名师伴你行人教A数学必修五学案余弦定理PPT教案

1、名师伴你行人教名师伴你行人教A数学必修五学案余弦定数学必修五学案余弦定理理学点一学点二学点三学点四学点五第1页/共29页返回目录返回目录 1. 1.三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即 c c2 2= = , , b b2 2= = , , a a2 2= = , , 这个定理叫余弦定理这个定理叫余弦定理. .a a2 2+ +b b2 2-2-2ababcoscosC Ca a2 2+ +c c2 2-2-2acaccoscosB Bb b2 2+ +c c2

2、2-2-2bcbccoscosA A第2页/共29页返回目录返回目录bcacb2222cabac2222 abcba2222 2. 2.由余弦定理我们得由余弦定理我们得 coscosA A= = , , cos cosB B= = , , cos cosC C= = . . 3. 3.设设a a, ,b b, ,c c是是ABCABC的三内角的三内角A A，B B，C C的对边，则的对边，则ABCABC的面积的面积 = = = .= .CabSsin21Bacsin21Abcsin21第3页/共29页返回目录返回目录学点一学点一 解斜三角形解斜三角形 【分析分析】由条件知，均可用余弦定理由条件

3、知，均可用余弦定理. .【解析解析】. 3 , 32111211 cos ,1)( 22222cCzabbac得由余弦定理在在ABCABC中，中，（1 1）a a=1,=1,b b=1,=1,C C=120=120, ,求求c c; ;（2 2）a a=3,=3,b b=4,=4,c c= = ，求最大角；，求最大角；（3 3）a a：b b：c c=1=1： ：2,2,求求A A，B B，C C. .373第4页/共29页返回目录返回目录.2.3 .21cos.6 ,23232432cos .2,3, 2:3:1:(3) .120 ,2143237432cos ,2)( 2222222222

4、2CBBAxxxxxbcacbAxcxbxacbacabcbaCC同理由余弦定理得可设由于最大显然角第5页/共29页返回目录返回目录【评析评析】（1 1）余弦定理可解两类三角形问题：一类是已）余弦定理可解两类三角形问题：一类是已知三边；另一类是已知两边及其夹角知三边；另一类是已知两边及其夹角. . （2 2）对于题中的第（）对于题中的第（3 3）小题，根据已知条件，设出三）小题，根据已知条件，设出三边的长，然后由余弦定理求解，是解题的关键，在求出角边的长，然后由余弦定理求解，是解题的关键，在求出角A A后，后，也可用正弦定理求角也可用正弦定理求角B B，但要注意讨论解的情况，但要注意讨论解的情

5、况. .第6页/共29页返回目录返回目录根据下列条件解三角形根据下列条件解三角形. .（1 1）b b=8,=8,c c=3,=3,A A=60=60; ;（2 2）a a=20,=20,b b=29,=29,c c=21.=21.解：解：已知两边和夹角，已知三边解三角形，根据余已知两边和夹角，已知三边解三角形，根据余弦定理来求弦定理来求. . （1 1）根据余弦定理，得）根据余弦定理，得 a a2 2= =b b2 2+ +c c2 2-2-2bcbccoscosA A=8=82 2+3+32 2-2-28 83cos603cos60=64+9-=64+9-24=49.24=49. a a=

6、7,=7,由推论得由推论得6928. 014138723872cos222222 abcbaC第7页/共29页返回目录返回目录 C C=22=22, , B B=180=180-60-60-22-22=98=98. . （2 2）根据余弦定理的推论得）根据余弦定理的推论得 B B=90=90,C C=90=90-44-44=46=46. ., 0212022921202cos,441724. 0212922021292cos222222222222acbcaBAbcacbA又又. 第8页/共29页返回目录返回目录学点二学点二 余弦定理余弦定理【分析分析】由比例的性质可以引入一个字母由比例的性质

7、可以引入一个字母k k，用，用k k表示表示a a, ,b b, ,c c，再由余弦定理求解各角，再由余弦定理求解各角. . 已知已知ABCABC中中, ,a ab bc c=2=2 ( ( +1)+1), ,求求ABCABC的各角度数的各角度数. .36【解析解析】a ab bc c=2=2( ( +1),+1),令令a a=2=2k k, ,b b= = k k, ,c c=( +1)=( +1)k k. .由余弦定理，有由余弦定理，有6363,22) 13(624) 13(62cos2222222 kkkkkbcacbA第9页/共29页返回目录返回目录A A=45=45. .B B=60

8、=60. .C C=180=180- -A A- -B B=180=180-45-45-60-60=75=75. .,21) 13(226) 13(42cos2222222kkkkkacbcaB【评析评析】根据问题给出的条件根据问题给出的条件a ab bc c=2=2 ( ( +1)+1)，设设a a=2=2k k, ,b b= = k k, ,c c=(=( +1)+1)k k，为使用余弦定理求角创造条件，为使用余弦定理求角创造条件，这是解答本题的关键一步；在已知三边，求三个角时，一般这是解答本题的关键一步；在已知三边，求三个角时，一般先求小角，后求大角先求小角，后求大角. .6363第10

9、页/共29页返回目录返回目录在在ABCABC中，中，（1 1）若）若sinsin2 2A A=sin=sin2 2B B+sin+sin2 2C C+sin+sinB BsinsinC C, ,求角求角A A；（2 2）若）若sinsinA AsinsinB BsinsinC C=( -1)( +1) ,=( -1)( +1) ,求最大求最大 内角内角. . 3310解解: :（1 1）sinsin2 2A A=sin=sin2 2B B+sin+sin2 2C C+sin+sinB BsinsinC C, , 由正弦定理，得由正弦定理，得a a2=2=b b2 2+ +c c2 2+ +bc

10、bc，即，即b b2 2+ +c c2 2- -a a2 2=-=-bcbc. .coscosA A= =A A=120=120. .22222222RcRbRcRbRa,2122222bcbcbcacb第11页/共29页返回目录返回目录（2 2）由已知有）由已知有设设a a=(=( -1)-1)k k，b b=( +1)=( +1)k k, ,c c= = k k, , -1 +1 , -1 +1 ,C C为最大角为最大角. .coscosC C= =最大内角最大内角C C=120=120. .,10sin13sin13sinCBA.101313cba33103310abcba2222.21

11、) 13() 13(210) 13() 13(22222kkkkk第12页/共29页返回目录返回目录学点三学点三 余弦定理的简单应用余弦定理的简单应用在在ABCABC中，已知中，已知b b2 2sinsin2 2C C+ +c c2 2sinsin2 2B B=2=2bcbccoscosB BcoscosC C，试判断，试判断三角形的形状三角形的形状. .【分析分析】解决本题，可分别利用正弦定理或余弦定理，解决本题，可分别利用正弦定理或余弦定理，把问题转化成角或边的关系求解把问题转化成角或边的关系求解. .【解析解析】解法一解法一: : 由正弦定由正弦定理理 , ,R R为为ABCABC外接圆

12、的半径外接圆的半径, ,将原式化为将原式化为8 8R R2 2sinsin2 2B Bsinsin2 2C C=8=8R R2 2sinsinB BsinsinC CcoscosB BcoscosC C. . sin sinB BsinsinC C0,sin0,sinB BsinsinC C=cos=cosB BcoscosC C, , 即即cos(cos(B B+ +C C)=0,)=0,B B+ +C C=90=90, ,A A=90=90. . 故故ABCABC为直角三角形为直角三角形. .RCcBbAa2sinsinsin第13页/共29页返回目录返回目录【评析评析】在利用正弦定理实施

13、边角转化时，等式两边在利用正弦定理实施边角转化时，等式两边a a, ,b b, ,c c及角的正弦值的次数必须相同，否则不能相互转化及角的正弦值的次数必须相同，否则不能相互转化. . 解法二解法二: :将已知等式变为将已知等式变为 b b2 2(1-cos(1-cos2 2C C)+)+c c2 2(1-cos(1-cos2 2B B)=2)=2bcbccoscosB BcoscosC C. . 也即也即b b2 2+ +c c2 2= =a a2 2. . 故故ABCABC为直角三角形为直角三角形. . ,4)( .22222 2222222222222222222222222222abca

14、cbacbacbcaabcbabcacbcacabcbabcb 即由余弦定理可得第14页/共29页返回目录返回目录已知方程已知方程x x2 2-(-(b bcoscosA A) )x x+ +a acoscosB B=0=0的两根之积等于两根之和，的两根之积等于两根之和，a a, ,b b为为ABCABC的两边，的两边，A A，B B为两内角，试判断这个三角形的为两内角，试判断这个三角形的形状形状. . 解：解：设方程的两根为设方程的两根为x x1 1, ,x x2 2, ,由韦达定理知，由韦达定理知，x x1 1+ +x x2 2= =b bcoscosA A, ,x x1 1x x2 2=

15、 =a acoscosB B. . 依题意得依题意得b bcoscosA A= =a acoscosB B, , b b2 2+ +c c2 2- -a a2 2= =a a2 2+ +c c2 2- -b b2 2, , 即即2 2b b2 2=2=2a a2 2, ,即即a a= =b b. . ABCABC是等腰三角形是等腰三角形. .,22, 222222acbcaabcacbb 得由余弦定理第15页/共29页返回目录返回目录学点四学点四 综合应用综合应用 【解析】【解析】在在BADBAD中，由余弦定中，由余弦定理，得理，得 BABA2 2= =BDBD2 2+ +ADAD2 2-2-

16、2BDBD ADADcoscosBDBDA A. . 设设BDBD= =x x, ,则则14142 2= =x x2 2+10+102 2-2-21010 x xcos60cos60, , x x2 2-10-10 x x-96=0,-96=0, x x1 1=16,=16,x x2 2=-6(=-6(舍去舍去).). 即即BDBD=16.=16.如图如图1 1- -2 2- -1 1所示的四边形所示的四边形ABCDABCD中，已知中，已知ADADCDCD, ,ADAD=10,=10,ABAB=14,=14,BDABDA=60=60,BCDBCD=135=135，求，求BCBC的长的长. .图

17、图1-2-11-2-1 【分析分析】在在BCDBCD中，由题设知，中，由题设知，只要求出只要求出BDBD，则由正弦定理，则由正弦定理，BCBC即可即可求出求出. .第16页/共29页返回目录返回目录 【评析评析】在解三角形时，有些较复杂的问题常常需要在解三角形时，有些较复杂的问题常常需要将正弦定理、余弦定理交替使用，尽管有时不是直接求出将正弦定理、余弦定理交替使用，尽管有时不是直接求出结果，但为了过渡，也是很有必要的结果，但为了过渡，也是很有必要的. .本例先求本例先求BDBD，即起，即起这个作用，至于先用哪个定理，则要具体问题具体分析，这个作用，至于先用哪个定理，则要具体问题具体分析，想一想

18、，本例如果先用正弦定理，会有什么结果？对解题想一想，本例如果先用正弦定理，会有什么结果？对解题是否合适？是否合适？ 在在BDCBDC中，由正弦定理，得中，由正弦定理，得 , , . .BCDBDCDBBCsinsin2830sin135sin16BC第17页/共29页返回目录返回目录已知已知k k是整数，钝角是整数，钝角ABCABC的三内角的三内角A A, ,B B, ,C C所对的边分别为所对的边分别为a a, ,b b, ,c c. .(1)(1)若方程组若方程组 有实数解有实数解, ,求求k k的值的值; ;(2)(2)对于对于(1)(1)中中k k值值, ,若若sinsinC C= =

19、 , ,且有关系式且有关系式( (c c- -b b) )sinsin2 2A A + +b bsinsin2 2B B= =c csinsin2 2C C, ,试求试求A A, ,B B, ,C C的度数的度数. .x x2 2+ +y y=7=7k k2 2kxkx+ +y y=3(=3(k k2 2+1)+1)2k 解：解：（1 1）将原方程组消去）将原方程组消去y y后，化为后，化为 x x2 2-2-2kxkx+3+3k k2 2-7-7k k+3=0.+3=0. 由由=4=4k k2 2-4(3-4(3k k2 2-7-7k k+3)0,+3)0,得得2 2k k2 2-7-7k

20、k+30,+30,解之得解之得 k k3.3. k kZZ，k k=1,2,3.=1,2,3.21第18页/共29页返回目录返回目录 (2)(2)ABCABC为钝角三角形，为钝角三角形， 0sin0sinC C1.0,0,且且f f( (x x) )的图象的两个的图象的两个相邻对称轴间的距离不小于相邻对称轴间的距离不小于 . .(1)(1)求求的取值范围的取值范围; ;(2)(2)在在ABCABC中中, ,a a, ,b b, ,c c分别是角分别是角A A, ,B B, ,C C的对边的对边, ,a a= = , ,b b+ +c c=3,=3, 当当最大时最大时, ,f f( (A A)=

21、1,)=1,求求ABCABC的面积的面积. .323 【分析分析】本题考查向量的坐标运算法则、三角函数式本题考查向量的坐标运算法则、三角函数式的变形和三角函数的性质以及解三角形的能力的变形和三角函数的性质以及解三角形的能力. . 【解析】【解析】第20页/共29页返回目录返回目录第21页/共29页返回目录返回目录 【评析评析】简单的三角恒等变换是解决三角函数问题的简单的三角恒等变换是解决三角函数问题的重要手段，掌握三角函数的性质是正确解答的关键；正、重要手段，掌握三角函数的性质是正确解答的关键；正、余弦定理是解三角形的基本定理，将已知条件转化为关于余弦定理是解三角形的基本定理，将已知条件转化为

22、关于边和角的方程（组）是解题的有效途径边和角的方程（组）是解题的有效途径. .平面向量与三角平面向量与三角函数、解三角形等结合的问题，是高考命题的热点函数、解三角形等结合的问题，是高考命题的热点. .第22页/共29页返回目录返回目录在在ABCABC中，已知角中，已知角A A, ,B B, ,C C所对的三边长分别为所对的三边长分别为a a, ,b b, ,c c, ,若若C C=2=2A A,cos,cosA A= = , ,BABABCBC= = . .(1)(1)求求coscosB B; ;(2)(2)求边求边ACAC的长的长. .43227 解：解：第23页/共29页返回目录返回目录第24页/共29页返回目录返回目录 应用余弦定理应注意什么？应用余弦定理应注意什么？ （1 1）余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规）余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，是解三角形的重要工具律，是解三角形的重要工具. . （2 2）余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦）余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例定理的特例. . （3 3）在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利）在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一用方程的观点，可以知三求一. . （4 4）运用余弦定理时，