等边三角形(2)

1、温中实验学校温中实验学校 钟凌峰钟凌峰 (1) (1) 等边三角形的性质等边三角形的性质. .1.1.等边三角形的内角都相等等边三角形的内角都相等, ,且等于且等于60 60 2.2.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴. .3.3.等边三角形各边上中线等边三角形各边上中线, ,高和所对角的平高和所对角的平 分线都三线合一分线都三线合一. .(2) (2) 等边三角形的判定等边三角形的判定: :1.1.三边相等的三角形是等边三角形三边相等的三角形是等边三角形. .2.2.三个内角都相等的三角形是等边三角形三个内角都相等的三角形是等边三角形. .3.3.有一个

2、内角等于有一个内角等于60 60 的等腰三角形是等边三角形的等腰三角形是等边三角形. .猜猜 想想w1 1 操作操作: :用两个含有用两个含有30300 0角的三角尺，角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？你能拼成一个怎样的三角形？300300300300结论结论: :在直角三角形中在直角三角形中, 30, 300 0角所角所对的直角边等于斜边的一半对的直角边等于斜边的一半. .w能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由. .w由此你想到，在直角三角形中由此你想到，在直角三角形中, 30, 300 0角所对的角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？直角边与斜边有怎

3、样的大小关系？300300怎么证呢？怎么证呢？将两个含有将两个含有3030的同样的三角尺如图摆的同样的三角尺如图摆放在一起你能借助这个图形放在一起你能借助这个图形, ,找到找到RtRtABCABC的的直角边直角边BCBC与斜边与斜边ABAB之间的数量关系吗之间的数量关系吗? ?BC= AB21你会用学过的方法证明吗你会用学过的方法证明吗? ?在在直角三角形直角三角形中中, ,如果一个如果一个锐角等于锐角等于3030那么它那么它所对的直角边所对的直角边等于等于斜边的一半。斜边的一半。A）30CB数学式数学式: : ACB=Rt ,A ACB=Rt ,A3030BCBC ABAB21你能证明吗你能

4、证明吗? ?定理定理ABAD,B=60BACDAB=AD=BD( (有一个角是有一个角是6060等腰三角形是等边三角形等腰三角形是等边三角形) )21又又BC=CD= BD21BC= AB证法一证法一 B= 60 BCE是等边三角形，是等边三角形，21ACB证法二证法二证明证明：在在BA上截取上截取BE=BC，连接，连接ECEBEC= 60，A= 30， ECA= 30， AE=EC，ECA= ABE=EC=BCBE=AE=BCBC= AB已知已知 ACB=Rt ,A ACB=Rt ,A3030求证：求证：BC= ABBC= AB21DBCA在在ACB ACB 内部作内部作ACD=A=300,

5、 ,交交 ABAB于于D DADCADC是等腰三角形，是等腰三角形，BCDBCD是等边三角形是等边三角形则则DCB=B=600AD=CD=BD=BCABBC21证法三证法三证明：证明：已知已知 ACB=Rt ,A ACB=Rt ,A3030求证：求证：BC= ABBC= AB21这是一个判定两条线段这是一个判定两条线段成成倍分倍分关系的根据之一关系的根据之一. .w定理定理: :在在直角直角三角形中三角形中, , 如果有一个锐角等于如果有一个锐角等于30300 0, ,那么它所对的那么它所对的直角边直角边等于等于斜边斜边的一半的一半. .在在ABCABC中中, ,ACB=900,A=300.

6、.BC= AB.BC= AB.( (在在直角三角形直角三角形中中, 30, 300 0角所对的直角边等于斜边的角所对的直角边等于斜边的一半一半).).21ABC300应用应用比一比：看比一比：看 谁谁 算算 的的 快快1.1.如图：在如图：在RtRtABCABC中中A=30A=300 0,AB+BC=12cm,AB+BC=12cm 则则AB=_cmAB=_cm2.2.如图如图: :ABCABC是等边三角形，是等边三角形，ADBC,DEAB,ADBC,DEAB,若若AB=8cm,AB=8cm,BD=BD=，BE=_BE=_ACEBDc 2c解解:DEAC, A30 AD 2DE（在直角三角形中，

7、如果一个锐角等于在直角三角形中，如果一个锐角等于3030，那么它所对的直角边等于斜边的一半那么它所对的直角边等于斜边的一半）同理可得：同理可得： AB 2BC, AB=7.4mBC1/2 7.43.7m又又 D是是AB的中点的中点 AD1/2 AB=3.7mDE1/2 AD1/2 3.71.85m答答:立柱立柱BC的长是的长是3.7m,DE的长是的长是1.85m.例例1 11 1、已知：在、已知：在ABCABC中，中，： ： ：，：，最短边最短边cmcm求最长边的长求最长边的长?D?C?A?B2 2、已知：如图，、已知：如图，ABCABC中，中，ACB=90ACB=90，CDCD是高，是高，A

8、=30A=30，求证：求证：BD= ABBD= AB413 3、已知：在、已知：在ABCABC中，中，BACBAC9090， C=30 C=30 ，ADBCADBC于于D D，DE ABDE AB于于E E，BE=1BE=1，则，则BC= BC= 。ACBDE4 4、已知：如图，在、已知：如图，在ABC中，中，AB=AC=2a,ABC=ACB=15，CD是腰是腰AB上的高上的高求：求：CD的长的长?D?C?A?B解：解：DAC是是ABC的外角的外角DAC=ABC+ACB12CD= AC=a（在直角三角形中，如果一个锐角等于在直角三角形中，如果一个锐角等于3030，那么它所对的，那么它所对的直角

9、边等于斜边的一半）直角边等于斜边的一半） ABC=ACB=15DAC=30 CD是腰是腰AB上的高上的高挑战自我：相信你一定能行挑战自我：相信你一定能行. .如图：已知如图：已知 在在ABC ABC 中，中，A=30A=300 0， C=90C=900 0，BDBD平分平分ABC.ABC.求证：求证：AD=2DCAD=2DC. .如图，在如图，在ABCABC中中,C=90,C=900 0,B=15,B=150 0，DEDE是是ABAB的中垂线，的中垂线，BE=5,BE=5,则则AE=_,AC=_AE=_,AC=_例例2 2 求证：在直角三角形中，如果一直角边是斜边求证：在直角三角形中，如果一直

10、角边是斜边的一半，那么它所对的锐角等于的一半，那么它所对的锐角等于3030应用：应用： ACB=Rt , BC AB A3021ACB已知：如图，已知：如图，ABCABC中，中， ACB=Rt ACB=Rt ， BCBC ABAB求证：求证： AA303012要把一块三角形的土地均匀分给甲要把一块三角形的土地均匀分给甲 、 乙、丙三家农乙、丙三家农户去种植户去种植, ,如果如果CC9090，BB3030, ,要使这三家农要使这三家农户所得土地的大小和形状都相同户所得土地的大小和形状都相同, ,请你试着分一分请你试着分一分, ,在在图上画出来图上画出来. .ACBDE方法一方法一:作斜边作斜边A

11、B的垂直平分线的垂直平分线DE交交AB于于D交交BC于于E；再连接；再连接AE即可！即可！方法二方法二:作作BACBAC的平分线的平分线AEAE交交BCBC于于E E，再作，再作EDABEDAB于于D D即可！即可！练习练习1 1、如图，在、如图，在ABCABC中，中， ACB= ACB= 9090，BABA的的 垂直平分线交边垂直平分线交边CBCB于于D D。若若AB=10AB=10，AC=5AC=5，则图中等于则图中等于 3030的角的个数为（的角的个数为（ ）A.2 B.3C.4 D.5AEDCBB2 2、等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半，、等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半，则此

12、三角形的三个角的度数分别是则此三角形的三个角的度数分别是_30、 75、 75或或15、15、 150ABCDABCD3 3、如图，、如图， AOB= 30，P P是角平分线上是角平分线上的点，的点，PMOB于于M M，PN/OBPN/OB交交OAOA于于N N，若若PM=1cm，则，则PN=_.PN=_.2cmANMPBOE例例3 3如图，在如图，在ABCABC中，中， AB=ACAB=AC，BAC= BAC= 120120，ACAC的的垂直平分线垂直平分线EFEF交交ACAC于点于点E E，交，交BCBC于点于点F F。求证：。求证：BF=2CFBF=2CF。AFECB试一试试一试 如图，

13、在如图，在ABCABC中，中， ACB= ACB= 9090， B= B= 1515，ABAB的的垂直平分线分别交垂直平分线分别交BCBC、ABAB于于D D、E E。求证：。求证：DB=2ACDB=2ACBEDAC1.1.如图，如图，ABC是等边三角形是等边三角形，P、Q分别是分别是AC、BC上的上的 点，且点，且AP=CQ，AQ与与BP交于点交于点M。求。求BMQ的度数。的度数。MCABPQ 2. .已知：如图，在等边已知：如图，在等边ABC中，中，D、E分别为分别为BC、AC上的点，且上的点，且AE=CD，连结，连结AD、BE交于交于点点P，作，作BQAD于于Q， 求证求证：（1）APE

14、=60（2）BP=2PQABCEQ DP3 3、 如图，上午如图，上午9 9时，一条渔船从时，一条渔船从A A出发，出发，以以1212海里海里/ /时的速度向正北航行，时的速度向正北航行，1111时到达时到达B B处，从处，从A A、B B两处望小岛两处望小岛C C，测得，测得NAC=15NAC=150 0， NBC=30NBC=300 0，若小岛周围，若小岛周围12.312.3海里内有暗礁，海里内有暗礁，问该渔船继续向正北航行有无触礁的危险？问该渔船继续向正北航行有无触礁的危险？NABCDABCDEFMN4.4.已知已知: : A A、B B、C C三点在一条直线上三点在一条直线上, ,分别

15、以分别以AB AB 、 BCBC为边在为边在ACAC的同侧作等边三角形的同侧作等边三角形ABD和和BCE,连接连接AE 、CD交于交于F,F,交交BD于于M,M,交交BEBE于于N.N.(1)(1)AE与与CD相等吗？说明理由相等吗？说明理由ABCDEFMN证明证明: :ABDABD和和BCEBCE为等边三角形为等边三角形DB=AB BC=BEDB=AB BC=BEABD=EBC= ABD=EBC= 6060ABD+DBE=DBE+EBCABD+DBE=DBE+EBC即即ABE=DBCABE=DBC在在ABEABE和和DBCDBC中中AB=DB ABE=DBC BE=BCAB=DB ABE=D

16、BC BE=BCABEABEDBCDBCAE=CDAE=CDABCDEFMN4.4.已知已知: : A A、B B、C C三点在一条直线上三点在一条直线上, ,分别以分别以AB AB 、 BCBC为边在为边在ACAC的同侧作等边三角形的同侧作等边三角形ABD和和BCE,连接连接AE 、CD交于交于F,F,交交BD于于M,M,交交BEBE于于N.N.(2) (2) AFD的度数是多少？的度数是多少？ABCDEFMN4.4.已知已知: : A A、B B、C C三点在一条直线上三点在一条直线上, ,分别以分别以AB AB 、 BCBC为边在为边在ACAC的同侧作等边三角形的同侧作等边三角形ABD和

17、和BCE,连接连接AE 、CD交于交于F,F,交交BD于于M,M,交交BEBE于于N.N.（3 3）BM与与BN有什么关系？为什么？有什么关系？为什么？连接连接MN， BMN是什么三角形？是什么三角形？ ABD ABDEBCEBC 6060DBEDBE180180-ABD-ABDEBCEBC6060ABDABDDBEDBE在在ABMABM和和DBNDBN中中MAB=FDM AB=AB ABD=DBEMAB=FDM AB=AB ABD=DBEABMABMDBNDBNBM=BNBM=BNDBE= 60DBE= 60BMNBMN是等边三角形是等边三角形证明证明:ABCDEFMN4.4.已知已知: : A A、B B、C C三点在一条直线上三点在一条直线上, ,分别以分别以AB AB 、 BCBC为边在为边在ACAC的同侧作等边三角形的同侧作等边三角形ABD和和BCE,连接连接AE 、CD交于交于F,F,交交BD于于M,M,交交BEBE于于N.N.（4 4）MNMN与与BCBC平行吗？说明理由。平行吗？