第五章系统的演化

1、复杂性（二）：系统的演化系统演化概念 系统的结构、状态、行为、功能等随着时间的推移而发生的变化，称为系统的演化。 两种基本方式：狭义和广义狭义的演化，指系统由一种结构或形态向另一种结构或形态的转变。广义的演化，包括系统从无到有的形成，从不成熟到成熟的发育，从一个结构或形态到另一种结构或形态的转变，系统的老化或退化，从有到无的死亡等。 系统演化的动力 系统组成部分之间的合作、竞争、矛盾等内部因素，以及环境变化及环境与系统相互联系和作用方式的变化等外部因素系统演化概念 演化的两种方向进化：由低级到高级、由简单到复杂的演化退化：由高级到低级、由复杂到简单的演化两种演化是互补的。总方向是越来越复杂，从

2、简单系统进化到复杂系统与演化相关的概念状态变量状态变量 是指描述系统每时每处情况的一组随时间变化的量。可以取不同的值。一般系统需要同时用若干状态变量来描述。给定状态变量的一组数值即给定一个系统状态，不同组的数值代表系统的不同状态。 选择状态变量的要求：（1）完备性（2）独立性状态空间状态空间 由系统所有状态构成的集合。空间的每个点称为状态点。如果系统有n个独立状态变量，以状态变量为轴建立起来的空间，就是系统的状态空间。状态变量的每一组具体数值代表系统的一个具体的状态。N是状态空间的维数，用以描述决定系统的行为特性。这样，就可以通过状态空间描述系统，建立系统的演化方程，确定不同类型的状态，描述系

3、统的状态转移规律。吸引子和奇异吸引子吸引子和奇异吸引子 吸引子代表系统的稳定状态。状态空间中点表示系统状态，点集表示系统演化的过程。吸引子有吸引作用，系统运动只有达到吸引子上才能稳定下来并保持下去。 奇异吸引子，混沌系统的吸引子吸引子理论 吸引子吸引子是一个数学概念，描写运动的收敛类型，它存在于相平面。简言之，吸引子是指这样的一个集合，当时间趋于无穷大时，在任何一个有界集上出发的非定常流的所有轨道都趋于它。这样的集合有很复杂的几何结构。从相空间上看，系统演化的目的体现为一定的点集合，代表演化过程的终极状态，即目的态，具有如下特征：(1)终极性，处于非目的态的系统“不安于现状”，力求离之远去，处

4、于目的态的系统则“安于现状”，自身不再愿意或无力改变这种状态（也可以叫做惰性）。 (2)稳定性，目的态是系统自身质的规定性的体现，这种规定性只有在稳定状态中才能确立起来并得到保持，不稳定状态不可能成为目的态。 (3)吸引性，吸引性是目的性的根本要素，没有吸引力的状态不能成为系统演化所追求的目标。只要系统尚未到达目的态，现实状态与目的态之间必定存在非0的吸引力，牵引着系统向目的态运动。相空间中满足以上3个条件的点集合A(可能包含1个点、有限个点或无限个点)，被称为动力学系统的吸引子。吸引子只能是定态，而且必须是稳定态。 确定相轨迹切线方向的方向场及相平面上的一条相轨迹 二阶线性系统特征根与奇点

5、相轨迹图 在动力学系统中，吸引子包括1.单个点2.稳定极限环。 可解释为：长期运动就是：1.静止在定态 2.周期性地重复某种运动系列。在非混沌体系中，这两种情况是“一般吸引子”。 在混沌体系中，第二种情况则被称为：“奇怪吸引子”，它本身是相对稳定的，收敛的，但不是静止的。奇怪吸引子是稳定的、具分形结构的吸引子。 一个系统可能没有吸引子，也可能同时存在多个吸引子。不同吸引子可能属于同一类型，也可能属于不同类型。几类吸引子的各种组合都可能出现。例如，同时存在几个结点，或同时存在不动点和极限环，或同时存在不动点、极限环、奇怪吸引子，或同时有几个奇怪吸引子，等等。 系统越复杂，吸引子结构就越复杂。 凡

6、存在吸引子的系统，均为有目的的系统。从暂态向渐近稳定定态的运动过程，就是系统寻找目的的过程。所谓目的，就是在给定的环境中，系统只有在目的点或目的环上才是稳定的，离开了就不稳定，系统自己要拖到点或环上才能罢休。稳定极限环 不稳定极限环系统运动最终全部趋向于一条封闭的相轨迹，称之为“极限环”，对应系统的一种稳定的周期运动，即自振。不论初条件怎样，系统自由响应运动最终都是自振。如果由极限环外部和内部起始的相轨迹都渐近地趋向这个极限环，任何较小的扰动使系统运动离开极限环后，最后仍能回到极限环上。 如果由极限环外部和内部起始的相轨迹都从极限环发散出去，任何较小的扰动使系统运动离开极限环后，系统状态将远离

7、极限环或趋向平衡点，这样的极限环称为不稳定极限环。 半稳定极限环 奇怪吸引子 奇怪吸引子是耗散系统混沌现象的一个重要的特征 ，是相空间的一个有限的区域内，由无穷多个不稳定点集组成的一个集合体。 奇怪吸引子有两个最重要的特征： （1） 对初始条件有敏感的依赖性。 在初始时刻从奇怪吸引子上任何两个非常接近的点出发的两条运动轨道，最终会以指数的形式互相分离。由于对初值极为敏感，表现为局部不稳定。但对耗散系统而言，则又具有相体积收缩的特性，因而造成轨道无穷多次折迭往返。混沌轨道在相空间中“添满”有限的区域，形成奇怪吸引子。 实际上，它有内外两种趋向，一切吸引子之外的运动都向它它有内外两种趋向，一切吸引

8、子之外的运动都向它靠拢，这是稳定的方向；而一切到达吸引子内的轨道都又相靠拢，这是稳定的方向；而一切到达吸引子内的轨道都又相互排斥（指数式分离），对应为不稳定方向。互排斥（指数式分离），对应为不稳定方向。 （2） 具有奇特的拓扑结构和几何形式。 奇怪吸引子是具有无穷多层次自相似结构的、几何维数为非整数的一个集合体。为了描述奇怪吸引子的这种奇特结构，Mandelbrot率先引进了分形（既其维数是非整数的对象）的概念。洛伦茨吸引子 “洛伦茨结束了笛卡尔宇宙观统治的时代，继相对论和量子力学之后，开启了20世纪第三次科学革命。” 麻省理工学院大气学教授伊曼纽尔聚散有法，周行不殆，回复不闭聚散有法，周行不

9、殆，回复不闭 Lorenz方程bzxyzycxxzyxyax)( 其中a，b，c0 选a=10 b=8/3 c=28系统有混沌解Lotka-Volterra方程 y1、y2分别代表被捕食者和捕食者的数量，分别代表被捕食者和捕食者的数量，代表被捕食代表被捕食者的出生率，者的出生率，代表捕食者的死亡率，代表捕食者的死亡率，、代表两个物种代表两个物种的相互作用。的相互作用。22122111yyyyyyyy(1)假設假設 y2(t)=0,捕食者不存在捕食者不存在, 猎物猎物y1因无天敌，呈指数增长；因无天敌，呈指数增长；(2) 假設假設 y1(t)=0, 因因捕食者捕食者y2仅以仅以y1为食为食, 则

10、则y2呈指数下降；呈指数下降； (3) y1 y2 项表示项表示 y1 与与y2的相互作用。它表示物种的相互作用。它表示物种y1与与y2相遇的相遇的 几率，而系数的正负反映几率，而系数的正负反映y2捕食捕食y1的后果；的后果； (4) 定性分析表明在平衡点处系统稳定，此时定性分析表明在平衡点处系统稳定，此时y1, y2都不为零，都不为零， 要维持生态系统的平衡，只有谋求要维持生态系统的平衡，只有谋求“和局和局”。 Lotka-Volterra方程杀虫药的效应2221212111cyyyyycyyyyy c代表使用杀虫药带来的死亡率。代表使用杀虫药带来的死亡率。y1y2c=0系统的平衡点：系统的

11、平衡点：caycy2121yy0蝴蝶效应 蝴蝶效应是混沌理论的一部分，是指在一个动力系统中，初始条件下微小的变化能带动整个系统的长期而巨大的连锁反应。 “一只蝴蝶在巴西轻拍翅膀，会使更多蝴蝶跟着一起振翅。最后将有数千只的蝴蝶都跟着那只蝴蝶一同挥动翅膀，其所产生的飓风可以导致一个月后在美国得州发生一场龙卷风。” 分形fractal分形的发展历程 普通几何学研究的对象，一般都具有整数的维数。零维的点、普通几何学研究的对象，一般都具有整数的维数。零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体、乃至四维的时空。在一维的线、二维的面、三维的立体、乃至四维的时空。在2020世纪世纪7070年代末年代末8080年

12、代初，产生了新兴的分形几何学年代初，产生了新兴的分形几何学（fractal geometryfractal geometry），空间具有不一定是整数的维，而存），空间具有不一定是整数的维，而存在一个分数维数。在一个分数维数。 法国数学家芒德勃罗法国数学家芒德勃罗(B.B.Mandelbrot)(B.B.Mandelbrot)在在19751975、19771977和和19821982年先后用法文和英文出版了三本书，特别是年先后用法文和英文出版了三本书，特别是分形：形、机分形：形、机遇和维数遇和维数以及以及自然界中的分形几何学自然界中的分形几何学(Fractal (Fractal Geometry

13、 of Nature)Geometry of Nature)，开创了新的数学分支，开创了新的数学分支“分形几何分形几何学学”。“分形分形”(fractal)(fractal)这个词是芒德勃罗在这个词是芒德勃罗在19751975年造出年造出来的，词根是拉丁文的来的，词根是拉丁文的fractusfractus， “ “破碎破碎”的意思。的意思。 根据物理学家李荫远院士的建议，大陆将根据物理学家李荫远院士的建议，大陆将fractalfractal一开始就一开始就定译为定译为“分形分形”，而台湾学者一般将，而台湾学者一般将fractalfractal译作译作“碎形碎形”。 客观事物有自己的特征长度，要

14、用恰当的尺度去测量。用尺来测量万里长城，嫌太短；用尺来测量大肠杆菌，又嫌太长。从而产生了特征长度。 有的事物没有特征尺度，必须考虑从小到大的许许多多尺度（或者叫标度），这叫做“无标度性”的问题。如物理学中的湍流，湍流是自然界中普遍现象，小至静室中缭绕的轻烟，巨至木星大气中的涡流，都是十分紊乱的流体运动。流体宏观运动的能量，经过大、中、小、微等许许多度尺度上的漩涡，最后转化成分子尺度上的热运动，同时涉及大量不同尺度上的运动状态，就要借助“无标度性”解决问题，湍流中高漩涡区域，就需要用分形几何学。芒德勃罗“海岸线” 芒德勃罗(B.B.Mandelbrot)20世纪70年代中探讨了“英国的海岸线有多

15、长” 的问题。 该问题依赖于测量时所使用的尺度。如果用公里作测量单位，从几米到几十米的一些曲折会被忽略；改用米来做单位，测得的总长度会增加，但是一些厘米量级以下的就不能反映出来。由于涨潮落潮使海岸线的水陆分界线具有各种层次的不规则性。 海岸线在大小两个方向都有自然的限制，取不列颠岛外缘上几个突出的点，用直线把它们连起来，得到海岸线长度的一种下界。使用比这更长的尺度是没有意义的。还有海沙石的最小尺度是原子和分子，使用更小的尺度也是没有意义的。在这两个自然限度之间，存在着可以变化许多个数量级的“无标度”区，长度不是海岸线的定量特征，就要用分维。英国的海岸线地图分形几何的内容 基本思想是：客观事物具

16、有自相似的层次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性，成为自相似性。例如，一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去，每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。 维数是几何对象的一个重要特征量，是几何对象中一个点的位置所需的独立坐标数目。在欧氏空间中，把空间看成三维的，平面或球面看成二维，把直线或曲线看成一维。也可以稍加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，对于更抽象或更复杂的对象，只要每个局部可以和欧氏空间对应，也容易确定维数。 分形理论认为维数也可以是分数，这类维数是物理学家在研

17、究混沌吸引子等理论时引入的重要概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。分形的定义 定义1（Mandelbrot,1986）,部分以某种形式与整体相似的形状叫分形。 定义2（Edgar,1990），分形集合是这样一种集合，它比传统几何学研究的所有集合还更加不规则（irregular）,无论是放大还是缩小，甚至进一步缩小，这种集合的不规则性仍然是明显的。分形的特性 1、具有无限精细的结构 2、局部与整体的相似性 3、具有非拓扑维数，并且它大于对应的拓扑维数 4、具有随机性 5、在大多数

18、情况下，分形可以用非常简单的方法确定，可能由迭代产生。自相似性 分形具有“粗糙和自相似”的直观特点。 一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的，或者某系统或结构的局域性质或局域结构与整体类似。 另外，在整体与整体之间或部分与部分之间，也会存在自相似性。一般情况下自相似性有比较复杂的表现形式，而不是局域放大一定倍数以后简单地和整体完全重合。 太阳系的构造与原子的结构作一对比，就会发现这两个系统在某些方面具有惊人的相似。虽然这两个系统在自然界中尺度相差如此悬殊，但它们物质系统之间存在着自相似的性质。 物质系统之间的自相似性在生物界也广泛地存在着。以人为例，

19、人是由类人猿进化到一定程度的产物，解剖学研究表明，人体中的大脑、神经系统、血管、呼吸系统、消化系统等在结构上都具有高度的自相似性。左图1是人体小肠的结构，由图可以看到，当以不同的放大倍数观察小肠结构时，即从a到e较大的形态与较小的形态之间的相似表明小肠结构具有自相似性。人体小肠的自相似结构它的生成方法是把一条直线等分成三段，将中间一段用夹角为它的生成方法是把一条直线等分成三段，将中间一段用夹角为60的二条的二条等长（等长（1/3）的折线来代替，形成一个生成单元，如上图）的折线来代替，形成一个生成单元，如上图(b).然后再把每然后再把每一条直线段用生成单元进行代替，经过无穷多次迭代后就呈现一条无

20、穷一条直线段用生成单元进行代替，经过无穷多次迭代后就呈现一条无穷多弯曲的多弯曲的koch曲线。用它来模拟自然界中的海岸线是相当理想的。曲线。用它来模拟自然界中的海岸线是相当理想的。三次koch曲线koch曲线是分形的，因为它是自相似的。自相似性就是跨尺度的对称。它意味着递归，在一个图形内部还有图形。从上图（e）中可以清楚看到这一点。自相似性指的是，把要考虑的图形的一部分放大，其形状与整体相同。设想把上图（e）中的koch曲线区间0,1/3中的图形放大3倍，放大后的图形与原来的曲线形状完全相同。把区间2/3,1放大3倍，也会得到同样的结果。虽然区间1/3,1/2 ，1/2,2/3的图形是倾斜的，

21、但是把它放大，也会得到同样的结果。若把区间0,1/9的图形放大9倍，同样也可以产生与原来相同的图形。对更小的部分进行放大也是如此，不论多小部分，若把它放大到适当大小，应该能得出与原来相同的图形。Cantor集合0F1F2F康托集合是闭区间0,1的子集，它的定义如下：给定区间0,1，把这个区间分成三段，去掉中间那一端（即去掉(1/3,2/3)），然后把剩下的两段中每一段都按照刚才的方法再进行操作，然后再分，再分，就这样一直挖洞挖下去。在第二次操作后，剩下的区间是0,1/92/9,1/32/3,7/98/9,1，再操作一次后区间将由8段构成。最后剩下来的东西是什么呢？ n次操作后，区间的总长度为(

22、2/3)n，当n趋于无穷时，区间长度趋于0。但是这并不能说明这个区间里没有任何元素。事实上，我们可以找到至少一个元素 。康托集合与0,1的所有实数一一对应。这个函数是一个阶梯状的函数，但是它不是分段的，是连续的。它是无穷多个横线段组成的一个连续函数，除端点无意义以外导数值都是0。或者说，这个函数在不变之中上升。102103104101102103104105101log log N( )25. 1log)(logND英国海岸线的分形维数D=1.25英国海岸线的自相似性及分形维数的获得标度不变性 所谓标度不变性，是指在分形上任选一局部区域，对它进行放大，这时得到的放大图形又会显示出原图的形态特性

23、。因此,对于分形，不论将其放大或缩小，它的形态、复杂程度、不规则性等各种特点均不会变化。所以标度不变性又称为伸缩对称性。通俗一点说，如果用放大镜来观察一个分形，不管放大倍数如何变化，看到的情形是一样的，从观察到的图象，无法判断所用放大镜的倍数。 所以具有自相似特性的物体（系统），必定满足标度不变性，或者说这类物体设有特性长度。上面介绍的koch曲线是具有严格的自相似性的有规分形，无论将它放大与缩小多少倍，它的基本几何特性都保持不变，很显然，它具有标度不变性。 因此,可以看到,自相似性与标度不变性是密切相关的。自相似性和标度不变性是分形的两个重要特性。是否有非整数维的几何存在呢？ 实际上,若对长

24、度为1的线段n等分，每段长为r，则 (2.2) 对面积为1的正方形作n等分，每个小正方形的边长为r，则 (2.3) 对体积为1的正方体作n等分，每个小正方体的边长为r，则 (2.4) 上面三个等式中，r的幂次实际上就是几何体能得到定常度量的空间维数，于是有如下公式 (2.5)1rn12rn13rn1Drn分形的维数分形的维数 对上式两边取对数，则得到空间维数D的表达式： （2.6） 对koch曲线而言，在第n步时，其等长折线段总数为4n，每段长度为 ，于是koch曲线的维数D应为 （2.7） 这是一个非整数值，它定量地表示koch曲线的复杂程度。koch曲线是一个分形图形。分形图形虽然一般都比

25、较复杂，但其复杂程度可用非整数维数去定量化，维数愈大，其复杂性就会相应提高。 )1ln(lnlnlnrnrnDn312618. 13ln4ln)31ln(4lnnnD 我们上面讲的维数又称为相似维数，常用Ds表示。一般地，如果某图形是由把原图缩小为1/a的相似的b个图形所组成，则有： ， (2.8) 因此，我们对koch曲线，又可看成是由把全体缩小成1/3的四个相似形构成的，按式（2.8），koch曲线的相似维数则为 (2.9) 下面我们再看看KOCH曲线在欧氏几何中的长度是多少，显然， ， ， ，那么basDaln/blnDs2618134.lnlnDS1)a(length34)b(leng

26、th916)c(lengthnnn)(limlnlim)e(length34 由于它是一条闭区间的曲线，在欧氏几何中，其面积为零。换句讲，koch曲线在传统的欧氏几何领域不可度量。而分维 恰好反映了这种曲线的不规则性和复杂性。 由以上的讨论，我们可以看到，从传统的几何学出发，我们用非常简单的一把直尺去研究koch曲线，会发现它十分的复杂，它包含无限的层次结构，用什么样的尺子都很难测量它，所以我们说koch曲线是很复杂的几何对象。从分形几何学出发，我们用一个看起来很复杂的测量单位一个小的koch曲线去测量koch曲线，所得的结果却十分简单。对比以上两种情况：欧氏几何用简单的图形作为工具，研究某些

27、对象时发现存在着复杂性；分形几何用复杂的图形（恰恰是利用自相似性，利用复杂图形的本身或其一部分）作工具, 研究对象时得到非常简单的结果。26181.DS分形的应用领域 1、数学：动力系统 2、物理：布朗运动，流体力学中的湍流 3、化学：酶的构造， 4、生物：细胞的生长 5、地质：地质构造 6、天文：土星上的光环 其他：计算机，经济，社会，艺术等等应用1：股票价格变动所谓股票价格的变动。股票价格变动图虽然经常可在报纸（或电视等）上看到，但因价格涨落得非常厉害，而且完全是随机的，因此使人感到几乎无规律可循。但若从统计学观点解析这一变动，就会发现有很好的规律。Mandelbrot发现下面两个法则：

28、每个单位时间内的股票价格变动分布，服从特性指数D1.7的对称稳定分布。 单位时间不论取多大或多小，其分布也是相似的。也就是说，适当地改变尺度，就可成为同样的分布。 关于稳态分布,只讨论与分形有关的一些性质。若把单位时间T之间的股票价格变动x的分布密度记为P（x），则下述关系成立： 此关系式表示股票价格变动的大小分布为分形。例如，一天的股票价格变动在x元以上，比2x元以上的变动次数多21.73.2倍。法则（2）表示股票价格变动在时间上也是分形的。一天的股票价格变动图形与一年的股票价格变动图形相比，不同的只是股票价格的尺度，而对变动情况则很难加以区别。xDxxxd )x(Pxd )x(P应用2：分

29、形对哲学的影响 分形中充满着辩证法思想，它不仅为辩证法提供新的事例，而且可以丰富人们对辩证法的认识。分形理论中具有确定性与随机性、内在随机性与外在随机性、局部与整体、简单与复杂等几对矛盾的辩证关系。我们对所谓整体与局部这一对矛盾，存在着辩证的关系，加以简要的阐述。 一般系统论认为整体可以分解为一些部分，整体是由部分组成的；部分包含在整体之中，是整体的组成部分，部分相加可以构成整体。因此，整体大于部分。在这一认识中, 把部分与整体的关系理解为机械的分解和相加。基于这种整体与部分的关系的看法，形成简化事物的方法还原论方法。但随着科学技术的发展，这种方法并非总是有效。 17世纪，伽利略（Galile

30、o，G.15641642）在1638年出版的关于新科学的对话一书中提出一个悖论：正整数集合s1的元素与正整数平方的集合s2的元素是一样多的。人们称伽利略悖论,可以表示如下：一方面从常识来看，s1的元素显然比s2的元素多。因为从12到22就少了2、3两个数，从22到32缺少5、6、7、8四个数，一般地从n2到（n+1）2就缺少2n个正整数；另一方面从上面所列的一一对应关系来看，s1与s2的元素确实是一样多的，或者说s1的元素并不比s2的元素多。当时，人们用有限数的眼光来看待无限数的关系，无法理解这种奇特的现象，所以称它为伽利略悖论。这个悖论说明什么呢？在无穷集合中，整体可以与部分相等，或者说整体

31、不大于部分。这说明我们不能把有穷情况下得出的结论，不加限止地推广到无穷的情况，说明我们以前对整体与部分的关系的认识是有条件的，不是普遍有效的。 在部分（局部）与整体的关系，分形几何已经揭示出一个重要特点：自相似，即取分形上任意一小部分加以放大，就可以发现部分与整体是相似的。这种自相似可以是严格的或有规律的，也可以是近似的或统计的。因此，自相似性为我们理解部分与整体的辩证关系提供了新的科学依据。 对于传统的和分形理论中关于部分与整体的关系，可用图1和图2表示：图1图2 可以看到：由部分是以自身同等的方式存在于整体之中的传统看法，进而认识到部分以与整体相似的方式存在于整体之中。这是人类认识史上的一

32、大进步，具有深远的哲学意义。分形形成的方法 图形迭代 函数迭代 迭代函数系统（ifs）图形迭代生成分形 给定初始图形 ，依照某一规则 对图形反复作用 得到图形序列 其极限图形是分形，作用规则 称为生成元。 R,.1 , 0,1kRFFkk.,21FFR0F例如，Cantor 集的生成元是Van Koch 雪花曲线的生成元是其它实例2、Minkowski “香肠”3、Sierpinski地毯4、龙曲线5、Hilbert曲线6、花草树木(L系统） 生物学家Lindenmayer提出。一个L系统可表示为一个有序的三元素集合：其中：V是一些运动过程集合， w是初始形状， P是生成式。PwVG, 例如，

33、F表示向前距离d, +表示左转弯a, -表示右转弯，表示压栈，表示出栈。 FFFFFFPFwFV:,函数迭代产生的分形用Z表示复数，定义在复平面上的函数 f(Z)称为复变函数。任意给定初始复数值 ，定义复数序列对于什么样的初始值 ，复数序列收敛或有界？nZ0Z0Z) 1 (, 2 , 1 , 0),(1nZfZnn Julia集 考虑复变函数迭代固定复参数 c，使得迭代序列有界的初值 在复平面上的分布图形称为Julia集，亦即 迭代序列 有界)2(, 1 ,0,21ncZZnnnZ0ZnZ|0ZJc Mandelbrot集 固定初值 ，使得迭代序列（2）有界的参数 c 在复平面上的分布图形称为

34、 Mandelbrot集。即 迭代序列 有界 记 则（2）变为0ZqipcyixZ,) 3(21221qyxypyxxnnnnnnnZ|0cJZ Julia 集的绘制方法：1、设定初值 p,q, 最大的迭代次数 N, 图形的大小 a,b, 及使用的颜色数 K.2、设定区域的界值 3、将区域 分成 的网格，分别以每个网格点为初值 利用（3）做迭代。如果对所有的 都有 ，则将象素(i, j) 置为黑色。如果从某一步 n 开始，则将象素 (i,j)置为颜色 n mod K。), 2max(22qpM,MMMMRba),(00yxNn 222Myxnn222Myxnn分形的计算机生成分形的计算机生成

35、L系统：字符串替换算法系统：字符串替换算法 (1) 字符串替换算法的主要思想字符串替换算法的主要思想 例 已知科赫曲线的初始元是“”，生成元是“”请按字符串替换法的规则约定记号，写出其初始元和生成元的字符串，产生出其第二步图形的字符串,并画出其图形. 解：约定如下记号： a：沿逆时针方向旋转b：沿顺时针方向旋转 c：从当前点沿当前方向画一长度为L的线段 则初始元“” 可用字符表示为“c”. 生成元 “”可用字符串表示为“cacbbcac”. 将以上字符串“cacbbcac”中的“c”再用字符串“cacbbcac”替换，便得第二步图形的字符串： E(2)$=cacbbcacacacbbcacbb

36、cacbbcacacacbbcac.迭代函数系统（ifs） 是一种绘制分形图的方法，即所谓的随机函数跌代系统。具体说明在程序里有。简单的讲，图形的生成受几条简单规则的制约，每种规则都是一个仿射变换。什么是仿射变换？不严格的讲，就是一种照哈哈镜的变换。我们知道，对一个平面图形可以施加旋转、平移、缩放的变换，一般来讲，这种变换都可以用坐标变换的方式写出来： x=ax+by+c y=dx+ey+f 这其中，a,b,c,d,e,f都是系数，x,y为图形原来的坐标，x,y为经过变换得到的新坐标。不同的系数会对图形进行不同的变换，包括平移、旋转、缩放，如果x方向和y方向的缩放比例不一样，那么就会对图形产生

37、某种扭曲，因此，总体上来讲，这种对图形的变换就象是照哈哈镜一样。 对一个图形进行一组（即多个）这样的变换，并且，让计算机以一定的概率选择这些规则。那么就能产生我们看到的分形图。这似乎有些神奇。为什么变换就能产生分形图呢？让我们以“金字塔”为例进行说明。 考虑上面的三角形，从左边的大三角形变成右边的三个小三角形，显然，这是受三条规则同时制约的，考虑规则1。它是先把大三角形缩小一半（假设以大三角形的左下角为原点坐标），然后再往上平移一半，往右平移sqrt(3)/4，sqrt(3)表示根号3。因此，规则1就可以写为： x=0.5x+sqrt(3)/4 y=0.5y+1/2 另外的两条规则也可以写成这样的形式。接下来，我们就要接着对三个小三角进行变形。考虑最上面的小三角，我们应用规则1变换，即先缩小一半，然后再平移，这跟在上一步中把大三角形运用规则1的效果是一样的，对其它两个小三角形运用规则1我们就能得到下面的图： 运用规则