08版本微积分与解析几何大纲

1、微积分与解析几何教学大纲（供信息与计算科学学院本科统计专业使用）课程编号：02100760 02100770 02100780课程名称：微积分与解析几何课程类型：学科基础课总学时：90+64+48=202 讲课学时：202 实验（实践）学时：4学分：5+4+3先修课程：初等数学一、课程的目的与任务微积分与解析几何是数学类和工科类各专业的一门重要的基础理论课，是信息与计算 科学学院统计专业的主干课，该课程的开设对学生掌握深厚的数学基础是非常必要的。通过该 课程的学习，要使学生获得：1、极限和连续2、一元函数微积分学3、常微分方程4、向量代数及空间解析几何学5、多元函数微积分学6、无穷级数等方面的

2、基本概念、基本理论和基本运算技能，为后继课程的学习、为学生今后从事教育、 科学研究奠定坚实的数学基础。在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养提高学生高 度概括的抽象思维能力、严谨的逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力；还要特 别注意培养学生具有熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题、解决问题的能力；同时 也注重各种能力有机结合。二、课程有关说明1. 课程简介：微积分与解析几何 是数学类和工科类各专业的一门重要的基础理论课，该课程的开设对学生掌握深厚的数学基础是非常必要的。2. 修学该课程的先期知识和能力准备：修此课程必须具备初等数学知识及基本的数学空间 想象能力和数学推理能

3、力。3. 主要教学方式：讲授式教学、启发式教学、发现式教学、学导式教学、讲练式教学、总 结式教学以及多种教学方式有机结合进行使用，依照学生及教材的情况适时变更教学方法和教学方式。规定每周进行一次习题辅导课，力求做到保质保量。每节课留1 2道思考题，把学生的学习从课堂延伸到课外。4. 考核评分方式：采用考教分离题库抽题进行考核，阅卷小组按评分标准流水阅卷。5. 教改内容：考虑到统计专业的性质及三学期的教学时间，在高等数学（同济六版）的基础上附加解析几何的一些详细内容，增加内容量。微分方程部分也适当增加内容。教材中打“卒'的节本来根据此门课程的设置是针对工科和部分统计专业学生免修的部分，但

4、是目前对于信息与计算科学学院的统计专业学生，要考虑“ * ”内容基本全部讲授。本课程的名称根据需要更改为微积分与解析几何。三、教学内容第一章 函数与极限（20学时）第一节映射与函数本节应掌握：熟悉：函数的概念、函数的性质了解：集合、映射、复合函数和反函数的概念，基本初等函数性质及图形一、集合二、映射三、函数第二节数列的极限本节应掌握：熟悉：深刻理解数列极限 8 - N定义,并会用定义证明，掌握收敛数列的性质一、数列极限的定义二、收敛数列的性质第三节函数的极限本节应掌握： 熟悉：深刻理解函数极限- X定义（但对用它们证明极限不做过高要求）并区别函数极限 s-X与数列极限& - N的定义，

5、函数极限的性质一、函数极限的定义二、函数极限的性质第四节无穷小和无穷大本节应掌握：熟悉：理解无穷小与无穷大的定义，掌握极限和无穷小的关系，无穷小和无穷大的关系一、无穷小二、无穷大第五节极限运算法则本节应掌握：熟练掌握极限运算法则第六节极限存在准则两个重要极限本节应掌握：熟悉：两个极限存在准则，熟练掌握两个重要极限并会灵活运用第七节 无穷小的比较本节应掌握：熟悉：无穷小的比较，熟练掌握利用等价无穷小求极限第八节函数的连续性和问断点本节应掌握：熟悉：深刻理解函数连续的概念，理解间断点的概念，掌握间断点的类型的判别一、函数的连续性二、函数的间断点第九节连续函数的运算与初等函数的连续性本节应掌握：熟悉

6、：理解连续函数的和、差、积、商的连续性，反函数与复合函数的连续性，重点是初等函数连续性一、连续函数的和、差、积、商的连续性二、反函数与复合函数的连续性三、初等函数的连续性第十节 闭区间上连续函数的性质本节应掌握：熟悉：闭区间上连续函数的性质，了解：一致连续性的概念，区别一致连续与连续的关系一、有界性与最大值与最小值定理二、零点定理与介值定理三、一致连续性第二章 导数与微分（10学时）第一节导数概念本节应掌握：了解：导数的来源熟悉：导数的定义，掌握导数的几何意义及函数可导与连续的关系一、引例二、导数的定义三、导数的几何意义四、函数可导性与连续性的关系第二节函数的求导法则本节应掌握：熟悉：求导法则

7、，难点是反函数的求导法则与复合函数的求导法则，熟记求导基本公式一、函数的和、差、积、商的求导法则二、反函数的求导法则三、复合函数的求导法则四、基本求导法则与导数公式第三节高阶导数本节应掌握：熟悉：高阶导数的求法第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率本节应掌握：熟悉：隐函数及参数方程所表示的函数的求导（一阶及高阶求导）了解：相关变化率一、隐函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数三、相关变化率第五节函数的微分本节应掌握：熟悉：理解函数微分的概念，微分的几何意义，微分公式和微分法则了解：微分在近似计算中的应用一、微分的定义二、微分的几何意义三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则

8、四、微分在近似计算中的应用第三章 微分中值定理与导数的应用（18学时）第一节微分中值定理本节应掌握：熟悉：罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理并会用它们证明相关类型的题目一、微分的定义二、微分的几何意义三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则四、微分在近似计算中的应用第二节洛必达法则本节应掌握：熟练掌握利用洛必达法则求未定式的极限第三节泰勒公式本节应掌握：熟悉：掌握泰勒中值定理， 会求函数的泰勒展式、 麦克劳林展式，利用函数的麦克劳林展式求极限第四节函数的单调性与曲线的凹凸性本节应掌握：熟悉：函数极值概念、凹凸弧概念，掌握用导数判别函数单调性、曲线的凹凸性，掌握拐点的求法-、函数单调性的判定法二、

9、曲线的凸凹性与拐点第五节函数的极值与最大值最小值本节应掌握：熟悉：函数极值点的判别方法和极值的求法，函数最大值、最小值的求法，函数最大值、最小值应用，拍比一此实冗伊词一、函数的极值及其求法二、最大值最小值问题第六节函数图形的描绘本节应掌握：了解：描绘函数的图形第七节曲率本节应掌握：熟悉：弧微分、曲率、曲率半径概念及计算公式了解：曲率中心的计算公式，渐屈线与渐伸线一、弧微分二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径四、曲率中心的计算公式渐屈线与渐伸线第八节方程的近似解本节应掌握:了解:方程近似解的二分法，切线法、二分法、切线法第四章不定积分（8学时）第一节不定积分的概念和性质本节应掌握：熟悉：不定

10、积分的概念，不定积分性质，熟纣:掌局不'定'根分云一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表三、不定积分的性质第二节换元积分法本节应掌握：熟悉：不定积分的换元积分法-、第一类换元法二、第二类换元法第三节分部积分法本节应掌握：熟悉：不定积分的分部积分法第四节有理函数的积分本节应掌握：熟悉：简单有理函数、无理函数、三角有理函数的积分方法，并掌握哪些函数可化为有理函数一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例第五节积分表的使用本节应掌握：了解：积分表的使用第五章 定积分（12学时）第一节定积分的概念与性质本节应掌握：了解：有关定积分的例子熟悉：理解定积分的定义，掌握定积分的近似计算

11、，掌握不定积分的性质一、定积分问题举例二、定积分定义三、定积分的近似计算四、定积分的性质第二节微积分基本公式本节应掌握：熟悉：积分上限的函数的概念，掌握积分上限函数的求导定理及公式，熟练掌握微积分基本公式一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系二、积分上限的函数及其导数三、牛顿-莱布尼茨公式第三节定积分的换元法和分部积分法本节应掌握：熟悉：定积分的换元法和分部积分法一、定积分的换元法二、定积分的分部积分法第四节反常积分本节应掌握：熟悉：两种反常积分概念一、无穷限的反常积分二、无界函数的反常积分第五节 反常积分的审敛法本节应掌握：熟悉：无穷限反常积分与无界函数的反常积分的审敛法了解：r函数

12、一、无穷限的反常积分的审敛法二、无界函数的反常积分的审敛法三、函数第六章 定积分的应用（8学时）第一节定积分的元素法本节应掌握：了解：定积分的元素法第二节定积分在几何学上的应用本节应掌握：熟悉：用定积分的元素法求平面图形的面积、体积、平面曲线的弧长一、平面图形的面积二、体积三、平面曲线的弧长第三节定积分在物理学上的应用本节应掌握：熟悉：用定积分的元素法求变力沿直线所作的功、水压力、引力、转动惯量（附加 的内容）一、变力沿直线所做的功二、水压力三、引力第七章 微分方程（30学时）第一节微分方程的基本概念本节应掌握：熟悉：微分方程的基本概念，掌握微分方程的解、通解（通积分）、初始条件、初 值问题、

13、定解条件的概念第二节可分离变量的微分方程本节应掌握：熟悉：可分离变量的微分方程的求解第三节齐次方程本节应掌握：熟悉：掌握齐次方程和可化为齐次的方程的求解一、齐次方程二、可化为齐次的方程第四节一阶线性微分方程本节应掌握：熟悉：熟练掌握一阶线性微分方程的求解，掌握伯努利方程的求解第五节 可降阶的高阶微分方程本节应掌握：熟悉：掌握可降阶的高阶微分方程的求解(y(n)= f (x)型，y''= f(x, y')型,y = f (y,y')型)的微分方程一、y(n) = f (x)型的微分方程二、y'' = f (x, y')型的微分方程三、y =

14、 f (y, y')型的微分方程第六节高阶线性微分方程本节应掌握：熟悉：理解高阶线性微分方程概念，掌握高阶线性微分方程解的结构了解：常数变易法一、二阶线性微分方程的举例二、线性微分方程的解的结构三、常数变易法第七节常系数齐次线性微分方程本节应掌握：熟悉：常系数齐次线性微分方程的求解第八节常系数非齐次线性微分方程本节应掌握：熟悉：常系数非齐次线性微分方程各型的解法、f(x)=e 弥Pm(x )型、f (x) =e* pl (x)cos缶x 十 pn(x)sin 切x型第九节欧拉方程本节应掌握：了解：欧拉方程的概念第十节常系数线性微分方程组解法举例本节应掌握：了解：常系数线性微分方程组的例

15、子的解法第八章 空间解析几何与向量代数(16学时)第一节向量及其线性运算本节应掌握：了解：向量概念、两向量夹角、单位向量、零向量、向量的相等；熟悉：向量的线性运算、会利用坐标作向量的线性运算、向量的模、方向角、投影一、向量概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系四、利用坐标作向量的线性运算五、向量的模、方向角、投影第二节数量积、向量积和混合积本节应掌握：熟悉：向量的数量积、向量积、混合积和一些向量关系的充要条件，如共线、共面 等一、两向量的数量积二、两向量的向量积三、向量的混合积第三节曲面及其方程本节应掌握：熟悉：曲面方程的概念；掌握旋转曲面、柱面及一些二次曲面方程的建立方法一、曲面方程的概念

16、二、旋转曲面三、柱面四、二次曲面第四节 空间曲线及其方程本节应掌握：熟悉：空间曲线的一般方程、参数方程及在坐标面上的投影一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影第五节平面及其方程本节应掌握：熟悉：几种常用的平面的方程，会熟练地求出平面的方程和两平面的夹角一、平面的点法式方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角第六节空间直线及其方程本节应掌握：熟悉：空间直线的几种方程，熟练掌握直线的方程求法及线线、线面夹角一、空间直线的一般方程二、空间直线的对称式方程与参数方程三、两直线的夹角四、直线与平面的夹角五、杂例第九章 多元函数微分法及其应用（24学时）第一节多元函数的基本

17、概念本节应掌握：熟悉：多元函数的基本概念，多元函数的极限及其求法，多元函数的连续性了解：n维空间一、 平面点集n维空间二、多元函数概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性第二节偏导数本节应掌握：熟悉：偏导数的定义，熟练掌握偏导数和高阶偏导数的求法一、偏导数的定义及其计算法二、高阶偏导数第三节全微分本节应掌握：熟悉：全微分的定义，熟练掌握全微分的求法，掌握全微分在近似计算中的应用一、全微分的定义二、全微分在近似计算中的应用第四节多元复合函数的求导法则本节应掌握：熟练掌握多元复合函数的求导第五节隐函数的求导公式本节应掌握：熟悉：隐函数的求导公式一、一个方程的情形二、方程组的情形第六节多元函数微分

18、学的几何应用本节应掌握：了解：多元函数微分学的几何应用：熟悉：会求空间曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线一、一元向量值函数及其导数二、空间曲线的切线与法平面三、曲面的切平面与法线第七节 方向导数与梯度本节应掌握：了解：方向导数和梯度的概念熟悉：方向导数和梯度的求法一、方向导数二、梯度第八节多元函数的极值及其求法本节应掌握：熟悉：多元函数的极值及其求法，条件极值一、多元函数的极值及最大值、最小值二、条件极值拉格朗日乘数法第十章 重积分（18学时）第一节二重积分的概念和性质本节应掌握：熟悉：二重积分的概念，二重积分性质一、二重积分的概念二、二重积分的性质第二节二重积分的计算法本节应掌握：熟悉：

19、二重积分的三种计算法：利用直角坐标计算二重积，利用极坐标计算二重积分利用换元法计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分三、二重积分的换元法第三节三重积分本节应掌握：熟悉：三重积分的概念，掌握三重积分的计算（投影法与截面法）一、三重积分的概念二、三重积分的计算第四节重积分的应用本节应掌握：熟悉：三重积分的应用（求曲面的面积、质心、转动惯量、引力）一、曲面的面积二、质心三、转动惯量四、引力第五节含参变量的积分本节应掌握：熟悉：含参变量的积分的求导公式第十一章曲线积分与曲面积分（20学时）第一节对弧长的曲线积分本节应掌握：熟悉：对弧长的曲线积分的概念和性质及计算方法一、对弧

20、长的曲线积分的概念和性质二、对弧长的曲线积分的计算法第二节对坐标的曲线积分本节应掌握：熟悉：对坐标的曲线积分的概念、性质及计算方法，两类曲线积分的联系一、对坐标的曲线积分的概念与性质二、对坐标的曲线积分的计算法三、两类曲线积分之间的联系第三节格林公式及其应用本节应掌握：熟悉：熟练掌握格林公式，并能灵活运用，掌握平面上曲线积分与路径无关的条件, 熟练掌握二元函数的全微分求积及全微分方程了解：曲线积分的基本定理一、格林公式二、平面上曲线积分与路径无关的条件三、二元函数的全微分求积四、曲线积分的基本定理第四节对面积的曲面积分本节应掌握：熟悉：对面积的曲面积分的概念与性质及计算方法一、对面积的曲面积分

21、的概念与性质二、对面积的曲面积分的计算法第五节对坐标的曲面积分本节应掌握：熟悉：对坐标的曲面积分的概念、性质及计算方法，两类曲面积分的联系一、对坐标的曲面积分的概念与性质二、对坐标的曲面积分的计算法三、两类曲面积分之间的联系第六节高斯公式通量与散度本节应掌握：熟悉：高斯公式，掌握沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件了解：通量与散度一、高斯公式二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件三、通量与散度第七节斯托克斯公式环流量与旋度本节应掌握：熟悉：斯托克斯公式及其用法了解：环流量与旋度第十二章 无穷级数（18学时）第一节常数项级数的概念和性质本节应掌握：熟悉：常项级数的概念与性质及柯西审敛原理一、常项级数的

22、概念二、收敛级数的基本性质三、柯西审敛原理第二节 常数项级数的审敛法本节应掌握：熟悉：常数项级数的审敛法并会用其判断级数的收敛性了解：绝对收敛与条件收敛的概念及绝对收敛级数的性质一、正项级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛四、绝对收敛级数的性质第三节籍级数本节应掌握：熟悉：函数项级数的概念，藉级数及其收敛性了解：藉级数的运算第四节函数展开成籍级数本节应掌握：熟练掌握泰勒级数公式，函数展开成藉级数的方法第五节函数的籍级数展开式的应用本节应掌握：熟悉：利用函数的藉级数展开式进行近似计算了解：微分方程的藉级数解法，欧拉公式一、近似计算二、微分方程的藉级数解法三、欧拉公式第六节函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质本节应掌握：熟悉：函数项级数的一致收敛性概念，掌握一致收敛级数的基本性质一、函数项级数的一致收敛性二、一致收敛级数的基本性质第七节傅里叶级数本节应掌握：熟