图像增强频率域PPT教案

1、图像增强频率域图像增强频率域4.1 4.1 图像变换概述图像变换概述一幅静止图像，可以在一幅静止图像，可以在空间域空间域描述，也可以在描述，也可以在频率域频率域描述。描述。空间域描述是指：像素的值是空间坐标的函数。空间域描述是指：像素的值是空间坐标的函数。在直角坐标系中，一幅图像可表示为：在直角坐标系中，一幅图像可表示为： f ( x , y ) , 0 xM, 0yN 其中，其中， f ( x , y )为为 ( x , y ) 处的像素的值，如灰度。处的像素的值，如灰度。 M、 N分别为图像的宽、高。分别为图像的宽、高。 人们观察到的图像一般都是空域描述的。此前讨论的都是空间域人们观察到的

2、图像一般都是空域描述的。此前讨论的都是空间域描述的图像。描述的图像。 本章将讨论在频率域描述图像，并在频率域实现图像的平滑与锐化。本章将讨论在频率域描述图像，并在频率域实现图像的平滑与锐化。4.1.1 4.1.1 基本概念基本概念第1页/共52页4.1. 2 频域描述频域描述（1）概念）概念 用一系列频率的用一系列频率的二维正弦波二维正弦波去测量图像，分别求出图像内容沿空间位去测量图像，分别求出图像内容沿空间位置的变化中，是否含有这些频率成分，幅度有多大。置的变化中，是否含有这些频率成分，幅度有多大。（2）定义）定义 在频域中，图像用如下二维函数描述：在频域中，图像用如下二维函数描述： F(

3、u , v ) , 0uM, 0vN 其中，其中，u , v 分别为水平变化频率和垂直变化频率；分别为水平变化频率和垂直变化频率； F ( u , v )为图像中含有为图像中含有( u , v ) 频率的幅度；频率的幅度； M、 N 分别为最高水平变化频率和最高垂直变化频率，在数分别为最高水平变化频率和最高垂直变化频率，在数 量上等于图像的宽、高。量上等于图像的宽、高。 在频率域描述图像，从数量的角度揭示了图像内容沿空间位置的变化在频率域描述图像，从数量的角度揭示了图像内容沿空间位置的变化情况，是分析和处理图像的有力工具。情况，是分析和处理图像的有力工具。第2页/共52页（3）空域与频域描述的

4、关系）空域与频域描述的关系 从物理角度看从物理角度看 空域描述反映的是空域描述反映的是实物实物；频域描述反映的是图像内容的；频域描述反映的是图像内容的变化变化特性。特性。 从数学角度看从数学角度看 实际上是坐标变换。实际上是坐标变换。 空域描述是在空域描述是在( x , y )空间坐标系空间坐标系上描述图像；频域描述是在上描述图像；频域描述是在( u , v )频率坐标系频率坐标系上描述图像。两种描述是等效的，可相互转换。上描述图像。两种描述是等效的，可相互转换。xyuvF( u , v )f ( x , y )空域描述空域描述 f ( x, y ) 频域描述频域描述 F(u,v)第3页/共5

5、2页4.2 4.2 傅立叶傅立叶( (Fourier) )变换变换4.2.1 一维傅立叶变换一维傅立叶变换 （1）傅立叶变换傅立叶变换 定义定义: 连续函数的连续函数的傅立叶变换。傅立叶变换。设一维空域函数为设一维空域函数为 f (x) 。对。对 f (x) 作傅立叶变换，得到频域函数作傅立叶变换，得到频域函数F (u)：图像函数图像函数 f (x, y) 是二维函数。为建立傅立叶变换的概念，先从一维是二维函数。为建立傅立叶变换的概念，先从一维函数开始。函数开始。其中：其中：dxexfuFuxj 2)()()2sin()2cos(,12uxjuxejuxj 上式表明：若已知空域函数上式表明：若

6、已知空域函数 f (x) ，则可算出以频率，则可算出以频率u为自变量的频域函数为自变量的频域函数F (u)。x 为位置变量，为位置变量，u 为频率变量；为频率变量；f (x)是实函数，是实函数，F( u )是复函数。是复函数。为方便起见，将为方便起见，将 4.1 式简记为：式简记为：)()(xfFuF4.14.2第4页/共52页傅立叶变换的离散计算式傅立叶变换的离散计算式:10/2)(1)(NxNuxjexfNuF F(u)的实部的实部: )2cos()(1)(Re10NxxNuxfNuF 虚部虚部:)2sin()(1)(Im10NxxNuxfNuF 模模:22)(Im)(Re)(uFuFuF

7、幅角幅角:)(Re)(Imarctan)(uFuFu 物理含意：物理含意： 在在 f ( x ) 中，含有角频率为中，含有角频率为 的正弦波，其幅度为的正弦波，其幅度为 ，相位为，相位为u = 0,1,N-1 或或： f ( x ) 由一系列不同频率、相位和幅度的正弦波叠加而成。由一系列不同频率、相位和幅度的正弦波叠加而成。 说明已知说明已知 F(u) 可以求出可以求出 f ( x )Nu/2 )(u )(uF第5页/共52页（2）傅立叶反变换傅立叶反变换 若已求出若已求出 f ( x )的傅立叶反变换的傅立叶反变换F(u) ，则可以由，则可以由 F(u) 求出求出 f ( x ) ，称为，称

8、为 傅立叶反变换：傅立叶反变换：10/2)()(NuNuxjeuFxf 傅立叶变换域反变换举例：傅立叶变换域反变换举例： 设设 f ( x ) = 10, 12, 14, 16, 20, 18, 15, 11, 7, 3, 5, 8, 11, 14, 19, 22 ; 其曲线如图，求其曲线如图，求 F(u)。15016/2)(161)(xuxjexfuF N=16，故傅立叶变换式为：，故傅立叶变换式为：162),cos()(161)(Re150uxxfuFuxu )sin()(161)(Im150 xuxxfuF xf ( x )第6页/共52页当当u =1 时，时，013. 216/)151

9、25. 0cos(22.) 1125. 0cos(12)0cos(10)1 (Re F428. 116/)15125. 0sin(22.) 1125. 0sin(12)0sin(10)1 (Im F当当u =2 时，时，计算结果：计算结果：uf (x)ReF(u)ImF(u) | F(u) |01012.81012.811122.0131.4282.468214-1.229-2.0872.421316-0.139-0.7440.757420-0.313-0.6250.699518-0.634-0.0610.637615-0.512-0.2160.563711-0.488-0.1380.508u

10、f (x)ReF(u) ImF(u) | F(u) |87-0.1875.0910.18893-0.4880.1380.508105-0.5210.2160.563118-0.6340.0610.6371211-0.3130.6250.6991314-0.1390.7440.7571419-1.2292.0872.42115222.013-1.4282.468 0.1251612u Re F(0) = (10cos(0)+12cos(0)+22cos(0)/16 = 12.810u Im F(0) = (10sin(0)+12sin(0)+ 22sin(0) /16 = 0f ( x )的平均

11、值的平均值当当u =0 时，时，第7页/共52页x)(uFu12.812.468 绘出绘出F(u)的频谱图。每一条竖线代表一个正弦波。其中的频谱图。每一条竖线代表一个正弦波。其中: F(0)为平均值为平均值; F(1)为一次谐波为一次谐波, 幅度为幅度为2.468, 角频率为角频率为/16; F(2)为二次谐波为二次谐波, 幅度为幅度为2.421, 角频率为角频率为2/16; 频谱图频谱图f ( x )曲线图曲线图 将将F(0) F(15)代表的代表的16个正弦波叠加起来，就能得到原函数个正弦波叠加起来，就能得到原函数 f ( x )，这就是反变换。，这就是反变换。 傅立叶反变换还原空间域函数

12、的过程如下：傅立叶反变换还原空间域函数的过程如下：F(0)F(0)+ F(1)F(0)+ + F(14)F(0)+ + F(15)第8页/共52页结论：结论：x)(uFu12.812.468频谱图频谱图f ( x )曲线图曲线图空间域函数空间域函数 f (x, y)可以通过傅立叶变换，转换成频率域函数可以通过傅立叶变换，转换成频率域函数F(u)。 一般地，一般地，低频成分描述曲线的大致轮廓，高频成分描述曲线的细节。低频成分描述曲线的大致轮廓，高频成分描述曲线的细节。 频率域函数频率域函数F(u)可以通过傅立叶反变换，转换成空间域函数可以通过傅立叶反变换，转换成空间域函数 f (x, y)。 除

13、除F(0)外，外， ReF(u)关于关于N/2对称，对称， ImF(u)关于关于N/2反对称，反对称， |F(u)|关于关于N/2对称。对称。 计算计算F(u)仅需计算仅需计算 0 N/2 范围的值即可。范围的值即可。对称对称第9页/共52页（3 3）运用傅立叶变换实现滤波）运用傅立叶变换实现滤波 对频域表达的函数，削弱部分频率成分，增强部分频率成分，再经过反变换回到空间域表达的函数。对频域表达的函数，削弱部分频率成分，增强部分频率成分，再经过反变换回到空间域表达的函数。 低通滤波低通滤波 削弱高频，增强低频。用于突出轮廓，滤除杂乱噪声；削弱高频，增强低频。用于突出轮廓，滤除杂乱噪声； 高通滤

14、波高通滤波 削弱低频，增强高频。用于加强细节，排除漂移干扰；削弱低频，增强高频。用于加强细节，排除漂移干扰； 带通滤波带通滤波 增强某范围内的频率成分，提取有用信息。增强某范围内的频率成分，提取有用信息。 带阻滤波带阻滤波 削弱某范围内的频率成分，排除固定频率干扰。削弱某范围内的频率成分，排除固定频率干扰。 本节仅介绍低通滤波和高通滤波本节仅介绍低通滤波和高通滤波 。第10页/共52页f (x)F (u)f (x) 滤波运算方法：滤波运算方法： 用用 窗函数窗函数 H(u) 与与 F(u) 相乘（内积）。流程如下：相乘（内积）。流程如下：滤波运算滤波运算)(uF)(uH窗函数：窗函数： 与与

15、F(u) 中各频率分量对应的一组系数，各系数的大小在中各频率分量对应的一组系数，各系数的大小在 0 1之间。之间。 窗函数窗函数 H(u) 与与 F(u) 相乘（内积），就是把各频率分量乘以对应的系数。相乘（内积），就是把各频率分量乘以对应的系数。 当某系数当某系数 =1 时，对应的频率分量得以保留；时，对应的频率分量得以保留； 当某系数当某系数 1 曲线伸展曲线伸展a 1 曲线收缩曲线收缩x0b1b1 0; 在在 f (x)=1 的区间的区间120，250，小波变换的值，小波变换的值 wf(a,b)=0;结论：结论： 当当 f (x)不变时，小波变换值为不变时，小波变换值为0； 当当 f (

16、x) 上升时，小波变换值上升时，小波变换值0； 当当 f (x) 下降时，小波变换值下降时，小波变换值0；0 x0.21f (x)50100150200用高斯小波的变换结果用高斯小波的变换结果, ,在在x=100 x=100处取得极大值处取得极大值-1Wf(10,b)第43页/共52页例：用例：用Marr小波定位心电波中的小波定位心电波中的 R波、波、T波。波。RSTRS心电波心电波尺度尺度=5时的时的Marr小波变换小波变换适用于检测适用于检测 R 波波尺度尺度=50时的时的Marr小波变换小波变换适用于检测适用于检测 T 波波第44页/共52页4.3.3 二维二维小波变换小波变换设设 f

17、(x,y) 是连续二维函数，则是连续二维函数，则 f (x,y)的二维连续的二维连续小波变换的定义如下：小波变换的定义如下：dxdyyxyxfbbaWyxf ),(),(),( 其中，其中， bx , by分别是小波分别是小波 关于关于x 和和 y 轴的平移参数，轴的平移参数，),(yxfbbaW),(yx 是是 f (x,y) 的小波变换。的小波变换。对于对于Marr小波，小波，2222/22)0 . 1 (),(yxreryxr， 第45页/共52页1010),(),(),(NxMyyxyxfabyabxyxfbbaW 二维离散二维离散小波变换的定义为：小波变换的定义为：由于小波是紧支的，

18、在有效作用域外接近由于小波是紧支的，在有效作用域外接近 0，所以求和区间仅限于有效作用域内：，所以求和区间仅限于有效作用域内： xyyxfyxyxfbbaW),(),(),(其中，其中， 为有效作用域的半径。为有效作用域的半径。 第46页/共52页用模板对图像进行卷积，就得到该图像的小波变换图像。用模板对图像进行卷积，就得到该图像的小波变换图像。编程计算时，先将小波用模板形式表示。以编程计算时，先将小波用模板形式表示。以Marr小波为例，得小波为例，得77模板：模板：图中，图中， Marr小波的尺度小波的尺度参数取参数取 。-0.02-0.06-0.1-0.13-0.1-0.06-0.02-0.06-0.21-0.43-0.37-0.43-0.21-0.06-0.32-0.4300.390-0.43-0.32-0.13-0.370.391.00.39-0.37-0.13-0.32-0.4300.390-0.43-0.32-0.06-0.21-0.43-0.37-0.43-0.21-0.0