数学分析课件：第五章3节不定积分策略II分部积分公式

1、2 2 不定积分求解策略不定积分求解策略I: I: 第一类换元公式第一类换元公式1 1 原函数原函数3 3 不定积分策略不定积分策略II:II:分部积分公式分部积分公式4 4 不定积分策略不定积分策略III:III:第二类换元公式第二类换元公式5 5 几类特殊函数的不定积分策略几类特殊函数的不定积分策略问题问题 ?dxxex解决思路解决思路利用两个函数乘积的求导法则利用两个函数乘积的求导法则. ,vuvuuv , vuuvvu ,dxvuuvdxvu .duvuvudv 分部积分公式分部积分公式的总原则的总原则：和和选选vu易求；易求；v. 1. 2易求易求比比 dvuduv,vuv dxuu

2、 vdx.vdduu vuv分部积分公式分部积分公式 ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )-( ) ( )u xv xu x v xu x v xu x vx dxu x v xux v x dx 设设函函数数和和可可导导, , 若若存存在在原原函函数数, ,则则存存在在原原函函数数, ,并并有有 . 3 1定定理理例例1 1 求积分求积分.cos xdxx解（一）解（一） 令令,cos xu 22xxdxddv xdxxcos22co2nssi2xdxxxx 显然，显然， 选择不当选择不当，积分更难进行，积分更难进行.vu ,解（二）解（二） 令令,xu co

3、s(sin )xdxdxdv xdxxcos xdxxxsinsin.cossinCxxx 例例2 2 求积分求积分.2 dxexx解解,2xu ,dvdedxexx dxexx2 dxxeexxx22.)(22Cexeexxxx （再次使用分部积分法）（再次使用分部积分法）,xu dvdxex 总结总结 若被积函数是若被积函数是幂函数和正幂函数和正(余余)弦函数弦函数或或幂函数和指数函数幂函数和指数函数的乘积的乘积, 就考虑设幂函就考虑设幂函数为数为 , 使其降幂一次使其降幂一次(假定幂指数是正整数假定幂指数是正整数)u例例3 3 求积分求积分.arctan xdxx解解令令,arctan

4、xu dvxdxdx 22 xdxxarctan)(arctan2arctan222xdxxx dxxxxx222112arctan2 dxxxx)111(21arctan222 .)arctan(21arctan22Cxxxx 例例4 4 求积分求积分.ln3 xdxx解解,ln xu ,443dvxddxx xdxx ln3 dxxxx3441ln41.161ln4144Cxxx 解解 dxxfx)( )(xxdf,)()( dxxfxxf,)( 2 Cedxxfx而 ),()(xfdxxf 两边同时对两边同时对 求导求导, x,2)(2xxexf dxxfx)( dxxfxxf)()(2

5、22xex .2Cex 例例6 6 求积分求积分 .1arctan2dxxxx解解 ,1122xxx dxxxx21arctan2arctan1x dx )(arctan1arctan122xdxxx dxxxxx222111arctan1 dxxxx 2211arctan122221ln()dxxaxCax dxxxx21arctanxx arctan12 .)1ln(2Cxx 例例7 7 求积分求积分.)sin(ln dxx解解 dxx)sin(ln dxxxxxx1)cos(ln)sin(lnsin(ln )cos(ln )sin(ln )xxxxx dx dxxxxx)sin(ln)cos(ln)sin(ln dxx)sin(ln.)cos(ln)sin(ln2Cxxx 造循环造循环sin(ln )cos(ln )xxx dx 例例8 8 求积分求积分.sin xdxex解解 xdxexsin xdxexexxcossinsin(cossin)xxxexexexdx xdxexxexxsin)cos(sin xdxexsin.)cos(sin2Cxxex 例例9 9. ,sin,cos*Nnxdxxdxnn 其中其中计算计算 1coscossinnnxdxx dx dxxxnxxnn)cos1(cos)1(cossin221 xdxnxdxnxxnnnco