第二章 数据的机器层次表示

1、第二章 数据的机器层次表示第二章 数据的机器层次表示2.1 数值数据的表示2.2 机器数的定点表示与浮点表示2.3 非数值数据的表示2.4 十进制数和数串的表示2.5 现代微型计算机系统中的数据表示举例2.6 数据校验码 第二章 数据的机器层次表示2.1 数值数据的表示2.2 机器数的定点表示与浮点表示2.3 非数值数据的表示2.4 十进制数和数串的表示2.5 现代微型计算机系统中的数据表示举例2.6 数据校验码 2.1 数值数据的表示预备知识：进制以及进制转换二进制、八进制、十进制、十六进制的相互转换，如图2.1 数值数据的表示什么是真值，什么是机器数（机器码）？一般地,直接用正号“+”和负

2、号“-”来表示符号的二进制数,叫做符号数的真值真值。当使符号数值化以后,就可以在计算机中使用它。计算机中使用的符号数叫做机器数机器数。 真值与内存的二进制不一定是自动转换的关系2.1 数值数据的表示真值在计算机中的存在形式（机器码）的表示与设计该机器时候所规定的数值的表示法有关。机器码的表示方法有：原码补码反码移码如 1 这个真值 在补码表示的计算机的内存中机器码为111111112.1 数值数据的表示1、无符号数和带符号数无符号数：整个机器字长的全部二进制位均表示数值位。带符号数：带有“+”或“-”的数，一般在计算机中用“0”表示“+”，用“1”表示“-”。问题：在计算机中怎么区分一个数是无

3、符号数还是带符号数？2.1 数值数据的表示你自已决定是否需要有正负。就像我们必须决定某个量使用整数还是实数，使用多大的范围数一样，我们必须自已决定某个量是否需要正负。如果这个量不会有负值，那么我们可以定它为带正负的类型。在计算机中，可以区分正负的类型，称为有符类型，在计算机中，可以区分正负的类型，称为有符类型，无正负的类型（只有正值），称为无符类型。无正负的类型（只有正值），称为无符类型。数值类型分为整型或实型，其中整型又分为无符类数值类型分为整型或实型，其中整型又分为无符类型或有符类型，而实型则只有符类型。型或有符类型，而实型则只有符类型。字符类型也分为有符和无符类型。字符类型也分为有符和无

4、符类型。比如有两个量，年龄和库存，我们可以定前者为无符的字符类型，后者定为有符的整数类型。2.1 数值数据的表示使用二制数中的最高位表示正负。首先得知道最高位是哪一位？1个字节的类型，如字符类型，最高位是第7位，2个字节的数，最高位是第15位，4个字节的数，最高位是第31位。不同长度的数值类型，其最高位也就不同，但总是最左边的那位（如下示意）。字符类型固定是1个字节，所以最高位总是第7位。(红色为最高位)单字节数： 1111 1111双字节数： 1111 1111 1111 1111四字节数： 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111当我们指定一个数量是无

5、符号类型时，那么其最高位的1或0，和其它位一样，用来表示该数的大小。当我们指定一个数量是无符号类型时，此时，最高数称为“符号位”。为1时，表示该数为负值，为0时表示为正值。2.1 数值数据的表示无符号数和有符号数的范围区别。无符号数中，所有的位都用于直接表示该值的大小。有符号数中最高位用于表示正负，所以，当为正值时，该数的最大值就会变小。我们举一个字节的数值对比：无符号数： 1111 1111 值：255 1* 27 + 1* 26 + 1* 25 + 1* 24 + 1* 23 + 1* 22 + 1* 21 + 1* 20有符号数： 0111 1111 值：127 1* 26 + 1* 2

6、5 + 1* 24 + 1* 23 + 1* 22 + 1* 21 + 1* 20同样是一个字节，无符号数的最大值是255，而有符号数的最大值是127。原因是有符号数中的最高位被挪去表示符号了。并且，我们知道，最高位的权值也是最高的（对于1字节数来说是2的7次方=128），所以仅仅少于一位，最大值一下子减半。不过，有符号数的长处是它可以表示负数。因此，虽然它的在最大值缩水了，却在负值的方向出现了伸展。我们仍一个字节的数值对比：无符号数： 0 - 255有符号数： -128 - 0 - 1272.1 数值数据的表示一个带符号数，如果是正的，在计算机中和无符号数相同，用原码表示，如果是负的用补码表

7、示，下面我们讲一下原码和补码的概念。2.1 数值数据的表示1、 原码表示 1）定点小数的原码 定义： 设X是一个二进制表示的真值，形如 0.x1x2x3xn,其中 xi=0,1，设X原为原码形式表示的机器数， 则： X原= 在X原中用 0 1来表示 +、号 0正负10101XXXX2.1 数值数据的表示 举例：设有一个小数（二进制）+0.1010110，则在使用原码作为表示法的计算机的内存中的机器数是多少？（简而言之， +0.1010110 的原码是多少，或 +0.1010110 原=？） -0.1011011原=？ 解： +0.1010110 原= 0.1010110 (第1个0是符号) -

8、0.1011011原 = 1.0000000 (0.1011011)= 1.0000000+ 0.1011011= 1.1011011注意，在计算机中小数点是人为规定其位置，并没有一个小数点存在。2.1 数值数据的表示 原码的性质：最高位表示符号 0-正 1-负0的原码有两种形式 +0 -0仅从机器数的值而言，负数的原码大于正数的原码 如 0.1010110 在机器中表现为 01010110 而1.1011011在机器中表现为 11010110 （小数点是程序自己确定，计算机只管保存和运算）2.1 数值数据的表示2）定点整数的原码 当我们约定小数点在数的最后，则机器数表示整数。整数的原码定义：

9、设X是一个二进制表示的真值，形如 x1x2x3xn,其中 xi=0,1，设X原为原码形式表示的机器数， 则： X原= 在X原中用 0 1来表示 +、号 0正负11120202nnnXXXX2.1 数值数据的表示举例：设机器的字长为8位（即n=8）则 +1010100原= 01010100 -1010100原= 10000000 (-1010100)= 11010100 3）原码的优缺点 优点：利于实现乘除 不方便实现加减2.1 数值数据的表示2、 补码表示 调整手表到标准时间，可以有两种方法：加法和减法 10 + 5 (mod 12) =3 10 7 (mod 12) =3由于有模运算的存在，

10、我们可以把减法变成加法来进行；而且计算机运算的位数有限，也可以看成一个钟表2.1 数值数据的表示设计算机字长为n位，则数将在000 到111总数为个数的范围内；因此，我们可以把 看成模，则运算的结果取模后也必然在这个范围内。对于计算机的表示数而言，补码定义分定点小数和定点整数的补码定义。 定点小数的补码定义 即 正小数的补码是自身，而负小数的补码要加上201,210,XXXXX补2.1 数值数据的表示这个定义在数轴上的意义如图：举例： +0.1011011补=0.1011011 -0.1010110补=2+(- 0.1010110) =10.0000000 - 0.1010110 =1.010

11、1000注意：最前面的是符号位，其实负数相当于被移动到1 ,2)区间，还要提示一点，在计算机中小数点的位置是我们约定的。如第2个数存储在内存：定点小数即我们约定小数点在最高位后的数。2.1 数值数据的表示 定点整数的补码设字长为n位，则数的范围是-2n-1, 2n-1)则定点整数的的补码定义是：假设字长8位，则： +86补 = 01010110 -86补 = 28+(-1010110) =100000000-1010110 =10101010也就是说，在补码表示的计算机中-86保存为计算-1在16位补码表示，体验 int i=-1;unsigned int j =i;02,220,11XXXX

12、Xnnn补2.1 数值数据的表示补码的性质：(1) 补码的最高位反映了真值的正负；(2) 0补只有一种形式，这由定义可以看出；(3)负数的补码从值上看是大于整数的补码（符号位也表示值时）2.1 数值数据的表示课堂练习：为什么原码不方便加减？要使用补码？计算下列真值的补码(n=8)，多余的数据不要：0.125补 = ？ -0.3567补=？ -0.2853补=？ 65补 = ？ -113补 = ？ -3补=2.1 数值数据的表示4、反码表示也有定点小数反码和定点整数反码；(1)定点小数反码 定义：设X= 0.x1x2xn-1 则定点小数反码定义为：注意到 0在两个公式中都包括。11120202n

13、nnXXXX2.1 数值数据的表示举例+ 0.1110100反=0.1110100-0.1101011反=2-2-8+1+（ -0.1101011） = 10.0000000 0.0000001 0.1101011 = 1.0010100 与 0.1101011 逐位比较，得出结论： 反码实质上是正数不变，负数的反码是原码各位求反 0-1, 1-0得到。2.1 数值数据的表示(2)定点整数反码 定义：设X= xn-2xn-3x1 x0 则定点整数反码定义为：注意到 在两个公式中都包括0 。类似，-1010011反=0010110002,1220,11XXXXXnnn反2.1 数值数据的表示原码

14、、反码、补码比较：(1) 三种编码的最高位都是符号位。(2) 当真值为正时，三种编码的符号位都用0表示，数值部分与真值相同。 即它们的表示方法是相同的。2.1 数值数据的表示(3) 当真值为负时，三种编码的符号位都用1表示，但数值部分的表示各不相同，数值部分存在这样的关系：补码是原码的“求反加1”(整数)，或者“求反末位加1”(小数)；反码是原码的“每位求反”。(4) 它们所能表示的数据范围，基本上是一样的，-2nX2n(整数)或-1X1( 小数)，只是补码多表示一个数-2n(整数)或-1(小数)。第二章 数据的机器层次表示2.1 数值数据的表示2.2 机器数的定点表示与浮点表示2.3 非数值

15、数据的表示2.4 十进制数和数串的表示2.5 现代微型计算机系统中的数据表示举例2.6 数据校验码 第二章 数据的机器层次表示2.1 数值数据的表示2.2 机器数的定点表示与浮点表示2.3 非数值数据的表示2.4 十进制数和数串的表示2.5 现代微型计算机系统中的数据表示举例2.6 数据校验码 2.2 机器数的定点表示与浮点表示前面介绍了数在计算机中表示方法(编码)，现在讨论小数点的问题，在数据保存到内存时，不用考虑小数点的符号也要放进去，在设计计算机或在指定数据类型时，就有了默认的小数点位置。如01010100 如果我们把它看成纯小数，则相当于有一个小数点在最高位和次高位之间；如果我们把它看

16、成纯整数，则相当于有一个小数点在最后；虽然我们不需要专门的空间来存储小数点，但我们可以考虑是定点表示还是浮点表示。2.2 机器数的定点表示与浮点表示数据的表示常用的有两种：定点表示法和浮点表示法1、 定点表示法： 指小数点被约定的位置不变，一般有两种形式 一种是纯小数，另一种是纯整数；注意：这个小数点是我们约定的，计算机的CPU并不知道，如果要显示出来，则通过我们的程序加上小数点显示出来；2.2 机器数的定点表示与浮点表示1）定点数的范围（1）n位长（1位符号位，n-1位数值)的定点纯小数的范围 考虑原码方式和补码表示方式： 原码定点纯小数 ?0000000 ?表示符号位，符号位后认为有一个小

17、数点 正数 00.00 - 01111.11 0 1-2-n+1 负数 10.00 - 11111.11 0 -(1-2-n+1) 小数点默认在符号位后。所以范围是-(1- 2-n+1),1- 2-n+12.2 机器数的定点表示与浮点表示补码定点纯小数 按定义，补码有 -1 X 故包含 -1 X1 所以不包含 1 所以， 数的范围 -1,1) 因为 不到 1 ，而数据的最小单位是 0.00.1 所以 -1 1 -2-n+1是其范围2.2 机器数的定点表示与浮点表示（2）n位长（1位符号位，n-1位数值)的定点整数的范围 原码定点整数 正数： 000.00 01.111 02n-1-1 负数：

18、100.00 11.111 0-(2n-1-1) 所以原码的范围 -(2n-1-1), 2n-1-12.2 机器数的定点表示与浮点表示补码定点整数 按补码定义说明负数到-2n-1，而正数不到2n-1，差0.01，因此，补码的范围是-2n-1， 2n-1)即 -2n-1， 2n-1-12.2 机器数的定点表示与浮点表示如果表示为无符号数，则所有的位都表示为数值，则从 00.00到11.11数的范围是02n-1例如：在C语言中(C语言程序)： int i ; /* i的范围是 -3276832767*/ unsigned int j ; /* j的范围是 065535*/注：int的字长是2个字节

19、(即sizeof(int)为2 )共16位，类似的，char类型的范围是 128127，而unsigned char 的范围是 02552.2 机器数的定点表示与浮点表示2、 浮点表示法1)浮点数的构成 先看常用的表示大数的一般形式： 60000 = 0.6 105 N m Re其中 N称数值, m称尾数, R称基数, e称阶码或指数如果在计算机中表示，则进制是确定的R=2,没有必要为一个不变的数2专门用空间存储，因此，要在计算机中保存一个数值N,只要保存m和e就可以了。2.2 机器数的定点表示与浮点表示在计算机中，用长为n位的二进制来表示浮点数N的值：其中，指数e有正负，尾数m也有正负。由一

20、般我们所了解的10进制形式，如 x=a 10b 知道：b越大，则x能表示的值就越大，所以b所能达到的大小直接反映了x的范围，而a的位数多少则反映了x的精度，例如：3 1013比3 1010的范围广；而 3.141592 104比3.14 104的精度高。2.2 机器数的定点表示与浮点表示所以在上面的定义中，e表示了数的范围，而m表示了数的精度。e的位数越多，则能表示的数的范围就越大，而m的位数越多，则能表示的精度就越高，例如C语言中的float和double类型的比较。 float pi1=3.14259265 ;/*精度不够，舍弃*/ double pi2 = 3.14159265358979;浮点数的符号由尾数的符号决定，而指数也有符号，尾数的符号称数符，而指数的符号称阶符2.2 机器数的定点表示与浮点表示如图：例子：假设要设计一台计算机，希望能表示的数的范围是1.0