GCT入学资格考试微积分实用教案

1、对新考试特点(tdin)的分析 GCT-ME重在考查获取知识的能力；重在直观分析、判断综合；考查的不是难度、深度，而是能力。（以下来自考试大纲） GCT-ME 考试数学基础能力测试宗旨： 考查考生所具有的数学方面(fngmin)的基础知识、基本思想方法，及使用所掌握数学知识和方法分析问题和解决问题的能力。 试题结构： 25道单项选择题，每题4分，时间为45分钟。内容为算术、代数、几何与三角、一元微积分、线性代数五部分（各5道题）。包括审题、涂答案和分析计算在内，平均每题2分钟不到，少量题上最长不宜超过3分钟。 命题范围： 算术、代数、几何与三角、一元微积分、线性代数的基础知识，及其在日常生活、

2、科学研究和实际工程中的应用，要求考生对所列数学知识有较深刻的理性认识。基础知识、思维方式及应用（思维方式：理性直观）第1页/共33页第一页，共34页。应有(yn yu)的基本对策 由于考查是在基础知识上的直观分析、判断综合；而且选择题适宜考查基本概念及基本计算。因此复习中应注意： 1、强调(qing dio)“正确”理解基本概念，熟练基本运算。注意概念、性质、方法、结论的变化和综合； 2、强调(qing dio)理性直观的分析问题能力，尤其是通过图形的直观分析能力； 3、注意以前有关学习中容易错，不是很清楚的地方；应试基础：以不变应万变 (不变 熟练的双基、稳定的心态);应试要领：速度；应试方

3、法： 题目读完后，先看一下四个答案的特征 (因最终要选); 能画图的尽量画个准确的图; 画不出图，四答案也不能帮助分析的，注意相关概念本质和结论。这些都不行，别忘记再看一遍已知。 注意应对选择题的多种有效方法等等。 课后：熟悉相关概念的“正确”理解和强调(qing dio)的方法.第2页/共33页第二页，共34页。第四部分(b fen) 一元函数微积分第一节 函数及其图形考试(kosh)要求 集合，映射，函数，函数的应用第3页/共33页第三页，共34页。内容综述 函数及有关概念 1、定义：设A，B是两个实数域 R 的非空子集，则A到B的对应 f： AB 称为A到B的函数。通常记作y=f(x),

4、 x A ， 或 相关概念：定义域、自变量、因变量、基本初等函数 (幂、指、对、三角(snjio)、反三角(snjio)）、初等函数、分段函数（不属初等函数）。 注意: 定义域及对应法则是两个基本要素： x本身不一定是数，也可以是函数、定积分、行列式。 x本身不一定是一个字母，也可以是复杂的形式； 确定任何函数的函数值，都必须先确定自变量的值。 2、函数的性质：有界，单调，奇偶，周期第4页/共33页第四页，共34页。例1 已知 f(x+1)=x2+1，求f(x)的表达式例2 已知例3 设函数(hnsh)f(x)的定义域是 ，且f(x)的图形 关于直线x=a与x=b对称(ab)，求f(x)的周期

5、。 例4 研究下列函数(hnsh)的奇偶性： (1) (2)例5 已知函数(hnsh)f(x)的周期是2，求函数(hnsh) 的周期。第5页/共33页第五页，共34页。第二节 数列(shli)与函数的极限考试要求 数列、函数的极限( jxin)，极限( jxin)的运算，极限( jxin)存在准则，两个重要极限( jxin)，连续，无穷大、无穷小。 第6页/共33页第六页，共34页。 1、数列与函数极限定义； 2、极限性质； 若数列(或函数)极限存在(收敛),则其极限唯一; 若数列(或函数)极限存在(收敛),则其极限有界; 3、极限运算； 4、两个重要极限; ,特别（注意核心：(1+无穷小)无

6、穷大，且三种(sn zhn)形式对应.) （注意形式对应）内容(nirng)综述第7页/共33页第七页，共34页。 5、无穷大量与无穷小量的定义与性质：定义： 时， ，称 f(x)在 时为无穷小量； 若 时， ，称 f(x)在 时为无穷大量；注意： 1都是指函数值是否具有某种趋势: 能越来越接近 0 (或)，是变化的量； 2区别(qbi)无穷大量与无界量. 如性质：有限个无穷小量的代数和、积仍为无穷 小；无穷小量与有界量的积为无穷小。第8页/共33页第八页，共34页。 6、无穷小量的比较及等价无穷小的替换； 定义(dngy)： 注意条件x*,则 (注意分子 分母整体替换)第9页/共33页第九页

7、，共34页。 7、函数连续的定义： 若 ，则称y=f(x)在点x0连续。 即f(x)在x0点连续 “连续”的核心(hxn)要素：f(x0)存在; ; 三者相等. 8、连续函数在闭区间上的性质(1) 闭区间上连续，则闭区间上有界;(2) 闭区间上连续，则闭区间上有最大、最小值;(3) 闭区间a, b上连续, f(a)f(b), 对f(a)，f(b)之间任一数，有c，使f(c)= . 介值定理(4) 闭区间a, b上连续, f(a)f(b)0, c(a, b), 使f(c)=0.第10页/共33页第十页，共34页。例1 1 下列极限正确的是 A. A. ，0ab. B.0a2 f(x)2 ； C.

8、 f(1)=4 D. C. f(1)=4 D. 在x=1x=1附近(fjn)( )(fjn)( )，f(x)5 .f(x)5 .例4 4 已知函数 在上(-, + )(-, + )连续， 求a a，b b的值。 第11页/共33页第十一页，共34页。例4* 设 ，在(-, + )上连续，则a= A. ln2 B. 0 C.2 D.任意实数 例5 设 x0 时， 是比 高阶的无穷小，其中(qzhng)a，b，c是常数，则a= , b= , c= ?例6 的草图是：A B C D 第12页/共33页第十二页，共34页。第三节 导数(do sh)(do sh)与微分 考试要求 导数的概念，求导法则(

9、fz)及基本求导公式，高阶导数，微分。第13页/共33页第十三页，共34页。内容(nirng)综述1、导数的定义记号：y=f(x)在x0点的导数，记为含义：(x只是形式, 是无穷小量, 分子与分母一致, 趋于) 注：某点x0点处可导（有导数）的要素 f(x0)存在； f(x)在x0点的左导数 ，右导数 存在且相等.2、导数的几何意义(yy):曲线上该点切线斜率、变化速度第14页/共33页第十四页，共34页。3、导数公式及导数四则运算；4、求导法则 （1）复合(fh)函数求导：思路：拆分成若干层，使每一层能直接使用基本导数公式或四则运算法则如： （2）隐函数导数x与y的对应关系由F(x, y)=

10、0确定（隐函数）。如 思路：一个变量作自变量，其余看成自变量的函数5、高阶导数；第15页/共33页第十五页，共34页。6、微分 定义： x，xx f(x)的定义域，相应函数的改变量有，y= f(xx )- f(x)= Ax o(x)其中A是不依赖于x的常数，o(x)是比x高阶的无穷小量，Ax 称为函数y=f(x)在点x处相应于x的微分，记为dy dy= f (x)x = f (x)dx 微分的几何意义 函数在某点的微分，是函数对应曲线上该点切线(qixin)上相应于x的增量第16页/共33页第十六页，共34页。例1 f(x)在 可导，求下列极限 （1） （2）例2 将(a)(d)中的函数与图中

11、IIV的导函数图形(txng)匹配a b c dI II III IV第17页/共33页第十七页，共34页。例3 f(x)在(-, +)内可导，f(-x)=-f(x)， 则 A. k B. -k C. 0 D. 例4 确定了y=y(x)，求 在x=0处的切线和法线(f xin)方程。例5 可导偶函数的导函数是奇函数； 可导奇函数的导函数是偶函数； 周期为T的可导函数的导函数是以T为周期的函数。第18页/共33页第十八页，共34页。第四节 微分(wi fn)(wi fn)中值定理与导数应用 考试要求(yoqi) 中值定理，导数应用。 第19页/共33页第十九页，共34页。内容(nirng)综述1

12、 1、中值定理（理论性强，了解）（图示）： 罗尔定理：f(x)f(x)在a, ba, b上连续，(a, b)(a, b)上可导，且 f(a)=f(b) f(a)=f(b)，则有(a, b), (a, b), 使 f ()=0. f ()=0.即在(a(a，b)b)中有点的切线(qixin)(qixin)平行于x x轴。 拉格朗日中值定理：f(x)f(x)在a, ba, b上连续, (a, , (a, b)b)上可导, , 则有(a, b), (a, b), 使f(b)f(b)f(a)= f f(a)= f ()(b()(ba)a)即此时(a(a，b)b)中有点的斜率等于直线ABAB的斜率。 第

13、20页/共33页第二十页，共34页。2、导数(do sh)的应用（重要） 洛必达法则： 作用：不定式求极限方法（不定式： ， ，或可化为这两种型式的极限计算问题） 条件：1f (x), g(x) 极限点附近存在; 2g(x)0; 3 存在. 法则： 注意：1注意先简化再求导，及边简化边求导; 2整个分式是 ， ，先化成单一分式.第21页/共33页第二十一页，共34页。 函数的单调性与极值点： 1 1单调性定义：单增: x1 x2, f(x1)f(x2); : x1 x2, f(x1)f(x2); 单减: x1 : x1 x2, f(x1)f(x2)x2, f(x1)f(x2) 单调性判定： f

14、(x) f(x)在(a, b)(a, b)内可导, , 则 f(x) f(x)在(a, b)(a, b)内单调增( (减) ) 2 2极值点定义: :任给xx|0|x-x0|, f(x) f(x0), xx|0|x-x0|, f(x) f(x0), 则x0 x0是极大值点, ,任给xx|0|x-x0| f(x0), xx|0|x-x0| f(x0), 则x0 x0是极小值点. . 极值点特性：双侧，局部 极值点来源(liyun)(liyun)：导数为零的点, ,或导数不存在的点. .第22页/共33页第二十二页，共34页。 极值点判定: . f(x)在x0的空心领域内可导时x0，x x0，f

15、(x) 0，x0为极大值点;Xx0，f (x) x0，f (x) 0，x0为极小值点.x0两侧 f (x) 同号，x0不是(b shi)极值点。 . f(x)在x0处有二阶导数, f (x)=0, f (x)0 x0附近，f (x)0， x0为极小值点。（记：大小，小大）第23页/共33页第二十三页，共34页。 函数的凹凸性与拐点： 1 1凹凸性定义：曲线上切线与曲线的位置. . 凹凸性判定: f(x): f(x)在区间I I上二阶可导, , 则 f f (x) 0(x) 0，f(x)f(x)在I I上凹的; ; f (x) 0 f (x) 0，它是可微函数(hnsh) f(x)的反函数(hn

16、sh) (其中x0),且恒有 则函数(hnsh) f(x)= A. B. C. -1 D. 例8 设f(x)和g(x)在(-, + )上可导，且f(x) g(- x) B. C. D. 第31页/共33页第三十一页，共34页。例9 设 ，则 （A）I0 (B) I=0 (C) I= (D) 例10 f(x)，g(x)是连续函数，且 ，（ab），则必有 （A）曲线y=f(x) 与y=g(x) 在a，b上重合；（B）曲线y=f(x) 与y=g(x) 仅在x= a与x=b上相交；（C）曲线y=f(x) 与y=g(x) 在a，b上至少(zhsho)有一个交点；（D）不能确定曲线y=f(x) 与y=g(x) 在a，b上是否有