11空间解析几何与向量代数

1、港澳台高考培训1空间解析几何与向量代数1.1空间解析几何与向量代数教学目的:1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。2、 掌握向量的运算（线性运算、数量积），掌握两个向量垂直和平行的条件。3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。4、掌握平面方程和直线方程及其求法。5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角, 相交等）解决有关问题。6、会求点到直线以及点到平面的距离。并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、§ 1. 1向量及其线性运算一、教学目的与要求：1. 理解空间直角坐标系，2. 掌握向量的线性运算、 向量运

2、算的方法。、重点（难点）：向量的运算一、向量概念向量：既有大小、又有方向、这一类量叫做向量.理解向量的概念及其表示。掌握单位向量、方向余弦、两向量的夹角、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行在数学上、用一条有方向的线段（称为有向线段）来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小、有向线段的方向表示向量的方向向量的符号：以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作AB .向量可用粗体字母表示、也可用上加箭头书写体字母表示、例如0、r、V、F或a、K F .、所以在数学上我们只研究与起点无关的向量 这种向量为自由向量、简称向量.因此、如果向量a和b的大小相等、且方向相同 为a =b .相等的向量经过

3、平移后可以完全重合.向量的模自由向量：由于一切向量的共性是它们都有大小和方向:向量的大小叫做向量的模向量a、a、AB的模分别记为a、同、AB|.单位向量:模等于1的向量叫做单位向量零向量：模等于0的向量叫做零向量 '记作0或.零向量的起点与终点重合、并称、则说向量a和b是相等的、记它的方向可以看作是任意的.向量a与b平行-记作a / b.向量的平行：两个非零向量如果它们的方向相同或相反,就称这两个向量平行零向量认为是与任何向量都平行.因此、两向量平行又称两向当两个平行向量的起点放在同一点时、它们的终点和公共的起点在一条直线上量共线.类似还有共面的概念.设有k（k%）个向量、当把它们的起

4、点放在同一点时、如果k个终点和公共起点在一个平面上、就称这k个向量共面.第1页共15页二、向量的线性运算1 .向量的加法向量的加法：设有两个向量a与b.平移向量使b的起点与a的终点重合*此时从a的起点到b的终点的向 量c称为向量a与b的和r记作a+b r即c=a + b .三角形法则平行四边形法则：a与b的起点重合以a、b为邻边作一平行四边形.从公共起点到对当向量a与b不平行时r平移向量使角的向量等于向量 a与b的和a+b.DaB向量的加法的运算规律：(1) 交换律a加T七*故n个向量ai *a2an(n羽)相加可写成(2) 结合律(a加)4c=a(b"Hc).由于向量的加法符合交换

5、律与结合律ai "ta 2 +、七n气并按向量相加的三角形法则 、可得n个向量相加的法则如下：使前一向量的终点作为次一向量的起点 、相继作向 量ai卫2an、再以第一向量的起点为起点r最后一向量的终点为终点作一向量.这个向量即为所求的和.负向量：设a为一向量、与a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量、记为-a .2. 向量的减法：b-a=b+(-a). a的差bv .我们规定两个向量 b与a的差为即把向量-a加到向量b上、便得b与 特别地、当bp时、有a-a=a%-a)=0 ._ab _aa显然，任给向量Ab及点O '有T T T T TAB =AO+OB=OB-OA因此、

6、若把向量a与b移到同一起点O、则从a的终点A向b的终点B所引向量 Ab便是向量b与a的差b-a .三角不等式：由三角形两边之和大于第三边的原理.有|a+b|伞 |+|b|及 |a-b|<a |+b|、第2页共15页其中等号在b与a同向或反向时成立.3. 向量与数的乘法向量与数的乘法的定义向量a与实数 汕勺乘积记作za.规定Za是一个向量*它的模|ka|=|扎|a|*它的方向当Z>0时与a相同 '当扎<0时 与a相反.r这时它的方向可以是任意的当20时J/a|T、即Za为零向量特别地r当扎=1时 '有运算规律：（1）结合律 "Ma ）我/3）勻沖归；分

7、配律 仏屮）a =扫和a ；/（a 加）9a+Zb.例1 .在平行四边形ABCD中、设"AB"AD 龙.试用a和b表示向量 MA、mB、mC、mD .其中M是平行四边形对角线的交点 解：由于平行四边形的对角线互相平分*所以a = AC = 2 AM * 即-(a+b)=2 MA 、? ? ? 1 因为 MC = MA、所以 MC =2(a4b).? ? ? 1又因 £+b= BD =2 MD、所以 MD =2 (b) . A? ? ? 1由于 MB = MD、所以 MB =2 (a-b).向量的单位化：审是与a同方向的单位向量、记为ea.于是 a =|a |ea.

8、向量的单位化：定理1设向量是与a同方向的单位向量|a |a 那么、向量b平行于，记为a的充分必要条件是：存在唯一的实数入、使b = Za.证明：条件的充分性是显然的、下面证明条件的必要性 .设b / a.取|Z|=也、当b与a同向时/取正值、当b与a反向时/取负值、即ba.这是因为此时b与扎a同向 | a|'且网非a |申| a冃b| .|a |再证明数扎的唯一性.设b9a、又设b=出、两式相减、便得仏4）a=0、即应一H|a|=0 .因|a|丸、故|1片=0、即4比给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴.设点0及单位向量i确定了数轴Ox、对于轴上任一点 P、对TTTT应一个向量OP

9、、由OP/i、根据定理1、必有唯一的实数 X、使OP=xi（实数x叫做轴上有向线段 0P的值八并知第3页共15页港澳台高考培训1空间解析几何与向量代数第15页共15页Op与实数X 一一对应.于是点P 向量Op = Xi 实数X、从而轴上的点P与实数X有一一对应的关系.据此 '定义实数X为轴上点P的坐标.由此可知*轴上点P的坐标为x的充分必要条件是OP = Xi三、空间直角坐标系在空间取定一点 0和三个两两垂直的单位向量i、j、k,就确定了三条都以 0为原点的两两垂直的数轴r依次记为X轴（横轴）、y轴（纵轴卜z轴（竖轴）r统称为坐标轴.它们构成一个空间直角坐标系r称为Oxyz坐标系.注：

10、（1）通常三个数轴应具有相同的长度单位；（2）通常把X轴和y轴配置在水平面上、而z轴则是铅垂线；（3）数轴的的正向通常符合右手规则在空间直角坐标系中'任意两个坐标轴可以确定一个平面*这种平面称为 坐标面.X轴及y轴所确定的坐标面叫做xOy面、另两个坐标面是yOz面和zOx面.卦限：三个坐标面把空间分成八个部分 *每一部分叫做卦限*含有三个正半轴的卦限叫做第一卦限 *它位于xOy面 的上方.在xOy面的上方r按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第四卦限.在xOy面的下方、与第一卦限对应的是第五卦限、按逆时针方向还排列着第六卦限、第七卦限和第八卦限.八个卦限分别用字母I、II、III、I

11、V、V、VI、VII、VIII 表示.向量的坐标分解式r =OM| =xi +yj +zk .称为向量r的坐标分解式、xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量 向量r与三个有序X、y、z之间有一一对应的关系M r =OM =xi +yj +zk（x, y, z）.有序数X、y、z称为向量r（在坐标系Oxyz ）中的坐标、记作rqxjz）；有序数x、y、z也称为点M（在坐标系Oxyz） 的坐标r记为M（x .y .z）.向量r =Om称为点M关于原点O的向径.上述定义表明.一个点与该点的向径有相同的坐标 .记号（X. y* z）既表示点M、又表示向量OM .坐标面上和坐标轴上的点、其坐

12、标各有一定的特征.例如 点M在yOz面上、则x=0同相、在zOx面上的点在xOy面上的点.zn.如果点M在X轴上*则y=z=0同样在y轴上,有z=xn在z轴上 的点*有X弓=0 .如果点 M为原点.则x=y=z=0.四、利用坐标作向量的线性运算设 a=(ax by fz) *b=(bx *by 4)a WxiayjazkrbMDxi+byj+bzk .a 临 Waxi +ayj azk) +(bxi yj 応zk)=(arhbx)巩ay+by) j+(az 北z)k=(ax 加X Gy Sy azSz).a-b=(axi *ayj "azk)-(bxiyj+bzk)=(ax-bx)i

13、 丸ay -by) j+(abz) kpax-bx、ayby、azbz) /a= f axi "*ayj "azk)4 Zax) i+(Zay)j%ZaZ)kz.a Zay J；az),利用向量的坐标判断两个向量的平行：设a=(ax、ay、az)#O、b=(bx、by、bz)、向量b/社ba、即b/社(bx、by、 bz) =/j(ax Ry ”az) ”于是axayaz例2求解以向量为未知元的线性方程组£:3y：b、 其中 (2 J 2) bn1解如同解二元一次线性方程组、可得x=2a-3b .y=3a-5b .以a、b的坐标表示式代入r即得2(2 J . 2)

14、 £3 *1 *-2)亿一1 JO)* y£(2 *1 .2)H *1 *-2)=112*16).例3已知两点 A(X1 y1 rZ1)和B(x2 ,y2 ,Z2)以及实数aH-1在直线AB上求一点M、使AM显MB .T T T T T T 由于 AM =OM OA、MB =OBOM、因此OM _=/(OB-OM )、从而这就是点当21、点M的有向线段Ab的中点、其坐标为T 1 T TOM =(OA +QB)1十扎x +/x2 为 +7x2 x +zx2 -n 1+1 +入M的坐标.z -Z1+Z2 zX1 +x2X" 2五、向量的模与两点间的距离公式设向量r=(

15、xTz) 作OM =r则T T T Tr=OM =OP+OQ+OR按勾股定理可得TOP=xiT,OQ =yj r OR =zk ,有IOP |=XI |OQ| 书I|OR|=|Z|于是得向量模的坐标表示式|r|=Jx2 +y2+z2 .|r 片OM FJ|OP|2 +|OQ |2 +|OR|2设有点A(x1 ,y1 .Z1)、B(X2 ,y2 ,Z2)T T TAB=OB-OA=(x2 ,y2 rZ2)-(x1 ,yZ1x1 ,yyZ-Z1),于是点|AB |=|AB|=J(X2 X1)2 十卜2 yd2 +(Z2 Z1)2 .4 求证以M1(4*3J)、M2 (7 J 2)、M3 (5* 2

16、* 3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形A与点B间的距离为2 2 2 2因为I M1M2I =(7) %1d) +(21) =14、2222I M2M3I =(54) %21) +(3-2) =6,2222I M1M3I =(5*) %2d) +(31) =6,所以|M2 M3|M1M3h即A M1 M2 M3为等腰三角形.例5在Z轴上求与两点 A(/ *1 * 7)和B(3 *5,-2)等距离的点.解 设所求的点为 M(0 *0 Z)、依题意有|MA |2=|MB I2、即(0 也)2 %0 1)2+(z)2 =(3 -0)2+(5 -0)2% -2 Z)2.解之得*所以*所求的点为M(0

17、, 0, £).例6已知两点A(45)和B(7、3)、求与AB方向相同的单位向量e.解 因为 AB=(7, 1, 3)-(4, 0, 5)=(3, 1, -2).|AB |=J32 +12 +(_2)2 =(14 rT所以e hA =(3, 1, 2).|AB|六、两向量的数量积F所作的功为W = |F I S COS0 、其中 为F与s的夹角.数量积：对于两个向量a和b、它们的模|a|、|b|及它们的夹角 日的 余弦的乘积称为向量 a和b的数量积r记作a b，即a b=|a I |b| cosQ .数量积与投影：由于bI cos日Wb|cos(a : b)、当a丸 时Jb| cos

18、(a: b)是向量b在向量a的方向上的投影 数量积的性质：2(1) aa= a I - 对于两个非零向量a、b、如果a b =0、则alb 反之如果a丄b侧ab=0.如果认为零向量与任何向量都垂直、则a丄ba b =0.数量积的运算律：(1)交换律:a b=b a分配律：(a+b) c=a c+bc .(3) (Za) b =a (Zb) =Z(a b)、(f a) ) =/P(a b) r /、M为数.例1证明三角形的余弦定理.证：设在 AABC 中 上 BCA(图 7_24)BC|=a、CaR、|AB|=c、要证c 2=a 2北 2-2 a b cos 日.记 CB F rCA b、AB

19、P、则有c=a-b、从而|c|2=c ppa-bXa-b)F a 巾2a 巾=|3|2+|b|2-2|a|b|cos(a ?b).2 2 2c =a 北-2 a b cos 6 .数量积的坐标表示：设 a=(ax *ay、az ) *b=(bx *by Rz ) * 则a bvxbx 也ybyazbz .两向量夹角的余弦的坐标表示：设4a / b)、则当aR、bR时、有axbx 七yby tazbz, .提示:a b=a |b|cos6 .|a|b| jopa迁2eb亦a| |cos6=因为所以2 已知三点 M (1 J J)、A (2 2 J)和 B (22)、求AMB .从M到A的向量记为

20、a,从M到B的向量记为b、则ZAMB就是向量a与b的夹角.a=1 20 WO、1.ab=1>cH1xo+oxi=i *|a |=Jl2 +2 乜2 =寸2 、|b|=Vl2 如2+i2 =72 .cEAMB唱話工1矿2 从而"MB冷-例3.设液体流过平面 S上面积为A的一个区域、液体在这区域上各点处的流速均为(常向量V .设n为垂直于S的单位向量(图7-25(a)计算单位时间内经过这区域流向n所指一方的液体的质量P(液体的密度为P ).解单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为A、斜高为I v I的斜柱体(图7-25( b).这柱体的斜高与底面的垂线的夹角就是v与n的夹角0

21、'所以这柱体的高为I v |cosBr体积为A| V |cos 0 =A V n 从而、单位时间内经过这区域流向n所指一方的液体的质量为P=RAV IT.§ 1 2曲面及其方程曲面方程的概念在空间解析几何中*任何曲面都可以看作点的几何轨迹.在这样的意义下*如果曲面S与三元方程F(x $ .z)=0有下述关系：(1) 曲面S上任一点的坐标都满足方程F(xj、z)=O；(2) 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(Xry.z)=Or那么、方程F(x、y.z)=O就叫做曲面S的方程、而曲面S就叫做方程F(x、y、z)=O的图形.研究曲面的两个基本问题半径为R的球面的方程. '

22、;那么|MoM|=R.J(xX0)2 丸yy0)2%zZo)2 =R(x_X0)24(y_y0)2+(z-Z0)2=R2 .这就是球面上的点的坐标所满足的方程.而不在球面上的点的坐标都不满足这个方程.所以(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时、建立这曲面的方程；(2) 已知坐标X、y和z间的一个方程时、研究这方程所表示的曲面的形状1 建立球心在点 M o(xo Jo Zo)、设M(x jz)是球面上的任一点2 2 2 2 (X4o) +(y-yo) +(ZF)=R .就是球心在点 Mo(xo.yo、zo)、半径为R的球面的方程.特殊地、球心在原点O(o*o*o)、半径为R的球面的方程为2,2,2

23、 2x4z =R .例2 设有点A(1 .2 *3)和B(21 *4)、求线段AB的垂直平分面的方程.解 由题意知道 '所求的平面就是与 A和B等距离的点的几何轨迹.设M(x*y为所求平面上的任一点*则 有AM |=|BM | rJ(x1)2+(y2%zd)2 =(x2)2+(y+1)2+(z4)2 .等式两边平方、然后化简得2x-6y42z7=o .这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程、而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程、所以这个方程就是所求平面的方程.2 2 2 .例3 方程x+y七-2x4y=o表示怎样的曲面？ 解通过配方.原方程可以改写成2 2 2(X1) +(y+2)

24、 +z =5.这是一个球面方程 ，球心在点 M0(1 *-2*0)、半径为r=75 .一般地 '设有三兀二次方程Ax2 gy2 咖2 +Dx +Ey 怔Z 於=0、这个方程的特点是缺 xy .yz .zx各项、而且平方项系数相同、只要将方程经过配方就可以化成方程(xfo)2+(y-yo)2+(z-zo)2卡2.的形式、它的图形就是一个球面.§ 13平面及其方程一、教学目的与要求：1 .掌握平面方程的几种形式及其求法。2 .会利用平面的相互关系(平行、垂直)解决有关问题。二、重点(难点)：求平面的方程一、平面的点法式方程法线向量：如果一非零向量垂直于一平面、这向量就叫做该平面的

25、法线向量.容易知道、平面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直 .唯一确定平面的条件 ：当平面 上一点Mo(xo.yo.zo)和它的一个法线向量n=(A、BQ)为已知时、平面 的位置就完全确定了 .平面方程的建立：设M(x*y*z)是平面上的任一点.那么向量MM必与平面 的法线向量n垂直*即它们的数量积等于零：Tn M0M zd0由于Tn =(A B C) . MoM =(xXo, yyo，zZo)、所以A(X£o)+B(y-yo)兀(z-zo)=O .这就是平面上任一点M的坐标xy Z所满足的方程.反过来*如果M (xy.z)不在平面上*那么向量 M0M与法线向量n不垂直r从而n M

26、M =0即不在平面 上的点M的坐标xj*z不满足此方程.由此可知*方程A(x-xo)+B(y-yo)£(z-zo)T 就是平面 的方程.而平面 就是平面方程的图形 .由于方程 A(x点0)出(y-yo)4C(z-zo)=O是由平面 上的一点 Mo(xo、yOrZo)及它的一个法线向量 n =(A、B、C)确定的、所以此方 程叫做平面的点法式方程 .例1求过点(2Q)且以nNJ2 . 3)为法线向量的平面的方程.根据平面的点法式方程、得所求平面的方程为(x-2)-2(y+3)+3z=0 、 x-2y+3z=0 .求过三点 Mi(2 3、4)、M2(1、3、2)和M3(O 2、3)的平面

27、的方程.设平面的法线向量n =( A,B,C).即例解:因为?TM1M2 =(3, 4, 6) MiM3=(2,3, -1)、n MW2 =0, . n M 1M0,可得n =( 14,9,-1)根据平面的点法式方程、得所求平面的方程为14(x-2)乜(y+1)-(z Y)=0 .14x 旳yz15=0.二、平面的一般方程由于平面的点法式方程是x.y.z的一次方程*而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定以任一平面都可以用三元一次方程来表示.反过来，设有三元一次方程Ax+By£z=0.我们任取满足该方程的一组数xo $0 .Z0、即Axo+Byo 七Z0 +D=O .把上述

28、两等式相减.得A(xPo)+B(y-yo)弋(z-zo)=O -这正是通过点 Mo(xoyorzo)且以n=(A、BQ)为法线向量的平面方程.由于方程*所Ax+By4Cz4D=O.与方程A(x dO)+8 (y -yO)弋(z -zo) =O同解*所以任一三元一次方程Ax+ByMz+D的图形总是一个平面.方程Ax+By+Cz+D称为平面的一般方程其中X y Z的系数就是该平面的一个法线向量n的坐标,即n=(A ,B ,C).例如、方程3x/y+z-9T表示一个平面 小=(3二)是这平面的一个法线向量.讨论：考察下列特殊的平面方程r指出法线向量与坐标面、坐标轴的关系'平面通过的特殊点或线

29、.Ax+By4Cz=O ；ByMz4D=O、Ax£z+D=O、Ax+By+DT ； Cz+D=O、Ax4D=O、By+D=O .提示：D=O、平面过原点. nO B *C) '法线向量垂直于 n=(A .O,C) r法线向量垂直于 n=(A *BQ) '法线向量垂直于 n=(O e Q) '法线向量垂直于 n=(A e®、法线向量垂直于 nO启法线向量垂直于x轴*平面平行于y轴.平面平行于 z轴.平面平行于 x轴和y轴r平面平行于 y轴和z轴r平面平行于 x轴和z轴、平面平行于xOy平面. yOz平面. zOx平面.例3求通过x轴和点 «.

30、-1)的平面的方程.解 平面通过x轴.一方面表明它的法线向量垂直于x轴、即Am ；另一方面表明 它必通过原点、即D=0.因此可设这平面的方程为By 心 £ .又因为这平面通过点所以有3B-C=O、或C7B .将其代入所设方程并除以B (B知)r便得所求的平面方程为y-3z=O .三、平面的截距式方程例4设一平面与x、y、z轴的交点依次为 P(a、O、O)、Q(O、b、O)、R(O、O、c)三点、求这平面的方程(其中a丸 上丸、WO).解：设所求平面的方程为Ax+By£z*O=O.因为点P(a* OQ)、Q(O、b*O)、R(O*c)都在这平面上*所以点P、Q、R的坐标都满足

31、所设方程即有"aA+D =O,fbB +D =O,pc +D =O,由此得A -a B -器c=弋.将其代入所设方程、得-Dx-Dy-Dz+D =O 、即 a b c上述方程叫做平面的截距式方程、而a、b、c依次叫做平面在 X、y、z轴上的截距.港澳台高考培训1空间解析几何与向量代数四、两平面的夹角两平面的夹角：两平面的法线向量的夹角 （通常指锐角）称为两平面的夹角.设平面 1和 2的法线向量分别为 山勻人1月10）和n2WA2、B2、C2）r那么平面1和 2的夹角e应是（n2）_AAA和（1 , n2）=兀-（n1, n2）两者中的锐角,因此、cos日cosg , n2）| .按两

32、向量夹角余弦的坐标表示式,平面 1和 2的夹角0可由|AA2+B1BhC1C2|coscosg , n2)ljA2 + B2+C12+b2 丄孑来确定.从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论1和2垂直相当于 A1 A +B1B2 +1C0 ；1和 2平行或重合相当于=色=9_A2 B? C2求两平面 x-y42z-6=0和2xW4z-5m 的夹角.平面平面n 1=（A1*B1C1）=（1 l1 *2）2=（A2*B2*C2）=（2 *1 * 1）.cos 日=|a,A2+b1B2 兀心2|1x2+(1)X1+2X11JA+Bj+Cj 徑+B孑宅 j12+(_1)2+22 J22+12

33、T2所以6 一平面通过两点 M1（1 *1 *1）和M2（O*1 3）且垂直于平面x+y七=0、求它的方程. 解：已知从点M1到点M2的向量为ny1*0、-2）、平面X勺+z=0的法线向量为n2=（1*1、1）.设所求平面的法线向量为nA B *C）.因为点M1（1 *1和M2（0 J .-1）在所求平面上*所以nn即从2C=0,A亠2C.又因为所求平面垂直于平面x+y七=0*所以n n1 *即A+B弋=0*B=C.于是由点法式方程、所求平面为-2C（xV）七（y1）七（Z1）-0、即 2xy-z=0.§1- 4空间直线及其方程一、教学目的与要求：1.掌握空间直线的方程及其求法。垂直

34、、相交等）解决有关冋题。2 .会利用平面、直线的相互关系（平行、重点（难点）：直线的方程、空间直线的一般方程空间直线L可以看作是两个平面如果两个相交平面1和2的方程分别为 A1x+B1y七1Z+D1 -0和Azx+Bzy弋2乙切2=0、那么直线L上的任一点的坐标应同时满足这两个平面的方程、即应满足方程组jAx+B1y忆忆乜冋（1）A2xB2C2rD2- （'丿1和 2上、所以它的坐标不满足方程组（1） 因反过来、如果点M不在直线L上、那么它不可能同时在平面此、直线L可以用方程组（1）来表示.方程组（1）叫做空间直线的一般方程.设直线L是平面 1与平面 2的交线、平面的方程分别为A1x+

35、B1y+C1ZD1；=0和A2x+B2y+C2z+D2=0、那么点第11页共15页港澳台高考培训1空间解析几何与向量代数M在直线L上当且仅当它同时在这两个平面上、当且仅当它的坐标同时满足这两个平面方程、即满足方程组JAx 也y 坨£ 仏X电y杞2Z栢2=o 因此*直线L可以用上述方程组来表示.上述方程组叫做空间直线的一般方程通过空间一直线 L的平面有无限多个、只要在这无限多个平面中任意选取两个、把它们的方程联立起来、所得的方程组就表示空间直线L.二、空间直线的对称式方程与参数方程方向向量：如果一个非零向量平行于一条已知直线、这个向量就叫做这条直线的方向向量.容易知道、直线上任一向量都

36、平行于该直线的方向向量.确定直线的条件：当直线L上一点M o（xojo、xo）和它的一方向向量 s = （mn、p）为已知时、直线L的位置就完 全确定了 .直线方程的确定：已知直线L通过点Mo（xojo.xo），且直线的方向向量为 s= （m , nj）,求直线L的方程.设M（X J刀在直线L上的任一点*那么（X% j-yo .z-zo）/ s ,从而有X X0y -yoz -Z0m n p '这就是直线L的方程、叫做直线的对称式方程或点向式方程.注 当m n p中有一个为零例如m=o而np#o时这方程组应理解为|X=Xoyyo _zzi n " p当m n p中有两个为零

37、例如m=nn 而p丸时 这方程组应理解为JX-Xo =oV-yo=o直线的任一方向向量 s的坐标m、n、p叫做这直线的一组方向数 、而向量s的方向余弦叫做该直线的方向余 弦.X xoy -yoz Z0由直线的对称式方程容易导出直线的参数方程.-=t、得方程组P设-m nX MXo +mty=yo 十nt .Iz =zo + pt此方程组就是直线的参数方程例1用对称式方程及参数方程表示直线P-Ix+y +z = )2x-y+3z=4 解先求直线上的一点.取xM、有jy +z =_2卜y +3z =2 解此方程组、得y亠2 2=0、即（1、-2、0）就是直线上的一点设这直线的方向向量 s=（ a,

38、 b，c）第24页共15页a+b+ c=0由 h-b+c,可得 S=(4, -1, -3)因此*所给直线的对称式方程为X / y +2 z zm -令 字羊2 =三=t、得所给直线的参数方程为4I 3x T +4ty7t.? =-3t三、两直线的夹角两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角.设直线Li和L2的方向向量分别为Si=（mi*ni * pi）和82=（m n2rP2）r那么Li和l2的夹角®就是（s , 82）和（T, S2）=兀-（8,82）两者中的锐角、因此C0sW#C0S（S1 , S2）| .根据两向量的夹角的余弦公式、直线Li和L2的夹角申可由cosjcos（s：S2）| 占帶帶冷2来确定y m1十n1十P1寸m2十n?十P2从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论设有两直线Li：0qT 丄2：d=d4，则 miniPlL 1 丄L 2二 mim2加1 n2巾ip2=0 ；Li /L步匹.m2n2P2m2门2p2例2求直线L1：罕匕平和L2：子号弋的夹角-解 两直线的方向向量分别为 si =（1、-4、1）和s2 =（2、-2、-1）.设两直线的夹角为 申COS® =1 >2+(Y)x(-2)+1X(_1)|J2 +(“)2 州2 J22 +(-2