H-ft产尧子其冷由背口丰松分布的可力口性矢【I4士工月伸从企徵沏儿t且二甘背口圭松分市，所以卜4AFTl，工二zj rj为k介寺目互可由华幅才几变壬.口/口 W*W产口月良从同一.几何分巾.fiP7f1氏1M, X尸工具卬寸=1 7 .试-证

48、明在1 I与 Y ='的条件下，匕",，41出分市是均勺分布,即尸（量",山叫I14端4I心证明产41 - 0k,力-用，I * *克 网点=.当脸广一“一九 算中十七十十事=前E '4 - 3 ,.'1 一 久 .弓 1 十，二 一”？H %，+ % =m凡学】+Y.-«）心于愿.的.,配相互独立且班从同一几何分亦，所以X£口中尸31)=g蓝TIK1L-_>从而玳用'妙U一？%一%I£十之十-T冬TM）第三章连续型随机变量3. 1设随机变被忑的分布函姒为广（冷，试以尸（总表示下列脚率：（1）户（季=0兀（

49、2）代、（3）户1二逐）,（4）.解；（1）.尸S+。）一方3>§（2） F苣工=?（逐+0）b（3）尸”之乃力一户,（4）尸d>"）=1尸5+。）.3. 2函数声（"'=丁量是否可以作为某一随机变星的分布函数，如果（1）OO<X<oo7F（2）0VKV8.在其它场合适当定义；（3） -gvxv。，在其它场合适当定义。解：（1）砥K）在_8,00）内不单调，因而不可能是随机变量的分布的数.（2）尸（为在（0,8）内单调下降，因而也不可能是随机变量的分布函数I（3）尸（为在C-8Q内单调上升、逢续旦尸（一8Q）,若定义尸（K）O0&l

50、t;x<0尸（X）=、'1xS0则冒6可以是某一随机变量的分布函数。1 .函数m«是不是草个随机支教4的分布室度？如单二的取值范围为3rc10,>T|2)0,R；(3)20解，(2)C3)（1）当xc掌n寸，叩K*u且皿工以所以皿X可汉是某个随机变量的分布空度:囚为LM3=2*,所以皿X不是随机变量的分布每度；r3】XG（7F,H当20寸，cinxV。，所以ssk不是随机变量的分布密度.3.4设障机变颜e具有时称的分布密底函数a）.即。二汉一。证明:（2）p（图<a）-2尸®-l；（3）/周>a）=2l-尸,证；"（-"）

51、=匚"（丁汝,=1一匚>8）”'方仟意的>«有（1）F(p)=l50)=3-1团公_1+尸(一1)办=1-ppgiT一尸a）=i-办-“加=；-Qa）dx叫卜册=2|>5）加由知F（a）-rp（x）dx1-/故上式右端=2"（°）T.网”）.1-P旗|<a）-I-2尸-12（1-尸。3.5设尸】与其（力都是分布函型，又。>°，b>°是两个常数，且“十5=1。证明F（x）=*（x）十瓦70）也是一个分布团数，并由比讨论，分布函数是否只有禽散型和连缤型这两种类型？证，因为玛与鸟都是分布函数,当.

52、V叼时,死5）,&啊），玛（“与氏）,于是尸（西）=。尸1（百）十小玛（G）Wa*（x。+3巴（叼）=尸（均）又lim"（%）=lim。区（玲+泾（4）=0XTyim«=Lma2;1（x）+2>（z）=a+2>=lt-）*20Xf8F（x-0）=。死（x-0）+b%（x0）=0用（）+5产2R=尸（x：所以，尸（x）也是分布函数。-1a=6二一取2,又令0x<01x>0吊(x)=，这时01+xT-ikSO0VxMlk>1显然，与FS)对应的隧机变量不是取有限个或可列个值，故尸5)不是岛散型的，而外用不是连续函数，所吠它也不是连续空的.3

53、.6设喷机变数4的分市函数为尸二求相应的定度函数，并求产上1(1+A>f=W解；4,所以相应的密度函数为2pq<i)=产。)=1-©.3.7设反司机变数。的分布函数为0x<Ax20<x<11xNl求常数力及密度由数。解，因为气1一°)=旗1),所以上=】，空度函数为2x0<x<10其它3.8解:随机变数e的分布函数为户3=N+*尸"/,求常数/与B及相应的由度函数。limM=A0因为一2lirrtX->4O所以因而F(x)=尸(x)=尸9=-!-272K兀(1+k，)O3.9已知随机变数岁的分布函数为0<x&l

54、t;1AO)1<x<2其它1.2.求相应的分布函数声仍兀求。(Jv0.5),P&>1.3),尸(0.2vJ<1.2)oM：01°、砂=#於分十(2-.砂=2万-1-11<a<2F谴v0.5)=尸(0.5)=3OFG=1-F(1,3)=0245尸(0.2vJ<1,2)=9(1.2)肝(0.2)=0663.10确定下列函数中的常数工,使该国数成为一元介布的需度函数。1 <x <22 <x <3 其它-<x < 2 一上 其它力公=2月0-"小=2A=fkA=-解.(1)J-%2.2rx2,/c

55、osxdx=242CosxdK=2A=1F°,所以A=2；PAx2dx4-广AxJr=1A=(3) J1h&，所以29。3.12在半径为R,球心为0的球内任取一点R求>。尸的分布函数。解.当0工工工友时。3斤尸"<X)=1一水,3所以0x<0产(封='(*30<x</21x>R.3.13某城市每天用血量不超过一百万度.以3表示每天的耗电率(即用电量除以一万度),它具有分布密度为,、fl2x(l-)20<x<1出气o其它若该减需每天的供用空仅有80万度，求供电量不够需要的概率是多少？如每天供电量90万度又是怎样呢

56、？解>0.8)=12x(1-x)2dx=0.0272P8>0.9)=12x(1-x)2x=0.0037因此，若该城言每天的供电量为80万度，供电量不防需要的概率为。.。274若每天的供电量为90万度，则供电量不梦需要的概率为0.0037,1 .设即机变祗之服从(0.5)上的均勺分布.求方程4/+4#+4+2=0有实根的概率。解：当且仅当(40=16(4+2)X0成立时，方程4,+43+4+2=°有实根。不等式(1)的解为JN2或勺£-1。因此，该方程有实根的概率衣=尸匕=2)+9/£1)=网上=2)=；*=?3.17某种电池的寿命4服从正态"(d)分布，其中。三300(小时)，。三35(小时)(1)求电池总命在25。小时以上的概率；(2)求x,使辱