弯曲变形 概述梁弯曲变形的量—挠和转角挠曲线的近似微分方程积分法求梁变形叠加法求梁变形弯曲刚问题简单超静定梁PPT学习教案

1、会计学1弯曲变形弯曲变形 概述梁弯曲变形的量概述梁弯曲变形的量挠和转挠和转角挠曲线的近似微分方程积分法求梁变角挠曲线的近似微分方程积分法求梁变形叠加法求梁变形弯曲刚问题简单超静形叠加法求梁变形弯曲刚问题简单超静定梁定梁5.1、概述概述摇臂钻床的摇臂变形过大，影响加工精度。摇臂钻床的摇臂变形过大，影响加工精度。第2页/共47页5.1、概述概述桥式起重机横梁桥式起重机横梁变形过大，小车变形过大，小车行走困难，出现行走困难，出现爬坡现象。爬坡现象。第3页/共47页5.1、概述概述另外，对某些构件，又要求有较大的变形，满足工另外，对某些构件，又要求有较大的变形，满足工作需要。例如车辆上的板弹簧，要求有

2、足够大的变作需要。例如车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓冲车辆受到的冲击和振动作用。形，以缓冲车辆受到的冲击和振动作用。P2P2P第4页/共47页5.2、梁弯曲变形的度量梁弯曲变形的度量挠度和转角挠度和转角v挠度挠度CCAB y xB2、挠度挠度：挠曲线上一点的纵坐标：挠曲线上一点的纵坐标v，表示坐标为，表示坐标为x的的横截面的形心沿横截面的形心沿y轴的位移，称为该点挠度。轴的位移，称为该点挠度。1、挠曲线挠曲线：发生弯曲变形后的梁，轴线是一条：发生弯曲变形后的梁，轴线是一条xy平平面内的曲线，称为挠曲线。面内的曲线，称为挠曲线。挠度远小于梁的跨度，截面形心的挠度远小于梁的跨度，截面形心

3、的水平水平位移略去。位移略去。挠曲线方程挠曲线方程v=f（x）第5页/共47页5.2、梁弯曲变形的度量梁弯曲变形的度量挠度和转角挠度和转角对于细长梁，平面假设仍然适用，忽略剪力的影响对于细长梁，平面假设仍然适用，忽略剪力的影响。ACCyB xBv挠度挠度 转角转角3、转角转角：横截面对其原来位置的角位移：横截面对其原来位置的角位移（转过的（转过的角度），称为转角。角度），称为转角。第6页/共47页5.2、梁弯曲变形的度量梁弯曲变形的度量挠度和转角挠度和转角4、挠度与挠度与转角关系转角关系ACCyB xBv挠度挠度 转角转角( )tgvv x转角近似等于挠曲线的斜率。转角近似等于挠曲线的斜率。第

4、7页/共47页5.2、梁弯曲变形的度量梁弯曲变形的度量挠度和转角挠度和转角5、挠度与挠度与转角符号规定转角符号规定ACCyB xBv挠度挠度 转角转角挠度向上为正，向下为负。挠度向上为正，向下为负。转角，自转角，自x轴逆时针转向切线方向为正，反之为负轴逆时针转向切线方向为正，反之为负。第8页/共47页5.3、挠曲线的近似微分方挠曲线的近似微分方程程1、公式推导公式推导纯弯曲时，纯弯曲时，曲率曲率与弯矩的关系与弯矩的关系1MEI 横力弯曲时，横力弯曲时，M 和和 都是都是x的函数的函数（略去剪力的影响）略去剪力的影响）1( )( )M xxEI 第9页/共47页5.3、挠曲线的近似微分方挠曲线的

5、近似微分方程程根据高数中曲率表达式根据高数中曲率表达式 3 221( )1( ) vxv 小变形情况下，小变形情况下， 2( )v与与 1 相比十分微小，忽略不计相比十分微小，忽略不计 1( )vx ( )M xvEI第10页/共47页5.3、挠曲线的近似微分方挠曲线的近似微分方程程曲线向上凸，曲线向上凸，oxvxov00 vMv与与M的正负号相同的正负号相同00Mv曲线向下凸，曲线向下凸，00 vM00MvMMMM第11页/共47页5.3、挠曲线的近似微分方挠曲线的近似微分方程程 ( )M xvEI( )M xvEI梁挠曲线的近似微分方程梁挠曲线的近似微分方程第12页/共47页5.4、积分法

6、求梁变形积分法求梁变形( )M xvEI梁挠曲线的近似微分方程梁挠曲线的近似微分方程( )M xvdxCEI 积分积分 ( )()M xvdx dxCxDEI等截面梁，等截面梁，EI为常量，可提出来。为常量，可提出来。系数系数C、D如何确定？如何确定？第13页/共47页5.4、积分法求梁变形积分法求梁变形积分常数的确定：积分常数的确定：边界条件与连续条件边界条件与连续条件。简支梁的两铰支端简支梁的两铰支端挠度挠度Av和和Bv都等于都等于0悬臂梁的固定端挠度悬臂梁的固定端挠度和转角和转角Av都等于都等于0A 0Av0Bv0Av0A ABAB挠曲线上任意一点有唯一的挠度与转角。挠曲线上任意一点有唯

7、一的挠度与转角。第14页/共47页例例5-1、抗弯刚度为、抗弯刚度为 EI 的悬臂梁，自由端受集中力的悬臂梁，自由端受集中力 F 作用。试求梁的挠度方程和转角方程，并确定其作用。试求梁的挠度方程和转角方程，并确定其最大挠度和最大转角。最大挠度和最大转角。 lABxFv5.4、积分法求梁变形积分法求梁变形第15页/共47页(1) 弯矩方程为弯矩方程为解：解：(2) 挠曲线的近似微分方程为挠曲线的近似微分方程为xlvABxF对挠曲线近似微分方程进行积分对挠曲线近似微分方程进行积分( )() M xF lx ( ) EIvM xFlFx 2 2FxEIvFlxC 2326FlxFxEIvCxD 5.

8、4、积分法求梁变形积分法求梁变形第16页/共47页梁的转角方程和挠曲线方程分别为梁的转角方程和挠曲线方程分别为边界条件边界条件0,0 ; 0, 0 xvxv代入代入0 0CD 22FxEIvFlx 2326FlxFxEIv5.4、积分法求梁变形积分法求梁变形2 2FxEIvFlxC 2326FlxFxEIvCxD 第17页/共47页BmaxvmaxxlvAF（ ）222max|22x lFlFlFlEIEIEI 都发生在自由端截面处。都发生在自由端截面处。max maxv和和（ ）3max|3x lFlvvEI 5.4、积分法求梁变形积分法求梁变形第18页/共47页5.4、积分法求梁变形积分法

9、求梁变形例例5-2、抗弯刚度为、抗弯刚度为 EI 的简支梁，的简支梁，D处受集中力处受集中力 F 作用。试求梁的挠度方程和转角方程，并确定其最作用。试求梁的挠度方程和转角方程，并确定其最大挠度和最大转角。大挠度和最大转角。 ABFDabl解解：FAFBAbFFlBaFFlxx1(0)bMFxxal2() ()bMFxF xaaxll第19页/共47页5.4、积分法求梁变形积分法求梁变形1(0)bMFxxal梁的挠曲线微分方程，挠度与转角方程如下：梁的挠曲线微分方程，挠度与转角方程如下：11bFxEIvMl2112b xEIvFCl31116b xEIvFC xDl第20页/共47页5.4、积分

10、法求梁变形积分法求梁变形2() ()bMFxF xaaxll梁的挠曲线微分方程，挠度与转角方程如下：梁的挠曲线微分方程，挠度与转角方程如下：22()bFxF xaEIvMl 2222()22bF xaxFEIvCl33222()66bF xaxFxEIvCDl第21页/共47页5.4、积分法求梁变形积分法求梁变形ABFDablFAFBD点的连续条件点的连续条件边界条件边界条件在在 x = a 处处12vv12vv在在 x = 0 处，处，10v在在 x = l 处，处，20v代入代入120DD2212()6FbCClbl 第22页/共47页5.4、积分法求梁变形积分法求梁变形22211()36

11、FbvlbxlEI 2221)(6FbxlvbxlEI 2222221()()23FblxavxlblEI b 33222() ()6FblxxavxlblEI b(0)xa ()axl第23页/共47页5.4、积分法求梁变形积分法求梁变形将将 x = 0 和和 x = l 分别代入转角方程分别代入转角方程当当 a b 时时, 右支座处截面的转角绝对值为最大右支座处截面的转角绝对值为最大 10()|6AxFab lblEI2()|6Bx lFab lalEImax()6BFab lalEI第24页/共47页5.4、积分法求梁变形积分法求梁变形简支梁的最大挠度应在简支梁的最大挠度应在处处 0v先

12、研究第一段梁先研究第一段梁,令令得得10v22211()036FbvlbxlEI 221(2 )33lba abx当当 a b时时, x1 a 最大挠度确实在第一段梁中最大挠度确实在第一段梁中 1222 3max()0 06429 3x xFbPblv |lb.vEIlEI第25页/共47页5.4、积分法求梁变形积分法求梁变形梁中点梁中点 C 处的挠度为处的挠度为结论：在简支梁中，不论它受什么荷载作用，只要挠曲线上结论：在简支梁中，不论它受什么荷载作用，只要挠曲线上无拐点，其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替，无拐点，其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替，其精确度是能满足工程要求的

13、。其精确度是能满足工程要求的。222(34)0.062548CFbFblvlbEIEI1222 3max()0 06429 3x xFbFblv |lb.vEIlEI第26页/共47页5.4、积分法求梁变形积分法求梁变形ABq例例5-3、抗弯刚度为、抗弯刚度为 EI 的简支梁，受均匀分布载荷的简支梁，受均匀分布载荷作用，载荷集度为作用，载荷集度为 q 。试求梁的挠度方程和转角方。试求梁的挠度方程和转角方程，并确定其最大挠度和最大转角。程，并确定其最大挠度和最大转角。 FAFB解解：2ABqlFFx2( )22qlqxM xx第27页/共47页5.5、积分法求梁变形积分法求梁变形222qlqEI

14、vxx2346qlqEIvxxC341224qlqEIvxxCxD边界条件边界条件000 xvxlv，；，3-024qlCD，ABq233(6-4- )24qlxx lEI233(2- - )24qxvlx x lEI第28页/共47页5.5、积分法求梁变形积分法求梁变形x = 0 和和 x = l 截面有最大转截面有最大转角（绝对值最大，且相等）角（绝对值最大，且相等） A BvmaxABqlx = l /2截面处截面处 ，有最大挠度（绝对值最大），有最大挠度（绝对值最大）3max24ABqlEI 4max25384lxqlvvEI第29页/共47页5.6、叠加法求梁变形叠加法求梁变形在在小

15、变形及线弹性范围小变形及线弹性范围内，梁在几项荷载同时作内，梁在几项荷载同时作用下的挠度和转角，等于每一荷载单独作用下该用下的挠度和转角，等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加。当挠度为同一方向（截面的挠度和转角的叠加。当挠度为同一方向（如沿如沿y 轴方向），转角在同一平面内（如轴方向），转角在同一平面内（如xy 平面平面），则叠加就是代数和。这就是叠加原理。），则叠加就是代数和。这就是叠加原理。一、叠加原理一、叠加原理第30页/共47页5.6、叠加法求梁变形叠加法求梁变形例例5-4、按叠加原理求、按叠加原理求 A点转角和点转角和C点挠度。点挠度。qFACaaB=FAB+ABq第31页

16、/共47页5.6、叠加法求梁变形叠加法求梁变形FABABq2343AFAqAFaqaEIEI 345624CFCqCFaqavvvEIEI 36FCFavEI 24FAFaEI4524qCqavEI 33qAqaEI 第32页/共47页5.6、叠加法求梁变形叠加法求梁变形例例5-5、按叠加原理求梁中点、按叠加原理求梁中点C处挠度和支座处挠度和支座A，B转角转角。ABCqmlBAmlAqBl+第33页/共47页5.6、叠加法求梁变形叠加法求梁变形qB qA qCvCmB mA mCvCBAmlAqBl+CqCmCvvvAqAmA3246mlqlEIEI 42538416qlmlEIEI3()24

17、3mlqlEIEI BqBmB第34页/共47页5.6、叠加法求梁变形叠加法求梁变形例例5-6、按叠加原理求、按叠加原理求C处挠度和转角。处挠度和转角。Cy第35页/共47页5.6、叠加法求梁变形叠加法求梁变形Cw1Cw41,8CqlvEI 222432,128482CBBlvvqlqllEIEIEIqlC631EIqlC483242141384CCiiqlvvEI EIqliCiC4873212Cw2Bw第36页/共47页5.7、弯曲刚度问题弯曲刚度问题maxmax vv弯曲刚度条件弯曲刚度条件应用：校核刚度，设计截面尺寸，确定外载。应用：校核刚度，设计截面尺寸，确定外载。第37页/共47页

18、5.7、弯曲刚度问题弯曲刚度问题例例57、工字钢简支梁，跨中受集中载荷、工字钢简支梁，跨中受集中载荷F=25 kN作用作用。跨长。跨长l=4 m，许可挠度为，许可挠度为l/400，材料的弹性模量，材料的弹性模量E=206 GPa，许用应力，许用应力160MPa，试选择工字钢的型号，试选择工字钢的型号。 解解 (1)按强度条件选择截面按强度条件选择截面 由附录由附录C可查得，可查得，No.18工字钢的几何特性为工字钢的几何特性为 mkN254254141maxFlM33463maxcm3 .156m10563. 1101601025MWz43cm1660,cm185zzIW最大弯矩发生在跨中截面

19、最大弯矩发生在跨中截面 第38页/共47页5.7、弯曲刚度问题弯曲刚度问题梁的最大挠度在跨中截面梁的最大挠度在跨中截面 刚度符合要求刚度符合要求。 (2)按刚度条件校核按刚度条件校核 33398max25 1040.0097m0.01m4848 206 101660 10400FllfvEI故可选用故可选用No.18a工字钢。工字钢。 第39页/共47页5.7、弯曲刚度问题弯曲刚度问题 影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关有关,而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关有关.所以所以,要想提高

20、弯曲刚度要想提高弯曲刚度,就应从上述各种因素入手。就应从上述各种因素入手。一、增大梁的抗弯刚度一、增大梁的抗弯刚度EI二、减小跨度或增加支承二、减小跨度或增加支承三、改变加载方式和支座位置三、改变加载方式和支座位置第40页/共47页5.7、弯曲刚度问题弯曲刚度问题(1)增大梁的抗弯刚度增大梁的抗弯刚度EI工程中常采用工字形工程中常采用工字形,箱形截面箱形截面为了减小梁的位移为了减小梁的位移,可采取下列措施可采取下列措施(2)调整跨长和改变结构调整跨长和改变结构设法缩短梁的跨长设法缩短梁的跨长,将能显著地减小其挠度和转角。将能显著地减小其挠度和转角。这是提高梁的刚度的一个很又效的措施。这是提高梁

21、的刚度的一个很又效的措施。( )EIvM x第41页/共47页5.7、弯曲刚度问题弯曲刚度问题桥式起重机的钢梁通常采用两端外伸的结构就是为了缩短跨长桥式起重机的钢梁通常采用两端外伸的结构就是为了缩短跨长而而减小梁的最大挠度值。减小梁的最大挠度值。ABql同时同时,由于梁的外伸部分的自重由于梁的外伸部分的自重作作用用,将使梁的将使梁的AB跨产生向上的挠跨产生向上的挠度度,从而使从而使AB跨向下的挠度能够跨向下的挠度能够被抵消一部分被抵消一部分,而有所减小。而有所减小。qqABl增加梁的支座也可以减小梁的挠度。增加梁的支座也可以减小梁的挠度。第42页/共47页5.8、简单超静定梁简单超静定梁一、静定梁一、静定梁 二、超静定梁二、超静定梁未知约束力的数目等于独立静力平衡方程的数目未知约束