高考圆锥曲线复习

1、 2.直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系主要是指直线和圆锥主要是指直线和圆锥曲线曲线 ，解决的方法是转化为直线方，解决的方法是转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组程与圆锥曲线方程组成的方程组 ，进而转，进而转化为一元（一次或二次）方程解的情况去研究化为一元（一次或二次）方程解的情况去研究. 设直线设直线l的方程为：的方程为：Ax+By+C=0,圆锥曲线方程为圆锥曲线方程为f(x,y)=0. Ax+By+C=0 f(x,y)=0 由由 消元（消元（x或或y）相交、相切、相离相交、相切、相离 解的个数解的个数 圆锥曲线复习一、圆锥曲线 直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线，都可以用一个

2、平面截顶点相对的两个圆锥而得，所以，我们把这几种曲线叫圆锥曲线。看下面的动画效果：返回目录平面平行于圆锥的底面。平面不平行圆锥的底面，也不平行轴。也不平行母线，平面平行于圆锥的轴。平面平行于圆锥的母线。二、三种圆锥曲线的定义与方程1. 定义 到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹.两定点间的距离为: 2c.定长为: 2a,椭圆: 到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹.双曲线:两定点间的距离为: 2c.定长为:2a, 到一定点与一定直线的距离相等的点的轨迹.抛物线:定点到定直线的距离:p.2a2c.2a0).三、三种圆锥曲线的主要性质1. 轴:椭圆:抛物线:2. 离心率:椭圆:长轴长为2a

3、, 短轴长为2b.双曲线: 实轴长为2a, 虚轴长为 2b.焦距 2c.焦距 2c.对称轴是抛物线的轴.p.ace 抛物线: e=1.(0e1).焦点到准线的距离双曲线:4. 渐近线:, xaby b 为变量 y 的分母的算术根, a 为变量 x 的分母的算术根.3. 准线:抛物线:.2px- - 椭圆:5. 图形:双曲线:抛物线: 画矩形, 画椭圆.xyo-aa 画矩形, 画渐近线, 画双曲线. 画焦点、准线, 找到焦点、到准 线距离相等的点, 画抛物线.-bbxyo-aa-bbxyo2p2p- -xyo 若把圆的离心率视为 0, 随着离心率的逐渐增大, 曲线从较圆的椭圆逐渐变为较扁的椭圆.

4、e01接近于6. 开口变化xyo 随着离心率的逐渐增大, 双曲线的开口逐渐增大.e1xyop 抛物线 y22px (p0), p 逐渐增大, 抛物线的开口逐渐增大.Fl四、三种圆锥曲线的光学性质 光源从椭圆的一个焦点发出, 经过椭圆反射后, 反射光线交于椭圆的另一个焦点上.椭圆:四、三种圆锥曲线的光学性质 光源从双曲线的一个焦点发出, 经过双曲线反射后, 反射光线是散开的, 好象是从另一个焦点发出的光线.双曲线:四、三种圆锥曲线的光学性质 光源从抛物线的焦点发出, 经过抛物线反射后, 形成一束平行光线.抛物线:(1)了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 (2

5、)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率) (3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线) (4)了解曲线与方程的对应关系 (5)理解数形结合的思想 了解圆锥曲线的简单应用 高考要求高考要求 椭 圆 双曲线 抛物线 轨迹条件 点集：MMF1+MF2=2a,F 1F22a 点集：MMF1-MF2 =2a,F2F22a 点集M MF=点 M 到直线 l 的距离 圆 形 标准方程 22ax+22by=1(ab0) 22ax-22by=1(a0,b0) y2=2px(p0) 顶 点 A1(-a,0),

6、A2(a,0); B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a) O(0,0) 轴 对称轴 x=0,y=0 长轴长：2a 短轴长：2b 对称轴 x=0,y=0 实轴长：2a 虚轴长：2b 对称轴 y=0 焦 点 F1(-c,0),F2(c,0) 焦点在长轴上 F1(-c,0),F2(c,0) 焦点在实轴上 F(2P，0) 焦点对称轴上 焦 距 F1F2=2c， c=b2-a2 F1F2=2c, c=b2a2 离心率 e=ac,0e1 e=ac,e1 e=1 曲 线 性 质 热身训练热身训练解: 前一条曲线的 c225 - 916,后一条曲线的 c2(25 - k) - (9

7、 - k) 16, 两曲线的焦距相等.1. 选择题. 2222)9( 1925 1925 - - - - kkykxyx与与曲曲线线曲曲线线(A) 长轴长相等. (B) 短轴长相等.(C) 离心率相等. (D) 焦距相同.(1)的 ( )D解: 设两定圆圆心分别为 C1, C2,2. 选择题. (2) 与圆 x2y21 及圆 x2y2-8x120 都外切的圆的圆心在 ( ) (A) 一个椭圆上 (B) 双曲线的一支上 (C) 一条抛物线上 (D) 一个圆上两已知圆的半径分别是 r11, r22.与两圆都外切的圆心为 M, 半径为 r.则 |MC1| r1r |MC2| r2r1r,2r,得 |

8、MC2| - |MC1| 1 (常数),点M在双曲线的一支上.B 3. 当 a 从 0 到 180 变化时, 曲线 x2 y2cosa 1 表示的曲线的形状怎样变化?(1) 当a0时, 方程为解:x2y21, 曲线是个圆.(2) 当 0a90时,曲线是焦点在 y 轴上的椭圆., 1cos1 a a(3) 当 a90 时, 方程为 x1, 曲线是两条直线.(4) 当 90a180 时,曲线是焦点在x 轴上的双曲线., 0cos1 a a(5) 当 a180 时, 方程为 x2-y21, 曲线是等轴(看下面的动感变化图). 1cos122 a ayx原方程变为双曲线.xyo1-1a 0151015

9、20253035404550556065707580859095100105110115120125130135140145150155160165170175180 x2y21,x2 y2cosa 1x1x2-y21 4. 已知直线 ykx-1 与双曲线 x2-y24 没有公共点, 求 k 的取值范围.解: 将直线的方程代入双曲线方程得(1-k2)x22kx-50,要使直线与与抛物线没有公共点, 需0,即4k220(1-k2)0)的焦点, 另外两个顶点在抛物线上, 求这个正三角形的边长.解: 如图, AFB是正三角形, 点 A 的坐标为而 yA |AF|sin30|,|21AF 解方程得,3

10、2ppyA xyoABF由抛物线定义得2 |pxAFA ), ,2(2AAypy,222ppyA 由以上两式得,442ppyyAA ,)3227(pxA 即 A 有两点: 7. 斜率为 2 的直线 l 与双曲线 C: 交于 A, B 两点, 且 |AB|4, 求直线 l 的方程.12322 - -yxxyOABl解: 设 l 的方程为 y2xb,由方程组 得 - - . 123,222yxbxy10 x212bx3b260.212212)()( |yyxxAB- - - - 212212)2(2)(bxbxxx - - - - 212)( 5xx - - 4)(521212xxxx- - )1

11、063( 4)56(522 - - - bb4, 7. 斜率为 2 的直线 l 与双曲线 C: 交于 A, B 两点, 且 |AB|4, 求直线 l 的方程.12322 - -yxxyOABl解: 设 l 的方程为 y2xb,由方程组 得 - - . 123,222yxbxy10 x212bx3b260.212212)()( |yyxxAB- - - - 212212)2(2)(bxbxxx - - - - 212)( 5xx - - 4)(521212xxxx- - )1063( 4)56(522 - - - bb4,解得.3210 b这样的直线有两条,方程为.32102 ,32102- -

12、 xyxy 8. 经过点 M(2, 1) 作直线 l 交双曲线 于 A, B 两点, 且 M 为 AB 的中点, 求直线 l 的方程.1222 - -yx解: 设直线 l 的方程为 y-1k(x-2),将其代入双曲线的方程得(2-k2)x2(4k2-2k)x-4k24k-30.要使直线与双曲线有两个交点, 需0,即 (4k2-2k)2-4(2-k2)(-4k24k-3)0,解得 kR.要使 M(1, 1) 为AB中点, 需, 2221 xx即, 22222 - - -kkk解得 k4,得直线的方程为 4x-y-70. 9. 在抛物线 y24x 上求一点 P, 使得点 P 到直线 yx3 的距离

13、最短.解:xyOPyx3如图,求直线 yx3 的平行线与抛物线相切, 则切点到直线 yx3 的距离最短.设直线 yx3 的平行线为yxm,将其代入抛物线方程得x2(2m-4)xm20.解 (2m-4)2-4m20 得 m1.得切线方程为 yx1.与抛物线方程联列解得切点为 P(1, 2). 10. 已知点 P 是椭圆 16x225y21600 上一点, 且在x 轴上方, F1, F2 分别是椭圆的左、右焦点, 直线 PF2 的斜率为 求PF1F2的面积., 34- -解: 由椭圆方程得长 F2(6, 0),则直线PF2的方程为),6(34- - - xy,19130 , 5 xx或或当 x5

14、时解得, 34 yPF1F2的面积为yFFS |2121341221 . 324 当 时, y0时，直线与圆锥曲线相交于时，直线与圆锥曲线相交于 ； =0时，直线与圆锥曲线时，直线与圆锥曲线 ； 0时，直线与圆锥曲线时，直线与圆锥曲线 . 另外，还能利用数形结合的方法，迅速判断某些直线另外，还能利用数形结合的方法，迅速判断某些直线和圆锥曲线的位置关系和圆锥曲线的位置关系.椭圆椭圆 平行或重合平行或重合 平行或重合平行或重合 两个点两个点 相切相切 相离相离 3 3. .直线与圆锥曲线相交的弦长计算直线与圆锥曲线相交的弦长计算 （1）当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点）当弦的两端点的坐标易

15、求时，可直接求出交点坐标，再用坐标，再用 求弦长求弦长. （2）解由直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，）解由直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，得到关于得到关于x(或或y)的一元二次方程，设直线与圆锥曲线交的一元二次方程，设直线与圆锥曲线交于于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，直线斜率为两点，直线斜率为k，则弦长公式为，则弦长公式为 |AB|= 或或 |AB|= .两点间的距离公式两点间的距离公式 221212(1+k )(x +x ) -4x x 4 4) )+ +) ) ( (1 1+ +1 1( (2 21 12 22 21 12 2y yy yy yy yk k已知双曲线已知双

16、曲线C:x2-y2=1及直线及直线l:y=kx-1.(1)若若l与与C有两个不同的交点有两个不同的交点,求实数求实数k的取值范围的取值范围;(2)若若l与与C交于两点交于两点,O是坐标原点，且是坐标原点，且 AOB的面积的面积为为 ，求实数，求实数k的值的值.联立直线方程和双曲线方程联立直线方程和双曲线方程,化为关于化为关于x(或或y)的一元二次方程，借助于的一元二次方程，借助于0得关于得关于k的不等式的不等式; (2)求出面积求出面积S的表达式的表达式,再解方程再解方程.2 (1)双曲线双曲线C与直线与直线l有两个不同的交点有两个不同的交点, x2-y2=1 y=kx-1 整理得整理得(1-

17、k2)x2+2kx-2=0. 1-k20, =4k2+8(1-k2)0, 解得解得- k 且且k1. 故当故当- k 且且k1时，双曲线时，双曲线C与直线与直线l有有两个不同的交点两个不同的交点.有两个不同的解有两个不同的解,则方程组则方程组2222 （2）设交点）设交点A（x1，y1），），B（x2，y2），直线），直线l与与y轴交于点轴交于点D（0，-1）. x1+x2= x1x2= . 当当A，B分别在双曲线的一支上且分别在双曲线的一支上且|x1|x2|时，时， SOAB =S OAD S OBD = （|x1|-|x2|） = |x1-x2|； 当当A，B在双曲线的两支上且在双曲线的两

18、支上且x1x2时，时， 由（由（1）得）得 2-2k1-k2-21-k1212SOAB =SOAD +SOBD = （|x1|+|x2|）= |x1-x2|.SOAB = |x1-x2|= ，（x1-x2）2=（2 ）2.即即 =8，解得，解得k=0或或k= .又又- k ,且且k1,当当k=0或或k= 时，时，AOB的面积为的面积为 .1212122+222-2k8()1-k1-k62622222（1）在利用判别式时，易忽略）在利用判别式时，易忽略1-k20这一约束条件，这一约束条件，1-k2=0时直线与双曲线只有一个交时直线与双曲线只有一个交点点. 在求在求AOB面积的表达式时，不能按面积

19、的表达式时，不能按A，B两点在双曲线的同支上或异支上分类讨论两点在双曲线的同支上或异支上分类讨论. （2）方法总结：与直线和圆锥曲线的位置关系）方法总结：与直线和圆锥曲线的位置关系有关的参数范围问题，常采用解方程组的思想方法，有关的参数范围问题，常采用解方程组的思想方法，转化为判别式进行；与弦长有关的问题，常常利用韦转化为判别式进行；与弦长有关的问题，常常利用韦达定理，以整体代入的方法求解，这样可以避免求交达定理，以整体代入的方法求解，这样可以避免求交点，使运算过程得到简化点，使运算过程得到简化.椭圆椭圆ax2+by2=1与直线与直线x+y=1相交于相交于A,B两点，若两点，若|AB|=2 ，

20、且，且AB的中点的中点C与椭圆中心连线的斜率为与椭圆中心连线的斜率为2 ，求实数，求实数a,b的值的值.先把直线方程与圆锥曲线方程联立，再利用先把直线方程与圆锥曲线方程联立，再利用根与系数的关系可以计算弦长根与系数的关系可以计算弦长.22设椭圆与直线交于设椭圆与直线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点两点, ax2+by2=1 x+y=1 x1+x2= ,x1x2= . |AB|= |x2-x1|= . (a+b)2=a+b-ab. a= b. 把代入得把代入得b= ,a= .可得可得(a+b)x2-2bx+b-1=0.则由则由2 ba + bb -1a + b21+(-1)22 a+b

21、-ab=2 2a+b121212OC12121212y +yy +y(1-x )+(1-x )2a22k= =-1=,x +xx +xx +xx +xb22222313 又又（1）弦长公式）弦长公式|AB|= |x2-x1|中，中，k指的是直线的斜率指的是直线的斜率.在计算弦长时要特别注意一些特殊情在计算弦长时要特别注意一些特殊情况况:直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直;直线过圆直线过圆锥曲线的焦点锥曲线的焦点.在出现这些情况时可以直接计算或利用曲在出现这些情况时可以直接计算或利用曲线的统一定义把弦长进行转化线的统一定义把弦长进行转化. （2）用公式之前首先验证斜

22、率不存在的情况）用公式之前首先验证斜率不存在的情况. （3）弦长公式的另一种形式）弦长公式的另一种形式|AB|= |y1-y2|也经常用到，原则是计算方便、快捷也经常用到，原则是计算方便、快捷. 21+k211+k若抛物线若抛物线y=x2上存在关于直线上存在关于直线y=m(x-3)对称的两点，求对称的两点，求实数实数m的取值范围的取值范围.两点所在的直线与抛物线有两个交点，可利用两点所在的直线与抛物线有两个交点，可利用判别式求判别式求m的范围的范围.设直线设直线l:y=- x+b与与y=x2两交点为两交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为中点为M(x0,y0). y=- x+b

23、 y=x2, =1+4m2b0.x0= ,y0= ,又又M在对称轴在对称轴y=m(x-3)上上, +b=m(- -3),m m1 1m m1 1由由得得mx2+x-mb=0.2 2m m1 1- -2 2x xx x2 21 1=+b b2 2m m1 1b b) )2 2m m1 1( (- -m m1 1- -2 2+=+2 22 2m m1 12 2m m1 1b=- -3m- .又又=1+4m2b=1+4m2(- -3m- )=-12m3-2m2-10,12m3+2m2+10.即即(2m+1)(6m2-2m+1)0.m- ，即，即m的取值范围为的取值范围为(-,- ) .2 22 2m

24、 m1 12 21 12 22 2m m1 12 21 12 21 12 21 1若若A,B两点关于直线对称，则直线两点关于直线对称，则直线AB与与对称轴垂直，且线段对称轴垂直，且线段AB的中点在对称轴上的中点在对称轴上.即对称轴即对称轴是线段是线段AB的垂直平分线的垂直平分线.解对称问题应注意条件的充解对称问题应注意条件的充分利用，如斜率、截距等，同时还应注意各量之间的分利用，如斜率、截距等，同时还应注意各量之间的关系关系.已知椭圆已知椭圆 上的两个动点上的两个动点P，Q及定点及定点M(1, ),F是椭圆的左焦点，且是椭圆的左焦点，且|PF|，|MF|，|QF|成成等差数列等差数列.(1)求

25、证求证:线段线段PQ的垂直平分线经过一个定点的垂直平分线经过一个定点A;(2)设点设点A关于原点关于原点O的对称点是的对称点是B,求求|PB|的最小值及的最小值及 相应的相应的P点坐标点坐标.1 12 2y y4 4x x2 22 2=+2 26 6 (1)由由|PF|,|MF|,|QF|成等差数列可得成等差数列可得PQ的的中点横坐标中点横坐标,引入参数引入参数PQ中点的纵坐标中点的纵坐标,先求先求kPQ,利用直线利用直线PQ的方程求解的方程求解. (2)建立建立|PB|关于动点坐标的目标函数关于动点坐标的目标函数,利用函数的性利用函数的性质求最值质求最值. (1)设设P(x1,y1),Q(x2,y2),a=2,b= ,c= , e= .由椭圆的焦半径公式得由椭圆的焦半径公式得|PF|=2+ x1,|QF|=2+ x2,|MF|=2+ .2 22 22 22 22 22 2