2026年高考数学复习讲练测专题04 导数题型全归纳（题型专练）（原卷版）

专题04导数题型全归纳

目录

第一部分题型破译微观解剖，精细教学

典例引领方法透视变式演练

【解答题破译】

题型01导数与函数的单调性、极值、最值

题型02导数与函数的零点

题型03导数与不等式证明

题型04导数与三角函数问题

题型05隐零点问题

题型06极值点偏移与拐点偏移

题型07切割线放缩

题型08必要性探路

题型09端点值问题

题型10函数与导数创新问题

第二部分综合巩固整合应用，模拟实战

题型01导数与函数的单调性、极值、最值

【例1-1】已知函数fxm1xlnx1．

(1)当m2时，求曲线yfx在点1,f1处的切线方程；

(2)若fx的极小值小于－1，求m的取值范围；

2

【例1-2】已知函数fxxax2a.

1

(1)若a，求函数的图象在点1,0处的切线方程；

2

(2)若a1，求fx的极值.

1、导函数的形式为含参一次函数，首先讨论一次项系数为0的情形，易于判断；当一次项系数不为零时，

讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区

间．

2、导函数的形式为含参准一次函数，首先对f(x)定号，然后讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，

结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间．

3、若导函数为含参可因式分解的二次函数，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，

判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性.

4、若导函数为含参不可因式分解的二次函数，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域讨论.

5、若导函数为含参准二次函数型，首先对导函数进行因式分解，求导函数的零点并比较大小，然后再划

分定义域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性

.

1

【变式1-1】已知函数fxlnaxax1，其中a0．

x

(1)当a1时，若直线yxb是曲线yfx的一条切线，求b的值；

(2)讨论fx的单调性；

【变式1-2】已知函数fxxlnx1．

(1)求fx的极值；

x3

(2)求证：fxx2．

2

【变式1-3】已知fxexalnx，其中aR,gxcosxxsinx．

(1)当a1时，求证：x1是函数fx的极小值点；

(2)求gx在π,π上的最小值；

题型02导数与函数的零点

【例2-1】已知函数fx2x3exaxa,aR.

(1)若x1是fx的极值点，求a的值，并说明x1是极大值点还是极小值点；

(2)当x1时，fx有两个零点，求实数a的取值范围.

【例2-2】已知函数fxx2ex1

(1)求函数fx在x0处的切线方程；

(2)求函数fx的单调性区间；

(3)若函数gxfxa，aR有2个零点，求a的取值范围.

解决零点个数问题常用的方法主要有以下三种：

(1)转化为两个函数图象交点的个数问题，利用数形结合思想求解.

(2)转化为函数f(x)的图象与x轴交点个数的问题.

(3)将f(x)＝0进行参变分离，转化为a＝g(x)的形式；有时为了避免出现“断点”，可以考虑“倒数分参”.

2

【变式2-1】已知函数fxxexax11，a为实数.

(1)讨论fx的单调性；

(2)若函数fx有3个零点，且aZ，求a的最小值.

【变式2-2】已知函数fxalnx12sinx.

(1)若曲线yfx在点0,f0处的切线方程为yx，求实数a的值；

(2)当a0,1时，

（i）证明：fx在0,π上存在唯一极小值点x1和唯一零点x2；

（ii）证明：x22x1.

【变式2-3】已知函数fxexasinxb在x0处取得极值1.

(1)求实数a、b的值；

(2)证明：fx在2π,π上有两个零点，且两个零点的和小于3π.

题型03导数与不等式证明

1

【例3-1】已知函数fxxlnxaeax．

2

(1)若x1,，fx0，求a的取值范围．

(2)当a0时，gxfx1tsinx．

①判断函数gx在0,π内的零点个数；

12131n1

②证明：sin1sinsinsinlnn1．

23243n1n

【例3-2】已知函数fxaxlnx1，x1，

(1)讨论函数fx的单调性：

(2)若不等式fx0在x1,上恒成立，求实数a的所有取值构成的集合；

*1111*

(3)当a1时，定义数列bn满足：b11，bnfbn1，nN，证明：2，nN.

bn12bn2

在进行放缩的时候，转化的本质就是把曲线转化为直线进行简化运算，即用直线代替曲线，在切点处

曲线可以近似的用直线代替，但是随着x的变化，直线与曲线的差距越来越大，放缩的精度越来越粗糙，

所以有时采用曲线来代替直线.

切线放缩证明不等式是一种常用的方法，它可以解决许多数学问题，常见的有指对切线放缩，使用切

线放缩可以深入理解数学的本质.

a

【变式3-1】已知函数fxxlnxxx0.

(1)当a1时，求fx的单调区间；

(2)当x1时，fx1，求a的取值范围；

111

(3)设nN，证明：lnn1.

121222n2n

a1

【变式3-2】已知函数fx2lnx．

xx2

(1)若a5，求曲线yfx在点1,f1处的切线方程．

(2)若fx有两个极值点．

（i）求实数a的取值范围；

（ii）设x0是fx的极小值点，证明：fx03．

【变式3-3】已知函数fxsinxxcosx.

(1)判断函数fx在区间π,π上的零点个数，并说明理由；

2π

(2)若函数kfxxsinx在区间0,上恒成立，求正整数k的最小值；

2

11nπ33

求证：*

(3)n1πtank,nN.

231k132

题型04导数与三角函数问题

【例4-1】已知函数fxsinx.

(1)求函数fx在点0,0处的切线方程；

(2)证明：当x0,时，fxx；

1

(3)求函数gxx2cosx的最小值.

2

【例4-2】已知函数fx1xcosx3sinx，fx为fx的导函数.

(1)求fx的图象在点0,f0处的切线方程；

(2)当xπ,π时，fxa，求a的取值范围；

(3)求证：当x0时，fx12x.

(1)三角函数在各个象限符号的变化及周期性,

研究三角函数的零点问题,常用逐个区间分析法.

分段讨论

①以,0,,,为端点分区间讨论;②以三角函数的最值点为端点分段讨论.

22

(2)根据三角函数的有界性,常利用sinx1及cosx1这两个结论进行放缩.

利用当x0,时,sinxx进行放缩变形,实现“超越式”到“非超越式”的转化.

2

11

注：①正弦函数:当x0时,xsinxxx2.②余弦函数:cosx1x2.

22

③正切函数:当x0,时,sinxxtanx.④数值域:sinx1,1,cosx1,1.

2

(3)分离函数:将含有三角函数的式子放到一起.

(4)分离参数:转化为函数值域问题.

(5)半分离参数:将不等式等价转化,化为左右两边函数是一直线与一曲线,考虑端点处的切线斜率.

(6)对一个较复杂的三角函数式,先观察式中几部分之间的联系,利用换元可使得式子简化,同时实现了

“超越式”到“非超越式”的转化,换元时须注意新变量的取值范围.

一、利用导数研究三角函数的性质

三角函数的性质主要包含周期性、单调性、奇偶性等,解题时要能够充分利用导数与0的大小来研究函

数的性质

【变式4-1】已知函数f(x)exmsinx(mR)．

(1)当m2时，求函数f(x)在(0,f(0))处的切线方程；

3ππ

(2)若f(x)在[,]上恰有2个零点，求m的取值范围；

42

(3)若m0,n0,g(x)f(x)nx2m，x0是g(x)的极值点，求证：gx0nln2nln(n)．

【变式4-2】已知函数fxa2ex3ax2sinx,a0.

(1)当a1时，求曲线yfx在点0,f0处的切线方程；

(2)若a2，且fx在0,上单调递增，求a的取值范围；

(3)证明：当a1,时，fx1.

题型05隐零点问题

【例5-1】已知函数fxalnxx．

(1)讨论fx的单调性；

2

(2)若fx恰有两个零点，记其中一个零点为x0，证明：a2x0a．

【例5-2】已知函数fx2sinxx．

ππ

(1)求fx在,上的单调区间；

22

π3

(2)当x0,时，fxxax，求a的范围；

2

2

令，证明：当时有极大值，且ln2．

(3)gxfxlnx1x0,1gxgx0gx01

2

第步用零点存在性定理判定导函数零点的存在性列出零点方程并结合的单调性

1:,fx00,f(x)

得到零点的范围;

第2步:以零点为分界点,说明导函数f(x)的正负,进而得到f(x)的最值表达式;

第步将零点方程适当变形整体代入最值式子进行化简

3:fx00,f(x):

（1）要么消除f(x)最值式中的指对项

（2）要么消除其中的参数项;

从而得到f(x)最值式的估计.

a

【变式5-1】已知函数fxexax，x0,.

x

(1)证明：当a0时，fx单调递增；

(2)证明：当a0时，fx有唯一零点；

(3)若x0,，fxe，求a的值.

【变式5-2】已知函数fxaxxlnx的图像在xe处的切线的斜率为3．

(1)求a的值；

(2)kZ，且fxkx1对x1恒成立，求k的最大值．

32

【变式5-3】已知函数fxaxlnx1,gx2xmxn，

(1)讨论函数gx的单调区间；

(2)讨论函数fx的零点个数；

(3)对任意的x0,fxxe2x恒成立，求a的取值范围；

题型06极值点偏移与拐点偏移

π

【例6-1】已知函数f(x)3sinxsin3x．若关于x的方程f(x)a(aR)在(0,)内有两个根x1,x2(x1x2)，

2

π

证明：xx．

122

x

【例6-2】已知函数fxeaxaR．

(1)求fx的单调区间；

(2)若fx有两个正零点x1,x2，且x1x2．

（i）求a的取值范围；

（ii）求证：x1x22．

若已知函数满足，为函数的极值点，求证：

f(x)f(x1)f(x2)x0f(x)x1x22x0.

（）讨论函数的单调性并求出的极值点；

1f(x)f(x)x0

假设此处在上单调递减，在上单调递增来源

f(x)(,x0)(x0,).[:Z,xx,k.Com]

（）构造；

2F(x)f(x0x)f(x0x)

注：此处根据题意需要还可以构造成的形式来源

F(x)f(x)f(2x0x).[:Zxxk.Com]

（）通过求导讨论的单调性，判断出在某段区间上的正负，并得出与

3F'(x)F(x)F(x)f(x0x)f(x0x)

的大小关系；

假设此处在上单调递增，那么我们便可得出，从而得到：

F(x)(0,)F(x)F(x0)f(x0)f(x0)0

时，

xx0f(x0x)f(x0x).

（）不妨设，通过的单调性，，与的大小关系得出

4x1x0x2f(x)f(x1)f(x2)f(x0x)f(x0x)

结论；

接上述情况，由于时，且，，故

xx0f(x0x)f(x0x)x1x0x2f(x1)f(x2)

，又因为，且

f(x1)f(x2)f[x0(x2x0)]f[x0(x2x0)]f(2x0x2)x1x02x0x2x0

在上单调递减，从而得到，从而得证

f(x)(,x0)x12x0x2x1x22x0.

xxxxxx

（5）若要证明f'(12)0，还需进一步讨论12与x的大小，得出12所在的单调区间，从而

2202

xx

得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为xx2x，故12x，由于

12020

xx

f(x)在(,x)上单调递减，故f'(12)0.

02

2

【变式6-1】已知函数f(x)xlnxaxxa．若函数有两个不同的极值点，记作x1,x2，且x1x2，求证：

lnx12lnx23．

x

【变式6-2】设fxx2e2，曲线yfx在x2处的切线方程为ykxb．

(1)求k，b的值；

(2)证明：fxkxb；

(3)若fxa存在两根x1，x2，且x1x2，证明：x1x20．

1

【变式6-3】已知函数fxexx2x．

2

(1)设hxfx，求hx的零点并判断fx的单调性；

(2)若fx1fx2，且x1x2，证明：

（i）x1x20；

（ii）ex1ex22．

题型07切割线放缩

【例7-1】已知函数fxxlnx1.

(1)讨论fx的单调性；

1

(2)（i）求fx在x处的切线方程和fx在e,0处的切线方程；

e

1

（ii）若方程fxm有两个不同的实根x,x，证明：xx2me.

1212e

sinx

【例7-2】已知函数f(x)x2πx,x[0,π]．

ex

(1)求f(x)在(0,f(0))处的切线方程；

2m

(2)若f(x)m存在两个非负零点x,x，求证：xxπ．

1221π1

1.函数的凹凸性

(1)下凸函数(凹函数)：如图1，对于连续函数f(x)，若在其图象上任取两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，除端

点外，线段AB始终在函数f(x)图象的上方，或在f(x)的图象上任取点C(x0，f(x0))，函数f(x)在点C处的切线

y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)除切点外，始终在f(x)图象的下方，我们称f(x)为下凸函数.若f(x)存在二阶导数f″(x)，则满

足f″(x)≥0的函数f(x)为下凸函数.

(2)上凸函数(凸函数)：如图2，对于连续函数f(x)，若在其图象上任取两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，除端

点外，线段AB始终在函数f(x)图象的下方，或在f(x)的图象上任取点C(x0，f(x0))，函数f(x)在点C处的切线

y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)除切点外，始终在f(x)图象的上方，我们称f(x)为上凸函数.若f(x)存在二阶导数f″(x)，则满

足f″(x)≤0的函数f(x)为上凸函数.

2.切线、割线不等式

(1)对于下凸函数，可利用切割线进行放缩，f(x)≥f'(x0)(x-x0)+f(x0)，当x∈(x1，x2)时，f(x)<(x-x1)+f(x1).

�(�1)−�(�2)

�1−�2

(2)对于上凸函数，可利用切割线进行放缩，f(x)≤f'(x0)(x-x0)+f(x0)，当x∈(x1，x2)时，f(x)>(x-x1)+f(x1).

�(�1)−�(�2)

3.剪刀模型�1−�2

已知函数f(x)为定义域上的下凸函数(或上凸函数)，且图象与y=m交于A，B两点，其横坐标为x1，x2，我

们可以利用下凸函数(或上凸函数)的切线与y=m的交点将x1，x2的范围予以估计，这便是切线放缩的基本原

理.

如图，在函数图象先减后增的情形下，两条切线和两条割线即可估计出交点横坐标的一个上下界，而切割

线的方程均为一次函数，这样我们就可以得到一个显式解(精确解)的估计.

切割线放缩主要应用在交点横坐标和、交点横坐标差问题中，切割线放缩体现了函数中的化曲为直的思想.

【变式7-1】已知函数fxπxsinx,x0,π

(1)求fx在0,0处的切线方程；

(2)若fxa在定义域上有两解x1,x2，求证：

①a2；

a

②xxπa.

12π

ex

【变式7-2】已知函数f(x)lnxxt，tR.

x

(1)若f(x)0，求t的取值范围；

(2)若t1，g(x)xf(x)exx2.

1

（ⅰ）求g(x)在x处的切线方程；

e

1

（ⅱ）若方程g(x)m有两个不同的实根x，x，且xx，mR，证明：xx2me.

122121e

题型08必要性探路

【例8-1】已知函数fxlnx1axa0．

2

(1)若函数gxfxa在0,e1上有且仅有2个零点，求a的取值范围；

(2)若fxa²exax1恒成立，求a的取值范围．

【例8-2】已知函数f(x)2lnxx24x3．

（1）求函数f(x)在[1,2]上的最小值；

（2）若f(x)≤a(x1)3，求实数a的值．

x

【变式8-1】已知函数fxe12cosx3asinx．

(1)当a1时，讨论fx在区间0,上的单调性；

3π

(2)若x,,fx0，求a的值．

4

题型09端点值问题

【例9-1】已知函数f(x)(x1)lnxa(x1)．

（1）当a4求曲线yf(x)在1，f1处的切线方程；

（2）若x1时，f(x)0，求a的取值范围．

【例9-2】已知函数f(x)lnxa(x1)，g(x)ex．

（1）求函数f(x)的单调区间；

（2）若函数h(x)f(x1)g(x)，当x0时，h(x)1恒成立，求实数a的取值范围．

恒成立问题中，我们常常会见到类似的命题：“对于任意的xa,b或xa，都有fx0恒成立”

（fx中包含参数），这里的端点a,b往往是使结论成立的临界条件，这种观察区间端点值解决问题的方

法，称之为端点效应．

1．适用类型：①不便于参变分离；②参变分离后的函数形式较为复杂；

2．解题步骤：

①移项，将所有变量移到一边，使不等式右边为0；

②计算端点处的函数值，验证端点处的函数值是否为0，若为0，则可继续处理，否则此题不适用于端点分

析法.

③若端点处函数值为0，则此时应有f′(a)0求出参数取值范围；若端点处函数值为0，且f′(a)0，则

此时应有f，,a0求出参数取值范围；

，，

④需证明必要性：求出参数取值范围后，应满足任意的xa,b或xa，fx0或f,x0

注：区间端点处的函数值恰好是不等式成立的临界值是这类问题的显著特征！

e2x

【变式9-1】已知函数fxaR

ax1

(1)讨论f(x)的单调性：

(2)当a2时，若x0，fxln12xmx1，求实数m的取值范围．

【变式9-2】已知函数fxeaxsinxcosx．

π1

(1)若a1，x，求证：Fxfxx1有且仅有一个零点；

43

(2)若对任意x0，fx0恒成立，求实数a的取值范围．

题型10函数与导数创新问题

【例10-1】已知函数yfx，xD的导函数为yfx，其中D0,，若对于任意的xD，都有

fxf2x，则称函数yfx，xD满足“性质Y”.

1

(1)设fx，求曲线yfx在点1,1处切线的方程；

x2

a1a

(2)设a0，fx，若函数yfx，x1,满足“性质Y”，求a的取值范围；

xx2

(3)如果正数m满足：对于任意满足“性质Y”的函数yx，xD，都有mD，求m的取值集合.

fx

【例10-2】已知函数fx及其导函数fx的定义域都为0,．若对任意x0,，有fx，

x

则称fx为“卓越函数”．

(1)判断fxx2xcosx是否为“卓越函数”？

(2)已知gxaxexx3x2为“卓越函数”，求实数a的取值范围；

2t2t

(3)已知hx为“卓越函数”，且存在唯一正实数t，使得hlntblntbh1，求实数b的取值

bb

范围．

【变式10-1】若曲线C的切线l与曲线C共有n个公共点（其中nN，n1），则称l为曲线C的“Tn切线”．

(1)若曲线yfx在点1,2处的切线为T2切线，另一个公共点的坐标为3,4，求f1的值；

32

(2)求曲线yx3x所有T1切线的方程；

，，

(3)设fxxsinx，是否存在t0，使得曲线yfx在点tft处的切线为T3切线？若存在，

2

探究满足条件的t的个数，若不存在，说明理由．

【变式10-2】在几何学中，我们常用曲率来刻画曲线的弯曲程度.设光滑连续曲线C:yf(x)，定义

f(x)

k3

2为曲线C在点P(x,f(x))处的曲率，其中f(x)为f(x)的导函数，f(x)为f(x)的导函数.

1f(x)2

1132a

已知曲线C:f(x)x3x2lnxx2.

624

(1)当a2时，求曲线C在点P(1,f(1))处的曲率；

(2)已知曲线C在不同的两点Ax1,fx1,Bx2,fx2处的曲率均为0.

（i）求实数a的取值范围；

4a2

（ii）求证：xx.

123

1

1．已知函数fxx22x3lnx．

2

(1)求fx在x1处的切线方程；

1

(2)当x,4，求fx的最值．

4

2．已知函数fxexaxaR．

(1)求fx的单调区间；

(2)若fx有两个正零点，求a的取值范围；

2

设x有两个零点分别为，，求证：e

(3)gxex1alnxfxx1x2x1x2.

ex1x2

3．已知函数f(x)xaln(x1).

(