经济数学在极坐标系下二重积分的计算

1、AoDiirr iirrriiiiiiirrr )2(21iiiiirrrr 2)(,iiirr .)sin,cos()sin,cos(lim),(lim),(00 DiiiiiiiiiiiiDrdrdrrfrrrrffdxdyyxf 一、直系与极系下的二重积分关系一、直系与极系下的二重积分关系iiiiirrr 2221)(21i（1）面积元素变换为极系下：）面积元素变换为极系下：（2）二重积分转换公式：）二重积分转换公式：.)sin,cos(),( DDrdrdrrfdxdyyxf （3）注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下）注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下的二重积分需要进行

2、的二重积分需要进行“三换三换”： rdrddxdyDDryrxrxysincos二、二、 极坐标系下的二重积分化为二次积分极坐标系下的二重积分化为二次积分的的上上下下限限关关键键是是定定出出 , r的的上上下下限限：定定 用两条过极点的射线夹平面区域，用两条过极点的射线夹平面区域，由两射线的倾角得到其上下限由两射线的倾角得到其上下限的的上上下下限限：定定r任意作过极点的半射线与平面区域相交，任意作过极点的半射线与平面区域相交，由穿进点，穿出点的极径得到其上下限由穿进点，穿出点的极径得到其上下限将直系下的二重积分化为极系后，极系下的将直系下的二重积分化为极系后，极系下的二重积分仍然需要化为二次积

3、分来计算二重积分仍然需要化为二次积分来计算.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r Drdrdrrf )sin,cos(（1）区域如图）区域如图1, ).()(21 r具体地（如图）具体地（如图）图图1（2）区域如图）区域如图2, ).()(21 r.)sin,cos()()(21 rdrrrfd Drdrdrrf )sin,cos(AoD)(2r)(1r图图2AoD.)sin,cos()(0 rdrrrfd（3）区域如图）区域如图3, ).(0 r Drdrdrrf )sin,cos()(r图图3 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()

4、(020 rdrrrfd（4）区域如图）区域如图4).(0 rDoA,2 0)(r图图4 如果积分区域如果积分区域D为圆、半圆、圆环、扇形域等，为圆、半圆、圆环、扇形域等，或被积函数或被积函数f(x2+y2)形式，利用极坐标常能简化计算形式，利用极坐标常能简化计算.通常出现下面两类问题：通常出现下面两类问题：1.将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分，需依下列步骤进行：重积分，需依下列步骤进行：(1) 将 代入被积函数.sin,cosryrx(2) 将区域D的边界曲线换为极坐标系下的表达式，确定相应的积分限.(3) 将面积元dxdy换为

5、.ddrr2.将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的二重积分步骤与二重积分步骤与1相似，只需依反方向进行相似，只需依反方向进行.1 yx122 yx解解在极坐标系下在极坐标系下 sincosryrx所所以以圆圆方方程程为为 1 r,直直线线方方程程为为 cossin1 r,( , )d dDf x yx y 2110sincosd( cos , sin ) d .f rrr r 解解在极坐标系下在极坐标系下D：ar 0， 20.22d dxyDex y 2200ddarer r ).1(2ae 例例3 计算二重积分计算二重积分,22 Ddxdyxy

6、其中其中D是由曲线是由曲线所围成的平面区域所围成的平面区域. .解解以以1 1为半径的圆域为半径的圆域, ,xyx222 积分区域积分区域D是以点是以点(1,0)为圆心为圆心, ,如图如图. .其边界曲线的极坐标方程为其边界曲线的极坐标方程为.cos2 r于是区域于是区域D的积分限为的积分限为,22 .cos20 r所以所以Oxycos2 r 所以所以 Ddxdyxy22 Drdrdrr 2222cossin 222sin2 d 22)2cos1( d. rdrd cos202222cossin解解由对称性，可只考虑第一象限部分由对称性，可只考虑第一象限部分， 注意：注意：被积函数也要有对称性

7、被积函数也要有对称性.2222sin()d dDxyx yxy 2201sin4ddrr rr . 4 14DD 1D解解32 61 sin4 r sin2 r22()d dDxyx y 364sin22sinddrr r ).32(15 yyx422 yyx222 03 yx03 xy解解根根据据对对称称性性有有 14DD 在在极极坐坐标标系系下下)()(222222yxayx ,2cos ar 40 ,2cos0 ar 所求面积所求面积 Ddxdy 14Ddxdy22cos0044ardrda 解解根根据据对对称称性性有有 14DD 在在极极坐坐标标系系下下)(2)(222222yxayx

8、 ,2cos2 ar ,222arayx 1D由由,2cos2 arar 得交点得交点,6, aA 2cos2604aardrd 6022cos4 da.332 a故所求面积故所求面积 Ddxdy 14Ddxdy 14Drdrd 解解)0,( yx那那部部分分立立体体的的体体积积。所所截截得得含含在在圆圆柱柱面面内内的的被被圆圆柱柱面面求求球球体体例例 )0(24 8222222 aaxyxazyx倍倍，限限部部分分立立体体体体积积的的为为第第一一卦卦由由对对称称性性，所所求求体体积积4VaxyxD2:22 dxdyyxaVD 22244. ,2acos 20D r，0：在极系下：在极系下：（

9、如图）（如图）xzycos2ar o2aDdxdyyxaVD 22244从而从而rdrrada 20cos202244 2033)sin1(332da)322(3323 a 注注意意：被被积积函函数数和和区区域域的的对对称称性性.(1) 二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形直角坐标系情形 : 若积分区域为)()(,),(21xyyxybxayxD则)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若积分区域为)()(,),(21yxxyxdycyxD则xy)(1yxx Ddc)(2yxx )()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xybaD三、三、 小结小结)()(,),(21rrDDDrrfyxf)sin,cos(d),(则)()(21d)sin,cos(drrrrf极坐标系情形极坐标系情形: 若积分区域为ddrrDo)(1r)(2r(2) 计算步