三角函数纠错笔记(解析版)

1、三角函数易错点1利用同角三角函数基本关系式时忽略参数取值b典例今祈ID 已知角0的终边上一点卩(3匕4")工0),求0角的正弦、余弦和正切值.【错解】T x = 3a, y = 4a , r = J(3a)，+(4g) = 5a，肌 sin 0 = = = , r 5a 5x3a3y4a4cos 0 = = = tan 6 =r5a5x3a3【错因分析】错解原因是未对参数d的取值情况进行讨论，默认为a>0,从而导致出错.【正解】x = 3d,y = 4a,.尸=J(3d)2 + (牝)2 = 51" I,¥4g4x3u3 当« >0时，r =

2、 5a ,则 sin =» cos0 =-=,r5a5r5a5x 3a 3q e ciu n.i c A 4"4x 3a 3 八 y 4a 4(2) 4 a<0 时，r = 5a ,则sin0 = = 一一，cos0 = = tan0 = 一 =.r -5a5r -5a5x 3a 3易错点击1. 利用sin2a+cos2:z = 1可以实现角a的正弦、余弦的互化： 利用岀巳=tana可以实现角a的弦切互化.cos a2. 同角三角函数基本关系式的变形=010(1) 平方关系的变形：sin2 a = 1 -cos2 a , cos2 a = 1 -sin2 a :(2)

3、 商的关系的变形：sin iz = tan a cos a , cos a = Sin a : tana1 1 1(3) tarra = l, = 1.cos' asirr a tan a3在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.已知角a的终边在直线3x+4y=0上，求sin a, cos a. tana的值.【解析】设a终边上任一点为P（知3°）,当 a>0 时，r=5a, sma=§, cosa = tana=J:sma4-53-4易错点2不能准确运用诱导公式进行化简求值b典例含析COS(7T-&)cos(2ju-&)求

4、 cos sin(- -1 cos(7L + &)sin(+ &)-sin(¥ + &)A0C6D-6【错解】选A.原式=COS&cos&(-sin&-l)COS&cos&sin&+cos&cos。cos&sm&+cos&cos&cos&in&+cos&【错因分析】错解中混淆了诱导公式 sin(¥6 = cos0, sin(¥+®= cos0 cos(tt)= cos。，cos(tt+6=COS&.【试题解析】原

5、式=-cos。cos 0(-cos&-l)cos。112-cos&cos&+ cos0 1 + cos& 1 cos0 snf&'因为sin*半，所2以所求涌函数式的值为一f = 6.邑3【参考答案】C'易错点击1. 应用诱导公式，重点是“函数乞称“与“正负号“的正确判断.求任意角的三角函数值的问题，都可以通过 诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角“正角化锐角求值.2. 使用诱导公式时一左要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似kR±a的形式时, 需要对上的取值进行分类讨论，从而确立出三角

6、函数值的正负.3. 利用诱导公式化简三角函数式的思路：（1）分析结构特点，选择恰当公式；（2）利用公式化成单角三角函数：（3）整理得最简形式.利用诱导公式化简三角函数式的要求：（1）化简过程是恒等变形；（2）结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.4. 巧用相关角的关系能简化解题的过程.常见的互余关系有与二 + a, - + «与？ - + a与三一。等:363644常见的互补关系有-+ 0与空一0, - + 0与卫一&等.3344*艮卩肘巩固化简:sin(+ a)-cos(-a)2 2cosr + a)sin(/r - a) cos( + a)

7、sin(/r + a)【解析原式=£23+沁二沁cos asin a sin a + sin a=0.25【答案】0要作出正确选择，需认真选择诱导公式，不能错用公式.对于“7r+a,若"是偶数，则角wr+a的三角函数值等于角a的同名三角函数值；若“为奇数，则角加+«的三角函数值等于角兀+a的同名三角函数值.易错点3忽略隐含条件致错已知G（0,兀）,sin&+cos&=则tan的值为【错解】将sin&+cos&=（l3两边平方，得1 +2sin&cos&=l亨，即sin0cos&=乎，易知0工申.故 sin&a

8、mp;cos&=sin&cos&sur+cos2tan0 yf3 l+tan2_ 4解得tan0=羽或tan&=習.【错因分析】题设条件sin&+cos0=爲二隐含sinQ-cos0这一条件，结合所得sin&cos&=申v0可 进一步得到&的范阳，错解忽略了这一点，从而造成增解.【正解】同错解，解得xand=-y3或畑8=半.smO+cos0=T & G (0, 7t), sin&cos& =,n).>0 可得 sin> cos"即 |sin&>cos& ,故&a

9、mp;丘(£'苧)' 则 tan< 1, /. tan= a/3 易错步、击1. 导数计算的原则先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导.2. 导数计算的方法 连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导： 分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导; 对数形式：先化为和、差的形式，再求导： 根式形式：先化为分数指数幕的形式，再求导； 三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导:3.己知 sinacosa=g,且则cosasince 的值为：cosavsina,cosasina<0,易

10、错点4不能正确理解三角函数图象变换规律cos(2x+3)的图象,只需将函数y=sm2x的图象5兀A. 向左平移迈个长度单位5nB. 向右平移巨个长度单位5兀C. 向左平移g个长度单位5nD. 向右平移N个长度单位【错解】选B.y=cos（2T+¥）=sin（2x+扌+#）=sin2（x+静），因此向右T移詐个长度单位，故选B.【错因分析】没有注意到变换方向导致了错解.目标是y=cos（2x+刼的图象.【正解】y = cosQx + ) = sin(2x+ + ) = sin 2(x + ) 33212所以将函数严皿+的图象向左平移誇个单位长度即可.故选A.易错点击函数图象的平移变换解

11、题策略（1）对函数jusinx, ju/sin（0x+0）或）=zlcos（6yx+0）的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平務,只要平移岡个单位，都是相应的解析式中的x变为牡|训，而不是ex变为 曲|休（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移一上即对巩124为了得到函数y = sinx的图像，只需将函数y = sin+ f 的图像（）A. 横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向右平移个单位B. 横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移个单位C. 横坐标缩短为原来的纵坐标不变，再向右平咲个单位D. 横坐标缩短为原来的纵坐标不变，再向左平移&

12、#163;个单位【答案】A【解析】把函数y = sin（2x+£j的图像上所有点的横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变得到函煮V = sin x + 6丿兀TT再将函数y = sin x+- 的图像卜.所有点向右丫:移三卜单位得到函数y = sinx.6 76故选A.函数f(x) = sin(2x+&)的图象向右平移0个单位长度误勇成g(x) = sin(2x+0+&).(1) 三角函数图象变换是高考的一个重点内容.解答此类问题的关键是抓住“只能对函数关系式中的变 换“的原则.(2) 对于三角函数图象平移变换问题，其平移变换规则是“左加右减“，并且在变换过程中只变换其中

13、的自变量匚如果x的系数不是1,就要把这个系数提取后再确左变换的单位长度和方向，另外，比两个函数的名称不同 时，首先要将函盼阪+ 0变换成g +纟)，最后？ '：移的单纟的符号确3 CD移的方向.易错点5 因忽视换元前后变量范围的区别与联系而致错【错解】令sin.v-cosx = r» 则由(sinx-cosx)2 = 1-2sinxcosx = Z2得【错因分析】匕述错解的根本原因在于忽略了/的正确范用.【正解】因为f = sinxcosx所汕一屈即一令2心)时,一血一一：当F = 即兀=&兀+1+（1）“2彳仕Z）时，ymax = 1.伙|此函数y = y = si

14、n XCOSX +sill -cosx的值域应为一昱'求三角函数值域（最值）的方法：利用sinx> cosx的有界性：（2）形式复杂的函数应化为3=dsin（处+叭+斤的形式逐步分析妙+卩的范用，根据正弦函数单调性写出函数的值域：（3）换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域（最值）问题.5.求函数 y = sinxcosx +sinx-cosx(x e /?)的值域所以当一屈即“遗+ 2SZ）时,Amin =_忑-亍 ' f = l H|J X = k7T + 厶1 + (j , k W Z )时，ymax = 1，因此函数y = y = s

15、in cosx + sin - cosx的值械应为易错点6三角恒等变换中忽略角的范围致误観豪！已知a、0为三角形的两个内角，cosa=y,sin (a+0)14则片上或亠33【错解】选C.又仁111 (a+“)=婕14cos (a+0)2 713sin=sm (a+“)« = sin (a+0) cosa -cos (a+0) sina =7T 2乂.0<8<皿:书=或一冗.33【错因分析】（1）不能根据题设条件缩小。、B及a+0的取值范国，在由冋角基本关系式求sin 3+“）时不能正确判断符号，产生两角.（2）结论处应由cos"的值确定“的取值，由SH诃确左结

16、论时易出现两解而造成失误.【试题解析】因为 O«x<?r, cosa=；、所以 siua= Jl-cos： Ct =、故 y；又因为0<a十證心sin （a+Q二寻v弓所以T耳或t IT JT , 271.r 5由-<+<71；所以 cos (a+0) =- Jl-sinx(a + /?) = _ 323w14所cos=cos (a十")a=cos Ca十0) cosa-l-siii (a十0) sina= .【参考答案】A利用三角函数值求角时，要充分结合条件，确怎角的取值范国，再选取合适的三角函数进行求值，最 后确定角的具体取值.易错点击1. 给角

17、求值给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表而上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊 角之间总有一泄的关系.解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊 角的三角函数，从而得解.2. 给值求值已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路：（1）先化简所求式子.（2）观察已知条件与所求式子之间的联系（从三角函数名及角入手）.（3）将已知条件代入所求式子，化简求值.3. 给值求角通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：（1）已知正切函数值，则选正切函数.（2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数.若角的范用是（0,-）.则选正、余弦皆可：若角

18、的范2帀是（0,町，则选余弦较好；若角的范用为则选正弦较好.2 24. 常见的角的变换（1）已知角表示未知角例如：q = (q + 0)-0 = 0-(0-g), 2a = (a + 0)+(a-0),20 = (a+0)-(Q_/7),2a + 0 = (a + 0) + a, 2a 0 = (a 0) + a, cr=£±£ + £z£> p=(lzJL_(L_!L2 2 2 2（2）互余与互补关系.TC、 “3兀、z71、“兀 、兀例如：(_+a)+(_a)=H, (_+6z)+(_a)=_.（3）非特殊角转化为特殊角例如：15。=

19、45。一30°, 75°=45°+30°.6.已知 a,0e（O,彳），1tan a =7,则兀一a 20的值为.tan 0 =亍,【解析】因为a,0e（O,兰），所以cos0 = Jl-sh?0 =2所以tan2/? = -,则tan(a + 20) = n?二匹色=1,4 1 一 tan a tan 20 oty P (0,), Z tan <z = e (0, ) » sin p = = e (0,) »273V102所以a,0e(O,),所以0va + 20vf,所以a + 20 = f,故兀一6?-20 =乎.【答案】

20、4易错点7求函数尸Asin(s+0)的性质时出错涣例分断观函数y=5sin(x+20o)+4cos(x+50。)的最大值为【错解】回函数的最大值为书尹=何.【错因分析】形如_y=asinx+bcosx的函数的最大值为pa：+夕,而函数y=5sin(x+20o)+4cos(x+50。)不符合上述形式.【试题解析】v= 5sm(x+20°)+4cos(x+50°)= 5sin(x+20°)+4cos(x+20°)+30。= 5sin(x+20°)+4cos(x+20°)cos30°4sm(x+20°)sin30。= 5

21、sm(x+20°)+2 辺 cos(x+20。) 一 2sin(x+20。)=3sm（x+20。）+25cos（x+20。）, 仏丽=Q【参考答案】回易错点击1三角恒等变换与三角函数的图象及性质相结合的综合问题(1) 利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成尸/sin(eyx+e)+r或尸/cos(ex+0)+ r 的形式.(2) 利用公式T = (ty>0)求周期.co(3) 根据自变量的范用确定ex+e的范羽，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最 值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值.(4) 根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函

22、数jTsin(ot+0)+r或)qtcos(ex+0)+f的单调区间.2.研究严sin(cyx+°) + F或尸2cos(ex+°)+r的性质时，一泄要先利用诱导公式把Q化为心数后求解. #艮卩肘巩固如果函数y=3sm(2x+0)的图象关于直线对称，则例的最小值为()兀HatbtjtnCTdT【解析】依题意得，sin(兰+ 0)=±1,则y+=A-n 4-y(GZ)，即卩=叶+*(MZ),19因此|训的最小值是+【答案】A易错点8解三角形时忽略角的取值范围致误购份餅观魁在AABC中，若C = 3B,则彳的取值范围为A(0,3)B(1,3)C(0,3D(1,3【错解

23、】选A.由正弦定理,可得c sinC sin3B sin 2B cos B + cos 2B sin B,一 =2 cos- B + cos 23 = 4 cos B-l,b sin B sin Bsin B/0<cos2 B < 1,.-1 < 4 cos2 B -1 < 3,由 b>0,c>0,可得 0v = v3 b【错因分析】错解中没有考虑角3的取值范I乩 误认为角的取值范用为(0°J80°).【试题解析】由正弦定理可得c_sinC _ sin 33 b sin B sin Bsin 23 cos B + cos 2B sin B

24、sin B=2cos2 3 +cos23 = 4cos" 3-1, A + 3 + C = 180°, C = 35 0°<B<45< cos B <1,/.1<4cos2B-1<3, B(Jl<-<3. h【参考答案】B'易错点击1. 利用正、余弦立理求边和角的方法：（1）根据题目给岀的条件（即边和角）作岀相应的图形，并在图形中标出相关的位登.（2）选择正弦左理或余弦定理或二者结合求出待解问题.一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次 式，要考虑用余弦定理：如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑

25、用正弦泄理；以上特 征都不明显时，则要考虑两个立理都有可能用到一（3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用.2. 常见结论：（1）三角形的内角和定理:在£ABC中，A + B+C =兀，其变式有：A + B = n-C,等.2 2 2（2）三角形中的三角函数关系:sin(A + B) = sin C ；cos(A + B) = cos C :.A + BCsin= cos:22A + B . Ccos= sin.2 2艮卩肘巩固8 3眈中，角ABC所对的边分别为心，且曲号 WC冷则实如的取 值范围是.【答案】屈2）【解 MI 由 ”,b, c,且 s in'

26、; + s in 3 s in C =丄,24得 2cos(B + C) = 14sin Bsin C = 1 所以，2cos(3 + C) = t cos A = cos(B + C)=-2则由余弦定理,2bc2bc得bc = 4-a2<（，-）1=,解得又a<b + c = 2 2所以a的范阳是、仗2）.【名师点睹】本题主要考査了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题， 通常利用正弦定理进行“边转角''寻求角的关系，利用“角转边"寻求边的关系，利用余眩左理借助三边关 系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值-利用正、余

27、弦定理解三角形问题是高考髙频考 点，经常利用三角形内角和怎理，三角形面积公式，结合正、余弦龙理解题.a纠储笔记一、三角函数的基本概念.同角三角函数的基本关系与诱导公式1. 角的有关概念（1）左义：角可以看成平而内一条射线绕着端点从一个位宜旋转到另一个位置所成的图形.f按旋转方向不同分为正角、负角、零角（2）分类2按终边位置不同分为象限角和轴线角（3）终边相同的角：所有与角a终边相同的角，连同角。在内，可构成一个集合S = 0l0 = a + k36O。,keZ.&特别握醒终边与X轴重合的角的集合为a|a = A7T,eZ：终边与y轴重合的角的集合为 a|a = Rr +彳，k w终边与

28、坐标轴重合的角的集合为 匈"空,"Z2 J462. 弧度制（1）左义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作（2）公式角a的弧度数公式a = （弧长用/表示）角度与弧度的换算18O°-7rrad,lrad |。2 573。，1。一 " rad1兀丿180弧长公式弧长l = ar扇形面积公式S = lr = -ar22 21 13任意角的三角函数（1）建义：设&是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，点P（x.y）是角Q的终边上任意一点，P到原点的距离|（9P| = r（r>0）,那么角a的正弦、余弦、正切

29、分别是 y x . ysina = . cos a = , tan a =.rrx（2）三角函数值在各象限内的符号:Ji +yt+y+_ 0X_ 0X +0 +Xsin acos atan aa0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°07T6兀47137122兀33兀45兀6it3兀T2兀sin a012V22迺21732V22120-10cos a1a/32V2212012V22书2-101tana0V331不存在-V3-1d30不存在0sin 1

30、5° = cos 75° =4sin 75° = cos 15° =tan 15° = 2->/3. tan75° = 2 +5/3.4. 同角三角函数的基本关系式（1）平方关系：sin2 a +cos2 a = 1 （2）商的关系：Sin6Z = tang .cos a5. 三角函数的诱导公式公式五六角2加+a(jteZ)7r+a-aK _a2-+a2正弦sin 0._sina-sinasinacosacosa余弦cos a-cosacosa-cos(zsina一 sina正切tan atana-tana-tana函数需不变，

31、函数名改变.口诀符号看象限符号看象限二、三角函数的图象与性质1.正弦函数y = sinx涂弦函数y = cos正切函数y = kmx的图象与性质函数y = sin xy = cos xy = tan x图 象fry号汽1 )O电、f閘定 义 域RR7Uxl x kn + .k e Z1 2值域-1,1-1,1R最值当x = 2刼+寸("Z)时，>max = 1 :7T 、当x = 2kn-(k eZ)时，Amin = -1 当 x = 2kn(k eZ)时，max = 1:当x = 2kn+n(k eZ)时，Fmin = j 既无最大值，也无最小值周 期 性最小正周期为2冗最小

32、正周期为2冗最小正周期为兀奇偶性sin(-x) = -sin x,奇函数cos(-x) = cosx,偶函数tan(-x) = -tanxf 奇函数单调性TTTT在2M一一,2M + ("Z)22上是增函数：冗3tt在2jbr + _,2k7i + (kwZ)22上是减函数.在2M7t,2b（kwZ）上是增函数；在2刼,2k7t+7t（k eZ）上是减函数.JTTT在（£兀一_,£兀 + _）（£ wZ）22上是增函数.对称中心伙冗,0）伙gZ）；对称中心伙71+-,0）伙eZ）:对称中心（,0）（A:eZ）；厶对TT z称对称轴x = k冗+(k e

33、Z) t对称轴 X = «7C(k GZ),无对称轴，性既是中心对称图形又是轴对称既是中心对称图形又是轴对称是中心对称图形但不是轴对图形.图形.称图形.2函数y = Asin（e.Y + 0）的图象与性质（1）图象变换：由函数>' =sinX的图象通过变换得到y = Asin（x+（p） G>0g>0）的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩f先伸缩后平移二如下图.画出尸sin兀的图象画出尸si n x的图象向左（右）平移Ifl个单位长度横坐标变为原来的£倍得到y=sin（x+<P）的图象得到y=sin Q兀的图象横坐标变为原来的寻倍向左（右）

34、平移I射个单位长度得到尸sin （心+0的图象纵坐标变为步骤3得到y=sin （c（/x+的图象纵坐标变为得到-=.4sin（x+<P）的图象得到=Asin（s：+0）的图象&特别握醒五点作图法: 找五个关键点，分别为使V取得最小值、最大值的点和曲线与X轴的交点.其步骤为: 先确龙最小正周期r=,在一个周期内作出图象: co-TT 令严小分别取。，尹亍匚求出对应的说列表如下:X 二 C1)X + <p0TT93 772271XcoTT2 7CD<03 IT2 7U)2tt -<p0)y =/lsin( cox + <p)UA(J-.40由此可得五个关键点;

35、 描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到y = Asin(ex + 0)的简图.©卫兀+三时，函数y = Asin(a)x +(p)为偶函(2)函数y = Asin(a)x +(p) (J>0>0)的性质: 奇偶性：(P=kn时，函数y = Asin(cox +(p)为奇函数;数. 周期性：y = Asin(cox +(p)存在周期性，其最小正周期为卩二.co7T71 单调性：根据尸sinr和t=cox+(p的单调性来研究，由一 一+2航SOY + 0S + 2航,&WZ得单调增22IT31T区间：由一 +2kn <cox +(p&l

36、t; + 2kk e Z得单调减区间.22 对称性：利用尸S1HX的对称中心为伙兀0)伙wZ)求解，令cox +(p = kn(keZ),求得x.TlJi利用尸smx的对称轴为x = kTi + (k eZ)求解，令cox + (p = kn+(k22Z）,得其对称轴.三.三角恒等变换1.两角和与差的正弦.余弦、正切公式(1)CQ : cos(a-0) = cos a cos p + sin a sin p: cos(a + /7) = cos a cos p - sin a sin 0(3): sin(a + 0) = sin a cos /3 + cos a sin 卩(4)Sy®

37、; : sin(a-0) = sin a cos /3 - cos a sin 0(5)c tan a + tan 0 z门 兀,叱+处匸荷时a”®"亍炕“乙(6)“ 介 tan a - tan Z7 z 门c 兀 r .3(0)=亍炕“2.二倍角公式(1) S2a : sin 2a = 2 sin a cos a(2) C2a : cos 2a = cos2 a-sin2 a = l-2sin2 a = 2 cos2 a-l八、f小2tancr zf n .加 兀, ”（3）U如2"百応（“刼+尹宀亍护显）公式的常用变形:(1)门 zc、c tan &

38、+ tan B tana- tan Btan tz ± tan Z7 = tan(« ± 0)(1 干 tan a tan 0): tan a tan 0 = 1=1tan(a + 0) tan(a 0)(2)降幕公式：曲“匕严；曲“于：4sin2(3)升幕公式：l + cos 2a = 2cos2 a : 1-cos la = 2sin a ； 1 + sin la = (sin a + cos a)2:1-sin 2a = (sin a-cosa)，（4）辅助角公式:a sin x+bcos x = sja1 +b2 sin(x + (p)，其中 cos (p

39、 =j, sin 0 =yja2 +b2b4a +b2b tan(p = a3半角公式(1)sinl=±sin a _ 1 - cos a1 + cos asin a此公式不用死记硬背，可由二倍角公式推导而来，如下图:四.正.余弦定理及解三角形1. 正弦定理（1）内容：在厶ABC中，若角A, B, C对应的三边分别是4 c,则各边和它所对角的正弦的比相 等，即二二二.正弦定理对任意三角形都成立sin A sin B sin C（2）常见变形：sin AasinCc sin 3b厂人厂 q<1>= ,= ,= ,6/sin B = bsin A. a sin C = csi

40、nA,bsinC = csin E;sin Bbsin Aa sinCca b ca + ba + cb + ca + b + c sin A sin B sinC sin A + sin B sin A + sinC sin B +sinC sin A + sin B +sinC"：b: c = sin A: sin B: sin C; 正弦左理的推广： = - = -=2R9 中/?为ZV1BC的外接圆的半径.sin A sin B sin C1. 正弦定理解决的问题（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角：（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角.2在/ABC中，已知a,

41、方和A时，三角形解的情况A为锐角A为钝角 或直角图形XIA /(:a #34-丿BCA l'B关系式a = bsnAbsinAVaV6ciAba>bciWb解的个数一解两解一解一解无解2. 余弦定理（1）内容：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即/ =b2 +c2 -2bccosA. b2 =a2 +c2 -2accos B, c2 =a2 +b2 -2abcos C.（2）从余弦泄理，可以得到它的推论:cosA =b2 +c2-a2lealab&特别握醒1.余弦左理解决的问题（1）已知三边，求三个角：（2）已知两边和它们

42、的夹角，求第三边和其他两角.2利用余弦立理解三角形的步骤(1)两边和它 们的夹角余弦定理>另一边正弦定理或余弦定理推论三角形余弦定理推论.三边(2)一角三角正弦定理另两角3三角形的而积公式设 UBC的三边为a，bc,对应的三个角分别为B, C,其而积为S.(1) S = -ah (力为PC边上的高); 2(2) S = bcsinA = acsinB = absinC :2 2 2（3）S = -r（a+b+c）（r为三角形的内切圆半径）.21. 2020 年髙考全国 I 卷】已知ere (O.7T),且3cos2a-8cosa = 5,贝ijsina =()B.， 3【答案】A【解析】

43、3cos2a-8cosa = 5 得6cos? a-8cosa-8 = 0 即3cos2_4cos_4 = 0,解得c°sa = _§或cos 2 （舍去）, 乂 a e （0,兀）,/. sin a = Jl -cos' a - 故选：A.2. 2020年髙考全国I卷】设函数/3 =心(亦+ 2)任-"1的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期6为()c.10兀TD.3兀T【答案】c【解析】由图可得：函数图象过点4龙 ,o L将它代入函数f(x)可得:4兀兀）小0 = 096丿乂 （一#，°）是函数/*（"）图纠门仙负半轴的第一个交点

44、，所以一 y= 解得："=|CC/I所以函数/（X）的最小正周期为丁 =三=2 =弋故选：C23. 【2020年髙考全国II卷】若a为第四象限角，则（ ）A cos2 o >0B cos2 a <0C sin2 « >0D sin2 « <0【答案】D【解析】方法卜：由a为第四象限角,可得 + 2k <a <2 + 2kk eZ .2所以 3龙+4R龙 < 2a < 4/r+4£龙,R g Z此时2a的终边落在第三、四象限及y轴的非正半轴上,所以sin2a<0故选：D.方法二：当a = 上时，cos2

45、cr = cos |>0,选项B错误：r 2/F、当« = -时，cos2a = cos<0,选项A错误：3I 3丿由a在第四象限可得：sinav0,cosa>0,则sin2a = 2sinacosa<0，选项C错误,选项D正确: 故选：D.4. 2020 年髙考全国 III 卷】已知 2tan0 - tan(0 +-)=7,则 tan 0 =()4A. - 2B-1C 1D. 2【答案】D【解析】 2tan& tan 0 + =7 , /. 2tan0- tdn+1 = 7 , 4 /1 - tan令/ = tan<9,Zl,则2/ 匕=7,整

46、理得尸_4/ + 4 = o ,解得/ = 2即km<9 = 2故选：D. 1一/5. 2020年髙考山东卷】下图是函数y= sin(g+e)的部分图像，则sin(sx+4>)=()A. sin(A-4)B sin(-2x)3C.cos(2v + -)6D. cos(-Zx)6【答案】BC【解析】由函数图像可知：”郑牛2,所以不选扎2 冗 7T + 当25/r6 _5/ri：寸，y = 12x y- +0 = 2k 兀(k w Z),122解得：(p = 2k7T + -(keZ)9即函数的解析式为:7ty = sin 2x + 7r + 2k7r =sinj 2x + + | =

47、 cos 2x + I 3J I 62sin -2x 13丿iKjcos 2x +?)=-5tt2x),故选：BC.给出下列结论:6. 2020年髙考天津卷】已知函数f(x) = sin x + /(x)的最小正周期为2龙： 丿J是/(X)的最大值: 把函数y = sin X的图象上所有点向左平移牛个单位长度，可得到函数y = f(x)的图象. 其中所有正确结论的序号是A.B©®C.D.f(x)是偶函数f(x)在一九冗有4个零点 苴中所有正确结论的编号是A. ©©C.【答案】B【解析】因为f(x) = sin(x + -)9所以周期T = = 27r,故

48、正确；3co/(?) = sin( + f ) = sin 字=H 1 ,故不匸确； 22362将函数y = Sinx的图象上所有点向左平移彳个单位长度，得到y = sin(x+£)的图象,故正确.故选：B.7. 2019年髙考全国I卷】关于函数/(x) = sinlxl + lsin划有下述四个结论： f(x)在区间(卫，兀)单调递增 2 f(x)的最大值为2B. ®®D. ®®【答案】C 【解析】/(x) = sin|_x| + |sin(x)| = sin|x| + |sinx| = /(x),/(x)为偶函数，故正确.当 <x&l

49、t;n时,2/(j) = 2sinx.它在IX间-.71单前递减，故2制. / /当0<x<ti时，/(x) = 2sinx,它有两个零点：0,兀：当一n<x<0时，/(%) = sin(-x)-sinx= 2sinx，它有一个零点：一兀，故/(X)在一冗，兀有3个零点：一冗、0,兀，故错误.当xe2kjc,2krc + Tik eN*)时，/(x) = 2sin：当x v2£ji + tt, 2比兀 + 2兀(比 e N* j时，/(x) = sinx-sinx = O,又f(x)为偶函数，J(x)的最大值为2,故综上所述，正确，故选C.方法二：本题也可画出

50、函数/(x)=sin|x|+|sinx|的图象(如下图)，山图象可得®正确.8. 2019年髙考全国II卷】下列函数中，以卫为周期且在区间(上，3)单调递增的是242A. f(x)二 cos2xB f(x)二 sin2xC f(x)二cos xD f(x)二sin x【答案】A【解析】作出因为y = sinlxl的图象如下图1,知苴不足周期函数，排除D：因为y = cos|x| = cosx,周期为2兀,排除C：作出y = |cos2x|图象如图2,由图象知,其周期为才，在区间丐，中单调递增，A正确;作出y = |sin2x|的图象如图3,由图象知，其周期为即 任区间（扌，扌）单调递

51、减，排除B,故选A.图39.2019 年髙考全国 II卷理数】已知 a G (0. -), 2sin2«=cos2a+l,则 sina=()21 A.B並55C.逅D.迈35【答案】B【解析】2sin2a = cos2a + l, /. 4 sin a cos a = 2 cos2 a . v a e 0, -cosa >0 t since >0,. 2 sin a = cos a、 乂 sin' a + cos2 a = 1又 sin a > 0，10. 2019年高考全国II【卷理数】设函数/（X）二sin （岔+ £） 9>0）,已知/

52、'（X）在0,2冗有且仅有5 个零点，下述四个结论： /（X）在（0,271 ）有且仅有3个极大值点 /（X）在（0.2k）有且仅有2个极小值点 于（x）在（0,佥）单调递增12 29 血的取值范用是，一）5 10苴中所有正确结论的编号是（）A. ®B.C. ®®D.【答案】D【解析】若/（切在0,2兀上有5个零点,可画出大致图象,由图1可知，在（0,2兀）有且仅有3个极大值点.故正确；由图1、2可知,f（x）a（0,2兀）有且仅有2个或3个极小值点.故错決El当/（X）二sin+二0 时，因为/在0,2兀上有5个零点,s _冬所以当k=5时，>x = < 2jtCDex + 二 k 兀5当k=6时,(kGZ),6jtx = > 2jtcoco29co < t107T.7C71 _.一一+ 2kn v