根轨迹法知识题和答案解析

1、第四章根轨迹法习题及答案4-1系统的开环传递函数为G(s)H(s)(s 1)(s 2)(s 4)试证明s11 j值在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益K*和开环增益K。解 若点si在根轨迹上，则点 si应满足相角条件G(s)H(s)对于s1(2k 1),如图所示。jJ3,由相角条件G(s)H(s)(1 j32)j3 1)j3 4)图解47竽把点分布国满足相角条件，因此si1 jJ3在根轨迹上。将 代入幅值条件:*G(si)H (s1K1 jv13 2解出：K 12 ,4-2已知单位反馈系统的开环传递函数如下,试求参数b从零变化到无穷大时的根轨迹方程，并写出b 2时系统的闭环传递函数。20 G(s

2、)(s 4)(s b)10(s 2b)(2) G(s) s(s 2)(s b)b(s 4)(s 2 j4)(s 2 j4).b(s 4)解(1) G (s)-s2 4s 20(s)G(s)1 G(s)20s2 6s 28(2) G b(s22s20)_ b(s 1j 19)(s 1j 19)2s(s22s10) s(s1 j3)(s 1j3)(s)G(s)1 G(s)10(s 4)s3 4s2 14s 40 一2s 4-3已知单位反馈系统的开环传递函数G(s) ，试绘制参数b从手变(s 4)(s b)解 G (s)b(s 4)s(s 6)化到无穷大时的根轨迹，并写出s=-2这一点对应的闭环传递

3、函数。根轨迹如图。s 2 时 b 4 ,，、 2s2s(s)s2 10s 16 (s 2)(s 8)4-4已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。 G(s)ks(0.2s 1)(0.5s 1)(2) G(s)k(s 1)s(2s 1)(3) G(s)*k (s 5)s(s 2)(s 3)k* (s 1)(s 2) G(s) 一、：s(s 1)解G(s)10Ks(0.2s 1)(0.5s 1) s(s 5)(s 2)三个开环极点：p10,P22 ,P35实轴上的根轨迹:2,0渐近线:分离点:解之得：d13(2k 1)与虚轴的交点:特征方程为D (s) s3 7s2令 ReD(jIm

4、D(j)解得与虚轴的交点(0,根轨迹如图所示。 G(s)K(s 1)s(2s1)根轨迹绘制如下:实轴上的根轨迹:分离点:3,00.88 ,10s710d 2K(s 1)2s(s 2),1 ,1d 0.50.5,01d 1解之得：d 0.293,d1.707根轨迹如图所示。根轨迹绘制如下：实轴上的根轨迹:5, 3 ,2,0渐近线:0 2 3 ( 5)a02(2k 1)a-22分离点:1111d d 2 d 3 d 5用试探法可得 d 0.886。根轨迹如图所示。4-5已知单位反馈系统的开环传递函数为G(s)ks(0.02s 1)(0.01s 1)要求：（1）绘制系统的根轨迹；（2）确定系统临界稳

5、定时开环增益k的值;（3）确定系统临界阻尼比时开环增益k的值。解(1) G(s)ks(0.02s 1)(0.01s 1)5000ks(s 50)( s 100)实轴上的根轨迹:分离点:求解得d1渐近线:d d 50 d21.13, d2a 50,根轨迹如图所示。(2) *系统临界稳定时k系统临界阻尼比时 k4-60 10078.8760o,180o750000, k 15048112.5, k 9.62已知系统的开环传递函数为G(s)H(s)定系统阶跃响应无超调时开环增益kG(s)H(s)s(s2 8s 20)实轴上的根轨迹:,0渐近线:0 ( 4 j2) ( 4 j2)分离点:解之得:(2k

6、 1)2,d与虚轴交点:D(s)4 j23.33s(s2 8s 20)的取值范围。0d 4 j232s 8s 20s k把s j代入上方程，整理，令其实、虚部分别为零得:,要求绘制根轨迹并确Re(D(jIm(D(j)解得:20160起始角:由相角条件P2P363 。0.84-7单位反馈系统的开环传递函数为G(s)k(2s 1)(s 1)2ts 1)试绘制系统根轨迹，并确定使系统稳定的k值范围。根轨迹如图所示。所有根为负实根时阶跃响应无超调，此时14.8 k16,所以0.74 k解：根轨迹绘制如下:实轴上的根轨迹:0.5,7/4渐近线:1 1 7/4 ( 0.5)2(2k 1)2与虚轴交点：闭环

7、特征方程为4 31 210、D(s) -s -s (2k -)s把s j代入上方程,Re(D(j令Im(D(j)解得:(2K根轨迹如图所示。由图可知使系统稳定的K值范围为1 K 9. 7。4-8已知控制系统的开环传递函数如下,试绘制系统根轨迹（要求求出起始角）解根轨迹绘制如下:G(s)H(s)(s2 4s 9)2实轴上的根轨迹:渐近线:2 j 一 5 2 j 一 5 (2)(2k 1)3分离点:解之得：d3.29 d0.71 (舍去)与虚轴交点：闭环特征方程为_2_ 2D(s) (s4s 9)把s j代入上方程,_ _4人 Re(D(j )令Im(D(j ) (72342）812K3 0解得:

8、21K 96起始角：90 (2 p1 2 90)(2k 1解出p1 45 , p2135根轨迹如图所示。4-9已知系统开环传递函数如下，试分别绘制以a和T为变化参数的根轨迹。1/4(s a) -2.6丁 八(1) G(s) a 0; (2) G(s) , T 0,0)a60,180s (s 1)s(0.1s 1)(Ts 1)解(1) G (s)2s(s 0.5)实轴上的根轨迹：(渐近线：a1/3,分离点：d 1/6根轨迹如图所示。 G (s)4s1s 10s 26实轴上的根轨迹：(，0)起始角终止角：C 1 11 12(180 tg 1-) tg 1- ( p 90) 180 55解得起始角p

9、 78.72 z 0 ( tg 11 tg 11) 18055解得终止角90根轨迹如图所示。4-10已知系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的根轨迹,并求出所有根为负实根时开环增益k的取值范围及系统稳定时k的值。G(s)H(s)k (S 1)实轴上的根轨迹:4.22 ,渐近线：a7.5,(s18,d221) (s 18)16.28 与虚轴交点：s1,21.86j,o90*k37.7根轨迹如图所示。d1 处k116.6, 2处女117.6,*k k /18结论：6.48 k 6.53时所有根为负实根，k 2.095时系统稳定。4-11已知系统结构图如图所示，试绘制时间常数T变化时系统的根轨迹，

10、并分析参数T的变化对系统动态性能的影响。%)解：G(s)100Ts3 s2 20s _ * . . 作等效开环传递函数 G (s)1 T(s2 20s 100)3s 、 一* 根轨迹绘制如下：(注意：k 1/T)实轴上的根轨迹：(，10, 10,0一、一 32分离点： 解得d 30。d d 10根据幅值条件，对应的 T 0.015。虚轴交点：闭环特征方程为_32D (s) Ts s 20 s 1000把s j代入上方程，整理,Re(D(j ) 100Im(D(j ) 2010解得：T 0.2起始角：p1 60令实虚部分别为零得:3参数T从零到无穷大变化时的根轨迹如图所示。(请注意根轨迹的方向！

11、)1从根轨迹图可以看出，当0 T 0.015时，系统阶跃响应为单调收敛过程;0.015 T 0.2时，阶跃响应为振荡收敛过程；T 0.2时，有两支根轨迹在 s右半 平面，此时系统不稳定。若取另外一种等效开环传递函数则解题步骤如下:G(s)sdT三条根轨迹中两条起于一条起于,均终止于原点实轴上的根轨迹:分离点：3dd 10其余步骤与上基本相同,10,10,0解得d30。根轨迹相同，只是-10处为两个开环极点，原点处为开环零点，根轨迹方向与图中一样。 *4-12控制系统的结构如图所不，试概略绘制其根轨迹(k 0)。解此系统为正反馈系统,应绘零度根轨迹。实轴上的根轨迹:分离点:解得 d 0.5起始角:根据相角条件,j 2kj 1P1P2以 180。p3根轨迹如图所示。k (1 s)4-13设单位反馈系统的开环传递函数为G(s) ()，试绘制其根轨迹，并求出s(s 2)使系统产生重实根和纯虚根的 k值。解由开环传递函数的表达式知需绘制根轨迹。实轴上的根轨迹:一、一 1分离点：d 2,0, 11,解得：d10.732,d2 2.732将s d10.732 ,s d22.732幅值条件得:K