框图化简、梅逊公式习题

1、框图化简、梅逊公式习题框图化简、梅逊公式习题BAC求下列由弹簧-质量-阻尼器组成的机械系统传递函数。 (a) (b)mkf例例 绘制如图所示绘制如图所示 RC 无源网络的结构图无源网络的结构图 RC无源网络无源网络 解解 将无源网络视为一个系统，将无源网络视为一个系统，组成网络的元件就对应于系统的组成网络的元件就对应于系统的元部件。应用复阻抗概念，根据元部件。应用复阻抗概念，根据基尔霍夫定律写出以下方程：基尔霍夫定律写出以下方程： 按照这些方程可分别绘制相按照这些方程可分别绘制相应元件的方框图如图应元件的方框图如图(a) - (d)所所示。然后用信号线按信号流向示。然后用信号线按信号流向依次将

2、各方框连接起来，便得依次将各方框连接起来，便得到无源网络的结构图，见图到无源网络的结构图，见图(e).图图 RC无源网络结构图无源网络结构图2 结构图的等效变换和简化结构图的等效变换和简化 复杂系统结构图，其方框间的连接是错综复杂的，但复杂系统结构图，其方框间的连接是错综复杂的，但方框间的基本连接方式只有方框间的基本连接方式只有串联、并联和反馈串联、并联和反馈连接三种。连接三种。 在简化过程中应在简化过程中应遵循变换前后变量关系保持等效的原遵循变换前后变量关系保持等效的原则则，例：化简下列系统结构图，并求出传递函数 。解：最终结果：例例 试简化如图的结构图试简化如图的结构图,并求系统传递函数并

3、求系统传递函数C(s)/R(s).系统结构图系统结构图42GH1G2G3G4G3H1H)(sR-_)(sC1G2G3G4G3H2H1H)(sR-_)(sC1G2G42GH1H)(sR_)(sC343431HGGGG1G3H)(sR_)(sC2323434321HGGHGGGGG)(sR)(sC1432123234343211HGGGGHGGHGGGGGG)()()()()()()()()()()(1)()()()()(143213432324321sHsGsGsGsGsHsGsGsHsGsGsGsGsGsGs例例 试简化下图结构图试简化下图结构图,并求系统传递函数并求系统传递函数C(s)/R(

4、s). 系统结构图系统结构图 解解 在图中由于在图中由于G1(s)与与G2(s)之间有交之间有交叉的比较点和引出点，不能直接进行叉的比较点和引出点，不能直接进行方框运算，但也不可简单地互换其位方框运算，但也不可简单地互换其位置。最简便方法是按规则置。最简便方法是按规则(5)和规则和规则(8)分别将比较点前移分别将比较点前移,引出点后移；然后引出点后移；然后进一步简化直至求得系统传递函数。进一步简化直至求得系统传递函数。25 首先将首先将 间的引出点后移到方框的输出端间的引出点后移到方框的输出端 34,GsGs 3Gs 3Hs R s 4Gs C s 2Gs 1Gs 3Hs 1HsH2(s) 3

5、Gs 3Hs R s 4Gs C s 2Gs 1Gs 3Hs 1Hs 41 GsH2(s)例 化简系统的结构图，求传递函数。 26 接着将接着将 组成的内反馈网络简化，其等效传组成的内反馈网络简化，其等效传递函数为递函数为 343,GsGsHs 34343431Gs GsGsGs Gs Hs 34Gs R s C s 2Gs 1Gs 1Hs 34HsGsH2(s)/G4(s) 3Gs 3Hs R s 4Gs C s 2Gs 1Gs 3Hs 1Hs 41 GsH2(s)27 得到图为得到图为 34Gs R s C s 2Gs 1G s 1Hs 34HsGsH2(s)/G4(s) 3Gs 3Hs

6、R s 4Gs C s 2Gs 1Gs 3Hs 1Hs 41 GsH2(s)28 得到图为得到图为 然后将然后将 组成的内反馈网络简化，其等组成的内反馈网络简化，其等效传递函数为：效传递函数为： 23424,GsGsHsGs 234233432321Gs Gs GsGsGs Gs HsGs Gs Hs R s C s 23Gs 1Gs 1Hs 34Gs R s C s 2Gs 1Gs 1Hs 34HsGsH2(s)/G4(s)( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )1234232343123411AGs Gs Gs GsGsGs Gs H

7、sGs Gs HsGs Gs Gs Gs Hs=+ R s C s 23Gs 1Gs 1Hs最后将求得其传递函数为：最后将求得其传递函数为： 234233432321Gs Gs GsGsGs Gs HsGs Gs Hs其中：其中：Pk从从R(s)到到C(s)的第的第k条前向通路传递函数条前向通路传递函数梅逊公式介绍梅逊公式介绍 R-CC(s)R(s)=Pkk:称为系统特征式称为系统特征式=1- La+ LbLc-LdLeLf+其中其中:所有单独所有单独之和之和LaLbLc所有两两互不接触回路增益乘积之和所有两两互不接触回路增益乘积之和LdLeLf所有三个互不接触回路增益乘积之和所有三个互不接触

8、回路增益乘积之和k称为第称为第k条前向通路的余子式条前向通路的余子式求法求法: 去掉第去掉第k条前向通路后所求的条前向通路后所求的梅逊公式例梅逊公式例R-CR(s)C(s)L1= G1 H1L2= G3 H3L3= G1G2G3H3H1L4= G4G3L5 = G1G2G3L1L2= (G1H1) (G3H3) = G1G3H1H3L1L4=(G1H1)(G4G3)=G1G3G4H1P1=G1G2G31=1 G4(s) H1(s)H3(s) G1(s) G2(s) G3(s) G1(s) G2(s) G3(s) G1(s) G2(s) G3(s) G1(s) G2(s) G3(s)G4(s)G

9、3(s)P2= G4G32=1+G1H1G4(s)G3(s)C(s)R(s)=?用梅逊公式求下图中信号流图的传递函数。用梅逊公式求下图中信号流图的传递函数。解解：（：（1）找出上图中所有的前向通路）找出上图中所有的前向通路 只有一条前向通路只有一条前向通路 （2）找出系统中存在的所有的回路）找出系统中存在的所有的回路 共有三个回路，三个回路的传输之和为共有三个回路，三个回路的传输之和为 （3）这三个回路都存在公共节点，即不存在不接触回路。故系统的特征方程）这三个回路都存在公共节点，即不存在不接触回路。故系统的特征方程 式为：式为：43211GGGGT 3211LLL74321543632GGG

10、GGGGGGGG74321543632111GGGGGGGGGGGL（4）由于这三个回路都与前向通路相接触，故其余因子）由于这三个回路都与前向通路相接触，故其余因子1=1。（5）故该系统的传递函数为：）故该系统的传递函数为： 743215436324321111)()(GGGGGGGGGGGGGGGTTsRsY 解. 本题信号流图为 1G1G2G3G4-H1-H2-H3-H41( )R s( )C s-111234PGG G G1233LG G H 21232LGG G H 312341LGG G G H4344LG G H 12341 ()LLLL 11 11234PGG G G1233LG

11、 G H 21232LGG G H 312341LGG G G H4344LG G H 112342331232344123411nkkkPCPRGG G GG G HGG G HG G HGG G G H12341 ()LLLL 11 例：使用Mason公式计算下述结构图的传递函数)()(,)()(sRsEsRsC解：在结构图上标出节点，如上。然后画出信号流图，如下：+-1G2G3G4G1H2HRECRCE1G2G3G1H2H21HH4G梅梅森森公式公式回路有三，分别为：有两个不接触回路，所以：213212311,HHGGGHGHG213121321231111HHGGHHGGGHGHGLL

12、Lcba11211, 1HG21312132123111431433212111HHGGHHGGGHGHGHGGGGGGGGPPkkk求 ：前向通道有二，分别为:)()(sRsC,3211GGGP 432GGP RCE1G2G3G1H2H21HH4G梅梅森森公式公式回路有三，分别为：有两个不接触回路，所以：213212311,HHGGGHGHG213121321231111HHGGHHGGGHGHGLLLcba11211, 1HG21312132123111431433212111HHGGHHGGGHGHGHGGGGGGGGPPkkk求 ：前向通道有二，分别为:)()(sRsC,3211GGG

13、P 432GGP RCE1G2G3G1H2H21HH4G梅梅森森公式公式例：使用Mason公式计算下述结构图的传递函数)()(,)()(sRsEsRsC解：在结构图上标出节点，如上。然后画出信号流图，如下：+-1G2G3G4G1H2HRECRCE1G2G3G1H2H21HH4G回路有三，分别为：有两个不接触回路，所以：213212311,HHGGGHGHG213121321231111HHGGHHGGGHGHGLLLcba11211, 1HG21312132123111431433212111HHGGHHGGGHGHGHGGGGGGGGPPkkk求 ：前向通道有二，分别为:)()(sRsC,3

14、211GGGP 432GGP RCE1G2G3G1H2H21HH4G梅梅森森公式公式回路有三，分别为：有两个不接触回路，所以：213212311,HHGGGHGHG213121321231111HHGGHHGGGHGHGLLLcba11211, 1HG21312132123111431433212111HHGGHHGGGHGHGHGGGGGGGGPPkkk求 ：前向通道有二，分别为:)()(sRsC,3211GGGP 432GGP RCE1G2G3G1H2H21HH4G梅梅森森公式公式 前向通路有两条：前向通路有两条： ，没有与之不接触的回路：，没有与之不接触的回路： ，与所有回路不接触：，与

15、所有回路不接触： 解：解：三个回路：三个回路： R G1 G2 G3 H2 -H2 -H1 C G4221HGL 2212HGGL 1323HGGL 22113222aHGGHGGHG1L1 3211GGGP 42GP 11 2422113222321n1kkkGHGGHGGHG1GGGP1) s (G 例：例：已知系统信号流图，求传递函数。已知系统信号流图，求传递函数。 回路相互均接触，则：回路相互均接触，则：f求传递函数求传递函数 X4/X1及及 X2/X1。bcgegdLa degcbLL1,1,. 1212141 dabcfpaefpXXdeg1)1()(1221114 bcgegda

16、bcfdaefppXXdapXX 1,. 21121deg1)1(11112 bcgegddapXX例例 已知系统信号流图，已知系统信号流图，deg1 bcgegd则则解：解：三个回路三个回路有两个互不接触回路有两个互不接触回路HRBC1G2G3G4G1A2A系统方块图系统方块图 解解：用小圆圈表示各变用小圆圈表示各变量对应的节点量对应的节点在比较点之后的引出点在比较点之后的引出点 21,AA只需在比较点后设置一个节只需在比较点后设置一个节点便可。也即可以与它前面点便可。也即可以与它前面的比较点共用一个节点。的比较点共用一个节点。 在比较点之前的引出点在比较点之前的引出点B，需设，需设置两个节

17、点，分别表示引出点和置两个节点，分别表示引出点和比较点，注意图中的比较点，注意图中的 1e2eR1e1-H2G1G3G4G1e2e例例求图（求图（a）所示信号流图的总增益）所示信号流图的总增益)()(15sXsX(a)1x2x3x4x12a23a34a42a32a45a44a5x35a52a(b)1x2x3x4x5x11453423121aaaaP(c)2x1x3x5x44235231211 aaaaP例例(d)互不接触(e)(f)(g)互不接触2x2x2x2x3x3x4x4x5x5x32231aaL 4234232aaaL 443aL 524534234aaaaL 5235235aaaL 4

18、4322312aaaL 4452352322aaaaL (a)1x2x3x4x12a23a34a42a32a45a44a5x35a52a(a)1x2x3x4x12a23a34a42a32a45a44a5x35a52a445235234432235235235234234442342332233523124445342312)(1)1 (aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaP利用利用Masons gain formula 求图所示系统的闭环传递求图所示系统的闭环传递函数。函数。123456R(s)C(s)1G2G3G4G6G5G7G1H2H解：解：前向通路有前向通路有3个个 1

19、6543211543211GGGGGP165421254612GGGGP143721316321HGGGGP某系统的信号流图 例例4个单独回路141454HGL27222632HGGL2546326542HGGGL254324265432HGGGGL21LL 与互不接触2172412HHGGGL21754254322546272111HHGGGHGGGGHGGGHGGHG51 例例 试求信号流图中的传递函数试求信号流图中的传递函数C(s)/R(s) 。RCG1K 1 1 1G2G3 1 解：解： 单回路：单回路： G1 ， G2 ， G3 ， G1G2两两互不接触回路两两互不接触回路: G1和

20、和 G2 ， G1和和 G3 ， G2和和 G3 ， G1G2和和 G3 52RCG1K 1 1 1G2G3 1三个互不接触回路三个互不接触回路: G1 ， G2和和 G3 前向通道：前向通道：P1 = G1 G2G3 K 1 = 1 P2 = G2G3 K 2 = 1 + G1P3 = G3 K 3 = 1 + G2 RCG1K 1 1 1G2G3 1P4 = G2 ( 1)G3 K 4 = 1 G2G3G4G5G6G1G7G9H2H3G8H1R(s)C(s)R(s)C(s)G9G1G2G3G4G5G6G711-H1-H2-H31G8R(s)C(s)G8G9G1G2G3G4G5G6G711-

21、H1-H2-H3第一条前向通路增益 P1=G1 G2 G3 G4 G5 G61R(s)C(s)G8G9G1G2G3G4G5G6G711-H1-H2-H3第一条前向通路增益 P1=G1 G2 G3 G4 G5 G6第二条前向通路增益 P1=G1 G2 G81R(s)C(s)G8G9G1G2G3G4G5G6G711-H1-H2-H3第一条前向通路增益 P1=G1 G2 G3 G4 G5 G6第二条前向通路增益 P2=G1 G2 G81第三条前向通路增益 P3=G1 G7 G4 G5 G6R(s)C(s)G8G9G1G2G3G4G5G6G711-H1-H2-H31第一条前向通路增益 P1=G1 G2

22、 G3 G4 G5 G6第二条前向通路增益 P2=G1 G2 G8第三条前向通路增益 P3=G1 G7 G4 G5 G6第四条前向通路增益 P4=G1 G2 G3 G4 G9 G6R(s)C(s)G8G9G1G2G3G4G5G6G711-H1-H2-H3第一条前向通路增益 P1=G1 G2 G3 G4 G5 G6第二条前向通路增益 P2=G1 G2 G8第三条前向通路增益 P3=G1 G7 G4 G5 G6第四条前向通路增益 P4=G1 G2 G3 G4 G9 G61第五条前向通路增益 P5=G1 G7 G4 G9 G6还有没有前向通路啦？R(s)C(s)G8G9G1G2G3G4G5G6G71

23、1-H1-H2-H31第一条回路增益 L1= - G4 H1注意：要考虑负号！R(s)C(s)G8G9G1G2G3G4G5G6G711-H1-H2-H31第一条回路增益 L1= - G4 H1第二条回路增益 L1= - G6 H2R(s)C(s)G8G9G1G2G3G4G5G6G711-H1-H2-H31第一条回路增益 L1= - G4 H1第二条回路增益 L1= - G6 H2第三条回路增益 L3= - G2 G3 G4 G5 G6 H3R(s)C(s)G8G9G1G2G3G4G5G6G711-H1-H2-H31第一条回路增益 L1= - G4 H1第二条回路增益 L1= - G6 H2第三

24、条回路增益 L3= - G2 G3 G4 G5 G6 H3第四条回路增益 L4= - G2 G3 G4 G9 G6 H3R(s)C(s)G8G9G1G2G3G4G5G6G711-H1-H2-H31第一条回路增益 L1= - G4 H1第二条回路增益 L1= - G6 H2第三条回路增益 L3= - G2 G3 G4 G5 G6 H3第四条回路增益 L4= - G2 G3 G4 G9 G6 H3第五条回路增益 L5= - G7 G4 G5 G6 H3R(s)C(s)G9G1G2G3G4G5G6G711-H1-H2-H31第一条回路增益 L1= - G4 H1第二条回路增益 L1= - G6 H2

25、第三条回路增益 L3= - G2 G3 G4 G5 G6 H3第四条回路增益 L4= - G2 G3 G4 G9 G6 H3第五条回路增益 L5= - G7 G4 G5 G6 H3第六条回路增益 L6= - G7 G4 G9 G6 H3G8R(s)C(s)G9G1G2G3G4G5G6G711-H1-H2-H31第一条回路增益 L1= - G4 H1第二条回路增益 L1= - G6 H2第三条回路增益 L3= - G2 G3 G4 G5 G6 H3第四条回路增益 L4= - G2 G3 G4 G9 G6 H3第五条回路增益 L5= - G7 G4 G5 G6 H3第六条回路增益 L6= - G7

26、 G4 G9 G6 H3G8第七条回路增益 L7= - G2 G8 H3R(s)C(s)G9G1G2G3G4G5G6G711-H1-H2-H31G8两两互不接触(没有公共的节点）回路增益乘积L1 L2= G4 G6 H1 H2R(s)C(s)G9G1G2G3G4G5G6G711-H1-H2-H31G8两两互不接触(没有公共的节点）回路增益乘积L1 L2= G4 G6 H1 H2L1 L7= G2 G4 G8 H1 H3R(s)C(s)G9G1G2G3G4G5G6G711-H1-H2-H31G8两两互不接触(没有公共的节点）回路增益乘积L1 L2= G4 G6 H1 H2L1 L7= G2 G4 G8 H1 H3L2 L7= G2 G6 G8 H2 H3R(s)C(s)G9G1G2G3G4G5G6G711-H1-H2-H31G8三三互不接触回路增益乘积L1 L2 L