闭区间上连续函数的性质73273PPT学习教案

1、会计学1闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质73273一、最大值和最小值定理定义:.)()()()()()()(,),(0000值值小小上的最大上的最大在区间在区间是函数是函数则称则称都有都有使得对于任一使得对于任一如果有如果有上有定义的函数上有定义的函数对于在区间对于在区间IxfxfxfxfxfxfIxIxxfI 例如,sin1xy ,2 , 0上上在在 , 2max y; 0min y,sgn xy ,),(上上在在, 1max y; 1min y,), 0(上上在在. 1minmax yy第1页/共15页定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.).

2、()(),()(,)(2121xffxffbaxbabaCxf 有有使得使得则则若若xyo)(xfy ab2 1 注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.第2页/共15页xyo2 )(xfy xyo)(xfy 211定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.证,)(上连续上连续在在设函数设函数baxf,bax ,)(Mxfm 有有,maxMmK 取取.)(Kxf 则有则有.,)(上有界上有界在在函数函数baxf第3页/共15页二、介值定理定义:.)(, 0)(000的零点的零点称为函数称为函数则则使使如果如果xfxxfx 定理定

3、理 3(3(零点定理零点定理) ) 设函数设函数)(xf在闭区间在闭区间 ba,上连续，且上连续，且)(af与与)(bf异号异号( (即即0)()( bfaf),),那末在开区间那末在开区间 ba,内至少有函数内至少有函数)(xf的一个零的一个零点点, ,即至少有一点即至少有一点 )(ba ，使，使0)( f. .),(0)(内至少存在一个实根内至少存在一个实根在在即方程即方程baxf 第4页/共15页几何解释:.,)(轴至少有一个交点轴至少有一个交点线弧与线弧与则曲则曲轴的不同侧轴的不同侧端点位于端点位于的两个的两个连续曲线弧连续曲线弧xxxfy xyo)(xfy ab1 2 3 定理定理

4、4(4(介值定理介值定理) ) 设函数设函数)(xf在闭区间在闭区间 ba, 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值上连续，且在这区间的端点取不同的函数值 Aaf )( 及及 Bbf )(, , 那末，对于那末，对于A与与B之间的任意一个数之间的任意一个数C，在开区间，在开区间 ba,内至少有一点内至少有一点 ，使得，使得Cf )( )(ba . . 第5页/共15页证,)()(Cxfx 设设,)(上连续上连续在在则则bax Cafa )()( 且且,CA Cbfb )()( ,CB , 0)()( ba 由零点定理,使使),(ba , 0)( , 0)()( Cf 即即.)(Cf xyo)(

5、xfy abABMm1x2xC1 2 3 几何解释:.)(至少有一个交点至少有一个交点直线直线与水平与水平连续曲线弧连续曲线弧Cyxfy 第6页/共15页例1.)1 , 0(01423至少有一根至少有一根内内在区间在区间证明方程证明方程 xx证, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(上连续上连续在在则则xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零点定理,使使),(ba , 0)( f, 01423 即即推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值.Mm.)1 , 0(01423 内至少有一根内至少有一根在在方程方程 xx第7页/共15页例2.)(),(.)(,)

6、(,)( fbabbfaafbaxf使得使得证明证明且且上连续上连续在区间在区间设函数设函数证,)()(xxfxF 令令,)(上连续上连续在在则则baxFaafaF )()(而而, 0 bbfbF )()(, 0 由零点定理,使使),(ba , 0)()( fF.)( f即即第8页/共15页例3 )()(), 0)2()0(2 , 0)(affaaffaxf 使使证明证明上连续，且上连续，且在在设设证则则记记)()()(axfxfxF )(, 0(, 0)(的定义域的定义域即即上连续上连续在在xFaaxF)()0()0(affF 且且)0()()2()()(fafafafaF )()0(aff

7、 若若即为所求即为所求则则0 )()0(aff 若若0)()0( aFF则则由零点定理知0)(), 0( Fa 使使)()(aff 即即总之)()(), 0affa 使使第9页/共15页注方程f(x)=0的根函数f(x)的零点有关闭区间上连续函数命题的证明方法10直接法：先利用最值定理，再利用介值定理20间接法（辅助函数法）：先作辅助函数， 再利用零点定理辅助函数的作法（1）将结论中的(或x0或c)改写成x（2）移项使右边为0，令左边的式子为F(x)则F(x)即为所求第10页/共15页 区间一般在题设中或要证明的结论中已经给出，余下只须验证F(x)在所讨论的区间上连续，再比较一下两个端点处的函数值的符号，或指出要证的值介于F(x)在所论闭区间上的最大值与最小值之间。第11页/共15页三、小结四个定理有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.注意1闭区间； 2连续函数这两点不满足上述定理不一定成立解题思路1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;第12页/共15页思考题下述命题是否正确？ 如如果果)(xf在在,ba上上有有定定义义，在在),(ba内内连连续续，且且0)()( bfaf，那那么么)(x