第3章力系平衡方程及应用

1、第第3章章 力系平衡方程及其应用力系平衡方程及其应用 yyyy年年M月月d日日主讲人主讲人:静静 力力 学学 篇篇理论力学简明教程理论力学简明教程静静 力力 学学 篇篇理论力学简明教程理论力学简明教程 由第由第2章章力系简化结果可知：力系简化结果可知：任意力系平衡的任意力系平衡的充要充要条条件是该力系的主矢和主矩皆为零件是该力系的主矢和主矩皆为零，即，即0RFF0)(FMMOO得投影式得投影式 ，0 xF，0yF0zF， 0 xM， 0yM 0zM此即空间任意力系的此即空间任意力系的平衡方程平衡方程。式。式(c)(c)是式是式(a)(a)的的充要充要条件。条件。0)()()(222RzyxFF

2、FF0)()()(222zyxOMMMM必有必有 (a)(a) (b)(b) (c)(c) 第第3 3章章 力系平衡方程及应用力系平衡方程及应用STATICSTHEORETICAL MECHANICS第第3 3章章 力系平衡方程及应用力系平衡方程及应用STATICSTHEORETICAL MECHANICS 当力系中的所有力的作用线位于同一平面时，该力系称为当力系中的所有力的作用线位于同一平面时，该力系称为平面任意力系。平面任意力系。 若若Oxy平面为力系作用面，则显然有平面为力系作用面，则显然有00yxMM，000OyxMFF，式中式中, x 和和 y 是直角坐标系的坐标轴，是直角坐标系的坐

3、标轴，而点而点 O 是力系作用平面内的是力系作用平面内的任意一点任意一点。0ZF ，因此因此,平面任意力系的平衡方程为平面任意力系的平衡方程为这是这是 注：注：式中，式中， 投影轴投影轴 x 和和 y 可不正交，但不得平行。可不正交，但不得平行。n第第3 3章章 力系平衡方程及应用力系平衡方程及应用STATICSTHEORETICAL MECHANICS【例【例3-1】 已知 q（单位长度载荷)，a ， ， ， ， 21FFqaF 1qaF23 简支梁的载荷和尺寸如图。 求：A，B处约束力。第第3 3章章 力系平衡方程及应用力系平衡方程及应用STATICSTHEORETICAL MECHANI

4、CS【例【例3-1】解】解以梁为研究对象，画出受力图： F1，F2构成一个力偶，对任意点的力矩等于力偶矩，对任意轴的投影为零。 F1=qa ，M = qa2 分布力(均布载荷)合力作用线位于AB中点。第第3 3章章 力系平衡方程及应用力系平衡方程及应用STATICSTHEORETICAL MECHANICS【例【例3-1】解】解 0AM0345sin2222 aqaaFaqaqaBqaF23 0 xF045cos2qaFAxqaFAx 0yF045sin22qaFqaFBAyqaFAyqaFB2已知已知第第3 3章章 力系平衡方程及应用力系平衡方程及应用STATICSTHEORETICAL M

5、ECHANICS【例【例3-2】图示直角弯杆，A端固定，载荷如图。已知: q，F，M，a，b，q ；求：支座A处的约束力。第第3 3章章 力系平衡方程及应用力系平衡方程及应用STATICSTHEORETICAL MECHANICS【例【例3-2】解】解以直角弯杆为研究对象，画出受力图：第第3 3章章 力系平衡方程及应用力系平衡方程及应用STATICSTHEORETICAL MECHANICS【例【例3-2】解】解列平衡方程(坐标系如图)0AMAMMbFcos3/)2/(bqb0AM6/cos2qbFbM0 xFAxF2/qbcosF0AxF2/cosqbF0yF0sinFFAysinFFAy第

6、第3 3章章 力系平衡方程及应用力系平衡方程及应用STATICSTHEORETICAL MECHANICS（两矩式）（两矩式）（三矩式）（三矩式）A，B 连线不垂直于连线不垂直于轴轴xA，B，C三点不三点不在同一条直线上在同一条直线上 000 xABFMFMF 000ABCMFMFMF第第3 3章章 力系平衡方程及应用力系平衡方程及应用STATICSTHEORETICAL MECHANICS3.1.3 若作用在平面若作用在平面Oxy内的所有力均内的所有力均平行于轴平行于轴y，显然有，显然有00OyMF，000OyxMFF， 0 xF则平面平行力系的平衡方程为则平面平行力系的平衡方程为第第3 3

7、章章 力系平衡方程及应用力系平衡方程及应用STATICSTHEORETICAL MECHANICS 图示为行动式起重机，已知b = 3 m，W1 = 500 kN，e = 1.5 m ，起重机的最大载荷W = 250 kN ，l = 10 m 。欲使起重机满载和空载时不倾倒， 求: 平衡重W2，设a = 6 m。【例【例3-3】第第3 3章章 力系平衡方程及应用力系平衡方程及应用STATICSTHEORETICAL MECHANICS【例【例3-3】解】解以起重机为研究对象，画出受力图 ( 注：对于单体研究对象，在不引注：对于单体研究对象，在不引起混淆的情况下允许在题图上画受力起混淆的情况下允

8、许在题图上画受力图，此时应理解为约束已解除，从而图，此时应理解为约束已解除，从而画出其相应的约束力。画出其相应的约束力。) （1）满载保证机身不向右倾倒，临界情况:，0AF 0BM)(2baWeW1Wl0kN36112baeWWlW第第3 3章章 力系平衡方程及应用力系平衡方程及应用STATICSTHEORETICAL MECHANICS【例【例3-3】解】解（2）空载时W=0，保证机身不向左倾倒，临界情况:，0BF 0AM012ebWaWkN37512ebaWW因此，平衡重W2 之值应满足以下关系： 361 kN W2 375 kN 注：平衡稳定问题除满足平衡条件外，还要满足限制条件。所得关

9、系式中等注：平衡稳定问题除满足平衡条件外，还要满足限制条件。所得关系式中等号是临界状态。工程上为了安全起见，一般取上、下临界值的中值，本例可取号是临界状态。工程上为了安全起见，一般取上、下临界值的中值，本例可取: kN3682W第第3 3章章 力系平衡方程及应用力系平衡方程及应用STATICSTHEORETICAL MECHANICS00yxFF，设作用在平面设作用在平面Oxy内的平面汇交力系之汇交点为内的平面汇交力系之汇交点为O，则，则 0OM因此，因此，平面汇交力系平衡方程平面汇交力系平衡方程为为此方程常用于第此方程常用于第4 4章平面桁架的章平面桁架的节点法节点法。第第3 3章章 力系平

10、衡方程及应用力系平衡方程及应用STATICSTHEORETICAL MECHANICS【例【例3-4】求图示粱的A，B处的约束力。第第3 3章章 力系平衡方程及应用力系平衡方程及应用STATICSTHEORETICAL MECHANICS【例【例3-4】解】解 本题可用三力平衡汇交定理确定约束力的作用线(如图a) 也可采用平面任意力系的受力图(如图b)建议读者分别用图a，图b进行计算后比较。第第3 3章章 力系平衡方程及应用力系平衡方程及应用STATICSTHEORETICAL MECHANICS对平面对平面力偶系力偶系，其投影方程恒有，其投影方程恒有00yxFF，0M 因此，因此，平面平面系

11、系平衡方程为平衡方程为第第3 3章章 力系平衡方程及应用力系平衡方程及应用STATICSTHEORETICAL MECHANICS【例【例3-5】 圆弧杆AB与折杆BDC在B处铰接，A，C处均为固定铰支座，结构受力偶M如图所示，其中r，M 已知， l = 2r ， 求: A，C处约束力。3.1 平面力系平衡方程平面力系平衡方程第第3 3章章 力系平衡方程及应用力系平衡方程及应用STATICSTHEORETICAL MECHANICS【例【例3-5】解】解圆弧杆圆弧杆AB为为二力构件二力构件(关键一步判断)。整体受力图： C 处有一个方向待定的约处有一个方向待定的约束力，为保持系统平衡，约束束力

12、，为保持系统平衡，约束力力FC 和和FA 必组成一个力偶，必组成一个力偶，与主动力偶平衡。与主动力偶平衡。3.1 平面力系平衡方程平面力系平衡方程第第3 3章章 力系平衡方程及应用力系平衡方程及应用STATICSTHEORETICAL MECHANICS【例【例3-5】解】解 0MMCEFC0rlrCE2232222CFAFrM32负号负号表示实际方向与图示假设方向相反。表示实际方向与图示假设方向相反。3.1 平面力系平衡方程平面力系平衡方程讨论讨论：C处也可用两个正交力表示，用平面一般力系平衡方程求解。处也可用两个正交力表示，用平面一般力系平衡方程求解。第第3 3章章 力系平衡方程及应用力系

13、平衡方程及应用STATICSTHEORETICAL MECHANICS由两个或两个以上的物体组成的系统，称为由两个或两个以上的物体组成的系统，称为物体系物体系。物体系平衡：物体系平衡：求全部外部约束力或构件之间的相互作用力。求全部外部约束力或构件之间的相互作用力。特点特点： 取整体为研究对象分析，取整体为研究对象分析，无法求得无法求得全部约束力；全部约束力； 必须必须从中间铰处拆开从中间铰处拆开，分别取研究对象分析。，分别取研究对象分析。难点难点： 如何拆，即如何取研究对象？如何拆，即如何取研究对象？方法：一般方法：一般先取未知力最少（最好是先取未知力最少（最好是1个）的构件入手个）的构件入手

14、；即；即 从求出的部分待求量或对后续求解有用的研究对象开始。从求出的部分待求量或对后续求解有用的研究对象开始。第第3 3章章 力系平衡方程及应用力系平衡方程及应用STATICSTHEORETICAL MECHANICS【例【例3-6】图示结构由T字梁与直梁在B处铰接而成。 3.2 平面物体系平衡问题平面物体系平衡问题已知: F = 2 kN，q = 0.5 kN/m，M = 5 kNm，l = 2 m求: 支座 C 及固定端 A 处约束力。第第3 3章章 力系平衡方程及应用力系平衡方程及应用STATICSTHEORETICAL MECHANICS【例【例3-6】解】解 分别取整体和杆CB为研究

15、对象画出受力图 【整体【整体】 4个未知量，3个独立方程 【杆杆CB 】 3个未知量，3个独立方程【基本思路【基本思路】 杆CB受力图计算FC整体受力图计算A处的约束力(偶)3.2 平面物体系平衡问题平面物体系平衡问题分析分析第第3 3章章 力系平衡方程及应用力系平衡方程及应用STATICSTHEORETICAL MECHANICS【例【例3-6】解】解 【杆杆CB 】 0BMlFC 30cos2/ lql0qlFC33m2kN/m5 . 033kN577. 03.2 平面物体系平衡问题平面物体系平衡问题第第3 3章章 力系平衡方程及应用力系平衡方程及应用STATICSTHEORETICAL

16、MECHANICS【例【例3-6】解】解 【整体整体】 qlFC33kN5774. 0 0 xF30sinCF30cosFAxF0AxFFFC2321kN02. 2 0yF30cosCFlq 260cosF0AyFAyFCFFql23212kN50. 2 0AMAMlFC230coslFC30sinllq2lF230cos 0MmkN5 .10AM3.2 平面物体系平衡问题平面物体系平衡问题第第3 3章章 力系平衡方程及应用力系平衡方程及应用STATICSTHEORETICAL MECHANICS【例【例3-7】 图示平面拱架，A为固定端，B为固定铰链，D，C为中间铰链。作用力F1 = 3 k

17、N，F2 = 6 kN；尺寸a = R = 2 m 。 求: A，B处的约束力。3.2 平面物体系平衡问题（习题课）平面物体系平衡问题（习题课）分析：分析：从二力构件从二力构件CD 出发，只有出发，只有1个未知力。个未知力。第第3 3章章 力系平衡方程及应用力系平衡方程及应用STATICSTHEORETICAL MECHANICS【例【例3-7】解】解 A处未知力： FAx，FAy， MA，B处有未知力： FBx， FBy，5个未知量，3个独立方程，不可完全确定。 【整体整体】 【CD】图图a 二力构件二力构件 【CGB】图图b 3个未知量3个独立方程 【AED】图图c 4个未知量3个独立方程

18、3.2 平面物体系平衡问题（习题课）平面物体系平衡问题（习题课）第第3 3章章 力系平衡方程及应用力系平衡方程及应用STATICSTHEORETICAL MECHANICS【例【例3-7】解】解 【CD】图图a 二力构件二力构件 【CGB】图图b 3个未知量3个独立方程 【AED】图图c 4个未知量3个独立方程【基本思路【基本思路】 杆CGB受力图计算FC；AED受力图计算A处的约束力(偶)；CGB受力图计算B处的约束力。3.2 平面物体系平衡问题（习题课）平面物体系平衡问题（习题课）第第3 3章章 力系平衡方程及应用力系平衡方程及应用STATICSTHEORETICAL MECHANICS【

19、例【例3-7】解】解 【CGB】图图b 0BMRaFC245cosRFC45sin45sin245cos2RaF45cos45sin2RRF0kN5 . 4CF0 xFBxF45cosCF45cos2F0kN06. 1BxF0yFByF45sinCF45sin2F0kN06. 1ByF3.2 平面物体系平衡问题（习题课）平面物体系平衡问题（习题课）第第3 3章章 力系平衡方程及应用力系平衡方程及应用STATICSTHEORETICAL MECHANICS【例【例3-7】解】解 【杆【杆AED】图图c kN5 . 4CDFF0AMaFD245cosaF1AM0mkN73. 6AM0 xFAxF4

20、5cosDF1F0kN182. 0AxF0yFAyF45sinDF0kN18. 3AyF3.2 平面物体系平衡问题（习题课）平面物体系平衡问题（习题课）第第3 3章章 力系平衡方程及应用力系平衡方程及应用STATICSTHEORETICAL MECHANICS【例【例3-8】 图示平面构架，A，C，D，E处为铰链连接，杆BD上的销钉B置于杆AC的光滑槽内，F = 200 N，力偶矩M = 100 Nm 求: A，B，C处受力。3.2 平面物体系平衡问题（习题课）平面物体系平衡问题（习题课）第第3 3章章 力系平衡方程及应用力系平衡方程及应用STATICSTHEORETICAL MECHANIC

21、S【例【例3-8】分析】分析 【整体整体】 4个未知量3个独立方程但若对点E取矩方程可解出FAy 【杆【杆ABC】 5个未知量3个独立方程 【杆【杆BD】 3个未知量3个独立方程【基本思路【基本思路】 杆BD FB 整体 FAy 杆ABC FAx3.2 平面物体系平衡问题（习题课）平面物体系平衡问题（习题课）第第3 3章章 力系平衡方程及应用力系平衡方程及应用STATICSTHEORETICAL MECHANICS【例【例3-8】解】解 【整体整体】 0EMm6 . 1AyFM)m4 . 0m6 . 0( F0N5 .87AyF3.2 平面物体系平衡问题（习题课）平面物体系平衡问题（习题课）第

22、第3 3章章 力系平衡方程及应用力系平衡方程及应用STATICSTHEORETICAL MECHANICS【例【例3-8】解】解 【BD】 0DM30sinm8 . 0BFMm6 . 0F0N550BF3.2 平面物体系平衡问题（习题课）平面物体系平衡问题（习题课）第第3 3章章 力系平衡方程及应用力系平衡方程及应用STATICSTHEORETICAL MECHANICS【例【例3-8】解】解 【ABC】 N5 .87AyFN550BBFF0CM60sinm6 . 1AxFm8 . 0AyFm8 . 0BF0N267AxF0 xFAxF30cosBFCxF0N209CxF0yFAyF30sin

23、BFCyF0N188CyF3.2 平面物体系平衡问题（习题课）平面物体系平衡问题（习题课）第第3 3章章 力系平衡方程及应用力系平衡方程及应用STATICSTHEORETICAL MECHANICS【例【例3-9】 图示结构尺寸l = 3 m ，分布载荷的最大值q = 8 kN/m ，中间铰B上作用集中力F = 12 kN， 求: 固定铰A，C处约束力及中间铰B受力。3.2 平面物体系平衡问题（习题课）平面物体系平衡问题（习题课）第第3 3章章 力系平衡方程及应用力系平衡方程及应用STATICSTHEORETICAL MECHANICS【例【例3-9】解】解 【整体】 kN242211qlF3

24、个独立方程，4个未知量。可对点C取矩方程求出FAy，再取y方向的力投影方程求出Fcy。3.2 平面物体系平衡问题（习题课）平面物体系平衡问题（习题课）第第3 3章章 力系平衡方程及应用力系平衡方程及应用STATICSTHEORETICAL MECHANICS【例【例3-9】解】解 0CM03/221lFlFlFAykN14AyF 0yF01FFFFCyAykN22CyF 0 xF0CxAxFF(1)3.2 平面物体系平衡问题（习题课）平面物体系平衡问题（习题课）第第3 3章章 力系平衡方程及应用力系平衡方程及应用STATICSTHEORETICAL MECHANICS【例【例3-9】解】解 【

25、半拱AB】 (不含载荷F)kN62212qlF 0BM03/2lFlFlFAyAxkN12AxF代入式(1)0CxAxFFkN12CxF 0yF021FFFyBAykN81yBF 0 xF01xBAxFFkN121xBF 3.2 平面物体系平衡问题（习题课）平面物体系平衡问题（习题课）第第3 3章章 力系平衡方程及应用力系平衡方程及应用STATICSTHEORETICAL MECHANICS【例【例3-9】解】解 【铰【铰B】 0 xF021xBxBFFkN122xBF 0yF012yByBFFFkN42yBF3.2 平面物体系平衡问题（习题课）平面物体系平衡问题（习题课） 注意：对力注意：对

26、力F F 的处理是难点。的处理是难点。第第3 3章章 力系平衡方程及应用力系平衡方程及应用STATICSTHEORETICAL MECHANICS静定问题静定问题：能由平衡方程确定全部未知力的问题。：能由平衡方程确定全部未知力的问题。 相应的结构称为相应的结构称为静定结构静定结构。超静定问题超静定问题：仅由静力学平衡方程无法求得全部未知力，：仅由静力学平衡方程无法求得全部未知力， 需要补充变形条件才能求解的问题。需要补充变形条件才能求解的问题。 相应的结构称为相应的结构称为超静定结构超静定结构。ABFABF超静定次数超静定次数：未知量的个数与独立的平：未知量的个数与独立的平衡方程数目之差。衡方

27、程数目之差。多余约束多余约束：与超静定次数对应的约束，：与超静定次数对应的约束，对于结构保持静定是多余的，但工程实对于结构保持静定是多余的，但工程实际中，有些多余约束是必要的。际中，有些多余约束是必要的。第第3 3章章 力系平衡方程及应用力系平衡方程及应用STATICSTHEORETICAL MECHANICS判断方法判断方法： 把结构全部拆成单个构件，比较未知量的总数与独立平衡把结构全部拆成单个构件，比较未知量的总数与独立平衡方程的总数方程的总数注意注意： 作用力与反作用力大小相等，因此只计为一个未知量；作用力与反作用力大小相等，因此只计为一个未知量； 不同力系有不同的独立方程数。不同力系有

28、不同的独立方程数。超静定问题的基本解法将在材料力学课程中介绍。超静定问题的基本解法将在材料力学课程中介绍。 第第3 3章章 力系平衡方程及应用力系平衡方程及应用STATICSTHEORETICAL MECHANICS第第3 3章章 力系平衡方程及应用力系平衡方程及应用STATICSTHEORETICAL MECHANICS 由第由第2章力系简化结果可知：章力系简化结果可知：任意力系平衡任意力系平衡的必要和充的必要和充分条件是该力系的分条件是该力系的主矢和主矩皆为零主矢和主矩皆为零，即，即0RFF0)(FMMOO必有必有 ，0 xF，0yF0zF， 0 xM， 0yM 0zM此即空间任意力系的此

29、即空间任意力系的平衡方程平衡方程。式。式(c)是式是式(a)的的充要充要条件。条件。0)()()(222RzyxFFFF0)()()(222zyxOMMMM必有必有 (a) (b) (c) 第第3 3章章 力系平衡方程及应用力系平衡方程及应用STATICSTHEORETICAL MECHANICS000zyxFFF 空间力系中所有力作用线汇交于一点的力系称为空间力系中所有力作用线汇交于一点的力系称为空间汇交力系空间汇交力系，其独立的平衡方程为，其独立的平衡方程为第第3 3章章 力系平衡方程及应用力系平衡方程及应用STATICSTHEORETICAL MECHANICS【例【例3-10】 图示起

30、重三脚架各杆均长 l =2.5 m，两端为铰接。铰D上挂有重量为W = 20 kN的重物，且知1=120，2=90，3=150， OA = OB = OC = r = 1.5m。 求: 各杆受力。第第3 3章章 力系平衡方程及应用力系平衡方程及应用STATICSTHEORETICAL MECHANICS【例【例3-10】解】解 因各杆均为二力杆，可画出铰D受力图由已知条件，可知FAD ，FBD ，FCD与坐标平面Oxyz的夹角均为 j53m2.5m5 . 1cosj54sinj第第3 3章章 力系平衡方程及应用力系平衡方程及应用STATICSTHEORETICAL MECHANICS【例【例3

31、-10】解】解以铰D为研究对象，设各杆均受拉 0 xF60coscosjADFjcosBDF0 0yF60sincosjADFjcosCDF0 0zFjsin)(CDBDADFFFW0联列计算以上三式，得kN57.10ADFkN28. 5BDFkN15. 9CDF结果中负号表示三杆均受压。第第3 3章章 力系平衡方程及应用力系平衡方程及应用STATICSTHEORETICAL MECHANICS 全部由空间力偶组成的力系称为全部由空间力偶组成的力系称为空间力偶系空间力偶系，其平衡方程为其平衡方程为000zyxMMM第第3 3章章 力系平衡方程及应用力系平衡方程及应用STATICSTHEORET

32、ICAL MECHANICS * *【例【例3-11】 图示蜗轮箱在A，B两处各用一个螺栓安装在基础上，铅直方向的蜗杆力偶矩M1 = 100 Nm ，水平方向的蜗轮力偶矩 M2 = 400 Nm 。 不考虑箱底和基础间的摩擦影响， 求: 两螺栓处沿轴x，z方向的约束力。第第3 3章章 力系平衡方程及应用力系平衡方程及应用STATICSTHEORETICAL MECHANICS * *【例【例3-11】解】解 建立图示坐标系，轴x和轴z分别平行于蜗轮轴和蜗杆轴。 主动力为两个力偶M1和M2，力偶矩矢方向分别沿轴z和轴x，螺栓A，B处的两对约束力分别组成两个力偶与之平衡。 0 xM0m2 . 02

33、AzFMN0002BzAzFF 0zM0m2 . 01AxFM0m2 . 0mN100AxFN500BxAxFF第第3 3章章 力系平衡方程及应用力系平衡方程及应用STATICSTHEORETICAL MECHANICS 空间力系中各力作用线相互平行（设与轴空间力系中各力作用线相互平行（设与轴z平行）平行）的力系称为的力系称为空间平行力系空间平行力系，其独立的平衡方程为，其独立的平衡方程为000zyxFMM第第3 3章章 力系平衡方程及应用力系平衡方程及应用STATICSTHEORETICAL MECHANICS【例【例3-12】 图示圆桌的三条腿成等边三角形ABC。 圆桌半径 r = 500 mm，重W = 600 N。在三角形中线CD上点M处作用铅垂力F = 1500 N，OM = a 。 求：使圆桌不致翻倒的最 大距离a。第第3 3章章 力系平衡方程及应用力系平衡方程及应用STATICSTHEORETICAL MECHANICS【例【例3-12】解】解 桌腿与地面的接触面摩擦不计，可视为