第2章：模糊集合

1、1第第 二二 章章 模糊集合模糊集合 2.0 2.0 引论引论一、一、模糊集合模糊集合产生的原因产生的原因 1 1、现实世界中存在大量的、现实世界中存在大量的模糊现象和模糊概念。如模糊现象和模糊概念。如“青年人青年人”、“高个子高个子”等。等。 2 2、研究、研究模糊性具有重要的现实意义。如模糊性具有重要的现实意义。如“做化学实验做化学实验”、“炒莱炒莱”等。等。 3 3、信息科学和人工智能的发展促进了、信息科学和人工智能的发展促进了模糊数学的产生。如模糊数学的产生。如“电视图像的调节电视图像的调节”等。等。 人脑思维活动的特点之一：就是能对模糊事物进行识别和判断。人脑思维活动的特点之一：就是

2、能对模糊事物进行识别和判断。 如：要找一个人，只知道他是如：要找一个人，只知道他是“高个子，大胡子高个子，大胡子”，无须知道他的身高究竟具体是多少米，无须知道他的身高究竟具体是多少米， 以及脸上有多少根胡子、平均有多粗。以及脸上有多少根胡子、平均有多粗。二、模糊性与随机性的区别二、模糊性与随机性的区别 1 1、模糊性：事物的概念本身是模糊的。即事物是否符合给出的概念不明确。、模糊性：事物的概念本身是模糊的。即事物是否符合给出的概念不明确。 2 2、随机性：事物的概念本身是明确的，只是发生的条件不充分，使条件与事物的发生无因果、随机性：事物的概念本身是明确的，只是发生的条件不充分，使条件与事物的

3、发生无因果 关系，从而事物的发生与否表现出不确定性，但有统计规律。关系，从而事物的发生与否表现出不确定性，但有统计规律。三、起源三、起源 1965 1965年，年，( (美美) )著名控制论教授扎德著名控制论教授扎德( L.A.Zadeh )( L.A.Zadeh )发表论文发表论文“模糊数学模糊数学( fuzzy )( fuzzy )”。 给定量研究客观世界中的模糊性开辟了新途径。给定量研究客观世界中的模糊性开辟了新途径。2 2.1 2.1 模糊集合的定义模糊集合的定义 一、普通集合论知识：确定概念一、普通集合论知识：确定概念普通集合普通集合特征函数特征函数 1 1、集合的概念：符合某个确定

4、概念的对象的全体、集合的概念：符合某个确定概念的对象的全体。常用字母。常用字母 A A、B B、C C 等表示。等表示。 因此，因此，确定概念可用集合来表示，集合是确定概念的外延。确定概念可用集合来表示，集合是确定概念的外延。 2 2、论域：某议题范围内被讨论的全部对象、论域：某议题范围内被讨论的全部对象。常用字母。常用字母 U U、V V、X X、Y Y 等表示。等表示。 论域中的每个对象叫元素。论域中的每个对象叫元素。常用字母常用字母 a a、b b、c c、d d 等表示。等表示。 如：如： 中南大学的学生中南大学的学生 就可以成为一个就可以成为一个论域。论域。 有限论域：元素个数为有限

5、个或可列个的论域。有限论域：元素个数为有限个或可列个的论域。 无限论域：元素个数为无限个的论域。无限论域：元素个数为无限个的论域。 3 3、论域中的子集：论域、论域中的子集：论域U U中某一部分元素组成的全体叫论域中某一部分元素组成的全体叫论域U U中的一个集合中的一个集合。 用用 A A、B B、 等表示。等表示。 如如论域论域 U =U = 中南大学的学生中南大学的学生 ，则，则 A = A = 中南大学的男学生中南大学的男学生 就是就是论域论域 U U 中的一个集合。中的一个集合。 二、模糊子集的定义：模糊概念二、模糊子集的定义：模糊概念模糊集合模糊集合隶属函数隶属函数 给定论域给定论域

6、 U U ，称，称A A是论域是论域 U U 上的上的模糊子集模糊子集( ( 记为记为 ) )： 如果如果对对 x xU U，都有一个确定的数，都有一个确定的数 A A(x)0,1(x)0,1与之对应。与之对应。 此时，映射此时，映射 A A(x)(x)： U U 0,1 0,1 x x A A(x) (x) A A(x)(x)称为称为 A A 的隶属函数；的隶属函数； 数数 A A(x)(x)称为论域称为论域U U中的元素中的元素 x x 对对模糊子集模糊子集 A A 的的隶属度，表示隶属度，表示 x x 属于属于 A A 的程度。的程度。 特例：当特例：当 A A(x)=0(x)=0、1

7、1时，时，模糊子集模糊子集 蜕化为普通集合蜕化为普通集合 A A ； 的的隶属函数隶属函数 A A(x) (x) 蜕化为蜕化为 A A 特征函数特征函数 C CA A(x)(x)，即，即 3 例例2-1 2-1 组成一个组成一个100100人的评比小组，对五种商品人的评比小组，对五种商品X X1 1,X,X2 2,X,X3 3,X,X4 4,X,X5 5进行评比。结果是：进行评比。结果是： 认为商品认为商品X X1 1“质量好质量好”的有的有8181人，占人，占81%=0.8181%=0.81；认为商品；认为商品X X2 2“质量好质量好”的有的有5353人，占人，占53%=0.5353%=0

8、.53； 认为商品认为商品X X3 3“质量好质量好”的有的有100100人，占人，占100%=1100%=1；认为商品；认为商品X X4 4“质量好质量好”的有的有0 0人，占人，占0%=00%=0； 认为商品认为商品X X5 5“质量好质量好”的有的有2424人，占人，占24%=0.2424%=0.24。 对论域对论域 U = XU = X1 1,X,X2 2,X,X3 3,X,X4 4,X,X5 5(有限论域有限论域) )中的每一个元素均规定了一个隶属度：中的每一个元素均规定了一个隶属度： X X1 10.810.81，X X2 2 0.530.53，X X3 3 0.10.1，X X4

9、 4 00 ，X X5 5 0.240.24 它们确定了它们确定了 U U 中的一个模糊子集中的一个模糊子集 A A，表示商品，表示商品“质量好质量好”这一模糊概念。这一模糊概念。 5432124. 00153. 081. 0XXXXXA 用扎德记记号表示为：用扎德记记号表示为：)24. 0, 0, 1,53. 0,81. 0( A或或用用向向量量表表示示为为：)(,),(),()()()()(212211nAAAnnAAAXXXXXXXXXA ：对对有有限限论论域域一一般般 例例2-2 2-2 考查某商店商品销售利润的经济效益考查某商店商品销售利润的经济效益 论域论域 U = 0 U = 0

10、 ，k (k (无限论域无限论域) )表示该商品销售利润额的范围，表示该商品销售利润额的范围， 则表示商品销售利润的则表示商品销售利润的“经济效益好经济效益好”这一模糊概念的模糊子集这一模糊概念的模糊子集，用以下隶属函数表示：，用以下隶属函数表示： ,)(2)(mnxAex , 0kUx 其中，其中，n n为同期商品销售额，为同期商品销售额，m m为销售利润效益最好时刻的利润率。为销售利润效益最好时刻的利润率。 .)(, 02)(度度时时“经经济济效效益益好好”的的程程表表示示利利润润为为总总有有一一个个对对xexkUxmnxA .,30,100, 2 . 001. 0 exnm济济效效益益好

11、好”的的程程度度为为得得商商品品销销售售利利润润的的“经经时时则则当当如如取取, )(:)( UAxxA 对对无无限限论论域域一一般般个个积积分分号号。仅仅是是一一个个记记号号，不不是是一一 U4 例例2-3 2-3 取年龄为论域取年龄为论域 U=0,100U=0,100，给出两个模糊概念，给出两个模糊概念“年轻年轻”和和“年老年老”， 表示它们的两模糊子集记为表示它们的两模糊子集记为Y Y与与O O，其隶属函数定义为：，其隶属函数定义为： )(xY 10025 x,)5)25(112 x,1250 x0 01 15050 100100 x x)(xO )(xO 10050 x,)5)50(1

12、12 x,0500 x0 01 12525 100100 x x)(xY 若你的年龄若你的年龄 x = 30 x = 30 岁，则岁，则 5 . 0)52530(1)30(:12 Y 度度为为你你属属于于“年年轻轻”的的隶隶属属0)30(: O 度度为为你你属属于于“年年老老”的的隶隶属属52.2 2.2 模糊子集的运算：模糊子集的运算： 仍记为仍记为 A ( A (除非特别申明除非特别申明) ) 1.1.关系运算：对关系运算：对论域论域 U U 模糊空集模糊空集 ：对：对 x x U U，均有，均有 (x)=0(x)=0 模糊全集模糊全集 E E ：对：对 x x U U，均有，均有 E E

13、(x)=1(x)=1 模糊幂集模糊幂集 (U) (U) ：U U 中的全体模糊子集中的全体模糊子集( (含普通子集含普通子集) )构成的普通集合构成的普通集合( (其元素是模糊子集其元素是模糊子集) )。 A = B A = B ：对：对 x x U U，均有，均有 A A(x) = (x) = B B(x)(x) A A B B ：对：对 x x U U，均有，均有 A A(x) (x) B B(x)(x) 2.2.并、交、余运算：对并、交、余运算：对论域论域 U U 并并(A(AB)B)：设：设 A ,B A ,B (U),(U),对对 x x U U，则，则 A AB B 是由下列隶属函

14、数确定的模糊子集是由下列隶属函数确定的模糊子集 A AB B(x) = Max(x) = Max A A(x),(x), B B(x)= (x)= A A(x)(x) B B(x(x） 交交(A(AB)B)：设：设 A ,B A ,B (U),(U),对对 x x U U，则，则 A AB B 是由下列隶属函数确定的模糊子集是由下列隶属函数确定的模糊子集 A AB B(x) = Min(x) = Min A A(x),(x), B B(x)= (x)= A A(x)(x) B B(x(x） 余余(A(Ac c) )：设：设 A A (U),(U),对对 x x U U，则，则 A Ac c 是

15、由下列隶属函数确定的模糊子集是由下列隶属函数确定的模糊子集 AcAc(x) = 1 - (x) = 1 - A A(x)(x) 例例2-4 2-4 商品论域商品论域 U = XU = X1 1,X,X2 2,X,X3 3,X,X4 4,X,X5 5 ，表示，表示 “ “商品质量好商品质量好”这个模糊概念的模糊子集为：这个模糊概念的模糊子集为：A = 0.81,0.53,1,0,0.24 A = 0.81,0.53,1,0,0.24 ， “ “商品质量差商品质量差”这个模糊概念的模糊子集为：这个模糊概念的模糊子集为：B = 0.05,0.21,0,0.36,0.57 B = 0.05,0.21,

16、0,0.36,0.57 。 则：则：表示表示“商品质量或好或差商品质量或好或差”这个模糊概念的模糊子集为：这个模糊概念的模糊子集为： A AB = 0.810.05,0.530.21,10,00.36,0.240.57=0.81,0.53,1,0.36,0.57B = 0.810.05,0.530.21,10,00.36,0.240.57=0.81,0.53,1,0.36,0.57； 表示表示“商品质量又好又差商品质量又好又差”这个模糊概念的模糊子集为：这个模糊概念的模糊子集为： A AB = 0.810.05,0.530.21,10,00.36,0.240.57=0.05,0.21,0,0,

17、0.24B = 0.810.05,0.530.21,10,00.36,0.240.57=0.05,0.21,0,0,0.24； 表示表示“商品质量不好商品质量不好”这个模糊概念的模糊子集为：这个模糊概念的模糊子集为： A Ac c = 1-0.81,1-0.53,1-1,1-0,1-0.24=0.19,0.47,0,1,0.76 = 1-0.81,1-0.53,1-1,1-0,1-0.24=0.19,0.47,0,1,0.76；6例例2-5 2-5 年龄论域年龄论域 U=0,100U=0,100，给出两个模糊概念，给出两个模糊概念“年轻年轻”和和“年老年老”, ,对应的模糊子集对应的模糊子集Y

18、 Y与与O,O,隶属函隶属函数为数为 )(xY 10025 x,)5)25(112 x,1250 x0 01 15050 100100 x x)(xO )(xO 10050 x,)5)50(112 x,0500 x0 01 12525 100100 x x)(xY 则：表示则：表示“又老又年轻又老又年轻”这个模糊概念的模糊子集为这个模糊概念的模糊子集为O OY Y：隶属函数为：隶属函数为 )(xYO *25xx ,)5)25(112 x,1250 x,)5)50(112 x100* xx0 01 12525 100100 x x)(xY )(xO 5050 x x* * 7 3.3.运算性质：

19、运算性质： 对偶律：对偶律：( ( A AB )B )c c = A= Ac c B Bc c ；( ( A AB )B )c c = A= Ac c B Bc c 幂等律：幂等律： A AA = A A = A ；A AA = A A = A 交换律：交换律： A AB = BB = BA A ；A AB = BB = BA A 结合律：结合律：( A( AB )B )CC = A = A( ( B BC ) C ) ；( A( AB )B )CC = A = A( ( B BC )C ) 分配律：分配律：( A( AB )B )CC = =( ( A AC )( C )( B BC ) C

20、 ) ；( A( AB )B )CC= =( ( A AC )( C )( B BC ) C ) 吸收律：吸收律：( A( AB )B )AA = A = A ；( A( AB )B )AA = A = A 两极律：两极律： A A = A = A ；A A = = ；A AEE = E = E ；A AEE = A = A 还原律：还原律：( ( A Ac c ) )c c = A= A 不满足互补律：不满足互补律：AAA Ac c E E ， AAA Ac c 伪补律：伪补律： A AAcAc(x) = (x) = A A(x)(x) AcAc(x) (x) ； A AAcAc(x) =

21、(x) = A A(x)(x) AcAc(x) (x) 例例2-6 2-6 设有模糊子集为：设有模糊子集为：A = 0.81,0.53,1,0,0.24 A = 0.81,0.53,1,0,0.24 则：则：A AA Ac c = 0.81,0.53,1,1,0.76 E = 0.81,0.53,1,1,0.76 E ，并且其，并且其隶属度隶属度均大于均大于1/21/2 A AA Ac c = 0.19,0.47,0,0,0.24 = 0.19,0.47,0,0,0.24 ，并且其，并且其隶属度隶属度均小于均小于1/21/2 8 4.4.几种常用的模糊算子：须同时满足几种常用的模糊算子：须同时

22、满足 对偶律、交换律、结合律、两极律对偶律、交换律、结合律、两极律 普通实数乘法普通实数乘法 与最大与最大算子算子 M(M( ,),)： A AB B(x) = (x) = A A(x)(x) B B(x)(x)； A AB B(x) = (x) = A A(x) (x) B B(x)(x) 普通实数乘法普通实数乘法 与有界和与有界和算子算子 M(M( ,) ,) ： A AB B(x) = (x) = A A(x)(x) B B(x)(x)； A AB B(x) = (x) = A A(x) (x) B B(x)(x) 其中有界和其中有界和 ：对：对 a,ba,b 0,1,0,1,有有 ab

23、 = mina+b,1ab = mina+b,1 普通实数乘法普通实数乘法 与概率和与概率和算子算子 M(M( , ,) ) ： A AB B(x) = (x) = A A(x)(x) B B(x)(x)； A AB B(x) = (x) = A A(x) (x) B B(x)(x) 其中概率和其中概率和：对：对 a,ba,b 0,1,0,1,有有 a ab = a+b abb = a+b ab 有界积与有界和有界积与有界和算子算子 M(M(,) ,) ： A AB B(x) = (x) = A A(x)(x) B B(x)(x)； A AB B(x) = (x) = A A(x)(x) B

24、B(x)(x) 其中有界积：对其中有界积：对 a,ba,b 0,1,0,1,有有 a ab = max0,a+b1b = max0,a+b1 例例2-7 2-7 设有模糊子集为：设有模糊子集为：A = 0.81,0.53,1,0,0.24 A = 0.81,0.53,1,0,0.24 ， B = 0.05,0.21,0,0.36,0.57 B = 0.05,0.21,0,0.36,0.57 。 采用采用算子算子 M(M(,),)，得：，得： 则：则： A AB = 0.81B = 0.810.050.05，0.530.530.210.21，1 100，0 00.360.36，0.240.240

25、.570.57 = 0.86 = 0.86，0.740.74，1 1，0.360.36，0.81 0.81 A AB = 0.81B = 0.810.050.05，0.530.530.210.21，1 10 0，0 00.360.36，0.240.240.570.57 = 0 = 0，0 0，0 0，0 0，00 92.4 2.4 模糊集合与普通集合的关系：模糊集合是普通集合的推广模糊集合与普通集合的关系：模糊集合是普通集合的推广 1.1.模糊子集模糊子集 A A 的的 水平截集水平截集 A A 给定模糊子集给定模糊子集 A A(U)(U)，对对0,10,1， 称普通集合称普通集合 A A =

26、x|x=x|x U,U,且且 A A(x)(x) 为模糊子集为模糊子集 A A 的的 水平截集。水平截集。 即：即：A A 由由 U U 中哪些隶属度大于或等于中哪些隶属度大于或等于 的元素组成，其特征函数为：的元素组成，其特征函数为：1 1 ， 0 0 ， )( xA )(xCA )( xA)(xCA A A)(xA A A(x)(x)x xo oA A U U1 1 例例2-8 2-8 五种商品五种商品XX1 1,X,X2 2,X,X3 3,X,X4 4,X,X5 5 ，“质量好质量好”的模糊子集的模糊子集 A = ( 0.81A = ( 0.81，0.530.53，1 1，0 0 ，0.

27、24 )0.24 )， 进一步研究：有进一步研究：有50%50%以上的人认为以上的人认为“质量好质量好” ” ，称为，称为“合格合格” ” ，则，则“合格合格”商品的集合为商品的集合为 A A0.50.5 = X = X1 1,X,X2 2,X,X3 3 ， = 0.5 = 0.5 有有80%80%以上的人认为以上的人认为“质量好质量好” ” ，称为，称为“优良优良” ” ，则，则“优良优良”商品的集合为商品的集合为 A A0.80.8 = X = X1 1,X,X3 3 ， = 0.8 = 0.8 A A0.50.5与与 A A0.80.8 均是均是A A按一定水平按一定水平 确定的普通子集

28、确定的普通子集( ( 截集截集 ) ) 。 10 2. 2. 水平截集水平截集 A A 的性质的性质 ( A ( AB )B ) = A= A B B ； ( ( A AB )B ) = A= A B B ； 设设 1 1, , 2 2 0,10,1，且，且 1 1 2 2 ，则，则 A A 1 1 A A 2 2 3. 3. 模糊子集模糊子集 A A 的核的核 A A1 1、支撑架、支撑架 S SuppuppA A、边界、边界 S SuppuppA - AA - A1 1 A A 的核的核 A A1 1 = x|= x| A A(x)1(x)1； A A 的支撑架的支撑架 S Suppupp

29、A A = x|= x| A A(x)(x)00 ； A A 的边界的边界 S SuppuppA - AA - A1 1 = x|0= x|0 A A(x)(x)1;1; A A0 0 = x|= x| A A(x)0 = U(x)0 = U 例例2-9 2-9 五种商品论域五种商品论域 U = XU = X1 1,X,X2 2,X,X3 3,X,X4 4,X,X5 5 ， 模糊子集模糊子集 A = ( 0.81A = ( 0.81，0.530.53，1 1，0 0 ，0.24 )0.24 )，则，则 A A 的核的核 A A1 1 = = XX3 3 ； A A 的支撑架的支撑架 S Sup

30、puppA A = = XX1 1,X,X2 2,X,X3 3,X,X5 5 ； A A 的边界的边界 S SuppuppA - AA - A1 1 = = XX1 1,X,X2 2,X,X5 5 ; ; A A0 0 = = XX1 1,X,X2 2,X,X3 3,X,X4 4,X,X5 5 = U = U A A(x)(x)x xo oA A1 11 111 4. 4. 由由 A A 生成的模糊子集生成的模糊子集 设设 A A(X)(X)，其，其 水平截集为水平截集为 A A ，:函函数数定定义义为为上上的的模模糊糊子子集集，其其隶隶属属为为论论域域记记XA ， 0 0 ， Ax 当当 )

31、(xA Ax 当当),(xCA 1 1， 0 0， Ax )(xCA 其其中中 Ax 分解定理分解定理： AA10 或用隶属函数或用隶属函数)()()(xCxxAAA 结论：任何模糊数学问题，均可通过分解定理用经典集合论方法处理；结论：任何模糊数学问题，均可通过分解定理用经典集合论方法处理； 从概念上讲，模糊数学是经典数学的推广和发展；从概念上讲，模糊数学是经典数学的推广和发展； A A(x)(x)x xo oA A U U1 1122.5 2.5 实数域上的模糊集实数域上的模糊集 论域论域 X = R = (-,+) X = R = (-,+)上的模糊子集上的模糊子集A A的隶属函数称为模糊

32、分布。的隶属函数称为模糊分布。 1. 1.戒上型：戒上型： 1 1 ，x xa a 0 0 ，xaxa )(xA 降半矩形分布降半矩形分布 降半降半 分布分布 ,x,xa a 1 ,1 ,xaxa )(xA )(axke ，其中，其中 k k0 0 降半降半正态正态分布分布 ,x,xa a 1 ,1 ,xaxa )(xA 2)(axke 降半降半柯西柯西分布分布 ,x,xa a 1 ,1 ,xaxa )(xA )(11axk , , 其中其中k,k, 0 0 降半降半梯形梯形分布分布 0 , xa 0 , xa1 1 1 , 1 , x xa a2 2 )(xA 121aaax , , a a2 2xaxa1 113 2. 2.戒下型：戒下型： 0 0 ，xaxa 1 1 ，x xa a )(xA 升半矩形分布升半矩形分布 升半升半 分布分布 0 ,xa0 ,xa , ,x xa a )(xA )(1axke ，其中，其中 k k0 0 升半升半正态正态分布分布 0 ,xa0