第3章第1节导数概念

1、 第三章第三章 导数与微分导数与微分第三章第三章 导数与微分导数与微分p第一节第一节 导数的概念导数的概念p第二节第二节 求导法则求导法则p第三节第三节 反函数、复合函数、隐函数的导数反函数、复合函数、隐函数的导数p第四节第四节 导数公式导数公式p第五节第五节 高阶导数高阶导数p第六节第六节 微分微分p第七节第七节 导数在经济上的简单应用导数在经济上的简单应用1.理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，2.掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算导数，会求反函数与隐函数的导数导数，会求反函数与隐函数的导数.

2、法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程. 3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.4.了解微分的概念，导数与微分之间的关系以及了解微分的概念，导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.本章基本要求本章基本要求本章重点、难点本章重点、难点重点：导数与微分的计算重点：导数与微分的计算.难

3、点：分段函数分界点处可导性的难点：分段函数分界点处可导性的讨论、隐函数求导讨论、隐函数求导.第一节第一节 导数概念导数概念一、引出导数概念的例子一、引出导数概念的例子1、变速直线运动的速度、变速直线运动的速度已知已知 Stt 0)(tfs 求求?0 ttv解解0t)()(00tfttf tSv 0ttvttfttf )()(00.)()(lim000ttfttft tSt 0lim(1)(2)(3) 2、平面曲线的切线的斜率、平面曲线的切线的斜率 0MM切线切线割线割线2、平面曲线的切线的斜率、平面曲线的切线的斜率0MM0 xxx 0 xyo 解解 )(xfy tanlim0MM xyx 0l

4、im.)()(lim000 xxfxxfx tan k二、导数的定义二、导数的定义定义定义3.1 设函数设函数有定义有定义,)(xfy 在点在点0 x的某邻域内的某邻域内对自变量在点对自变量在点 处的任一改变量处的任一改变量0 x, x 函数的相应改变量为函数的相应改变量为),()(00 xfxxfy 如果极限如果极限xxfxxfxyxx )()(limlim0000存在存在,则称函数则称函数)(xf在点在点0 x点点处可导处可导(或导数存在或导数存在).并称此极限值为并称此极限值为的可导点的可导点,0 x为为)(xf)(xf在点在点0 x处的导数处的导数(或微商或微商).注注(1)记号记号0

5、 xxy 0 xxdxdf 0 xxdxdy (2)00ttttdtdSv 0tanxxdykdx 、)(0 xf (3) 求导三步曲求导三步曲:)()(00 xfxxfy xxfxxfxy )()(00 xxfxxfxyxx )()(limlim0000 )(0 xf例例1 求函数求函数 y=x2 在点在点 x = 3 处的导数处的导数. y223)3( xxx 6)(2解解xxxxy 6)(26 x xyx0lim )6(lim0 xx6. 6)3( f)()(00 xfxxf 讨论导数另一定义形式讨论导数另一定义形式xxfxxfxyxx )()(limlim0000 xxx 0令令00)

6、()(lim0 xxxfxfxx 定义定义3.1设函数设函数)(xfy 在点在点0 x的某邻域内有定义的某邻域内有定义,如果极限如果极限00)()(lim0 xxxfxfxx 存在存在,(第二定义第二定义)则称函数则称函数)(xf在点在点0 x点点可导可导(或导数存在或导数存在).并称此极限值为并称此极限值为的可导点的可导点,0 x为为)(xf)(xf在点在点0 x导数导数(或微商或微商).的的第一个定义做证明题方便第一个定义做证明题方便,第二个定义第二个定义讨论分段函数分界点处导数方便讨论分段函数分界点处导数方便.例例2 试按导数定义求下列各极限试按导数定义求下列各极限.(1)(2 )(2

7、)limxafxfaxa 0( )(2)lim( )0 xf xf xx 解解(1)(2 )(2 )limxafxfaxa 22(2 )(2 )lim1222xafxfaxa 2(2 )fa 0( )(2)limxf xx 0( )(0)lim0 xf xfx (0)f (假设各极限均存在假设各极限均存在)三、导数的几何意义三、导数的几何意义)(0 xf 的几何意义是的几何意义是:)(,(00 xfx处的切线方程为处的切线方程为:).)()(000 xxxfxfy 曲线曲线)(xfy 在点在点处的切线斜率处的切线斜率.曲线曲线)(xfy 在点在点)(,(00 xfx例例2 求曲线求曲线 y=x

8、2 在点在点 (3,9) 处的切线方程处的切线方程.解解6)3( f因此所求切线方程为因此所求切线方程为即即)3(69 xy. 096 yx)(xf函数函数在点在点0 x的导数的导数处的法线方程为处的法线方程为:0001()().()yf xxxfx 曲线曲线)(xfy 在点在点)(,(00 xfx例例3 求曲线求曲线 y=x2 在点在点 (3,9) 处的法线方程处的法线方程.解解6)3( f因此所求法线方程为因此所求法线方程为即即1936()yx 6570.xy四、左导数和右导数四、左导数和右导数定义定义3.2如果极限如果极限 xxfxxfx 000lim值为值为存在存在,)(xf在点在点0

9、 x处的右导数处的右导数, 记作记作).(0 xf 则称此极限则称此极限如果极限如果极限 xxfxxfx 000lim值为值为存在存在,)(xf在点在点0 x处的左导数处的左导数, 记作记作).(0 xf 则称此极限则称此极限如果极限如果极限值为值为存在存在,)(xf在点在点0 x处的右导数处的右导数,记作记作).(0 xf 则称此极限则称此极限如果极限如果极限值为值为存在存在,)(xf在点在点0 x处的左导数处的左导数, 记作记作).(0 xf 则称此极限则称此极限定义定义3.200)()(lim0 xxxfxfxx 00)()(lim0 xxxfxfxx 注注 Axf )(0Axfxf )

10、()(00例例 4 讨论函数讨论函数在在 )(xfyx1 x1 x1解解1)1()(lim)1(1 xfxffx11lim1 xxx1 1)1()(lim)1(1 xfxffx111lim1 xx0 )1( f)1( f 故故)1(f 不存在不存在.1 x处的可导性处的可导性.分段函数求分界点处的导数时注意分段函数求分界点处的导数时注意(1)用定义用定义(2)一般分左右导数一般分左右导数(3)如果分界点左右两边函数表达式如果分界点左右两边函数表达式一样一样,则不分左右导数则不分左右导数.(4)求左右导数时求左右导数时,函数值固定不变函数值固定不变.五、可导与连续的关系五、可导与连续的关系所以所

11、以)(lim00 xfxyx 由由xxyy 可得可得如果函数如果函数 y = f (x) 在点在点处可导处可导,0 x则它在点则它在点 x0 处一定连续处一定连续.因为函数因为函数 y = f (x) 在点在点 x0 处可导处可导,xxyyxx 00limlim0)(0 xf0 故连续故连续.证证1. 1. 可导必连续可导必连续2. 2. 连续不一定可导连续不一定可导3. 3. 不连续一定不可导不连续一定不可导4. 4. 不可导不一定不连续不可导不一定不连续例例5 讨论函数讨论函数 )(xf在点在点 x = 0 及及 x = 1处的连续性与可导性处的连续性与可导性.231x 33x 0 x 0

12、1x1x 解解 在点在点 x = 0 处的连续性处的连续性0lim( )xf x 0lim( )xf x 故故 不连续不连续0lim(31)xx 1 0lim 2x 2,从而不可导从而不可导. (0)2f 三者不等三者不等在点在点 x = 1 处的可导性处的可导性)1( f14)3(lim31 xxx)1(lim21 xxx3 )1( f14)13(lim1 xxx3 故故 函数可导函数可导,从而连续从而连续.1)1()(lim1 xfxfx1)1()(lim1 xfxfx3lim1 x例例6 已知已知 )(xf2x0 xx 0 xx bax 求求ba,使得函数使得函数)(xf在点在点0 x可

13、导可导.解解000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx 020)(lim0 xxxbaxxx )(lim0 xfxx )(lim0 xfxx)(lim0baxxx bax 0 20lim xxx20 x200 xbax a 000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx 02x 02020limxxxxxx 所以所以02xa .20 xb 六、导函数六、导函数定义定义称为函数称为函数 y=f (x) 在开区间在开区间 (a,b) 内对内对 x 的的如果函数如果函数)(xf在某区间在某区间(a,b)内每一内每一点点 x 处都可导，处都可导， 则称则称 f (x) 在区间在区间(a,b)内

14、可导内可导.xxfxxfxyxfxx )()(limlim)(00导函数导函数,简称为导数简称为导数.(1) 记号记号:(2)的的区区别别与与联联系系和和)()(0 xfxf (3) 求导函数三步曲求导函数三步曲:)()(xfxxfy xxfxxfxy )()(xxfxxfxyxx )()(limlim00y dxdfdxdy、)(xf )(xf例例7求求cy 的导函数的导函数.解解)()(xfxxfy cc 0 00 xxy00limlim00 xxxy. 0)( xf例例8求求nxy 的导函数的导函数.解解)()(xfxxfy nnxxx )(nnnxxxnnxnx)()(2)1(221 xyxyx 0lim.)(1 nnxxf121)(2)1( nnnxxxnnnx)(2)1(lim1210 nnnxxxxnnnx1 nnx例例9求求)1, 0(log aaxya的导函数的导函数.解解xxxyaalog)(log )1(logxxa xy xyx0lim11( )loglnafxexxa )1(log1xxxa )1(log1lim0 xxxxxax xxaxxxx )1(log1lim0exalog1 )(ln x