专题讲座八：任意角的三角函数及同角三角函数基本关系

1、任意角的三角函数定义 设是任意角，的终边上任意一点的坐标是，当角在第一、二、三、四象限时的情形，它与原点的距离为，则 Pyx，r02222yxyxr比值叫做的正弦，记作，即rysinrysin比值叫做的余弦，记作，即rxcosrxcos任意角三角函数定义任意角三角函数定义1：比值叫做的正切，记作，即xytanxytan任意角的三角函数定义任意角的三角函数定义2A(1,0)xyOP(x,y)的终边MT 有向线段有向线段MP、OM、AT,分别叫做角分别叫做角 的的正弦线正弦线、余弦线余弦线、正切线正切线，统称为三角函数线，统称为三角函数线.（1） 叫做叫做 的正弦，记作的正弦，记作 ，即，即 ys

2、inysin（2） 叫做叫做 的余弦，记作的余弦，记作 ，即，即 xcosxcos（3） 叫做叫做 的正切的正切，记作，记作 ，即，即xytanxytan=MPMP=OMOM=ATAT)0( x同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系平方关系平方关系:商数关系商数关系:1cossin22cossintan),2(Zkk 同一个角同一个角 的正弦、余弦的平方和等于的正弦、余弦的平方和等于1，商等于，商等于角角 的正切的正切.“同角同角”二层含义二层含义:一是一是”角相同角相同”, 二是二是”任意任意”一个角一个角.例1 已知角的终边经过，求的三个三角函数值32 ，P23tan,13132co

3、s,13133sin13) 3()2(22r解：提问：分，两种情形讨论0a0a求的三个三角函数值呢？若将改为，32 ，PaaP32，0a如何araaraaaar13, 013, 013)3()2(22O Ox xy yP PM M的取值范围成立的内，求使在例23sin20. 2P P1 123yP P2 2)32,3(答案：的取值范围成立的改编：求使23sinO Ox xy y 已知已知 ,求求 的值的值.135sin例例3从而从而解解:因为因为 , 1sin, 0sin所以所以 是第三或第四象限角是第三或第四象限角.由由 得得1cossin22.1691441351sin1cos222如果如

4、果 是第三象限角是第三象限角,那么那么.1312169144cos.1251213135cossintan如果如果 是第四象限角是第四象限角,那么那么.125tan,1312cos 例例4.4.已知已知 , ,2tancos,sin 求求 的值的值.55tan11cos,552tan1tansin255tan11cos,552tan1tansin1, 2tan222222是第三象限角时）当（是第一象限角时）当（是第一或第三象限角解： 例5（1）化简21sin4402cos 80cos80221 sin (36080 )1 sin 80解：原式（2）1 2sin40 cos402(sin40cos40 )|cos40sin40 | cos40sin4022sin 40cos 402sin40 cos40解：原式1cos2)2(cossin1, 2tan. 62）（求已知例52tan1tancossinsincoscossincossincos, 0cos, 2tan,sincoscossincossin1sincos122222222以上式中分子分母同时除）解：（1cos2)2(cossin1, 2tan. 62）（求已知例53tan1tan1sincossincos1cos2cos, 0cos, 2tan,sincossincossincos1cos21sincos