第七次课 激光原理

1、本章任务本章任务弄清楚激光模式的基本特征弄清楚激光模式的基本特征了解其与腔的结构之间的具体依赖关系了解其与腔的结构之间的具体依赖关系每个模的电磁场分布特别是每个模的电磁场分布特别是在腔横截面内的场分布在腔横截面内的场分布模的谐振频率模的谐振频率每个模在腔内往返一次经受每个模在腔内往返一次经受的相对功率损耗的相对功率损耗与每一个模相对应的激光束与每一个模相对应的激光束的发散角的发散角只要知道了腔的参数，就可以唯一地只要知道了腔的参数，就可以唯一地确定模的上述特征确定模的上述特征稳定腔稳定腔非稳腔非稳腔临界腔临界腔光学谐振腔光学谐振腔第三章第三章 光学谐振腔光学谐振腔 共焦腔共焦腔 R1=R2=L

2、，f1=f2=R/2M1M2共焦腔的结构参数是怎样的？共焦腔的结构参数是怎样的？共焦谐振腔的特点：共焦谐振腔的特点：1）镜面较易安装、调整；）镜面较易安装、调整；2）较低的衍射损耗；）较低的衍射损耗；3）一般应用于连续工作的激光器）一般应用于连续工作的激光器其输出的光束其输出的光束是平面波还是是平面波还是球面波呢？球面波呢？对称共焦腔属于对称共焦腔属于哪种腔型？哪种腔型？临界腔临界腔一、均匀平面光波一、均匀平面光波其电矢量的空间变化部分为：其电矢量的空间变化部分为：0( , , )iKzE x y zA e特点：特点： 振幅振幅A0与与x，y无关，即在垂直于无关，即在垂直于z轴的平面上光强均匀

3、；轴的平面上光强均匀； 等相面是垂直于等相面是垂直于z轴的平面，该面上各点的振幅相等，相位轴的平面，该面上各点的振幅相等，相位相同。相同。光束光束波面（等相面）波面（等相面）二二、均匀球面光波、均匀球面光波其电矢量的空间变化部分为：其电矢量的空间变化部分为：其中，其中， 。 0( , , )iKRAE x y zeR222Rxyz特点：特点： 波阵面是以点光源波阵面是以点光源 为球心的球面，同一个球面上各点的相位为球心的球面，同一个球面上各点的相位相同，是等相面；相同，是等相面； 同一个球面上的各点，振幅相等，都是同一个球面上的各点，振幅相等，都是 。(0,0,0)0/AR点光源点光源三、高斯

4、光束三、高斯光束利用波动光学理论分析利用波动光学理论分析共焦腔共焦腔，得到一种特殊形态的光波，其沿，得到一种特殊形态的光波，其沿z z轴轴传播的电矢量为：传播的电矢量为：222202()( , , )expexp( )( )( )2 ( )AxyxyE x y zikzizW zWzR z在在z处的波阵面曲率半径处的波阵面曲率半径与与z有关的有关的相位因子相位因子z z点处的光斑半径点处的光斑半径这是什么样的光波这是什么样的光波呢？呢？其中其中A A0 0为原点（为原点（Z=0Z=0处）的中心光振幅。处）的中心光振幅。 2202xyAE x,y,zexpW zWz则：则：1 1、振幅分布、振幅

5、分布2 2、光束截面的光强分布光束截面的光强分布 2222xy22WzoAI x,y,zE x,y,zeW z 3、光斑半径、光斑半径高斯光束的腰粗高斯光束的腰粗122020( )1 ()zW zWW0)0(WW20Wf共焦参数共焦参数0fW腰斑半径腰斑半径光斑大小变化规律光斑大小变化规律 222201zWzWfz2W02WZ0束腰处（束腰处（Z=0Z=0处）光斑半径：处）光斑半径：镜面处（镜面处（Z=f=Z=f=L L处）光斑半径：处）光斑半径：022WLWsZ Z值越大，值越大，W(Z)W(Z)呈非呈非线性增大，所以，线性增大，所以，高斯光束是发散的。高斯光束是发散的。4. 4. 高斯光束

6、发散角高斯光束发散角 时，时， ；0z 20 时，时， 。z 022/W远场发散角远场发散角 时，时， ；20/zW022/Wz2W02WZ21222200( )222WdW zzzdzW-1/2定义：定义：高斯光束的发散角高斯光束的发散角22等等于光斑直径于光斑直径2W(z)2W(z)对传播对传播距离距离Z Z的变化率。的变化率。5 5、波阵面曲率半径和曲率中心、波阵面曲率半径和曲率中心220( )1WR zzz|R(z|R(z)|)| 相等，共焦腔光束的波面在中心两侧对称分布，波阵相等，共焦腔光束的波面在中心两侧对称分布，波阵面为抛物面。面为抛物面。近轴波阵面可近似看做球面，其曲率中心一般

7、不在原点，随着近轴波阵面可近似看做球面，其曲率中心一般不在原点，随着Z Z的取值从大到小，波面曲率中心距原点的距离由小增大。的取值从大到小，波面曲率中心距原点的距离由小增大。 zRz无穷远处，等相位面为无穷远处，等相位面为平面平面 zRz0共焦腔中心，波面为垂直腔轴的共焦腔中心，波面为垂直腔轴的平面平面zz LfzRLfz22波面与共焦腔镜面重合波面与共焦腔镜面重合共焦腔高斯光束最小等相面曲率半径共焦腔高斯光束最小等相面曲率半径R Rminmin：2fR(z)zz 令令dR(z)0dz，则有：z= f。即即Z=Z=f f时，等相面半径有极小值时，等相面半径有极小值2minR=Rff。 最小等相

8、面相对束腰最小等相面相对束腰Z=0Z=0左右对称，且其等相面球心位于共焦腔左右对称，且其等相面球心位于共焦腔镜面位置，在这里，我们将镜面位置，在这里，我们将f f定义为基模高斯光束的定义为基模高斯光束的共焦参数（瑞利共焦参数（瑞利长度），长度），也称共焦参数也称共焦参数f f为高斯光束的为高斯光束的准直区准直区。 由于基模的光斑随由于基模的光斑随Z Z而变化，因此通常由下式估计共焦腔基模的模体积：而变化，因此通常由下式估计共焦腔基模的模体积：0220011VL22osWL共焦腔高阶模的模体积与基模模体积之间的关系：共焦腔高阶模的模体积与基模模体积之间的关系： 00002121mnVmnV 横模

9、体积横模体积有贡献的激发态粒子数有贡献的激发态粒子数输出功率输出功率w0s6、横模体积、横模体积横模模式在腔内所扩展的空间范围横模模式在腔内所扩展的空间范围 总结：共焦腔中基模高斯光束的特点总结：共焦腔中基模高斯光束的特点 （1 1）基模高斯光束在其传输轴线附近可近似看作是一种非均匀球面）基模高斯光束在其传输轴线附近可近似看作是一种非均匀球面波，波，焦点和无穷远处的等相位面为平面，其他各处近似为球面，在反焦点和无穷远处的等相位面为平面，其他各处近似为球面，在反射镜处等相位面与镜面重合。射镜处等相位面与镜面重合。其曲率中心随着传输过程而不断改变，其曲率中心随着传输过程而不断改变，曲率半径为：曲率

10、半径为：22oWR(z)z 1z LfzRLfz22min zWyxezWAzyxE222000, （2）基模场振幅为高斯分布基模场振幅为高斯分布高斯光束为变心球面波。高斯光束为变心球面波。镜面上 0sLW zWfW 22200211122sWLzzzW zWfff腰斑尺寸22220( )1WzzWf 基模光斑尺寸 002WWs（3 3）基模高斯光束）基模高斯光束沿沿Z Z轴（腔轴）方向轴（腔轴）方向光斑半径为：光斑半径为：基模光斑尺寸沿腔轴以双曲线规律变化，焦点处光斑尺寸最小。基模光斑尺寸沿腔轴以双曲线规律变化，焦点处光斑尺寸最小。0fW（5 5）共焦腔高斯光束的基本特征唯一地由焦距共焦腔高

11、斯光束的基本特征唯一地由焦距 f f 决定决定, , 与反射镜与反射镜尺寸尺寸a a 无关。参数无关。参数 f f 或或 w w0 0 是表征共焦腔高斯光束的特征参数。是表征共焦腔高斯光束的特征参数。（6 6）每一横模的衍射损耗由腔的菲涅耳数决定，不同横模的损耗各）每一横模的衍射损耗由腔的菲涅耳数决定，不同横模的损耗各不相同。不相同。1222200( )222WdW zzzdzW-1/2)(21)()(fz（4 4）高斯光束）高斯光束发散角发散角焦点处（焦点处（z=0）光束发散角为零；）光束发散角为零；镜面上镜面上不仅能定量地说明共焦腔振荡模本身的特征，更重要的是，它不仅能定量地说明共焦腔振荡

12、模本身的特征，更重要的是，它能被推广到整个能被推广到整个稳定球面腔稳定球面腔系统，这一推广是谐振腔理论中的系统，这一推广是谐振腔理论中的一个重大进展。一个重大进展。共焦腔理论有什么用途呢？共焦腔理论有什么用途呢？共焦腔中等位相面的分布共焦腔中等位相面的分布共焦腔面共焦腔面0z2z1zc1a2Ka1c2如何如何 推广？推广？ 由上述共焦腔中场分布的特点可知，如果在场中任意一个等相面处放置一由上述共焦腔中场分布的特点可知，如果在场中任意一个等相面处放置一个具有同样曲率半径的反射镜面，则入射在该镜面上的光波场将准确地沿着原个具有同样曲率半径的反射镜面，则入射在该镜面上的光波场将准确地沿着原入射方向返

13、回，那么共焦腔中的场分布不会受到扰动。入射方向返回，那么共焦腔中的场分布不会受到扰动。 这样我们就做成了一个新的谐振腔。由于任一共焦腔模有无穷多个等位相面，这样我们就做成了一个新的谐振腔。由于任一共焦腔模有无穷多个等位相面，因而可用这种方法构成无穷多个等价球面腔。因而可用这种方法构成无穷多个等价球面腔。可以证明：这些球面腔都是稳定腔。可以证明：这些球面腔都是稳定腔。任意一个共焦球面（或抛物面）腔与无穷多个稳定球面腔等价任意一个共焦球面（或抛物面）腔与无穷多个稳定球面腔等价反之，若有一个球面腔满足稳定条件，则必定可以找到且只能找到一个共焦腔，反之，若有一个球面腔满足稳定条件，则必定可以找到且只能

14、找到一个共焦腔，其腔所对应的行波场的两个等相位面与给定球面腔的两个反射镜面重合。其腔所对应的行波场的两个等相位面与给定球面腔的两个反射镜面重合。任意一个稳定球面腔只能与一个共焦球面腔等价任意一个稳定球面腔只能与一个共焦球面腔等价若给定一个稳定球面腔的结构参数若给定一个稳定球面腔的结构参数R1、R2、L，如何获得其腔模的特征参数呢？如何获得其腔模的特征参数呢？即如何找出腔内高斯光束束腰的位置、腰粗即如何找出腔内高斯光束束腰的位置、腰粗W0、两镜面上的光斑的大小、两镜面上的光斑的大小W1、W2，发散角、振荡频率等？，发散角、振荡频率等？等价共焦腔等价共焦腔解之得：解之得：现假定此共焦腔已经找到，如

15、下图所示。理论上我们完全可以确定该现假定此共焦腔已经找到，如下图所示。理论上我们完全可以确定该共焦腔中心的位置和它的焦距共焦腔中心的位置和它的焦距f f，而且是惟一的。，而且是惟一的。设腔镜的曲率半径设腔镜的曲率半径R1、R2等于等价共等于等价共焦腔波阵面的曲率焦腔波阵面的曲率半径半径R(z1)、R(z2)等价共焦腔等价共焦腔实际稳定腔实际稳定腔R 1R 2Z 1Z 2f 0 L 21111fR =R(-z )z1z 22222fR =R(z )z2z 21Lzz32112()2L RLzLRR1212()2L RLzLRR21212212()()()(2 )L RL RL RRLfRRL11

16、2224112110112()( )1()()zRRLLWW zWfL RL RRL112224221220212()()1()()zRRLLWW zWfL RL RRL1412120212()()()(2 )RL RL RRLLWRRL1、腔镜位置、腔镜位置3、腔镜上的、腔镜上的光斑半径光斑半径2、腔聚焦参数、腔聚焦参数4、束腰半径、束腰半径12WW非对称一般稳定腔参数：一般稳定腔参数：、对于对称稳定腔，、对于对称稳定腔， ，可得：，可得：讨论：讨论：12RRR12()z2()()2()(2)2L RLLRL RLzLRLRLf 当当L不变，求极值时，可得不变，求极值时，可得R=2f （共焦

17、腔）（共焦腔）时，时，镜面上镜面上的光斑尺寸的光斑尺寸最小最小，LW当当R一定，求极值时，可得一定，求极值时，可得L=2f（共焦腔）时的共焦腔）时的腰斑最大腰斑最大.02RW1241224( )()( )12(2)LRLzW zW zW zLLRL、对于平、对于平凹稳定腔，凹稳定腔， ， ， 可得：可得：1R 2RRRL14=1LJWJ平141=1LWJJ凹（）WW凹平实际应用中，若想获实际应用中，若想获得小光斑，则让激光得小光斑，则让激光从从平面镜输出平面镜输出。)(021LRLfLzz5、基模远场发散角、基模远场发散角将本节所得的共焦参数的表达式代入上节远场发散角的表达式，得将本节所得的共

18、焦参数的表达式代入上节远场发散角的表达式，得124121212(2 )(z)22lim=2dz()()()zRRLdWL RL RL RRL对称共焦：对称共焦：R1=R2=R=LL2半共焦：半共焦：R1=2L，R2L平凹腔：平凹腔：R1=R，R2,2LR，LR4121LRL为了获得较好的光束方向性，应该选用曲率半径较大的反射镜作为腔镜为了获得较好的光束方向性，应该选用曲率半径较大的反射镜作为腔镜6、衍射损耗衍射损耗1DN0SLWLaN2220SaNW镜面基模光斑半径镜面基模光斑半径稳定球面腔的稳定球面腔的反射镜半径反射镜半径220ieisiaNW一般稳定球面腔和等价共焦腔的等相面重合，其衍射损

19、耗服从相同的规律，一般稳定球面腔和等价共焦腔的等相面重合，其衍射损耗服从相同的规律，定义有效菲涅耳数：定义有效菲涅耳数：共焦腔共焦腔的模式理论证明：每种横模的单程衍射损耗单值地由腔的的模式理论证明：每种横模的单程衍射损耗单值地由腔的菲涅耳数决定菲涅耳数决定：镜面光斑半径镜面光斑半径反射镜半径或反射镜半径或工作物质的通光半径工作物质的通光半径好处：好处：可按共焦腔的单程损耗曲可按共焦腔的单程损耗曲线来查得一般稳定腔的损耗值线来查得一般稳定腔的损耗值方法方法：、将利用等价共焦腔求得的、将利用等价共焦腔求得的镜面基模光斑半径代入左式，镜面基模光斑半径代入左式，即可求得等效菲涅尔数即可求得等效菲涅尔数

20、可见：腔镜与镜面光斑面积的比值越大，单程衍射损耗越小。可见：腔镜与镜面光斑面积的比值越大，单程衍射损耗越小。220SaNW=由等效菲涅耳数，按共焦腔衍射损耗曲线分别查出两个镜面由等效菲涅耳数，按共焦腔衍射损耗曲线分别查出两个镜面上的损耗因子上的损耗因子 ，则平均单程损耗为：，则平均单程损耗为：21mnmn、)(2121mnmnmn 高阶横模体积高阶横模体积横模阶次横模阶次 ，模体积，模体积 类似于共焦腔横模体积的考虑方法，一般稳定球面腔的模体类似于共焦腔横模体积的考虑方法，一般稳定球面腔的模体积定义为积定义为实例实例： =10.6 m, L=1m, 2a=20mm =5.3cm3 V=314c

21、m3 / V = 5.3 / 314 = 1.7% 难以获得高功率难以获得高功率000V000Vw17、横模体积、横模体积22100221WWLV00) 12)(12(VnmVmn存在于任意谐振腔中的基模都是高斯光束，横截面上是纯存在于任意谐振腔中的基模都是高斯光束，横截面上是纯粹的高斯分布。粹的高斯分布。谐振腔中高阶振荡模是什么样的？谐振腔中高阶振荡模是什么样的？实际上，稳定腔中的高阶模也是以高斯光束的形式存在。实际上，稳定腔中的高阶模也是以高斯光束的形式存在。高阶模与基模不同的是，在横截面上的振幅分布是在高斯高阶模与基模不同的是，在横截面上的振幅分布是在高斯分布上叠加了另一种与横模指数分布

22、上叠加了另一种与横模指数m，n有关的分布函数。有关的分布函数。一、高阶横模振幅分布特征一、高阶横模振幅分布特征方形孔径共焦腔或方形孔径稳定球面腔方形孔径共焦腔或方形孔径稳定球面腔中，其横截面内的场分布由中，其横截面内的场分布由高斯函数与厄米多项式的乘积来描述，其沿高斯函数与厄米多项式的乘积来描述，其沿z z方向传输的厄米方向传输的厄米- -高斯高斯光束写为如下形式：光束写为如下形式： zyxizWrnmmnmneeyzWHxzWHzWWEAzyxE,002222,E E0 0，A Amnmn, , w w0 0 均为常数，均为常数， w w0 0 基模高斯光束腰斑半径基模高斯光束腰斑半径柱对称稳定腔（包括圆形孔径共焦腔）柱对称稳定腔（包括圆形孔径共焦腔）中，其横截面内的场分布由中，其横截面内的场分布由高斯函数与缔合拉盖尔多项式的乘积来描述，其沿高斯函数与缔合拉盖尔多项式的乘积来描述，其沿z z方向传输的拉盖方向传输的拉盖尔尔- -高斯光束写为如下形式：高斯光束写为如下形式： zyxizwrmnmmnmneezWrLzWrzWCzrE,222222,振幅振幅厄米多项式厄米多项式拉盖尔多项式拉盖尔多项式振幅振幅厄密厄密-高斯光束的