自动控制原理课件 第九章 状态空间分析法

1、1第九章状态空间分析方法状态空间分析方法2主要内容9-1 状态空间方法基础9-2 线性系统的可控性和可观性9-3 状态反馈和状态观测器9-4 有界输入、有界输出的稳定性9-5 李雅普诺夫第二方法3：前面几章所学的内容称为经典控制理论；下面要学的内容称为现代控制理论。两者作一简单比较。经典控制理论经典控制理论(20世纪世纪50年代前年代前)现代控制理论现代控制理论(20世纪世纪50年代后年代后)研究对象研究对象单输入单输出的线单输入单输出的线性定常系统性定常系统可以比较复杂可以比较复杂数学模型数学模型传递函数传递函数(输入、输出描述输入、输出描述)状态方程状态方程(可描述内部行为可描述内部行为)

2、数学基础数学基础运算微积、复变函运算微积、复变函数数线性代数、矩阵理论线性代数、矩阵理论设计方法的设计方法的特点特点非唯一性、试凑成非唯一性、试凑成分多分多, 经验起很大经验起很大作用。主要在复数作用。主要在复数域进行。域进行。设计的解析性，与计设计的解析性，与计算机结合，主要在时算机结合，主要在时间域进行。间域进行。4掌握由系统输入掌握由系统输入-输出的微分方程式、系统动态输出的微分方程式、系统动态结构图及简单物理模型图建立系统状态空间模型结构图及简单物理模型图建立系统状态空间模型的方法。的方法。熟练掌握矩阵指数的计算方法，熟练掌握由时域熟练掌握矩阵指数的计算方法，熟练掌握由时域和复数域求解

3、状态方程的方法。熟练掌握由动态和复数域求解状态方程的方法。熟练掌握由动态方程计算传递函数的公式。方程计算传递函数的公式。正确理解可逆线性变换正确理解可逆线性变换, 熟练掌握可逆线性变换熟练掌握可逆线性变换前、后动态方程各矩阵的关系。前、后动态方程各矩阵的关系。正确理解可控性和可观测性的概念，熟练掌握和正确理解可控性和可观测性的概念，熟练掌握和运用可控性判据和可观性判据。运用可控性判据和可观性判据。 5熟练掌握可逆线性变换矩阵的构成方法熟练掌握可逆线性变换矩阵的构成方法, 能将可控系统能将可控系统 化为可控标准形。能化为可控标准形。能对对不可控系统进行可控性分解。不可控系统进行可控性分解。正确理

4、解对偶原理正确理解对偶原理, 会将原系统的有关可观测性的问题会将原系统的有关可观测性的问题转化为对偶系统的可控性问题来研究。转化为对偶系统的可控性问题来研究。正确理解单变量系统零、极点对消与动态方程可控、正确理解单变量系统零、极点对消与动态方程可控、可观测的关系。熟练掌握传递函数的可控性标准形实可观测的关系。熟练掌握传递函数的可控性标准形实现、可观性标准形实现的构成方法。现、可观性标准形实现的构成方法。正确理解状态反馈对可控性正确理解状态反馈对可控性、可观性的影响可观性的影响, 正确理解正确理解状态反馈可任意配置闭环极点的充要条件。状态反馈可任意配置闭环极点的充要条件。6熟练掌握全维状态观测器

5、的公式和设计方法熟练掌握全维状态观测器的公式和设计方法, 熟练掌熟练掌握由观测器得到的状态估计值代替状态值构成的状握由观测器得到的状态估计值代替状态值构成的状态反馈系统态反馈系统, 可进行闭环极点配置和观测器极点配置。可进行闭环极点配置和观测器极点配置。正确理解系统齐次方程渐近稳定和系统正确理解系统齐次方程渐近稳定和系统BIBO稳定的稳定的概念概念, 熟练掌握判别渐近稳定的方法和判别系统熟练掌握判别渐近稳定的方法和判别系统BIBO稳定的方法。稳定的方法。正确理解李雅普诺夫方程正定对称解存在的条件和正确理解李雅普诺夫方程正定对称解存在的条件和解法解法, 能通过解李雅普诺夫方程进行稳定性分析。能通

6、过解李雅普诺夫方程进行稳定性分析。79-1 状态空间方法基础 在经典控制理论中，用传递函数来设计和分析单在经典控制理论中，用传递函数来设计和分析单输入、单输出系统。输入、单输出系统。 在现代控制理论中，用状态变量来描述系统。采在现代控制理论中，用状态变量来描述系统。采用矩阵表示法可以使系统的数学表达式简洁明了，用矩阵表示法可以使系统的数学表达式简洁明了，为系统的分析研究提供了有力的工具。为系统的分析研究提供了有力的工具。8状态：状态：动力学系统的状态可以定义为信息的集合。动力学系统的状态可以定义为信息的集合。一、状态空间的基本概念已知已知 时状态，时状态， 时的输入，可确定时的输入，可确定 时

7、任一变量的运动状况。时任一变量的运动状况。0t0tt 0tt 状态变量状态变量：确定动力学系统状态的最小一组变确定动力学系统状态的最小一组变量量 。)(,),(1txtxn9 12nx txttxt X状态空间：由 张成的n维向量空间。( ) tX状态向量状态向量： 如果完全描述一个给定系统的动态行如果完全描述一个给定系统的动态行为需要为需要n n个状态变量，那么状态向量个状态变量，那么状态向量定义为定义为X(t)X(t)。对于确定的某个时刻，状态表示为状态空间中一个点，状态随时间的变化过程，构成了状态空间中的一条轨迹。10例9-2 设一设一RLCRLC网络如图所示。网络如图所示。回路方程为回

8、路方程为d ( )1( )( )( )ddi te tRi tLi tttC图9-2 RLC网络1111211RxxxeLLCL 则有21xx11010RLCLLxxu写成21)()(xCtcty10Cx输出2( )( )dx ti tt)()(1titx选择状态变量,1211100RLLLC xxu写成11211( )Rxxxe tLLL 121xcx 则有)()(1titx21( )( )dx ti ttC若选另一组状态变量,13 uyayayaynnnnn 02211 若给出 (t=0) 时的初值 、 、 、 和 时就可确定系统的行为。 0,ttu)0(y)0(y )0()1( ny12

9、1, nnyxyxyx单输入单输入- -单输出线性定常系统单输出线性定常系统选取状态变量二、系统的状态空间表达式1412231nnxxxxxx（9-17）0 11 21nnnxa xa xaxu15或写成xAxBx12012101000001000,00010nnxxxaaaa xAB（9-19）16系统结构图如图所示图图9-317例9-3222yyyu输入为输入为 u u ，输出为，输出为y y 。试求系统的状态方程和输出方程。试求系统的状态方程和输出方程。考虑用下列常微分方程描述的系统考虑用下列常微分方程描述的系统18解：12222122xxxxxu 1122220102xxxxu状态方程

10、为写成取状态变量12,xy xy 19输出1210 xyx图9-4 例9-3系统的结构图20多输入-多输出系统图图9-6 多变量系统多变量系统21ppnnububxaxaxax111112121111 ppnnububxaxaxax212122221212 pnpnnnnnnnububxaxaxax 112211nxxx,21 为状态变量；puuu,21 为输入量；qyyy,21 为输出变量。22矩阵形式：xAxu111212122212nnnnnnaaaaaaaaaA111212122212ppnnnpbbbbbbbbbB式中23ppnnududxcxcxcy111112121111 ppn

11、nududxcxcxcy212122221212 .pqpqnqnqqqududxcxcxcy 112211输出变量方程24111212122212nnqqqncccccccccC111212122212ppqqqpdddddddddDyC xD u25图9-7 系统结构图26三、线性定常系统状态方程的解式中式中 均为列向量。均为列向量。)2 , 1 , 0(ibixAx（9-28）齐次向量微分方程齐次向量微分方程kktbtbtbbtx2210)(（9-29）方程的解为方程的解为1、齐次状态方程的解27)(210121kkkktbtbbtkbtbbA可得( ) txxAx代入方程 将方程两边系

12、数必相等方程两边系数必相等, , 即即1022103320011221133 21kkkbAbbAbA bbAbA bbA b ！280)0(bx我们定义022)121()(xAAAIxkktkttt！(9-31)kKttkttAAAIA！12122e(9-32)因此，齐次状态方程的解为将 t=0 代入式（9-29）中得290)(xtxtAe(9-33)( )( )x tx tA（9-34）)()(0sxxssxA A（9-35）Ate为nn矩阵，称矩阵指数。于是齐次状态方程的解为于是齐次状态方程的解为用拉氏变换法求解用拉氏变换法求解3001)()(xssxA AI I011)()(xAsIL

13、tx)(11AsILAte122311()etkkkksLLttkssssAIAIAAIAAA！拉氏逆变换后得到（9-37）（9-38）31最终得到 与前一种解法所得结果一致。与前一种解法所得结果一致。 eexptttAA式中( )e(0)( ) (0)tx txt x A A（9-41）32状态转移矩阵具有以下性质：状态转移矩阵具有以下性质：10( )( )I12 ( )( )()tt2110203 ( )() ()()tttttt4 ( )( )()ktkt33图9-8 状态转移特性34例9-511220100 xxxx设系统的状态方程为设系统的状态方程为试求状态转移矩阵。试求状态转移矩阵

14、。35解：2 211( )e2!tk kttttkAIAAA230100,00001001( )010001ntttAAAA 11221( )(0)01( )(0)txtxxtx求状态转移矩阵为其中可以写出方程解为36例9-60123 xx设系统状态方程为设系统状态方程为试求状态方程的解。试求状态方程的解。37解：11()2331adj()1()2(1)(2)312111(1)(2)(1)(2)121222212(1)(2)(1)(2)1212ssssssssssssssssssssssssssss IAIAIAIA用拉氏变换求解。先求出矩阵指数用拉氏变换求解。先求出矩阵指数 38状态方程之解

15、为状态方程之解为 2211222eeeee() 2e2ee2etttttttttLsAIA221222(0)2( )(0)(0)222tttttttttxeeeetexeeeeAxx将上式进行拉氏逆变换将上式进行拉氏逆变换39图图9-9 系统的瞬态解（系统的瞬态解（a）与相轨迹（）与相轨迹（b）40改写为 )()()(tttuBxAx用 左乘等式两边 tAe2 2 非齐次状态方程的解非齐次状态方程的解非齐次方程)()()(tttuBxAx(9-53)()()()(ttttttttBuxAxxAAAeedde(9-54)41dee)()0()(0BuxxAtAttdee)()0()(0)(Bux

16、xAAtttt用 左乘上式两边Ate(9-54)0( )( )(0)()( )dttttxxBu 则式（9-54）可以写成(9-55)积分上式得42讨论非齐次状态方程的拉氏变换解法讨论非齐次状态方程的拉氏变换解法 s) s () s (s0BuAxxx s)s ()s () s (101BuAIxAIx)s ()s(L)0()s(L) t (1111BuAIxAIx拉氏逆变换得拉氏逆变换得)s(L11tAIAe由于由于 t)(tssL011)()(dBuBuAIAe由卷积定理有由卷积定理有43 ttssL011)()(deBuBuAIAtttt0)()0()(deeBuxxAAtttt0)()

17、()0()(deeBuxxAA因此由于由于最后得到44例9-7uxx103210求下述系统状态的时间响应求下述系统状态的时间响应控制量控制量u u为单位阶跃函数。为单位阶跃函数。45解：112222( )2eeee2e2ee2etttttttttLsIA )2s)(1s (s)2s)(1s (2)2s)(1s (1)2s)(1s (3ss 1AI由状态转移矩阵46tttttt0225.05.0)(eeeedeBuAt2tt2t5 . 05 . 0)0() t () t (eeeexx220.5e0.5e( )eetttttx若初始状态为零状态，则若初始状态为零状态，则47)()()(ssssB

18、UAXX)()()(sssDUCXY四、传递函数矩阵BuAxx（9-58）系统状态方程系统状态方程yCxDu（9-59）输出方程输出方程拉氏变换为拉氏变换为48解出解出定义传递函数矩阵为定义传递函数矩阵为)()()(1sssBUAIX)()()(1sssUDBAICYAIAIAIsss)()(1adjDBAICG1)()(ss（9-63）49所以所以特征方程为特征方程为0| AIsAIDAIBAICDBAIAICGssssss)()()(adjadj（9-64）50例9-8 设系统的动态方程为设系统的动态方程为 试求该系统的传递函数矩阵。试求该系统的传递函数矩阵。111222112201100

19、2011001xxuxxuyxyx51解：011010,0020101ABCD已知已知11111(2)()2102sss ssossIA故故521( )()111010(2)010110211(2)102ssss ssss ssGCIAB53例9-90100001061161 Ab设系统的状态方程为设系统的状态方程为试求系统的特征方程和特征值。试求系统的特征方程和特征值。54解：3210|01611606116| (1)(2)(3)0ssdetsssssssssIAIA系统的特征方程为系统的特征方程为特征方程的根为-1、-2和-3。矩阵A的特征值也为-1、-2和-3。两者是一样的。55五、动态

20、方程的可逆线性变换五、动态方程的可逆线性变换 xAx Buy Cx Dux = Ax+Buy =Cx+ Du-1x = P xx = Px其中 P 是nn 矩阵1 PAPA1 CPCBPB56特征多项式AIAIPPAIPPPAIPPAIPPAPPPPAPIAIssssssss1111111)(特征多项式没有改变。57DBAsICDPBPAsIPCPDPBPAIP(CPDPBPAPPPCPDPBPAPICPDBAIC111111111111111)()()s)(s)(s)(s传递函数阵传递函数阵传递函数阵没有改变传递函数阵没有改变58例9-10 对例对例9-99-9之系统进行坐标变换，其变换之系

21、统进行坐标变换，其变换关系为关系为 试求变换后系统的特征方程和特征值。试求变换后系统的特征方程和特征值。112233111123149xxxxxx59解： 根据题意求变换矩阵11111132.50.5123 ,34114911.50.5 PPxP APxP bu代入6011223332.50.501011134100112311.50.5611614932.50.50341011.50.51xxxxxxu 32| (1)(2)(3)6116 0sssssss -1I-P AP特征方程为特征值为-1，-2，-3，与例9-9结果相同。可得619-2 9-2 线性系统的可控性和可观测性线性系统的可控

22、性和可观测性 在状态空间法中，对系统的描述可由状态方程和输出在状态空间法中，对系统的描述可由状态方程和输出方程来表示。方程来表示。 状态方程是描述由输入和初始状态所引起的状态的变状态方程是描述由输入和初始状态所引起的状态的变化；输出方程则是描述由于状态变化而引起输出的变化；输出方程则是描述由于状态变化而引起输出的变化化 可控性和可观测性的概念，就是回答可控性和可观测性的概念，就是回答“系统的输入是系统的输入是否能控制状态的变化否能控制状态的变化和和“状态的变化能否由输出状态的变化能否由输出反映出来反映出来这样两个问题。这样两个问题。62一、准备知识一、准备知识设设A A 是 nn 矩阵, x

23、x 是 n1 向量,齐次方程组若|A|=0,式（9-70）存在非零解；若|A|0,式（9-70）只有零解。Ax=0（9-70）1.1.齐次方程组的非零解齐次方程组的非零解632.凯莱-哈米尔顿(Cayley-Hamilton)定理 Cayley-Hamilton Cayley-Hamilton定理指出，定理指出， 矩阵矩阵A A满足自己的特征多项式。满足自己的特征多项式。则A满足1110( )nnnfaaaIA（9-71）0)(0111IAAAAaaafnnn（9-72）A的特征多项式64应用Cayley-Hamilton 定理)(0111IaaannnAAA10e( )ntkkktAA（9-

24、78）120,nnAAA AIe ,At)( ,nkAk对于矩阵指数 可以用来表示。65例9-11解：矩阵A的特征多项式22| (1)21IA1201A100?A要求计算矩阵 的66矩阵A满足自己的特征多项式，有10012001009901AAI本题中n=100，故有IAA 22IAAAA2323IAAAA3434IAA)1(nnn673.引理21ranknbAbA bAbn的充分必要条件是：的充分必要条件是：存在存在 使使01t101),0(ttATAttbbtWTdee（9-80）非奇异。这里非奇异。这里A :nA :nn, b: nn, b: n1 1。68若对任意状态若对任意状态 ，存

25、在一个有限时刻，存在一个有限时刻 和控制和控制量量 ，能在，能在 时刻将状态时刻将状态 转移到转移到0 0，则称此系统，则称此系统的状态完全可控。的状态完全可控。)(0tx0ttf)(tuft)(0tx二、线性系统的可控性二、线性系统的可控性1.定义对于任意时刻对于任意时刻 和和 ，若存在控制向量，若存在控制向量 ，能将，能将 的的每个初始状态每个初始状态 转移到转移到 时刻的另一任意状态时刻的另一任意状态 , ,则称此系统的状态完全可控。则称此系统的状态完全可控。 )(tu0tft0tt ftt )(0tx()fx t等价的定义69例如图9-10 二维系统状态转移过程如图所示二维系统状态转移

26、过程如图所示系统可控。系统可控。70 2.可控性判据其中 A A (nn),b b (n1), c c (1n),d d (11) 系统可控的充分必要条件是uxuxdcybAx（9-84）（9-85）n1n bAAbbrank(9-86)单变量线性定常系统71证明：将u(t) 代入式(9-54)，可得101( )e(0,)eTftTtfu tt AAbWxx(9-87)若式若式(9-86)(9-86)成立，由前面准备知识的引理，存在成立，由前面准备知识的引理，存在t t1 100，使，使得式得式(1-30)(1-30) 定义的定义的W(0, tW(0, t1 1) )矩阵非奇异，取矩阵非奇异，

27、取t t1 1为可控性定为可控性定义中的义中的t tf f ，且在，且在0, t0, tf f 上定义上定义72由定义可知式(9-86)成立时，系统可控。 10001100011eeee(0,)deee(0,)edeeeefTfffTfffffftAtAtATAftAtAtATAfAtAtAtAtxbbWtxbbWtxxxxx()1f0010(t )eee(0,)edfTffftAtA tAtTAfxxbbWtxx73再证明若系统可控，则式(9-86)成立。 根据凯莱-哈密尔顿定理 0(0)e( )dftx Abu（9-88）1m0e()nmmAA（9-89）假定系统由任意初始状态被控制到零状

28、态，即 x(tf)=0 。根据(9-54)式，则有74把(9-89) 式代入(9-88) 式，得记100(0)() ( )dftnmmm xA bu0( ) ( )d(0,1,2,1)ftmmuumn10(0)nmmmxA bu这时0111(0)nnuuuxbAbAb（9-90）75由于x(0)是任意的n维向量，式(9-90) 要有解，一定有(9-86)式成立，即21rank()nnbAbA bAb由上述可控性判据可知，系统的可控性只取决于式由上述可控性判据可知，系统的可控性只取决于式(9-(9-84) 84) 中的中的A A阵和阵和b b阵。今后为了方便起见，将可控性矩阵阵。今后为了方便起见

29、，将可控性矩阵记为记为S S，这样，可控的充要条件就写成：，这样，可控的充要条件就写成：rankS=n rankS=n 或或 detS0detS0。76图9-11 不可控系统77例子系统可控。uxx1100410201229414212102bAAbbPc01cPdet系统78 3.约当型方程的可控性判据 约当块的一般形式为111111001由前面讨论可知，等价变换不改变可控性。79可控的充分必要条件为同一特征值对应的约当块只有一块，即各约当块的特同一特征值对应的约当块只有一块，即各约当块的特征值不同。征值不同。每一约当块最后一行，所对应的每一约当块最后一行，所对应的b b中的元素不为零。中的

30、元素不为零。这一充分必要条件又称为单输入系统约当形方程的可控这一充分必要条件又称为单输入系统约当形方程的可控性判据。性判据。80例9-121112232411bbbbxxu系统状态方程为系统状态方程为i21b,试确定系统可控时，试确定系统可控时， 应满足的条件。应满足的条件。81解：0bb)(4221 如果用直接计算可控性矩阵的方法也可得到同样结果 .因为因为A A阵有两个约当块，根据判据的应阵有两个约当块，根据判据的应有有 ，由判据的，由判据的，A A的第二行所对应的第二行所对应的的b b中的元素中的元素b2 2, ,b4 4均不为零，因此系统可控的均不为零，因此系统可控的充要条件为充要条件

31、为2182 4.可控标准形uxxn100010000010000101210(9-92)则系统一定可控。一个单输入系统，如果具有如下形式83式(9-92)的形式被称为单输入系统的 。 对于一般的单输入对于一般的单输入n n维动态方程维动态方程 (9-93)(9-93) 其中其中A A，b b分别为分别为n nn,nn,n1 1的矩阵。成立以下定理：的矩阵。成立以下定理： 若若n n维单输入系统可控，则存在可逆线性变换，将其维单输入系统可控，则存在可逆线性变换，将其变换成可控标准形。变换成可控标准形。buAxx84下面给出变换矩阵P的构成方法 计算可控性矩阵计算可控性矩阵S S；计算计算 ，并记

32、，并记 的最后一行为的最后一行为h h。构造矩阵构造矩阵 P P令令 -1S21nhhAPhAhAx = Px-1S1 PAPAPBB 1CPCDD 即可求出变换后的系统状态方程。即可求出变换后的系统状态方程。，85例9-13设系统状态方程为设系统状态方程为 试将系统状态方程化为可控标准形。试将系统状态方程化为可控标准形。u110 x041020122x86解： 先判断可控性，再计算变换矩阵，将状态方程先判断可控性，再计算变换矩阵，将状态方程化为可控标准形。化为可控标准形。故系统可控。故系统可控。一定可将它化为可控标准形。一定可将它化为可控标准形。 2012124149det0SbAbA bS

33、87此时标准形中的系统矩阵的最后一行系数就是A阵特征式的系数，但符号相反。则变换矩阵为121052221 1211Sh1211210322121423201 PP88可求出1211221210322020121423140201010001254 A= PAP211003221042311 b = Pb895. 系统按可控性进行分解系统按可控性进行分解 系统可控时，可通过可逆线性变换变换为可控标准形，系统可控时，可通过可逆线性变换变换为可控标准形，现在研究不可控的情况，这时应有现在研究不可控的情况，这时应有下面的结果被称为系统按可控性进行分解的定理 11ranknbAbAbnn （9-103）

34、90若单变量系统式(9-84)，(9-85) 的可控性矩阵满足式(9-103），则存在可逆线性变换矩阵P，使得变换后的系统方程具有以下形式 121114221122(9 104)00(9 105)AAxbxuAxxxyccdux1111 1111ranknn bAbAbdb)AsI(cdb)AsI( c111n111（9-106）（9-107）1x2x式中 是n1维向量， 是n2维向量，并且91式(9-106) 表明下面的动态方程是可控的： 式（式（9-107)9-107) 表明的动态方程表明的动态方程(9-108)(9-108)，(9-109)(9-109)和原来的和原来的n n维动态方程维

35、动态方程 (9-84)(9-84)，(9-85)(9-85)具有相同的传递函数。或具有相同的传递函数。或者说者说传递函数中未能反映系统中不可控的部分。传递函数中未能反映系统中不可控的部分。duxcyubxAx111111（9-108）（9-109）92证明：证明：11111ranknnnnn bAbAb A bAb(9-110)考察考察(9-103)(9-103)式，并将它重新写出如下式，并将它重新写出如下111ranknn bAbAb进而可以证明进而可以证明112,n nqqq补充选取线性无关的向量补充选取线性无关的向量11112,nn nb AbAb q qq并使得向量组并使得向量组 线性

36、无关。线性无关。Pbb,PAPA1即可证明 具有定理所要求的(9-104)的形式。93令q,q,q, bA,Ab, bP11nn211n1若将式若将式(9-104(9-104，105)105)所表示的系统用方框图表示，可所表示的系统用方框图表示，可控性分解的意义就能更直观地体现出来，式控性分解的意义就能更直观地体现出来，式(9-104)(9-104)，(9-105)(9-105) 的系统方框图如图的系统方框图如图9-129-12所示。所示。94图9-12 系统按可控性分解95 从图从图9-12中可见，控制输入不能直接改中可见，控制输入不能直接改变变 也不能通过影响也不能通过影响 间接改变间接改

37、变 ，故，故 这一部分状态分量是不受输入影响的，这一部分状态分量是不受输入影响的，它是系统中的不可控部分。它是系统中的不可控部分。 由图上还可看出系统的传递函数完全由由图上还可看出系统的传递函数完全由图中虚线以上的部分所决定，即传递函图中虚线以上的部分所决定，即传递函数未能反映系统的不可控部分。数未能反映系统的不可控部分。 1x2x2x96例9-14 设有系统方程如下设有系统方程如下 其传递函数为其传递函数为 试进行可控性分解试进行可控性分解 。110001011000110 x xxuy2) 1s (1) s (g97解：210111210bAAbbS2系统的可控性矩阵系统的可控性矩阵由于由

38、于S S的第的第3 3列是第列是第1 1列与第列与第2 2列的线性组合，列的线性组合，系统不可控系统不可控 。T1(001)q选取选取98计算出计算出 1010110011PbAbq110101120,0 ,0010010 A= PAPb = Pbc = cP构成构成110100101P99故有因而得11101101120 Abc11 110rankrank201bAb111112111()01( )120(1)ssg sss cIAb100三、线性系统的可观测性设n维单变量线性定常系统的动态方程为cxy,buAxx(9-113,114) 如果在有限时间间隔0, t1 内，根据输出值y(t)和

39、输入值u(t)，能够唯一确定系统的初始状态x(0)的每一个分量，则称此系统是完全可观测的，简称可观的。1.1.可观测性的定义式中A,b,c分别为 矩阵。,1,1nn nn101图9-13 不可观测系统102 分析式(9-117) ，当知道某一时刻的输出时，式(9-117) 是n个未知量x(0)的(一个)方程，显然不能唯一确定初值，要解出x(0) ，必须要利用一段时间上的输入和输出的值。将式(9-117) 左乘一个列向量，再从0到t1积分就可得到n个未知数x(0)的n个方程。就可利用线性方程组存在唯一解的条件来研究。()0( )( )e(0)e( )dtttttAAgcxcxcbu(9-117)

40、我们考虑没有外作用的系统，可求出1032.可观测性判据可观测性判据 可观测的充分必要条件是n1ncAcAcrank(9-118)式(9-118) 中的矩阵称为可观性矩阵可观性矩阵。并记为V V。104式（9-118）又可以写成det0V21rank()()TTTTTTnTncA cAcAc取x(0)= ，这一非零的初始状态引起的输出为( )(0)tty teeAAcxc（9-120）110det(0, )det ee d0TttTtttAAVc c根据准备知识中的引理，存在105将 代入上式，得显然不可能由y y(t)=0来确定。即系统不可观测。10e( )ntkkktAA100111( )(

41、 )(0)( )( )( )0nkkknntttttycA xccAcA1062030111 0 xxuyx试判断系统的可观测性。设系统动态方程为例题9-15107解： 系统的可观性矩阵 是奇异的，故系统不可观测。1020cVcA系统可观性矩阵的秩，在对系统作可逆线性变换下系统可观性矩阵的秩，在对系统作可逆线性变换下保持不变，因而可逆线性变换不改变系统的可观测性。保持不变，因而可逆线性变换不改变系统的可观测性。 108事实上 1111111)nnn-1-1-1cccPcAcAcP PAPVPVPcAcAcP (PAP1P1093.对偶原理上面两个系统的系统矩阵、输入矩阵、输出矩阵之间有确定上面

42、两个系统的系统矩阵、输入矩阵、输出矩阵之间有确定的关系，称系统的关系，称系统、是互为是互为 对偶对偶 的系统。的系统。 , xAx buycxzbwvczAzTTT,系统系统 110对偶原理对偶原理 系统系统的可控性的可控性( (可观性可观性) )等价于系统等价于系统的可观性的可观性( (可控性可控性) )。 只要写出系统只要写出系统的可控性矩阵的可控性矩阵( (可观性矩阵可观性矩阵) )和系统和系统 的可观性矩阵的可观性矩阵( (可控性矩阵可控性矩阵) )即可证明以上结论。即可证明以上结论。 利用对偶原理，可以将可控性的研究结果应用到可利用对偶原理，可以将可控性的研究结果应用到可观测性的研究

43、上。因为对对偶系统的可控性研究就观测性的研究上。因为对对偶系统的可控性研究就相当于对原系统的可观性研究。相当于对原系统的可观性研究。 111应用： 若式若式(9(9-113)113)和式和式(9(9-114)114)的动态方程中的动态方程中A A阵具有约阵具有约当标准形，则系统可观测的当标准形，则系统可观测的充分必要条件充分必要条件为为 同一特征值对应的约当块只有一块。同一特征值对应的约当块只有一块。 每一约当块的第每一约当块的第1 1列所对应的列所对应的c c中的元中的元素素 非零。非零。n上述条件就是约当形动态方程的可观测性判据。它可以由对偶系统的可控性判据得到。112例9-16 设动态方

44、程为设动态方程为 试确定系统可观测时试确定系统可观测时 应满足的应满足的条件。条件。iic,11221234101102cccc xxuyx113解：1112232401010102cccc xxuyx由对偶系统的可控性判据可知，其可控的充要条件为. 0c, 0c,3121这也就是原系统可观测的条件。构造原系统的对偶系统如下：1144.可观测标准形可观测标准形 一个单输出系统如果其一个单输出系统如果其A,cA,c 阵有如下的标准形阵有如下的标准形式，它一定是可观测的。式，它一定是可观测的。式（9-122）称为单输出系统的可观测标准形。 0121000010001000001000001nAc（

45、9-122）115,xAxbuycx通过对偶原理证明：给定系统方程如下给定系统方程如下, xAxbuycx-1()xMxxM x（9-123）若有等价变换若有等价变换将其化为可观测标准形将其化为可观测标准形式中式中 具有式具有式(9-122)(9-122)的形式。的形式。Ac和116构造原系统的对偶系统 根据对偶原理，因原系统为可观测，所以其对根据对偶原理，因原系统为可观测，所以其对偶系统一定可控。偶系统一定可控。,TTT zA zc uwb zzPz 化为下列的可控标准形，其变换矩阵为P P。1,11zAzb uwc zTT111，T-11APA PbPccb P117因此有11111()(

46、)TTTTTTTAPAPcPbbcP11AMAMbM bccMTPM (9-134)比较上面两组式子，可知欲求之线性变换矩阵比较上面两组式子，可知欲求之线性变换矩阵它可将系统方程化为可观测标准形。它可将系统方程化为可观测标准形。118例9-17 系统动态方程为系统动态方程为 将系统动态方程化为可观标准形，将系统动态方程化为可观标准形，并求出变换矩阵。并求出变换矩阵。111,1 1111 xxuyx119解： 显然该系统可观测，可以化为可观标准形。写显然该系统可观测，可以化为可观标准形。写出它的对偶系统的出它的对偶系统的A,bA,b阵，分别为阵，分别为111,1 11 Ab 根据根据A,bA,b

47、阵，按化可控标准形求变换阵的阵，按化可控标准形求变换阵的步骤求出步骤求出P P阵。阵。120 计算可控性矩阵计算可控性矩阵S S1210SbAb1112010.50.5100.50.5Sh0.50.510hPhA由由(9-129)(9-129)式求出式求出P P阵阵10.50.50.5102,100.5011TTMPM由由(9-134)(9-134)式求出式求出M M阵阵121 式中式中1102 110.510211110.5 012021211100.511 10 10.5 0AM AMbM bccM122 5.系统按可观性进行分解 系统可观测，则通过等价变换可以化为可观测标准形。系统可观测

48、，则通过等价变换可以化为可观测标准形。现在研究系统不可观的情况，它是系统不可控的对偶现在研究系统不可观的情况，它是系统不可控的对偶结果。结果。 若式(9-113，114)的系统不可观测，且2-1ranknnnccAMcA123则存在可逆矩阵P P，将动态方程化为式中 是n2维向量, 是n-n2维向量，并且1x2x21112111ran knnncc Ac A（9-137）11113422211200uAxbxAAxbxxycx（9-135）（9-136）124(9-135,136)(9-135,136)的式子也可用图的式子也可用图9-149-14表示。表示。 这可以用前面证明可观标准形的方法论

49、证。这可以用前面证明可观标准形的方法论证。式(9-137) 表明n2维的子系统 (A1 b1 c1 )是可观的； 这部分状态变量是不可观的；式(9-138) 表明传递函数未能反映系统的不可观部分。2x11111()()sscIAbcIAb 系统按可观性分解的结系统按可观性分解的结果果(9-138)125图图914 系统按可观测性分解系统按可观测性分解由上图可以看出传递函数完全由图中虚线以上的部分所决定，即传递函数未能反映系统中不可观测的部分。126四、可控性、可观测四、可控性、可观测性与传递函数的关系性与传递函数的关系 1()( )( )()( )adj sN sg sssD scIA bc

50、IAbIA（9-141）对应的传递函数为,xAxbuycx(9-140)考虑单变量系统，其动态方程为1.1.可控性、可观测性与零、极点对消问题127式中：( )()( )N sadj sD sscIA bIA N(s)=0的根称为传递函数g(s)的零点， D(s)=0的根称为传递函数g(s)的极点。下面是本段的主要结果。 动态方程式(9-140)可控、可观测的充分必要条件是g(s) 无零、极点对消，即D(s)和N(s)无非常数的公因式。128证明：首先用反证法证明条件的必要性，若有s=s0即使N(s0)=0，又使D(s0)=0，由(9-141)式即得000,adj()0ssIAcIA b(9-

51、143)利用恒等式1adj()()()()ssssscIA bIAIAIAIIAIDAIAI) s ()s ()s (adj可得(9-144)129将s= s0代入式(9-144) ，并利用式(9-143) ，可得)s ()s (s000AIAAIadjadj(9-145)将上式前乘c、后乘b后，即有0)s (s)s (s)s (00000NbAIcbAIcAadjadj（9-146）将式(9-145) 前乘cA、后乘b后，即有0)s (s)s (0002bAIcAbAIcAadjadj（9-147）130依次类推可得0)s (0)s (0)s (0)s () s (01n0200bAIcAb

52、AIcAbAIcAbAIcNadjadjadjadj这组式子又可写成0)s (adj01nbAIcAcAc131 出现矛盾，矛盾表明出现矛盾，矛盾表明N(s)N(s)和和D(s)D(s)无相同因子，即无相同因子，即g(s)g(s)出现零、极点相消的现象。出现零、极点相消的现象。因为动态方程可观测，故上式中前面的可观性矩阵是可逆矩阵，故有0)s (0bAIadj0ss1)s (1n000bAIadj又由于系统可控，不妨假定A、b具有可控标准形式(9-92)的形式，直接计算可知（9-148）132例9-18 设系统动态方程为设系统动态方程为101010146411210 xxuyx 验证系统是可控

53、、可观测的。验证系统是可控、可观测的。133 显然显然N(s)N(s)和和D(s)D(s)无非常数的公因式，这时传无非常数的公因式，这时传递函数没有零、极点相消。事实上递函数没有零、极点相消。事实上422342)1s()1s(1s4s6s4s1s2s)s(g1s4s6s4sAI s) s (D1s2sb)AI s (c) s (N2342 adj解：分别计算解：分别计算 1342. 传递函数的最小阶动态方程实现 已知动态方程，可以用式(9-64) 计算出传递函数。如果给出传递函数如何找出它所对应的动态方程？这一问题称为传递函数的实现。 如果又要求所找出的动态方程阶数最低，就称为传递函数的最小实

54、现问题。135设给定有理函数设给定有理函数011n1nn011n1n011n1nn011n1nn0asasasbsbsbdasasasdsdsdds)s(g(9-149)式(9-149) 中的d 就是下列动态方程中的直接传递部分ducxybuAxx,(9-150)所以只需讨论式(9-149) 中的严格真有理分式部分。136给定严格真有理函数给定严格真有理函数011n1nn011n1nasasasbsbsb) s ( g(9-151)要求寻找 A,b,c，使得) s ( g)s (1bAIc(9-152)并且在所有满足式(9-152) 的A,b,c中，要求 A 的维数尽可能的小。下面分两种情况讨

55、论137 可控标准形的最小阶实现式(9-153) 对式(9-151) ，可构造出如下的实现 (A ,b,c)110121010001000001000010nnbbbcbA(9-153)（1 1）g(s)g(s)的分子和分母的分子和分母无非常数公因式的情况无非常数公因式的情况1381000100010010001101210cbAnnbbb(9-154) 可观标准形的最小阶实现 式(9-153) 给出的(A, b, c)具有可控标准形，故一定是可控的。可直接计算它对应的传递函数就是式(9-151)的传递函数。由于g(s)无零、极点对消，故可知式(9-153)对应的动态方程也一定可观。同样可以说

56、明式(9-154)是式(9-151)的可观标准形的最小实现。139 若g(s)的分母已经分解成一次因式的乘积，通过部分分式分解，容易得到约当标准形的最小阶实现。现用例子说明,设g(s)有以下的形式)s(c)s(c)s(c)s(c)s()s(bsbsbsb)s(g)s(u)s(y4413212311431012233(9-155) 约当标准形的最小阶实现约当标准形的最小阶实现 因为g(s)无零、极点对消，故可知上式中c1、c4均不为零。140令)s(us1)s(x)s(xs1)s(u)s(1)s(x)s(xs1)s(u)s(1)s(x)s(us1)s(x44213113121213uxxxxxx

57、xxuxx44421113212313分别对应于141而44332211xcxcxcxcy综合上面各式并令 x=x1 x2 x3 x4T可得xyuxx43214111cccc1100001001由约当形方程的可控性判据和可观测性判据可知上式是可控、可观测的，因而它是g(s)一个最小阶实现。142 若g(s)的分母是n阶多项式，但分子和分母有相消的公因式时,这时n 阶的动态方程实现就不是最小阶实现，而是非最小实现(或是不可控的，或是不可观的，或是既不可控也不可观的)。 g(s)的最小实现的维数一定小于n。（2 2）g(s)的分子和分母有相消因式的情况143例9-19设g(s)的分子N(s)=s+

58、1,而分母D(s)= ，分子与分母有公因子(s+1) 。1s2s2s23仿照式(9-153) ，可写出g(s)的一个三维的可控标准形实现xyuxx011100221100010无需验证这个实现是可控的144xyuxx100011210201100因此这一实现是不可观的。同理，如果按式(9-154) 构造如下的可观测标准形的三维实现，它一定是不可控的。2121110011VVrank计算可观测性矩阵145 当然也可以构造出g(s)的既不可控又不可观测的三维实现。现在将分子和分母中的公因式消去，可得1ss11s2s2s1s)s(g223 如果用上式中最后的式子，仿照式(9-153) 或式(9-15

59、4) ，构造出二维的动态方程实现，它是g(s)的最小实现。146 9-3 9-3 状态反馈与状态观测器状态反馈与状态观测器本节首先研究用状态变量作反馈的控制方式。系统的动态方程如下cxybuAxx,(9-157)令kxvu(9-158)一、一、状态反馈和极点配置问题式中的v 是参考输入，k称为状态反馈增益矩阵，这里它是1n 的向量。147图9-15cxy,bvx)bkA(x(9-159)图9-15所示的闭环系统的状态空间表达式为式中A-bk为闭环系统的系统矩阵。 将式将式(9-157)(9-157) 和式和式(9-158)(9-158) 用方用方框图表示，见图框图表示，见图9-159-15，它

60、是一个，它是一个闭环系统。闭环系统。148计算式(9-159) 闭环系统的可控性矩阵，因为),()(),(),()()(),()()()(2211232322的线性组合的线性组合的线性组合的线性组合bAbAAbbbAbbkAbAAbbbAAbbbAbkAbbkAAbbbAbdAbbkAbbkAbdAbbkbAbbbkAnnn1 1 状态反馈不影响可控性149100001011n1nbAAbbbbk)(Abk)b(Ab上式中最后一个矩阵显然是非奇异矩阵，因此有11rank ()()ranknnb A-bk bA-bkbbAbAb(9-160)因此有150式(9-160)表明，若原来系统可控，加上